Лизе Пиччирильо (Lisa Piccirillo) потребовалось меньше недели, чтобы ответить на давний вопрос о странном узле, обнаруженном более полувека назад легендарным Джоном Конвеем.
Летом 2018 года на конференции по низкоразмерной топологии и геометрии Лиза Пиччирилло услышала о милой маленькой математической задачке. Это было похоже на хорошую испытательную площадку для некоторых методов, которые она разрабатывала, будучи аспиранткой в Техасском университете в Остине.
“Я не позволяла себе работать над этим днем, — сказала она, — потому что не считала это настоящей математикой. Я думала, что это была моя домашняя работа.»
Вопрос заключается в том, является ли узел Конвея — рычаг, открытый более полувека назад легендарным математиком Джоном Хортоном Конвеем, — кусочком узла более высокого измерения. «Срезанность» — это один из первых естественных вопросов, которые теоретики узлов задают об узлах в пространствах с более высокими измерениями, и математики смогли ответить на него для всех тысяч узлов с 12 или менее пересечениями, за исключением одного. Узел Конвея, который имеет 11 пересечений, десятилетиями дразнил математиков.
Решение проблемы узла Конвея, предложенное Лизой Пиччирилло, помогло ей получить постоянную должность в Массачусетском технологическом институте.
Не прошло и недели, как у Пиччирильо уже был ответ: узел Конвея — это не «срез». Несколько дней спустя она встретилась с Кэмерон Гордон (Cameron Gordon), профессором Университета Остина, и мимоходом упомянула о своем решении.
«Что?! Это же прямо сейчас попадет в анналы!» — Сказал Гордон, имея в виду «Анналы математики», один из лучших журналов по этой дисциплине.
Он начал кричать: «Почему ты не прыгаешь от радости?» — рассказывает Пиччирильо, ныне аспирант Университета Брандейса. «Он даже немного пугал.»
«Я не думаю, что она поняла, какая это старая и знаменитая проблема», — сказал Гордон.
Доказательство Пиккирильо появилось в «Анналах математики» в феврале. Эта статья в сочетании с другими ее работами обеспечила ей постоянное предложение о работе в Массачусетском технологическом институте, которое начнется 1 июля, всего через 14 месяцев после того, как она закончит свою докторскую степень.
Вопрос о срезанности узла Конвея был известен не только из-за того, как долго он оставался нерешенным. Срезы узлов дают математикам возможность исследовать странную природу четырехмерного пространства, в котором двумерные сферы могут быть завязаны узлом, иногда таким скомканным образом, что их невозможно сгладить. По словам Чарльза Ливингстона (Charles Livingston), почетного профессора Индианского университета, срезанность «прямо сейчас связана с некоторыми из самых глубоких вопросов в четырехмерной топологии».
«Этот вопрос, является ли узел Конвея срезом, был своего рода пробой для многих современных разработок в общей области теории узлов», — сказал Джошуа Грин (Joshua Greene) из Бостонского колледжа, который курировал выпускную диссертацию Пикчирилло в ее студенческие годы. «Мне было очень приятно видеть, как кто-то, кого я знал так долго, внезапно вытащил меч из камня.»
Магический шар
В то время как большинство из нас думают, что узел существует в куске струны с двумя концами, математики думают, что эти два конца соединены, поэтому узел не может распутаться. За последнее столетие эти узловые циклы помогли осветить разные тематики от квантовой физики до структуры ДНК, а также топологии трехмерного пространства.
Джон Конвей (John Conway) в 1990 году объяснял, как в средней школе он показал, почему два узла не могут уравновесить друг друга.
Но наш мир четырехмерен, если мы включаем время как измерение, поэтому естественно спросить, существует ли соответствующая теория узлов в 4D пространстве. Речь идет не только о том, чтобы взять все узлы, которые мы имеем в трехмерном пространстве, и погрузить их в 4D-пространство: с четырьмя измерениями для перемещения по кругу любая узловатая петля может быть распутана, если нити перемещаются друг над другом в четвертом измерении.
Чтобы сделать узловатый объект в четырехмерном пространстве, вам нужна двумерная сфера, а не одномерная петля. Точно так же, как три измерения предоставляют достаточно места для построения узловатых петель, но недостаточно места для их распутывания, четыре измерения обеспечивают такую среду для узловатых сфер, которые математики впервые построили в 1920-х годах.
