Comments 58
Математика остаётся непонятной для многих потому, что нам её объясняют люди, которые понимают её на интуитивном уровне, или, выражаясь более изящно, «на уровне интуитивных образов» [1-7 ≡ Л.1, с. 7]. Нам же, нематематикам, для того, чтобы что-то понять, надо это «что-то» увидеть не в абстрактном («интуитивном»), а в реальном, физически представимом пространстве
Очень давно натыкался на похожие объяснения для нематематиков (которые сам нашёл очень увлекательными и полезными) и услышал, почему учителя намеренно применяют такой подход. Это экономия времени. Банально помогаем тем, кто сам уже ухватил суть, а на других просто не хватит времени.
Оч хорошее расследование (оно же - расследование).
Математика остаётся непонятной для многих потому, что...
Тензорное исчисление остаётся тёмным делом, ибо его объясняют (преподают) 99,99% людей, которые его не используют, 99,99%-м людей, которые его использовать не будут. Так что же Вы хотите?
Кроме того, порядок овладения этим исчислением: векторная алгебра->аналитическая геометрия->дифференциальная геометрия->теория поля (очень желательна, чтобы закрепить предыдущие разделы)->исчисление в терминах тензоров. И никак иначе (ведь это обёртка над перечисленными аппаратами). Не многие пройдут этот марафон (либо увеселительную прогулку - это как посмотреть).
Например, некто С.Д.Пуассон имел следующее мнение по вопросу чем же украшается наша жизнь
А хороших книг с ясным объяснением по тензорному исчислению - есть. Вот несколько эталонных в Вашу копилку:
Рашевский П.К. Введение в риманову геометрию и тензорный анализ - 1936
Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления
Кильчевский Н.А. Элементы тензорного исчисления и его приложения к механике - 1954
Хатипов А.Э.-А. Основы тензорного исчисления и римановой геометрии - 1956
Каган В.Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении
Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ. С приложениями к геометрии, механике и физике. 1963
векторная алгебра->аналитическая геометрия->дифференциальная геометрия->теория поля (очень желательна, чтобы закрепить предыдущие разделы)->исчисление в терминах тензоров
Не посоветуете ли литературу для любознательного читателя, желающего пройти сей марафон самостоятельно?
Книги Рашевского будет почти достаточно для этого "марафона" (имхо)
Не просто посоветую, а мало того, сейчас делаю это курс, и выложу его на Хабр вместе с архивом соответствующих книг.
Как говорится: "подписывайтесь, читайте, плюсуйте" (или минусуйте - это уже по вкусу).
Математика и физика для простой и результативной учёбы (Серия: Сельскому учителю в помощь)
Пойду, займусь именно тем, что вы написали про 99.99%
Полностью поддерживаю, ибо в них вхожу!
Все публикации автора: https://vk.com/id608846425
Жесть что статья что комментарии. Над совершенно банальным понятием тензора умудрились все максимально усложнить и еще добавить завесу какой-то эзотерики. Тензор - чисто алгебраическое понятие и для его понимания совершенно не требуется дифференциальная геометрия. Достаточно минимальной линейной алгебры. Подумайте о том, что квадратичная форма в линейном векторном пространстве будет ковариантным тензором второго порядка. В частности это может быть метрический тензор, который в линейном пространстве будет постоянной величиной.
Да, в дифференциальной геометрии, особенно в римановой геометрии, и в соответствующей мат.физике, тензорный аппарат появляется естественным образом. Но утверждать, что для понимания понятия тензора надо сначала освоить дифференциальную геометрию - это бред. Тензоры самодостаточны без дифф. геометрии, как дифф. геометрия может обойтись без тензоров. Они объединяются в тензорном анализе, но мало ли где что и с кем объединяется. Для понимания понятия тензора нет необходимости знать дифф. геометрию. К вопросу о том, что почитать, на удивление в википедии очень хорошо все это изложено. Для начала определитесь что именно вам интересно - тензоры? это один трек. Дифф. геометрия - это другой трек. Мат физика и приложения - это третий трек. Книга Рашевского хороша, но не для понимания того что такое тензор. Эта книга о дифференциальной геометрии и тензоры там используются просто как аппарат.
Да, в дифференциальной геометрии, особенно в римановой геометрии, и в соответствующей мат.физике, тензорный аппарат появляется естественным образом.
Вот именно поэтому, через нее реально проще понимать откуда это берется и для чего оно нужно. Потому что на "квадратичная форма в линейном векторном пространстве будет ковариантным тензором второго порядка" есть закономерный вопрос - "И что?", тензор второго порядка, сепулька первого, какая польза-то с этого? Этот факт тут же забывается, если его не применить.
Я, например, понял тензоры именно когда решил накодить дифференциальной геометрии на питончике (а это, в свою очередь, мне было нужно чтобы разобраться в ОТО и написать ее симулятор).
