Модель Блэка-Шоулза: формула, которая изменила фондовый рынок

    Удивительно, насколько существование человечества зависит от математики, если одна простенькая формула может породить мировой финансовый кризис.



    BBC опубликовал статью о формуле, которая изменила фондовый рынок и виновата в нынешнем финансовом кризисе. Речь идёт о модели Блэка-Шоулза, которая используется для оценки деривативов и собственного капитала финансовых компаний.

    Математическая модель Блэка-Шоулза, представленная в 70-е годы, породила к жизни новую финансовую систему, основанную на торговле опционами, фьючерсами и деривативами. В этой новой системе не было ничего от старых классических фондовых рынков. Феноменальный успех и широкое распространение формулы привело к тому, что Майрон Шоулз получил Нобелевскую премию по экономике в 1997 году «за новый метод определения стоимости производных ценных бумаг».

    Вообще говоря, первые фьючерсы начали применяться в торговле в 17 веке, на японской рисовой бирже. Трейдеры тогда начали заключать фьючерсные сделки, то есть устанавливать цену на товар, поставка которого состоится в будущем.

    К 20 веку на американских товарных биржах были в ходу уже не только фьючерсы, но и опционы — такая же договорённость о цене на будущее, но без обязательства осуществлять покупку. Опционы покупали для «страховки» от резкого повышения цены. Со временем у трейдеров возникло желание перепродавать эти опционы, что было затруднительно, ведь никто не мог ответить на вопрос: сколько же стоят эти бумаги?

    Например, сколько стоит годовой опцион на покупку риса по $100 в начале года, когда цена риса составляет $90, или за месяц до окончания срока действия опциона, когда цена риса составляет те же $90? Неизвестно. Здесь появилась на свет революционная модель Блэка-Шоулза, в которой учитывается волатильность рынка.

    Цена опциона call:
    где





    Цена опциона put:


    — текущая стоимость опциона call в момент t до истечения срока опциона;
    — текущая цена базисной акции;
    — вероятность того, что отклонение будет меньше в условиях стандартного нормального распределения;
    — цена исполнения опциона;
    — безрисковая процентная ставка;
    — время до истечения срока опциона (период опциона);
    — волатильность (квадратный корень из дисперсии) базисной акции.

    Профессор финансов Стэнфордского университета Майрон Шоулз был увлечён финансами с детства. Ещё маленьким он уговорил маму открыть счёт, чтобы он мог торговать на фондовом рынке. В 27 лет он получил должность в МТИ и вместе со своим коллегой Фишером Блэком (Fischer Black) всерьёз взялся за головоломку определения цен на опционы. Как уже было упомянуто, ключом к разгадке стал учёт прямо в формуле предела волатильности рынков.

    Майрон Шоулзм говорит, что через год-полтора работы над формулой они видели элементы опционов во всех объектах окружающего мира.

    К удивлению самих авторов, модель Блэка-Шоулза стала использоваться повсеместно: в 2007 году объём торговли деривативами в мире превысил 1 квардриллион долларов, что в десять раз превышает стоимость товаров, произведённых за всю историю человеческой цивилизации. Чем всё закончилось — хорошо известно.

    Непредвиденное изменение волательности рынков привело к неприятным последствиям для финансовых рынков. Сейчас некоторые эксперты называют эту математическую модель «опасным изобретением», которое излишне упростило такую сложную вещь как оценка активов. Кризис 1998 года показал, что сильное изменение волатильности случается чаще, чем предполагалось, и поэтому все активы придётся переоценивать с новыми коэффициентами. Грубо говоря, раздувшийся пузырь мировой экономики нужно съёжить обратно, пусть это даже означает длительную рецессию для развитых стран. А всё из-за излишне упрощенной математической модели.

    Кстати, хэдж-фонд самого Ноулза Long-Term Capital Management развалился ещё в сентябре 1998 года, менее через год после получения им Нобелевской премии. Четыре миллиарда долларов фонд потерял в России, вступив в финансовую пирамиду ГКО, которую построило российское правительство.
    Support the author
    Share post

    Comments 65

      +29
      Есть огромное число формул, изменивших мир. Начать составление этого списка можно с геометрии.
        +24
        Это как обвинять Ньютона во всех смертях от упавшего сверху кирпича.
          +21
          Согласен. Как финансист по образованию я могу очень много чего сказать про эту формулу))

          Ну для начала, это только «лизнули» оценку производных инуструментов. Там еще всякие дельты, гаммы, теты, которые оценивают sensitivity инструмента на те или иные факторы (цена базисного актива, волатильность, время, производные цен, волатильности и т.д.).