Трудно визуализировать узловатую сферу в 4D пространстве, но это помогает сначала подумать об обычной сфере в 3D пространстве. Если вы прорежете его насквозь, то увидите незакрепленную петлю. Но когда вы разрезаете узловатую сферу в пространстве 4D, вы можете увидеть вместо нее узловатую петлю (или, возможно, неузнаваемую петлю или звено из нескольких петель, в зависимости от того, где вы режете). Любой узел, который вы можете сделать, разрезав узловатую сферу, называется «срез». Некоторые узлы не являются срезанными, например, трехпереходный узел, известный как трилистник.
Срезанные узлы «обеспечивают мост между трехмерными и четырехмерными историями теории узлов» — сказал Грин.
Но есть морщинка, которая придает богатство и своеобразие четырехмерной истории: в топологии 4D есть две разные версии того, что значит быть срезанным. В серии революционных разработок в начале 1980-х годов (которые принесли медали Майклу Фридману (Michael Freedman) и Саймону Дональдсону Филдсу) математики обнаружили, что пространство 4D содержит не только гладкие сферы, которые мы интуитивно визуализируем, но и сферы настолько всепроникающе смятые, что их никогда нельзя было гладить гладко. Вопрос о том, какие узлы являются срезом, зависит от того, решите ли вы включить эти скомканные сферы.
«Это очень, очень странные предметы, которые вроде как существуют с помощью магии», — сказала Шелли Харви (Shelly Harvey) из Университета Райса. (Именно на выступлении Харви в 2018 году Пикчирилло впервые узнала о проблеме узла Конвея.)
Эти странные сферы — не ошибка четырехмерной топологии, а особенность. Узлы, которые являются «топологически срезанными», но не «гладко срезанными» — то есть они являются срезом какой-то смятой сферы, но не гладкой, — позволяют математикам строить так называемые «экзотические» версии обычного четырехмерного пространства. Эти копии четырехмерного пространства выглядят так же, как и нормальное пространство с топологической точки зрения, но безвозвратно смяты. Существование этих экзотических пространств отличает четвертое измерение от всех других измерений.
Вопрос о гладкости-это «самый низкоразмерный датчик» этих экзотических четырехмерных пространств, сказал Грин.
На протяжении многих лет математики обнаружили целый ряд узлов, которые были топологически, но не гладко срезаны. Однако среди узлов с 12 или менее пересечениями, похоже, не было ни одного — за исключением, возможно, узла Конвея. Математики могли вычислить состояние среза всех остальных узлов с 12 или менее пересечениями, но узел Конвея ускользал от них.
Конвей, который умер от COVID-19 в прошлом месяце, был известен тем, что делал влиятельные вклады в одну область математики за другой. Он впервые заинтересовался узлами в подростковом возрасте в 1950-х годах и придумал простой способ перечислить практически все узлы до 11 пересечений (предыдущие полные списки доходили только до 10 пересечений).
В списке был один узел, который выделялся. «Конвей, я думаю, понял, что в этом было что-то совершенно особенное», — сказал Грин.
Узел Конвея, как его стали называть, является топологически срезанным — математики поняли это на фоне революционных открытий 1980-х годов, но они не могли понять, является ли он гладко срезанным. Они подозревали, что это не так, потому что ему, казалось, не хватало функции под названием «ребристость», которую обычно имеют гладко нарезанные узлы. Но у него также была особенность, которая делала его невосприимчивым к любой попытке показать, что он не был гладко срезан.
А именно, у узла Конвея есть своего рода родственник — так называемый мутант. Если вы нарисуете узел Конвея на бумаге, вырежете определенную часть бумаги, перевернете фрагмент и затем соедините его свободные концы, вы получите еще один узел, известный как узел Киношита-Терасака.
Беда в том, что этот новый узел оказался гладко срезанным. И поскольку узел Конвея так тесно связан с узлом гладкого среза, ему удается обмануть все инструменты (называемые инвариантами), которые математики используют для обнаружения узлов без среза.
«Всякий раз, когда появляется новый инвариант, мы пытаемся проверить его на узле Конвея, — сказал Грин — Это просто один упрямый пример, который, кажется, независимо от того, какой инвариант вы придумаете, не скажет вам, является ли это срезом или нет».