Вы пришли к тензорам из дифф.геометрии. А тут пытаются объяснить само понятие тензора с нуля, без мотивации. Проще же это сделать на примере таких простых и известных всем объектов, как квадратичные формы (например, это и скалярное произведение, и площадь треугольника, образуемого двумя векторами) нежели лезть в анализ.
У кого-то хорошо развиты отделы мозга, отвечающие за символьные преобразования.
У кого-то - за геометрию, рисование и вот это всё.
В Бауманке нам давали тензоры в курсе линейной алгебры. Ну да, мы доказали какие-то теоремы, зазубрили и сдали какие-то свойства, ну и в общем всё. Когда пришлось считать эти самые тензоры на других предметах, это всё пришлось даже не вспоминать, а фактически осваивать заново. Потому что доказательства теорем на практике никому не нужны, а вот правила суммирования или там поднятия индексов очень даже.
И потом уже на дипломе я столкнулся с криволинейной геометрией и снова с тензорами, но теперь с точки зрения геометрии. Блин, насколько сразу стало всё понятно и естественно. Метрический тензор называется метрическим, потому что ... тадам! ... с его помощью измеряют длины кривых. У вас есть криволинейные координаты, а физические законы записаны для стандартных Евклидовых. Тадам! Вы подставляете в дифуры формулу сложной производной и бамц - вот у вас метрический тензор для первых производных и тензор кривизны для вторых. Атлас касательных расслоений, которого пугается автор в начале статьи, это вообще элементарщина...
И потом уже на дипломе я столкнулся с криволинейной геометрией и снова с тензорами, но теперь с точки зрения геометрии. Блин, насколько сразу стало всё понятно и естественно. Метрический тензор называется метрическим, потому что ... тадам! ... с его помощью измеряют длины кривых. У вас есть криволинейные координаты, а физические законы записаны для стандартных Евклидовых. Тадам! Вы подставляете в дифуры формулу сложной производной и бамц - вот у вас метрический тензор для первых производных и тензор кривизны для вторых. Атлас касательных расслоений, которого пугается автор в начале статьи, это вообще элементарщина...
Замечательный комментарий!
( @aldekotan , он заслуживает того, чтобы добавить его куском статьи, либо именно по изложенному @vanxant плану сделать вторую её часть: Тензоры в приложении к геометрии )
>Метрический тензор называется метрическим, потому что ... тадам! ... с его помощью измеряют длины кривых
Не длины, а углы. Чтобы измерять длины достаточно задать метрику, метрический тензор для этого не нужен.
Нет конечно. Для меня удивительно, что многие даже физики не знают смысла метрического тензора.
Допустим, у нас есть кривая L (прямые в криволинейном пространстве могут быть только случайно)
Мы режем нашу кривую L на малые кусочки dL
Умножаем на метрический тензор слева и справа (g dL g-1)
И берём интеграл по dL
Значением интеграла будет квадрат длины L
Можно обойтись без интегралов. Дело в том, что метрический тензор входит в формулу для интервала – этим всё сказано. Через него осуществляется расчёт кратчайшего расстояния между точками пространства (ds). Более подробно об этом см. п. 11 в списке литературы в обсуждаемой(?!) статье: https://habr.com/ru/articles/756604/
fujinon'у. Цель статьи сформулирована в названии. И это - не "попытка объяснить само понятие тензора с нуля". Наоборот, пару раз указано, что текст предполагает некоторое, хотя бы начальное, знакомство с тензорным исчислением.
Понятно, что никто даже не попытался прочитать текст далее преамбулы. Не надеюсь изменить ситуацию. Но тогда хотя бы обратите внимание на Приложение-2 в самом конце текста. Вдруг там содержится информация, содержательная с точки зрения разгоревшейся здесь дискуссии?
Как раз с точностью наоборот. Начав читать преамблу создалось впечатление, что статью можно закрывать. Эти опасения подтвердил и список литературы ("Тензорное исчисление для «чайников», Речкалов*, Ландаулифшиц, Википедия") и большое количество "учебных пособий" (которые, как показывает практика - очень сомнительное чтиво).
Однако почитав статью "вглубь" стало понятно, что это хорошая попытка осмыслить (понять) и объяснить понятие тензора. Победря (эталонное изложение) и Кочин в списке подтвердили это.
Но я настаиваю на таком подходе (это не к Вашей статье, а в принцие) https://habr.com/ru/articles/821319/comments/#comment_26935205 - потому что сначала следует на наглядной геометрии конкретных важных случаев объяснить действие (применение) того-либо иного тензора (что на входе? что на выходе?) - с этого начинают изучать любой математический объект, - а затем показать как его комбинируют.