          Что самое интересное, на реальном рынке ОНА НЕ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ! Каждый дилинг рум (там где сидят дьдьки за блумберг терминалами и управляют финансами банка) каждый банк пользуется своей, IN HOUSE MODEL. И эти модели в десятки раз сложнее BS.

          Как правило там уже идет игра на лептокуртозе и третьей производной :)
          Этим занимаются, в банках где есть свой дилинг рум. Это по сути банки в Лондоне. Редкий банк имеет полный дилинг рум, если нет, обращаются в банк в городе на букву «Л». И с этими моделями работают как правило люди с титулом PhD in physics. Очень часто из Индии :)

          Потом, беря in house model, высчитывая всякие там показатели, они их «переводят» в показатели black scholes и подписывают соглашение. Тоесть на самом деле black scholes, сейчас, на сегодн. день, является «прокладкой», «протоколом общения» между разными банками.

          Это модель которую все знают, которую все понимают. Поэтому вот про нее говорят много. Но мало кто знает (я вам вот рассказал) что на практике все еще интересней.

          Ну а вообще, модель отличная. Только там одно допущение (assumption) подвело.
          Допущение, о нормальном распределении всего и вся :)

          Чуть чуть ошиблись. Не то допущения. Нечаяно раздолбали экономику всей планеты. С кем не бывает? :)
          Вот такие вот они, эти допущения. Осторожней надо как бы.
          • UFO just landed and posted this here
              +2
              Central Limit Theorem прекрасна. Я не раз публично высказывал свое восхищение этим феноменом :)
              Однако Life is brutal!!!

              Позвольте ответить на ваш вопрос цитатой из одной отличнейшей книги.
              The Big Short, by M. Lewis.
              Многие говорили что они привидели «кризис». Типа Рубини. Их сотни. Но были люди, которые на этом криизисе заработали. Много. Очень много. Так что много что аж иногда страшно представить.

              Цитата (прошу прощения за длинну):
              What happened next led them, almost by accident, to the unusual approach to financial markets that would soon make them rich. In the six months following the news of its troubles with the Federal Reserve and the Office of Thrift Supervision, Capital One's stock traded in a narrow band around $30 a share. That stability obviously masked a deep uncertainty. Thirty dollars a share was clearly not the «right» price for Capital One. The company was either a fraud, in which case the stock was probably worth zero, or the company was as honest as it appeared to Charlie and Jamie, in which case the stock was worth around $60 a share. Jamie Mai had just read You Can Be a Stock Market Genius, the book by Joel Greenblatt, the same fellow who had staked Mike Burry to his hedge fund. […]

              There were times, Greenblatt explained, when it made more sense to buy options on a stock than the stock itself. This, in Greenblatt's world of value investors, counted as heresy. […]. Greenblatt's simple point: When the value of a stock so obviously turned on some upcoming event whose date was known (a merger date, for instance, or a court date), the value investor could in good conscience employ options to express his views. It gave Jamie an idea: Buy a long-term option to buy the stock of Capital One. «It was kind of like, Wow, we have a view: This common stock looks interesting. But, Holy shit, look at the prices of these options!»

              The right to buy Capital One's shares for $40 at any time in the next two and a half years cost a bit more than $3. That made no sense. Capital One's problems with regulators would be resolved, or not, in the next few months. When they were, the stock would either collapse to zero or jump to $60. Looking into it a bit, Jamie found that the model used by Wall Street to price LEAPs, the Black-Scholes option pricing model, made some strange assumptions. For instance, it assumed a normal, bell-shaped distribution for future stock prices. If Capital One was trading at $30 a share, the model assumed that, over the next two years, the stock was more likely to get to $35 a share than to $40, and more likely to get to $40 a share than to $45, and so on. This assumption made sense only to those who knew nothing about the company. In this case the model was total y missing the point: When Capital One stock moved, as it surely would, it was more likely to move by a lot than by a little. […]

              Cornwall Capital Management quickly bought 8,000 LEAPs. Their potential losses were limited to the $26,000 they paid for their option to buy the stock. Their potential gains were theoretical y unlimited. Soon after Cornwall Capital laid their chips on the table, Capital One was vindicated by its regulators, its stock price shot up, and Cornwall Capital's $26,000 option position was worth $526,000. «We were pretty fired up,» says Charlie.

              «We couldn't believe people would selll us these long-term options so cheaply,» said Jamie. «We went looking for more long-dated options.»


              * LEAP — Считайте это за опцию call, на покупку акций.

              Кратко: Была компания, которая долгое время стоила 30 баксов на рынке. Но тут пришел суд и тут 2 варианта исхода. Либо она выиграет дело и будет стоит 60 баксов. Либо проиграет и ей все. 0 баксов.
              Согласно модели BS такое «невозможно».

