Comments 146
Ещё в универе нам много рассказывали про различные упрощения и усложнения, парадоксы и т.д. Канторовой теории множеств. Но тогда ещё не говорили, что это «наивная теория множеств». =)
«окружность — это геометрическое место точек на плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной внутренней точки, именуемой центром»
К этому моменту ученики уже знают, что такое окружность. Поэтому сие пижонское (так сказал наш препод) определение принимается исключительно как основа для некоторых доказательств.
Вообще, вместо буквы N должна быть еврейская буква «алеф», но при попытке вставить соответствующий символ юникода у меняиз ушей полезла мацанаправление текста изменилось на «справа налево», и я, не разобравшись, как вернуть его в исходное состояние, плюнул.
Символ ℵ лучше брать не из еврейского алфавита, а из letter-like symbols. Его код там U+2135, и направление текста он не меняет.
Надеюсь, когда-нибудь здесь прикрутят LaTeX.
Сразу генерируется html-код для вставки в статью. Потом есть возможность отредактировать. Можно редактировать сам код, но в случае больших формул это затруднительно, и всё же довольно удобно
Потом мне это надоело, и я сделал свой похожий сервис.
Информация о нём довольно скудна, я не смог даже найти, как стоят ударения в его фамилии.
Ударения ставятся как в латинском: Чезáре Бурáли-Фóрте
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D1%80%D0%B5
Вариант Чезáре рекомендуется в справочнике Р. С. Гиляревского и Б. А. Старостина «Иностранные имена и названия в русском тексте» (3-е изд., М., 1985). Но при этом в «Словаре собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко это имя чаще приводится с ударением на первом слоге.Но коллега итальянец, сидящий в двух метрах от меня, ставит ударение на второй слог.
Кстати, по вашей ссылке у первой же персоны ударение поставлено на второй слог.
Тут, кстати, в забавном виде выглядит недавняя статья про недостатки языка Mathematica, в которой предъявляется претензия в его математической некорректности.
Спасибо за отличную статью, только вчера рассказывал семье о кризисе оснований математики, а тут такой подарок. А вообще, больше всего мне нравится позиция Кронекера, который, глядя на эти безобразия, сказал: «Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека.»
Если для определения единицы используется понятие Un, которое, в свою очередь есть «множество всех множеств, содержащих ровно один элемент», то можно ли назвать это строгим определением?
Да, именно этот момент возмутил Пуанкаре. Не знаю, считал ли Бурали-Форти, что даёт единице новое определение, исходя из голой логики. Если считал, то, вероятно, был неправ. Но мне видится, что он ничего такого не подразумевал, а просто строил абстрактную числовую систему со своей абстрактной единицей, которую в нуждах животноводства можно отождествить с единицей натуральной.
Пеано определяет целые числа как класс эквивалентности пар натуральных чисел. Никого ведь не возмущает, что при таком определении целое число 1 — это {(x, y ∈ N) | x — y = 1 }, т.е. в определении целого числа 1 участвует натуральное число 1?
Я правильно понимаю, что описанный в статье формализм в итоге и привел к описанию через рекурсию?
Единица — что? Единица — ноль!
И понял, что он был не поэт ни разу, а с кафедры алгебры…
Кстати, я не понял, зачем черта отрицания в формуле итальянца.
2. Предположим, что каждому числу из X мы смогли взаимооднозначно сопоставить число из N (пересчитать).
3. Если мы найдём способ найти такое число из X, которому мы не сопоставили число из N, значит X мощнее N (не счётно).
4. С потенциальными бесконечностями всё просто: отсутствие чего-то не может быть больше или меньше отсутствия чего-то другого. То есть все бесконечности эквивалентны.
5. С актуальными бесконечностями веселее: мы можем взаимооднозначно сопоставить все числа из N всем числам из (N+1), потом добавить к (N+1) число, которое с N сопоставлено не было (первое натуральное число), и получить множество, которое в соответствии с тезисом (3) мощнее N, то есть несчётно.
6. И, какое совпадение, это новое множество (N+1) U (1) — это и есть то самое N. То есть N не счётно и мощнее самого себя.