Потому что, когда в одном случае вы кладёте в матрицу точки, во втором - геометрические векторы, в третьем - дифференциальные операторы - то есть объекты из разных областей математики, и даёте обобщённый аппарат манипулирования этими матрицами, то это просто алгоритм, который можно заучить, но понять либо самостоятельно применить - нельзя: ибо нужно досконально владеть перечисленными исчислениями и знать их примеры, чтобы видеть как в каждом из конкретных случаев действует это обобщение.
Если в математике не ясен "вход-выход" - дальше идёт тёмный лес.
И в 90% случаев объяснение должно даваться на наглядной геометрии, ибо упомянутые аппараты созданы для обсчёта параметров тел.
Ещё пример: можно заучить - но не понять алгебру над линейными пространствами - там аналогичный случай.
---------------
*очень неудачная книга. А вот вторая - Речкалов В.Г. Тензорный анализ для инженеров. 2018 - на порядок лучше.
MasterMentor’у.
1. Я в очередной (второй) раз настаиваю, утверждаю, провозглашаю, декларирую, что целью статьи не является «попытка осмыслить и объяснить понятие тензора». Напротив, хотя бы начальное понимание того, что такое тензор, предполагается изначально.
2. Тема статьи – выявить «физику»(!!) понятий контра- и ковариантности вектора/тензора. (Только это, ничего другого!). Формальное жонглирование индексами может освоить любой первокурсник, но речь именно о «физике». То, что ниже - не очень правильно с точки зрения научной этики, но, поскольку статью полностью, подозреваю, никто не прочитал, приходится перечислить основные её положения (для возбуждения хотя бы минимального интереса).
а). Последовательно изложена «физика» дуальной системы координат – её связь с основной системой и правила построения. (Кстати, огромное спасибо за это «Речкалову со звёздочкой». Вообще, я с уважением отношусь к любым авторам – они, совершенно точно, знают тензорное исчисление лучше меня). Для кого-то пункт (а) не открытие, но дело в том, что большинство авторов первоисточников его игнорируют или излагают мимоходом и без пояснений, а он - ключевой(!). Замечание. В самом начале статьи чётко указано, что её адресат – не «продвинутые», а «первоходы» в тензорном исчислении.
б). На простейших примерах показано, как строится и как выглядит дуальная система координат. Даны именно геометрические (следуя Вашей рекомендации) и физические иллюстрации, после которых, по моему мнению, вопросов остаться не должно.
в). Показаны «физические» отличия обычного вектора и ковектора (линейного функционала). Для последнего даны физическая и геометрическая интерпретации. (Опять: многие авторы-математики, те же ЛиЛ, эту «физику» игнорируют, оставаясь в рамках «беспощадно формальной» математики).
г). В связи с п. (в) констатировано, что формулы преобразования координат – не более чем формальные(!) критерии различения обычных векторов и ковекторов. Замечание. Как-то авторы не очень-то упоминают об этом формальном характере. Наоборот, они эти формулы «возводят в абсолют».
д). После пп. (а)-(г) непонятных вопросов по контра- и ковариантности векторов, но мой взгляд, остаться не должно.
г). Выявлена, причём математически, (опять же!) «физика» (а не формальные формулы) взаимной трансформации векторов: контра- и ковариантный векторы «естественно» представляются в «родных» для них системах координат, а суть трансформации сводится лишь к формальной процедуре расчёта компонент вектора в другой системе. (Может, я не прав, но авторы первоисточников как-то не акцентируют на этом внимание).
д). Ещё один вопрос по теме – смешанный тензор. По ходу дела показана сущность тензоров высших рангов (а она проистекает из их базиса). Вот тут, действительно, приходится сообщить некую информацию по тензорам вообще.
е). Со ссылкой на первоисточники (что характерно и для всего текста) вскрывается «физическая» сущность тензора смешанного типа и показано, почему он не может быть представлен графически. Полагаю, может быть, напрасно, что пп. (д) и (е) не излагаются «слишком подробно» студентам- физикам.
Резюме. Статья посвящена обсуждению частного, узкого вопроса тензорного исчисления. Она рассчитана на студентов-первокурсников. Автор ничего не придумал сам, он основывается на первоисточниках.
Извините за склонность к длинным и нудным
объяснениям. С уважением, dfreev.
Там в первых главах максимально понятно дается понятие тензора. Гораздо понятнее, чем в этой статье. Поэтому. считаю, что это лучшая книга по данной теме для введения в предметную область. Это вообще хороший и понятный учебник.
>А трансформация его компонент из ковариантных Аi в контравариантные Аi
Ну вот это ключевой момент вашего непонимания, из которого следует все остальное. У вектора нет ковариантных или контравариантных координат, вектор и ковектор - это объекты из разныж линейных пространств, и ни какие внутренние преобразования не могут сделать из вектора A_i вектор A^i. А, ну и самое главное - векторы не являются тензорами.
