Попалась мне неплохая статья, про метод спектрального оценивания, который отлично подходит для короткого сигнала из суммы слабозашумленных гармоник. (-копия) Возможно, мои комментарии помогут читателю вникнуть в суть метода. Что немного огорчило, так это не до конца реализованные возможности метода. Метод применен для радиолокации — для быстрого определения направления на приходящие сигналы (угла θ) с последующей целью автоматической, надо понимать, адаптации системы. Но — численного определения этого угла автор не производит (причем по контексту это странно), хотя это определение вполне возможно. Имеем только красивые графики, по которым, получается, системе надо еще «ползать» и «ползать», определяя количество и расположение максимумов, что не совсем хорошо.


Иллюстрация автора упомянутой статьи

Общеизвестно, что большинство временных рядов, с которыми приходится иметь дело исследователю, являются нестационарными, и их анализ ощутимо сложнее, чем изучение стационарных процессов. Поскольку интерес к вейвлетам, похоже, пошел на убыль, полезно обсудить некоторые иные «нестационарные» инструменты, пригодные, в первую очередь, для оценки мгновенных частот, а также для оценки мгновенных спектров.

В первую очередь есть смысл вспомнить об «аналитическом сигнале». Ниже «An-моделью» именуются как раз нахождение мгновенных импеданса и мощности тестового сигнала после достройки его мнимой частью (сдвинутой по фазе на π/2).

Но не всегда есть возможность возиться с преобразованием Гилберта. Ранее уже упоминалось об авторегрессионном способе спектрального оценивания, пригодном для работы с короткими последовательностями. Под «AR-моделью» здесь будет подразумеваться исследование коротких (из 5 сэмплов) перекрывающихся фрагментов исходного сигнала с целью определения коэффициентов авторегрессии 2-го порядка, нахождение по ним «полюсов» модели и т.д.

Обклеенный десятками датчиков «объект исследований» при натурных динамических испытаниях (например, при исследовании виброактивности транспортного средства) легко обеспечивает нас большим объемом полученных данных, но вот что с ними делать, зачастую не очень-то ясно. То же самое — при симуляционом моделировании динамических процессов систем с большим количеством степеней свободы.

Это может быть не совсем понятно тем, кто не сталкивается с проблемой регулярно, но — отсматривать соответствующую анимацию процесса, стохастического во времени и пространстве, как правило, почти бессмысленно. Где сломается или почему так трясет — обычно «не видно». Что придумывали кроме анимации, ниже расскажу, а порекомендую вот что.

Путем элементарнешей процедуры можно получить и сами пространственные «формы» колебаний, причем именно реально проявляющиеся в данных условиях нагружения, и интенсивности их проявления (дисперсии; при желании — и сами процессы).


Рис.1 Разложение многоканального отклика по псевдоформам. «Струна в вязкой среде»(см.рис.2)

При анализе экспериментально полученных стационарных временных рядов, как правило, при предварительной подготовке (препроцессинге) данных возникает необходимость в подавлении имеющегося в них тренда.

Здесь будет предложен «новый» метод выделения тренда — простой, очевидный и пригодный для очень сложных видов тренда.

Под трендом обычно понимают сверхнизкочастотную негармоническую компоненту, резко нарушающую стационарность процесса. Наиболее частой причиной тренда в экспериментально полученных данных является «дрейф нуля» регистрирующей аппаратуры. Интегрирование данных и некоторые другие виды обработки также могут стать причиной появления тренда. Наличие тренда сильно искажает результаты последующей обработки данных (спектральное оценивание и т.п.), поэтому удаление тренда является необходимым. В ряде случаев сам тренд является ценным источником информации (например, при анализе долгосрочных тенденций в экономических или метео- процессах).


Рис. 1. Выделение и удаление тренда

Методы спектрального оценивания стационарных случайных процессов, основанные на быстром преобразовании Фурье (БПФ), хорошо известны и широко применяются в инженерной практике. К их недостаткам следует отнести, в частности, высокую дисперсию (низкую точность) оценки при недостаточно длительном интервале наблюдения за процессом, что визуально обычно проявляется в сильной «изрезанности» графика спектральной плотности мощности(СПМ). Одним из альтернативных методов спектрального оценивания является авторегрессионный метод, рассмотренный на примере ниже, который в инженерной практике известен гораздо меньше. Метод во многих случаях позволяет сравнительно просто получить гораздо более качественную оценку СПМ (рис.1), а иногда и более глубокие сведения об исследуемом случайном процессе.


Рис.1 Классическая и авторегрессионная оценка СПМ «короткого» процесса

Ниже будет сказано несколько слов об известной вообще, но, чаще всего довольно неожиданной для инженерных работников дискретно-временной альтернативе математическим моделям в виде линейных дифференциальных уравнений, а именно, моделям авторегрессии — скользящего среднего, и весьма необычным перспективам такого моделирования, возможности которого значительно превышают то, что привыкли получать от ЛДУ.

В списке потенциальных возможностей технологии — анализ систем с недоступным для наблюдения входящим возмущением, определение резонансных свойств таких систем, спектра и самого процесса внешнего возбуждения, спектральное оценивание процессов по их коротким реализациям, моделирование поведения систем при малой частоте дискретизации по времени и т.п.