Узел Конвея «находится на пересечении слепых зон» этих различных инструментов, рассказала Пиччирильо.
Один математик, Марк Хьюз (Mark Hughes) из Университета Бригама Янга, создал нейронную сеть, которая использует инварианты узлов и другую информацию для предсказания таких характеристик, как срезанность. Для большинства узлов сеть делает четкие прогнозы. Но какова его догадка о том, является ли узел Конвея гладко срезанным? Пятьдесят на пятьдесят.
«Со временем он превратился в узел, с которым мы не могли справиться», — сказал Ливингстон.
Умные Перипетии
Пиккирильо наслаждается визуальной интуицией, которую влечет за собой теория узлов, но она не думает о себе в первую очередь как о теоретике узлов. «Это действительно [трехмерные и четырехмерные формы], которые волнуют меня, но изучение этих вещей глубоко связано с теорией узлов, поэтому я тоже немного занимаюсь этим», — написала она в электронном письме.
«Когда она впервые начала изучать математику в колледже, она не выделялась как “стандартный золотой ребенок-математический вундеркинд”», — сказала Элисенда Григсби (Elisenda Grigsby), один из профессоров Пиччирилло в Бостонском колледже. Скорее всего, именно творчество Пиччирилло привлекло внимание Григсби. «Она очень верила в свою точку зрения и это всегда было так».
Пиккирильо столкнулась с вопросом об узле Конвея в то время, когда она размышляла о другом способе связи двух узлов, помимо мутации. Каждый узел имеет соответствующую четырехмерную форму, называемую его следом, который создается путем размещения узла на границе 4D-шара и пришивания к нему своего рода колпачка вдоль узла. След узла «кодирует этот узел очень сильно», — заметил Гордон.
Один из бывших профессоров Пиччирилло назвал творчество — одной из ее основных сильных сторон как математика.
Разные узлы могут иметь один и тот же четырехмерный след, и математики уже знали, что эти братья-близнецы следа, так сказать, всегда имеют один и тот же статус среза — либо они оба среза, либо оба не среза. Но Пикчирилло и Эллисон Миллер, ныне аспирант Райс, показали, что эти следовые братья и сестры не обязательно выглядят одинаково для всех инвариантов узлов, используемых для изучения гладкости.
Это указало Пикчирилло на стратегию доказательства того, что узел Конвея не является срезом: если бы она могла построить следовое родство для узла Конвея, возможно, он сотрудничал бы с одним из инвариантов среза лучше, чем узел Конвея.
Создание следовых братьев и сестер-дело сложное, но Пиччирильо была настоящим экспертом. «Это всего лишь моя профессия, — сказала она. — Так что я просто пошла домой и сделала это».
Благодаря комбинации хитроумных поворотов, Пиккирильо удалось построить сложный узел, который имеет тот же след, что и узел Конвея. Для этого узла инструмент, называемый s-инвариантом Расмуссена, показывает, что он не является гладким срезом — так что узел Конвея не может быть ни тем, ни другим.
«Это действительно прекрасное доказательство» — сказал Гордон. По его словам, не было никаких оснований ожидать, что узел, построенный Пикчирильо, уступит s-инварианту Расмуссена. «Но это сработало… как-то удивительно».
Доказательство Пиккирильо «вписывается в форму коротких, удивительных доказательств неуловимых результатов, которые исследователи в этой области способны быстро усваивать, восхищаться и стремиться обобщить — не говоря уже о том, чтобы удивляться, как это заняло так много времени», — написал Грин в электронном письме.
«Следы узлов — это классический инструмент, который существует уже несколько десятилетий, но который Пикчирилло понимал глубже, чем кто-либо другой» восхищается Грин — «Ее работа показала топологам, что следы узлов недооцениваются. Она подобрала какие-то инструменты, на которых, возможно, немного запылились. Другие сейчас следуют его примеру».
Узнайте подробности, как получить востребованную профессию с нуля или Level Up по навыкам и зарплате, пройдя онлайн-курсы SkillFactory:
- Курс «Профессия Data Scientist» (24 месяца)
- Курс «Профессия Data Analyst» (18 месяцев)
- Курс «Python для веб-разработки» (9 месяцев)