Согласен почти со всем, кроме "векторы не являются тензорами" - как раз являются, простейшими.
Согласен почти со всем, кроме "векторы не являются тензорами" - как раз являются, простейшими.
Нет, не являются. Тензор над V над k - это, по определению, полилинейная форма на нескольких копиях V и V* в k. Вектор - это элемент V, тензор ранга (0, 1) - линейная форма на V, элемент V*, ковектор. А вот тензор (1, 0) - это линейная форма на V*, элемент V**, "коковектор". Штука в том, что в конечномерном случае V, V* и V** все изоморфны, при этом вдобавок в V** преобразование координат такое же как в V, поэтому мы их отождествляем. Но это разные объекты. И в бесконечномерном случае, например, в V** могут быть элементы, которым в соответствие ни каких V не сопоставится. Поэтому тензор (1, 0) ранга и вектор - вещи разные.
Одну и ту же физическую величину можно представлять разными математическими объектами - в данном случае вектором и ковектором (из-за того что, как указано выше, соответствующие пространства канонически изоморфны для случаев конечной размерности, а они нас и волнуют). А вот у самого вектора ни каких "разных координат" быть не может. Так что все в порядке у Ландау.
Потому что на "квадратичная форма в линейном векторном пространстве будет ковариантным тензором второго порядка"
тензор (0, 2) ранга - это _по определению_ билинейная форма. Оно не по какой-то причине, а потому что мы так объявили.
А, если вы о векторе из V - то да, правда. Но, кстати, в пространствах с неметричностью векторы и ковекторы - это принципиально разные физическик величины. Потому неметричность и не популярна у физиков :)
По моему не слишком авторитетному мнению. Относительно Ландау и Лифшица: всё-таки они говорят об одной и той же(!) векторной(!) величине. Так что, прямой смысл их цитаты противоречит Вашей трактовке. Однако в тексте автор не ограничивается этой цитатой, а для большей убедительности подкрепляет утверждение Ландау и Лифшица ещё одной цитатой: «Всякий вектор А может быть разложен как по векторам основного базиса (тогда компоненты его разложения являются контравариантными), так и по векторам дуального базиса (с ковариантными компонентами)», и далее приводятся соответствующие формулы разложений [Победря, с. 15]. Но дело не в Победре, а в том, что последняя цитата почти дословно повторяется всеми авторами, которые пишут на обсуждаемую тему. И ещё (без обид!). Было бы печально, если бы Вы оказались правы, и вектор в самом деле не является тензором: в этом случае придётся переписывать все до единой книги по тензорному исчислению, потому как в них утверждается обратное. Пожелание: похоже, никто не прочитал эту длинную и нудную статью до конца. Не хотите стать первым? С учетом Вашей квалификации Вы могли бы написать действительно содержательную рецензию.
О "математической строгости"
@Kergan88 не просто прав, а абсолютно прав:
V, V* и V** все изоморфны, при этом вдобавок в V** преобразование координат такое же как в V, поэтому мы их отождествляем. Но это разные объекты.
И разговор здесь о "математической строгости".
При таком подходе, не исключено, могут пострадать присущие математике строгость доказательств и общность выводов. Зато будут торжествовать обычная логика и здравый смысл.
Нужно знать что такое "строгость", как и где её применять. Километры текста на алгебраистике - это не математическакая строгость, это как раз её отсутствие.
Найпервейшая задача и правило примнения "математической строгости" - не допустить поломки логики.
А в приводимых Вами источниках - логика ломается с первых же абзацев. Поэтому, далее - начинаются "танцы с бубном", которые можно "принять" (т.е. заучить и использовать) либо не принять, но понять нельзя. Там аллогизмы.
Пример:
Начнем с поля действительных чисел R и построим?! над ним векторное пространство размерностью 1. В таком тривиальном векторном пространстве каждый вектор можно идентифицировать с числом. Поэтому 4, например - одновременно скаляр и вектор
Ну, конечно, вектор нельзя идинтифицировать с числом. Расхождение на уровне аксиоматики.
По определению в "число" (оно же количество) - первично кладут аксиоматику "совокупность объектов, мыслимых как целое". А с вектором сложнее
Вектор — понятие, определяемое в разных разделах математики различно.
Арифметический "вектор" - по определению многокомпонентная конструкция, геометрический "вектор" - геометрический образ у которого есть длина и направление. Уже отсюда видно, что "отождествить" ни число, ни вектор арифметический, ни вектор геометричекий - нельзя. А что можно? Построить (если это возможно) взаимно однозначное (биективное) отображение над объектами, "собранными" в разных аксиоматиках (и далее, если необходимо - изоморфизм(ы)). Тогда да, все три указанных аппарата будут взаимозаменяемы: можно "перебрасывать" объекты "туда-сюда" между биективно увязанными "пространствами".