В каком пункте ошибка? ;-)
Вы показали, что возможна инъекция множества в равномощное ему. Это верно, и это ничему не противоречит. Если проводить аналогию с числами, возможность инъективного отображения — это отношение «меньше или равно», а не «меньше». Нет ничего парадоксального в том, что число меньше или равно самому себе.
Вы либо должны изменить пункт (3) запретив менять биекцию, либо убрать надругательства над отображением из пункта (5) — в любом случае ваше доказательство развалится.
Если мы найдём способ найти такое число из X, которому мы не сопоставили число из N, значит X мощнее N (не счётно).
Но вы не находите способ найти число в X. Вы просто берёте другое множество: X ∪ {e}. В данном случае, если смотреть пункт 5, то я могу доказать наличие биекции между двумя множествами, а значит, они равномощны. Но это не имеет никакого значения, потому одно из рассматриваемых множеств (N+1) ∪ {1} не имеет никакого отношения к тому, что взято изначально, т.е. (N+1). Если вы ведёте рассуждения относительно (N+1), то и дальше должны именно в нём искать такой элемент, а не добавлять извне.
Что вы этим пытаетесь доказать совершенно непонятно. Это уже другое отображение.
То, что множество счетное, отлично сочетается с тем, что можно выделит из него счетное подмножество так, чтобы остались «лишние» элементы. Тут нет противоречия. Более того, множество «лишних» элементов вполне можно сделать счетным. Например множество четных чисел счетное (есть биекция с множеством натуральных). При этом «лишние» — все нечетные. И для них тоже существует биекция с множеством натуральных.
Нет тут противоречия.
А вот при актуальной вы уже не можете так просто делить счётное множество на любое конечное число счётных подмножеств. Просто потому что у вас «каждый элемент на счету».
Пока это выглядит как бред.
Вот ответьте мне на несколько вопросов:
1. Почему вы так уверены в своей правоте не допуская даже капли сомнений?
2. Почему вас так задевает альтернативная точка зрения, что вы не поленились сходить в профиль и опустить оппоненту карму?
3. Ещё чуть-чуть и я не смогу писать стать, но смогу оставлять комментарии. Кому вы тем самым сделали хуже — мне или себе?
2. Этому вас учит научный подход?
Скажите, вы действительно не понимаете, где именно вы неправы?
Её автор — Чезаре Бурали-Форти, математик не то чтобы великий, но сумевший вписать своё имя в историю благодаря некоему парадоксу, к которому мы вернёмся позднее. Информация о нём довольно скудна, я не смог даже найти, как стоят ударения в его фамилии.
Да, ZFC сейчас наиболее успешна, это отрицать трудно.
И это не математика, а мета-математика, ибо в своём формализме совсем потеряла связь с реальностью.
Неправда! ZF о чём говорит, если рассматривать на философском уровне? О том, что нам надо из рассуждений явно исключать любые универсальные абсолютные категории. Это очень полезная в жизни и в карьере айтишника вещь. Очень часто при аналитике требуется как раз такие категории в рассуждениях постараться выявить и устранить. Конечно, это можно и без знания ZF понять, «житейской» мудростью, но лично для меня в своё время знакомство с наивной теорией Кантора и со способом эту теорию обойти, было таким сильным впечатлением, что никакой житейской мудрости не понадобилось и я закончил университет с таким важным пунктиком в своём фундаменте.
Спорить о свойствах бесконечности отдельно от теории — всё равно что спорить о том, сгорают ли вампиры на свету, не указав конкретный фэнтезийный сеттинг. И то, и другое — мысленные конструкты, свойства которых зависят от других конструктов, а не выводятся непосредственно.
«пусть x — это такое число из R, которое не равно никакому другому числу»
Такого в том доказательстве нет. Существование x в нем не постулируется, а доказывается.
пусть x — это такое число из R, которое не равно никакому другому числу
Можно ссылочку? Я теорию множеств Кантора изучал по учебнику, а не по его оригинальным работам. Эта цитата без контекста мало что даёт.
x — такое число, которое минимум на 1 больше любого числа из N.
Да и зачем вы тащите на хабр старую и давно протухшую бяку. Легко же находятся статьи, аргументированно разносящие логические построения Зенкина в клочья, например. Тут достаточно только того, что метод от противного в классическом доказательстве вообще не используется (а ведь на его использовании строятся все рассуждения Зенкина).
