Некоторые из вас, вероятно, видали на просторах сети эту задачку: какое число продолжает следующий ряд?

Предлагался такой очевидный правильный ответ:

Для тех, кому неочевидно, как он получен, предлагалось объяснение. Пусть (ну и 1 при x = 0, хотя неважно). Тогда каждый член ряда — это значение следующего интеграла в цепочке:

Пока всё идёт хорошо, но тут внезапно:

В принципе, этого достаточно, чтобы повеселить друзей-математиков, но мне захотелось узнать, как вообще считаются такие интегралы и почему получается такой смешной результат. Если кому-то ещё охота тряхнуть стариной и вспомнить матан с функаном, прошу читать дальше.