Если логика в объяснении летит - всё, это уже не объяснение.
Поэтому, надеюсь, Вы понимаете, почему писать "4, например - одновременно скаляр и вектор" - это катастрофа, особенно в образовании. Ученику в голову закачивают такой "флотский борщ", в котором уже "плавают обломки кораблекрушения" его карьеры.
Этим получают "математика" сродни "физику" у которого "электрон - это частица и волна одновременно". (Электрон - это не частица, и не волна. Просто в одних случаях этот природный объект отображают одной абстрактной матмоделью, в других - другой. Поэтому нет здесь никакого будоражащего умы "квантово-волнового дуализма".)
***
А ещё геометрические вектора бывают свободные и связанные.
Связанный вектор или направленный отрезок — упорядоченная пара точек евклидова пространства.
Свободный вектор — класс эквивалентности направленных отрезков. Иногда вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество). Так, говорят о «свободных» (когда отождествляются все равные по длине и направлению направленные отрезки, считаясь полностью равными или одним и тем же вектором), «скользящих» (отождествляются между собой все направленные отрезки, равные в смысле свободных векторов, начала и концы которых расположены на одной прямой) и «фиксированных» векторах (по сути дела, просто о направленных отрезках, когда разное начало означает уже неравенство векторов).
То есть даже "векторов" - "зоопарк", и каждый - требует отдельного с ним обращения. И этого не избежать: попробуйте в "линейной алгебе" сложить вектора либо числа. Это невозможно: хоть есть много книг по "линейной алгебре", самой "линейной алгебры" нет. И вектор, и число - складывают в собственной алгебре, а "линейная алгебра" - это надстройка над множеством алгебр; конструкция, в которой операции объявлены, но не определены (на этом строится данное обобщение). Суть - охарактеризовать свойства операций алгебраических систем, попадающих в категорию "линейных". То есть установить их некоторое общее поведение (аналог в программировании: базовый класс со списком функций, которые не определены, но заданы некоторые их свойства, например арность, и классы-реализаторы (наследники) каждый по-своему реализующий эти функции).
Поэтому с составной математикой следует работать бережно, чётко разграничивая и отслеживая каждый аппарат (то есть разные аксиоматики), и (биективные) скачки (переходы) от одного к другому по ходу повествования. Равно как и входы-выходы отображений (о чем писал ранее). Иначе логика - летит моментально.
PS А статья у Вас хорошая (я её и карму сразу заплюсовал после прочтения, наверное, это что-то значит :) ).
PPS По Речкалову - он сам прямо во вступлении пишет, что первая книга у него - неудачна
Я не знал, что между двумя моими книгами пройдет так много лет. Воз можно, если бы я писал первую книгу сейчас, я бы многое в ней изменил. Но что сделано, то сделано и у меня нет времени возвращаться к пройденному
и далее:
Определение тензора есть суть, основа, сущность, альфа и омега тензорной теории. Я в своем изложении буду придерживаться определения, которое приводится в книге П. К. Рашевского, которое, как мне кажется, наиболее полно отражает суть этого понятия.
Это к тому, что я, как говорят в народе, "от балды" ничего не пишу.
*
"Арифметический вектор" - полагаю, все догадались, что алгебраический. :)
В общем и целом я, насколько сумел разобраться, согласен с Вашими тезисами. Но хотел бы высказать некоторые замечания.
1. Цитата: «В приводимых Вами источниках логика ломается с первых же абзацев». Из каждого первоисточника я брал только то, что мне было необходимо (и что считал верным), и не более того. Например, я, так же как и Вы, не согласен с отождествлением числа и вектора, но почему не процитировать из того же источника верный и важный тезис? Если бы не привёл ссылку, получилось бы, что я присвоил себе чужую мысль, а это гораздо хуже, чем грех отождествления числа и вектора. То же самое и с Речкаловым: суть дуального базиса лучше и понятнее него, по моим сведениям, никто не объяснил, а мне от него только этого и было надо. Кроме того, мы же не знаем, какие претензии имел в виду Речкалов, критикуя свою книгу: может, он имел в виду неудачную систему обозначений, и только? Вряд ли он в ней что-то «наврал».
2. Полностью согласен с Вами, что понятие вектора можно трактовать по-разному – как алгебраический («три/четыре числа» в физике) или геометрический объект («направленный отрезок», в частности, в механике). Но эти трактовки не отменяют друг друга, более того, они в равной степени продуктивны в рамках векторного или координатного подхода. По-моему, та или иная трактовка вектора определяется степенью абстрагирования от реальности. Вы изначально в рамках решаемой задачи принимаете ту трактовку, которая вам удобнее, понимая, что она не является единственно верной.