Тут достаточно только того, что метод от противного в классическом доказательстве вообще не используется.
Хм. Итак, есть две формулировки
«Предположим противное. Допустим, есть счётная нумерация вещественных чисел… Получаем число, не имеющее номера — противоречие».
И
«Возьмём произвольную счётную последовательность вещественных чисел… Получаем число, не входящее в эту последовательность».
Я разницы не вижу. По-моему, во втором случае всё равно неявно используется доказательство от противного. Собственно, конструктивного определения несчётного множества у нас нет — есть только отрицательное — «то, для которого не существует биекции с конечным или счётным». Уже потом появляются биекции с доказанными несчётными.
Во втором же случае (если я всё понял правильно) для доказательства не счетности предположение о счетности не используется, а напрямую доказывается, что любая инъекция из N в R не является биекцией. Это не является доказательством от противного.
это еще не значит, что не существует метода дающего большее количество новых элементов (например счетное множество новых элементов).Об этом тоже есть в статье. Или вы прочитали только рецензию на форуме? :-)
А в цитатах нет ничего про несчётность. Там просто описываются алгоритмы получения чисел не входящих в некоторую последовательность, единственное свойство которой — оно бесконечно, но не обязательно захватывает все действительные числа. А вот чтобы доказать несчётность — уже приходится вводить тезис о счётности и опровергать его.
2. Почему вас так задевает альтернативная точка зрения, что вы не поленились сходить в профиль и опустить оппоненту карму?
Ответ на этот вопрос:

На остальные глупости отвечу вечером, когда будет время.
пусть x — это такое число из R, которое не равно никакому другому числу
Ок, дали определение. Предположите существование — получите противоречие. Вывод: предположение не верно и объекта, удовлетворяющего определению не существует. Что дальше?
не всё, что можно описать, может существовать.
Это, образно, можно назвать одной из причин заката наивной теории множеств и начала аксиоматической теории множеств. И что?
1. Почему вы так уверены в своей правоте не допуская даже капли сомнений?
Меня ниже поправили. Отличный пример моей неправоты. Мне хватило одного замечания, вас же толпа народа пытается заставить думать над вашими высказываниями и это не выходит.
2Ответил.
3См. 2. Но мне определенно нравится ваше отсутствие сомнений. Аж 2 пункта праведного гнева.
2Мы сейчас вообще-то о математической аксиоматической теории. Утверждения в рамках нее доказываются строго.
Счетное множество можно разбить на любое конечное число счетных подмножеств
Поправка — на любое счётное число счётных подмножеств.
И, наоборот, для доказательства счетности достаточно привести один способ построения биекции.
1→2Так как «слева» у нас использованы все числа, а «справа» у нас осталась единица, то мы «доказали» (если следовать вашей логике), что мощность ℕ больше мощности ℕ. Вряд ли на таком фундаменте можно построить какую-либо осмысленную теорию.
2→3
…
С бесконечными последовательностями много вещей, которые можно делать с конечными, делать нельзя. В конце концов вас не удивляет что «Σ((-1)n-1/n)=log(2)», а «Σ(1/(2n-1)-1/(4n-2)-1/(4n))=log(2)/2» притом, что в эти две суммы суммируют одни и те же элементы?
Это с потенциальными бесконечностями это делать нельзя, а с актуальными очень даже можно.
Меня удивляет где вы потеряли значок предела :-)
Я вам сейчас вообще мозг сломаю: существует биекция между всеми натуральными и всеми четными. Как, например, существует биекция между вещественной прямой и любым ее промежутком.
Вы построили биекцию между множеством и его подмножеством — это нормально. Не понятно какие на основании этого вы делаете выводы.
Дальше — тривиальные следствия из определений, на уровне силлогизмов.
Журавлёв… «Основы теоретической механики»
Весьма благодарен за наводку на эту книгу

А знаете, как программист 21-го века, привыкший видеть на экране разного рода деревья и диаграммы, я в этом нахожу что-то хорошее. По крайней мере, тут можно попробовать понять что где начинается и что где кончается. Может стоит развить такой язык?