                0
                Как только я увидел заголовок статьи, тут же вспомнил про указанное место из указанной книги :)
                Книга действительно прекрасна.
                  0
                  Да там вся книга про это :)
                0
                Плохо то, что центральная предельная теорема требует независимость случайных величин (или по крайней мере слабую зависимость). Назвать цены в разные периоды времени на один инструмент независимыми случайными величинами — слишком большое допущение.
                +1
                Даже профессор из Стенфорда допускает ошибки в assumption'ах, хаааа :)) Я ликую! Я из-за этого «assumption» в модели, Microecon 202 заново перездавал. Препод не щадил за такие грубые ошибки :) А шуму то сколько было — пол класса на перездачу :))
                Из этой истории мораль: У тебя нет прав на ошибку, если только ты не профессор из Стэнфорда.
                Ну а вообще, не верю я в эти незначительные ошибки в допущениях и в этот междусобойчик гениальнейших мира сего под названием «Нобелевская премия» тоже не верю. Грамотно кружанули весь мир. Вот как это называется. Сейчас выйдет очередной «умник», исправит модель, и кружанут мир еще раз. Им это не впервой. Вообще, мне кажется, что у нас мир благодаря таким людям и кружится.
                  0
                  Не боги горшки обжигают.

                  Это не просто ошибка. Это экзистенциальная, мировоззренческая ошибка.
                  Отсутствие аппарата, знаний, умений для создания моделей, которые бы более адекватно описывали наш мир. Увы, гордиев узел зависимостей, рисков, процессов настолько силен, что «приручить» его статическим распределением, увы, не представляется возможным.
                    0
                    Ну так об этом и речь. Эта мировоззренческая ошибка лежит в самой сути мэйнстримной экономики. Об этой ошибке мы не сегодня узнали, мы знали о ней всегда. Тем не менее мы продолжаем попытки подсчитать то, что подсчету не поддается.

                    > Не боги горшки обжигают
                    Ваша мировоззренческая ошибка в том, что, во-первых, не боги, а Бог. Во-вторых, все же, все в этом мире происходит по воле божьей. Как образованный человек готовы ли вы поменять свое мировоззрение на новое? Скорее всего нет. Так и с экономикой. Мы создаем модели объясняющие этот мир, но в то же время признаем, что не обладаем достаточными знаниями чтобы построить эту модель. Но это не значит, что нельзя следовать этой модели. Это не ваши слова. Этой позиции придерживались и придерживаются апологеты мейнстримной экономики. Да ладно, что тут говорить.
                      +1
                      >Ваша мировоззренческая ошибка в том

                      спасибо доктор.
                    +1
                    У любой модели есть допущения и следовательно область применимости, об этом никогда не надо забывать.
                +25
                Формула виновата, да.
                  +8
                  На костёр её!
                    +8
                    Отрубить ей голову!
                      +3
                      Запретить её.
                        0
                        Отменить ее!
                          +5
                          Отменить ее действие на территории Российской Федерации!
                            +1
                            Желающие использовать формулу должны подать заявление в местный горсовет за 2 недели до даты предполагаемого использования.
                    +1
                    Дело было не в машине, долб**б сидел в кабине :)
                    +11
                    Главная особенность всех существующих экономических моделей заключается в том, что модели моделями, а ещё и головой нужно думать.
                      0
                      Головой думают те, кто эти модели создает, а остальные, преклоняясь перед гениальностью этих создателей, с этими моделями соглашаются. Таких большинство. Те же, кто понимает суть модели и способен предвидеть к чему эта модель приведет, не могут ничего исправить. На них просто не обращают внимания. Им остается только дожить до результата, чтобы сказать: «Я ведь предупреждал».
                      Вообще, зацикленность экономической мысли на математических формулах это отдельная тема. Сегодня если ты не можешь математически доказать свою модель, то ее вообще не рассматривают. Даже если эта модель имеет право на существование ее рубят под корень в самом начале.
                        0
                        Это неправда. Опровержений полно. Раз мы в теме кризиса, возьмем модель Minsky. В оригинале там было сколько? 5 шажков, 6 страниц текста и ни одной формулы.
                      +7
                      Как формула породила мировой финансовый кризис? Как мне кажется, это глупость, с учетом того, что кризис изначально был вообще кризисом ликвидности. Виновата не формула, а методы управления рисками. И фонд Шоулза развалился не от этой формулы, а из-за неверного регулирования рисков, в частности модельного.
                        +1
                        Потому что ликвидность появилась как раз из-за того, что все делали ставки на знание стоимости фьючерсов и других дериватитов, считая все по этой формуле, что давало им смелости покупать их еще больше. А ликвидность — это когда можно продать все, что вы напокупали. Ну если все ломануться продавать, а продают все вообще говоря воздух, то понятное дело, что рано или поздно балаган накроется медным тазом.