3. Мне кажется, местами Вы совершенно напрасно высказываете крайние(!) точки зрения. Примеры: «линейной алгебры нет»; поскольку электрон не частица и не волна, то «нет никакого квантово-волнового дуализма». Это не значит, что эти утверждения не имеют под собой оснований, но их крайность заведомо делает их уязвимыми для критики(!) и может загнать в тупик догматизма.
Научные факты объективны. Но они могут быть истолкованы и описаны не одним способом. (Хотя эта неоднозначность как раз не объективна, она отражает степень нашего незнания). Например, по Фейнману, волновая функция электрона – результат интегрирования по всем возможным траекториям его движения, и с этой точки зрения электрон всё-таки волна(!) и математически описывается как волна. Подобных примеров, между прочим, не мало. Во времена Эйнштейна считалось, что в релятивистской области масса движущегося объекта стремится к бесконечности («релятивистская» масса), теперь же большинство физиков склоняется к тому, что масса не зависит от скорости («инвариантная» масса). Источник противоречия – различная трактовка уравнения для энергии движущегося тела. (В своё время об этом много писал физик Окунь). Но это не означает, что Эйнштейн был не прав. Современная трактовка массы отнюдь не отменяет старую, просто она (сейчас!) признана… более удобной, что ли. Это очень разумно со стороны нынешних физиков: ещё не известно, какой трактовки будут придерживаться их потомки.
Одним словом, я не против Ваших оценок (тем более, что электрон по современным представлениям это, действительно, неизвестно что), но, как кажется, твёрдо отстаивая свои принципы, логично оставить себе «люфт» – смягчить формулировки, признав право на существование других трактовок. В общем, наверное, не стоит спешить признавать квантово-волновой дуализм лженаукой.
Относительно "Вашего непонимания". Конечно, текст длинный, вероятно поэтому Вы не удосужились дочитать до того места, где приведена цитата из Ландау и Лифшица: «Одна и та же векторная физическая величина может быть представлена как в контра-, так и в ковариантных компонентах». Так что, Вы обнаружили непонимание не у меня, а у Ландау с Лифшицем.
А объясните на пальцах для чайника - что такое тензор? Это типа многомерная матрица с какими-то доп.прикольчиками внутри?
Это набор данных, которые удобно обрабатывать в матрице. Вот тут по-моему весьма неплохо обьяснено:
Краткое введение в тензоры https://habr.com/p/261563/
Техническое!
Замечание по оформлению статей (не только к автору, но ко всем авторам и администрации Хабра):
Мне тут Хабр включил тёмную тему. Я не против. НО! Рассматривать чёрные формулы на темно-сером фоне не очень комфортно, мягко говоря.
Картинки с белым фоном - тоже не очень комфортно - выбиваются из оформления, но их хотя бы можно прочитать, не всматриваясь. Это много лучше, но всё равно плохо
Надо что-то с этим делать!
По дважды встречающимся индексам (в данном случае по k), согласно правилу Эйнштейна, производится суммирование, то есть, каждой хʹi (слева) в правой части соответствует не единственная комбинация величин, а сумма трёх однотипных комбинаций.
Именно об такие вещи начинаешь"спотыкаться" изучая тензорные вычесления. Это лишние абстракции, которых можно было и избежать, таких как опускания знаков суммы. И преждевременные упрощения в записи, которые ухудшают понимание на ранних этапах изучения...
А я всегда считал что понятие тензора исторически выросло из описания напряжённо-деформированного состояния твердых тел (см. тензор напряжений и тензор деформаций) и только потом превратилось в самодостаточную математическую абстракцию, к которой можно привязывать разные физические смыслы (например, модели жидкости, электромагнитного поля и т.д.) или не привязывать его вовсе (математика самодостаточна и может, но не обязана иметь привязку к какому либо физическому смыслу).
Или я ошибаюсь?
Нет, не ошибаетесь. Физики тут были первыми.
Первыми были механики. Эйнштейн стал изучать тензорное исчисление и геометрию Римана только по "наводке" Гильберта - математика. В статье первенство механиков обосновывается, и достаточно убедительно - со ссылками на первоисточники.
Острая для меня тема: абстрактность математики - палка о двух концах. С одной стороны хорошо что математика развивается как универсальный самодостаточный инструмент, не ограниченный узкими прикладными задачами.
А с другой стороны, когда в задаче из естественных наук (физики, сопромата, биологии и т.д.) применяется математическое моделирование, то уже на этапе математической постановки задачи физический смысл сильно ограничивается и здесь нужно быть очень внимательным и аккуратным чтобы не потерять важные нюансы, а то и полностью утратить связь математической модели с физической реальностью.