Фреге заявлял, конечно, что «удобство наборщика в типографии определённо не есть высшее благо»,У нас уже давно вся вёрстка стала компьютерной, так что через столько лет он в чём-то прав. Вёрстку может делать сам автор как ему удобнее. А если что-то сложно сделать, например, при помощи LaTeX — то это, извините, проблема самого LaTeX.
Принятое сейчас обозначение импликации — →, прекрасно запоминается. Я когда впервые увидел A → B, так сразу понял, в что тут из A следует B, но не наоборот (да, я знаю, что импликация — это не совсем следование. и даже совсем не следование — но я сейчас говорю про интуитивность восприятия математического символа — а интуитивно импликация именно как следование и воспринимается).
Это обозначение можно и развернуть: B ← A. Хоть так обычно не пишут — но тут сразу понятно, что мы просто развернули стрелочку, а не сделали что-то более хитрое.
Обозначения Фреге же не дают такого понимания. Постоянно приходится напоминать себе: «причина — снизу», «причина — снизу», «причина — все еще снизу»… Единственное их достоинство — в них куда меньше скобок, чем в «строчных» формулах. Но заметьте: совсем без скобок обойтись Фреге не удалось!
Если и переходить к диаграммам, то лучше на основе все той же стрелочки. Ведь стрелочку можно развернуть в любом направлении, не только горизонтально — и задать ей любую длину.
Тогда A → (B → C) превратится во что-то вроде
B
A →↓
C
множество всех множеств, содержащих ровно один элемент
с которого всё начинается? Возможно, когда формулу писали, такой объект ещё был возможен, но сейчас-то? Ведь всем известно, что такой объект множеством не является.
И если у них есть операция «найти мощность множества», то что им мешало просто взять множество {{}} и найти его мощность? Или там принцип такой — ничего конструктивного, идём исключительно от универсума путём накладывания ограничений?
Оригинала я не читал, но представляю, о чем там могла идти речь (в переводе на русский с закорючечного):
и так, мы показали, что все вполне упорядоченные множества можно разбить на классы эквивалентности, каждому из которых сопоставлено ординальное число. В один из таких классов попадут все множества, состоящие из одного элемента. Число 1 — это и есть ординальное число, сопоставленное такому классу эквивалентности.
В таком виде формула рассуждения выглядят рационально. А если давать определение ординальному числу 1 — то, конечно же, надо либо определять его как ординал множества, состоящего из пустого — либо как ординал, следующий за ординалом пустого множества, если операция получения следующего ординала уже определена.
Я, кстати, не могу сходу сообразить, к какому противоречию приведёт его существование сейчас.
Существует множество одноэлементных множеств, в которое входят те и только те множества X, единственный элемент которых не содержит X в качестве элемента?
P.S. глубина статьи прямо пропорциональна бессонице автора вызванной отпечатком формулы на сетчатке :)
Теорема: счётное количество попарно различных точек на плоскости не может находиться на одной и той же прямой.
Доказательство: предположим обратное. Пусть у нас есть такое множество S. Поскольку его точки попарно различны, прямая, на которой они лежат, определяется единственным образом. Рассмотрим любую точку A, не принадлежащую этой прямой. Как известно, счётное множество не изменится, если добавить к нему ещё один элемент. Поэтому S U {A} = S. Однако множество S U {A} не лежит на одной прямой, значит, не лежит и S. Противоречие.
Звучит странно? Однако здесь используется тот же метод, что и в «антимонии» г-на vintage. Проблема в том, что он путает равномощность и равенство. Это простительно (т.е. формально некорректно, но не приводит к ложным выводам), пока элементы множеств «безлики». Однако как только они начинают участвовать в тех или иных отношениях, случается, выражаясь математическим языком, кирдык.
Упражнение для самостоятельной работы: докажите, используя «винтажный метод», что у множества натуральных чисел не существует несобственных подмножеств.
Я ничего не путаю, я лишь показываю (и со мной согласны более именитые математики, раз я для вас недостаточный авторитет, чтобы прислушиваться к моим аргументам), что Канторовская логика, основанная на актуальности бесконечности, приводит к полнейшим глупостям.