Затем следуют абстрактные математические операции (интегрирование, дифференцирование, матричные операции и т.д.) в которых связь с физическим смыслом отсутствует полностью. Увидеть хоть какие-то проблески физического смысла в промежуточных вычислениях задача крайне нетривиальная и обычно никто этим заниматься даже не пытается. И это ещё одно место где математическая модель, сохраняя свою восхитительную математическую строгость, запросто может уплыть очень далеко от моделируемого реального объекта.
Наконец, после завершения математического моделирования, появляется возможность как-то проассоциировать полученный результат с физическим смыслом, но тут опять требуется большая аккуратность, а то нынче модно писать в естественно научных диссертациях фразы типа “достоверность исследования подтверждается строгостью применяемого математического аппарата” - простите, но математическая строгость и физическая (любая естественно научная) достоверность - это вообще из разных реальностей и связать их можно только очень аккуратным отслеживанием и экспериментальными проверками.
Подход - “заложу-ка я как-нибудь (уж как смогу, так заложу) в сложную, не понятно (мне) как работающую программу исходные данные, программа мне что-то там смоделирует, а я этому безоговорочно поверю” появился не с развитием современных моделирующих программ, а значительно раньше, просто до распространения компьютеров роль этих “непонятных” программ выполнял не менее абстрактный и сложный для детального понимания математический аппарат.
Планирую к написанию серию статей с конкретными примерами по этой теме, возможно и здесь их тоже размещу.
Пошло, но точно: вектор — столбец, ковектор — строка. В пространстве Минковского пространственным компонентам ковектора выдать по бесплатному минусу! И всё. Заткнись и считай без вот этой "эстетики" с расслоениями.
Относительно «заткнись и считай». Компоненты метрического тензора gik равны скалярному произведению базисных векторов (см. обсуждаемый текст, формулы (7) и (8)). В СТО на главной диагонали имеем: gik=ei∙ei. Косинус угла между ei и ei равен +1. Объясните неучу: как при этом может возникнуть минус? (Только не надо ссылаться на формулу интервала, это здесь не при чём – суть изложена в предыдущих строках). Честно признаюсь, я не знаю ответа, поэтому заранее благодарен за содержательное объяснение.
как при этом может возникнуть минус?
Дело в том, что правильнее не "компоненты метрического тензора gik равны скалярному произведению базисных векторов", а "скалярное произведение базисных векторов равно компонентам метрического тензора". Именно метрический тензор первичен - до того как мы его задали, то и нет вообще у нас ни какого скалярного произведения. А когда задали - то скалярное произведение базисных векторов _по определению_ становится равным соответствующим компонентам метрического тензора. Поэтому если стоит там -1 на главной диагонали - ну, значит, и (ei, ei) для этого i будет -1, потому что мы так его определили.
Что до косинусов - ну да, в псевдоевклидовом пространстве метрический тензор уже не задает метрику и не позволяет корректно определять косинусы углов, разве что только внутри светового конуса.
Вроде, разобрался (спасибо Kergan88!).
1. В НЕортогональном базисе евклидова пространства скалярное произведение включает метрический тензор: А∙B=gikAi∙Bi. Пример приведён в начале обсуждаемого текста.
2. В псевдоевклидовом пространстве СТО всё то же самое, но теперь матрица gik на главной диагонали содержит не только +1, но и -1. Это означает расширение понятия скалярного произведения, теперь оно называется индефинитным и в нём перед парами компонент (сомножителей) стоят не только «+», но и «-».
3. В пространстве СТО скалярное произведение ei∙ek (включая ei∙ei) теперь имеет индефинитную форму, так что наличие минусов в этой формуле и минусов в матрице метрического тензора не противоречат друг другу.
4. Непонятно только, как теперь должна выглядеть формула gik=еi∙еk? Ведь, исходя из сказанного, она должна быть такой: gik = gikеi∙еk – ??
5. А вот насчёт углов не соглашусь: в пространстве СТО углы определяются корректно, только косинус там гиперболический.
1.Оно всегда и в любом базисе включает, просто когда тензор единичный мы его для удобства опускаем. Более того - пока метрический тензор не задан, то у вас даже нету ни каких "ортогональных базисов")
На самом деле, мы просто берем какой-то произвольный базис и объявляем "вот в этом базисе метрический тензор имеет вид единичной матрицы" - и бац! в этот момент данный базис становится ортонормированным)
4.в первом выражении А∙B=gikAi∙Bi Ai и Bi это вектора (и g_ik на самом деле g^ik), а слева стоит скаляр. во втором выражении gik=еi∙еk ei и ek это матрицы, а слева тензор. т.е. если расписать полностью, в корректной форме, то: g_ik = g^lm e_il e_km
5.как я выше указал - только если угол целиком внутри светового конуса (ну или целиком снаружи). для произвольного угла уже все, карета превращается в тыкву
На самом деле, мы просто берем какой-то произвольный базис и объявляем "вот в этом базисе метрический тензор имеет вид единичной матрицы" - и бац! в этот момент данный базис становится ортонормированным)
Не совсем произвольный. Нормировка-то да, произвольна, а вот с углами, т.е. ортогональностью в произвольном базисе так может и не получится. Базисные вектора всё же должны быть независимыми.
Kergan’у88.
4. Как-то не могу согласиться с Вашим п. 4. Ведь ei и ek это базисные векторы, а Вы их превратили в тензоры 2-го ранга.
5. По п. 5 у нас с Вами согласие.
6. Не по поводу, а вообще. Вот чем меня бесит тензорное исчисление, так это тем, что у всех специалистов разное мнение и они никак не могут между собой договориться. И так фактически по любому вопросу. Причём учили-то всех одинаково, набор знаний стандартизован, а вот понимание оказалось разным. Почему в других разделах математики нет такого разнобоя? По моему мнению, дело в крайней заформализованности(!) тензорного исчисления. Стремление всё записать в краткой индексной форме напрочь скрывает физическую(!) суть, а она есть, и при нормальном изложении она проявляется. Знание тензорного исчисления сводится к умению жонглировать индексами. Проверочный вопрос: многие ли смогут толково объяснить «физику» такого ключевого понятия, как свёртка? И при этом не переругаться между собой.
4.я же указал - если это вектора, то слева у вас будет скаляр, а не метрический тензор
6.нет ни какого разного мнения. у _математиков_ нет разного мнения, потому что оно одно. у _нематематиков_ (отправляя туда физиков и большую часть математиков-прикладников) мнения просто нет. происходит так из-за того, что нематиматикам просто не дают пререквезиты для изучения ТИ, но при этом им надо давать само ТИ.
Здесь ситуация как со школьной математикой в 10-11 классе - там дается дифференциальное и интегральное исчисление, даются всякие формулы, в итоге ученик может это все как-то применять, считать производные и интегралы, решать задачи вроде "под углом альфа из пушки выпустили ядро блаблабла", но при этом ученик не знает и знать не может сущности понятий, с которыми работает, - просто потому, что для этого надо знать теорию пределов, а теорию пределов в школе не дают.
Вот и с ТИ так - по сути, практически все книжки по ТИ это вот та самая математика за 10-11 класс, где людям, которые заведомо не обладают достаточными знаниями и подготовкой в области алгебры, пытаются "на пальцах" излагать напевы рабиновича. С понятным результатом.
Проверочный вопрос: многие ли смогут толково объяснить «физику» такого ключевого понятия, как свёртка?
а где со сверткой могут возникнуть проблемы? тут надо просто идти по порядку:
вот у нас есть вектор х и ковектор у. Т.к. ковектор - это функция над векторами, которая возвращает скаляр, то мы можем просто одно к другому применить и получить скаляр, т.е свертка это просто y(x).
теперь умножим тензорно этот вектор на ковектор, мы получили тензор ранг (1, 1). тогда его свертка пусть будет равна свертке соответствующих вектора и ковектора
так мы определили свертку на тензорах (1, 1) - но не на всех, ведь не любой такой тензор раскладывается в произведение вектора и ковектора. однако, благодаря определенным математическим соображением мы можем (преимущественно в силу линейности) эту частично определенную операцию единственным образом продолжить на все тензора (1, 1)
теперь, когда мы умеем сворачивать все тензора (1, 1) мы можем сворачивать и все тензора более высокого ранга, рассматривая их как полилинейные формы и каррируя.
таким образом свертка - это просто продолжение естественно определенной операции применения ковектора к вектору на всю тензорную алгебру.
у всех специалистов разное мнение и они никак не могут между собой договориться.
Это более походит на стихийное собрание крестьян, нежели на научный метод. Усомнился бы в знаниях таких "специалистов".
учили-то всех одинаково, набор знаний стандартизован, а вот понимание оказалось разным
Нет. На примере нынешней системы образования: есть образование для бедных, есть - для богатых: разные цели, разные знания, разные затраты, разные учителя.
многие ли смогут толково объяснить «физику» такого ключевого понятия, как свёртка? И при этом не переругаться между собой
Не многие. Только "те, кому надо". Но так с многой математикой. Плохо это, либо хорошо, но так есть.
Дочитал. Уфф. Выводы:
1) Изученное 30+ лет назад надёжно забыто;
2) Хорошо, что я не пошёл в математики;
3) Всё-таки жаль, что не пошёл в ядерщики;
4) Вот за это "компьютер, машина эта тупая, но трудолюбивая" Вам, возможно, придётся ответить в недалёком будущем. Я бы, на всякий случай, не употреблял более таких оборотов.
О контра- и ковариантных тензорах