Ну и на последок цитата того самого «опального учёного», которому, я не сомневаюсь, вы бы с радостью слили карму, за «не следование курсу партии»:
Рассел, например, считал, что корнем всех «парадоксальных зол» является так называемая «самоприменимость» понятий и потому предложил запретить использование в математике таких логических конструкций, в которых нечто утверждается или отрицается относительно самих этих конструкций (логицизм).www.ccas.ru/alexzen/papers/vf2/vf2-rus.html
Брауэр отказался от использования закона исключенного третьего (интуиционизм), что, по образному, но очень точному выражению Гильберта равносильно тому, как если бы «боксерам запретили пользоваться на ринге кулаками».
Сам же Гильберт вообще предложил изгнать семантику-смысл из математических утверждений (формализм) и свести всю математику к «игре в символы» (мета-математика, претендующая на то, чтобы стать «единственно верной» теорией доказательства, и рассматривающая всю математику от Пифагора до наших дней как содержательную, неформальную, т.е. «наивную», и потому не отвечающую мета-математическим критериям строгости доказательств.).
Общим для всех этих «технологий», более похожих на грубое хирургической вмешательство, чем (по мягкому выражению Гильберта) на «лекарства против парадоксов», является готовность пожертвовать любой частью здорового тела математической науки, но не столько для избавления математики от парадоксов (см. ниже), сколько ради сохранения … теории трансфинитных чисел Г.Кантора, которая, например тому же Гильберту представлялась «заслуживающим удивления цветком математического духа и вообще одним из высших достижений чисто умственной деятельности человека». Хотя ни для кого и никогда не было секретом, что для «спасения» математического «Титаника» было достаточно «запретить» использование в математике актуальной бесконечности и «пожертвовать» именно теорией трансфинитных чисел Георга Кантора. Однако, никто из указанных (и неуказанных) выше борцов за дело, которое «выходит за пределы узких интересов специальных наук», не пожелал «покинуть рай, в который привел математиков Кантор, и удалиться в менее роскошные, но более надежные обиталища».
Но, как известно, не бывает правил без исключений, и в этом смысле, пожалуй, дальновиднее всех поступил Г.Вейль, который, по его собственному признанию все же решил удалиться в далекие от всяких парадоксов, более спокойные и надежные области математики. Примечательно, что примеру Вейля последовали 99% работающих математиков, т.е. таких математиков, чьи научные результаты, в конечном счете, являются доступными верификации «числом или экспериментом».
Ваш «парадокс» основан на том, что вы задаёте биекцию между множествами, а затем подменяете одно из них. «Ошибка» Кантора в глазах товарища Зенкина имеет ту же природу.
Я не утверждаю, что ZF, или ZFC, или ещё какой-нибудь, прости Господи, интуитивизм есть безусловное благо и безусловная истина. Однако стремление подвести под математическое знание максимально прочный базис я нахожу здоровым. И в вещах типа парадокса Банаха-Тарского, например, я ничего ужасного не вижу: если даже реальный, физический мир на низких или высоких уровнях ведёт себя контринтуитивно (квантовая механика, теория относительности), то миру математических абстракций это тем более простительно.
Вы с вашим Зенкиным предлагаете «пожертвовать» «теорией трансфинитных чисел»? Да пожалуйста. Подайте сюда альтернативную теорию, посмотрим, какова её доказательная сила и к каким парадоксам она приводит. Да, и уже существующий корпус математических текстов на язык новой теории не забудьте перевести.
ПРАВКА. Отображения для точки А в S не задано (его нет). Поэтому при добавлении точки А в S имеем новое множество. Теорема Кантора-Бернштейна. Множество S равномощно подмножеству S в S U A. Само множество S U A не равномощно никакому подмножеству из S. Множества неравномощны. Отображение должно быть биективным (взаимно-однозначным).
Противоречия нет. На самом деле у Вас задано биективное отображение между множеством S и множества точек, лежащих на прямой. Вы пытаетесь прикрутить то, чего отображением не отображается. (Грубо говоря, добавить к множеству натуральных чисел отрицательное, или рациональное число). Отображения точки, не лежащей на прямой, в точку множества S, даëт пустое множество. Добавив A в S a у Вас будет новое множество S U A, которое по-прежнему равномощно натуральному, но не равномощно исходному множеству, так как нет образа для точки А.
Про Бурали-Форти, Пуанкаре и то самое определение единицы