                        Вот классика на эту тему: www.avanturist.org/blog/post/28
                          +2
                          Ликвидность — это не просто продать все, что напокупали, а быстро продать. Множество банков рухнули из-за того, что им не хватило ликвидных активов, а их не хватило из-за того, что риски считали не верно, а это уже модельный риск. Как сказали выше, что головой надо думать, формула здесь не виновата. Про балаган и медный таз согласен, но судя по размерам таза, настоящий кризис нас еще только ждет, т.к. в 2008 были цветочки.
                            0
                            И вы тоже в заблуждении.
                            > изис изначально был вообще кризисом ликвидности

                            Это заблуждение.
                            Но даже если и так.

                            То откуда этот кризис ликвидности взялся? ;)
                              0
                              Видимо в заблуждении не только я, но и ряд ученых и практиков с именем (навскидку King, P. and Tarbert, H. (2011) Basel III: an overview. Banking and Financial Policy Report, но такиех много). Откуда взялся — это мы знаем, толчком послужило падение цен на недвижимость, а точнее subprime mortgages (по-русски наверное субстандартные ипотеки) и махинации с рейтингами на CDS. Из этого начали раздувать панику, и вот, простые смертные начали судорожно снимать кэш, более мелкие участники рынка не могли получить быстро межбанковские кредиты от крупных игроков (у которых деньги по началу были). В итоге дай некоторым участникам рынка денег, все бы обошлось. Да, я немного утрирую, т.к. невозможно представить столь быструю реакцию правительств и сговорчивость крупнейших игроков, но хотя бы урон системе был не такой сильный. Это не кризис ликвидности?
                                0
                                Ну это уже вопрос определения :)

                                Давайне остановися просто на том, что это был кризис у которого был каскад причин и каждая искра зажигала другую искру. Тоесть кризис на недвиге вызвал кризис ликвидности, что в свою очередь переросло в фин. кризис, который триггернул экономический кризис, который купируется бюджетными средствами, что вызывает бюджетный кризис и де факто дефляцию/стагнацию и т.д.

                                Просто говорить про «изначально» слегка некорректно (:
                                  0
                                  Ну ясно, что сам по себе кризис ликвидности не появится. Хорошо, остановимся:)
                                    0
                                    Пожонглировали словами и хватит :)
                        +11
                        Четыре миллиарда долларов фонд потерял в России, вступив в финансовую пирамиду ГКО

                        ХА! Вот лох!

                        А если серьезно, то математика экономики очень забавна. В каждом учебнике можно встретить такие забавные формулы, как A = B+C, C=X/Y, X=Z — (M+N) => B = A — (Z — M — N)/Y. Как бы и не поспоришь, но все это присыпается терминами «собственная стоимость», «маржа спроса», «номинальный вычет» — и полчучается книга в 600 страниц от доктора наук.

                        Потом появляются люди, которые берут формулу, вставляют туда «вероятность отклонения», «дисперсию базисной акции», и остальные, начитавшись экономических учебников построенных по вышуказанному прицинципу и похоже не обладая пониманием матаппарата, с какого-то рожна считают эти параметры формулы постоянными. И случается «ВНЕЗАПНО».
                          +11
                          Квинтэссенция желтизны.
                            +4
                            А все потому, что люди непонимающие математику, видят в ней «волшебную палочку», способную решить их проблемы.
                              +3
                              Причём всё то же самое они видят в физике, химии, медицине, информационных технологиях и биотехнологиях.
                                0
                                И даже в живописи и литературе.
                                  +3
                                  Ага, а еще в гаданиях и херомантии
                                    0
                                    «херомантия» )))))
                              • UFO just landed and posted this here
                                  +2
                                  Ну принципе это и есть формула опциона. Первый компонент это ставка безриского актива (бонда). Второй компонент и есть цена акции.
                                  А в реальности формула работает только на безарбитражном рынке, где действия индивидуума не влияют на поведение рынка. В случае опционного рынка в кризисной ситуации это не так, в связи с тем, что слишком много участников рынка действуют единообразно в соответствии с формулой.
                                    +4
                                    идею репликации pay-off опциона при помощи портфеля из бонда и некоторого количества акций. При помощи данной идеи можно прайсить любые деривативы

                                    Я ни слова не понял, честно говоря.
                                    • UFO just landed and posted this here
                                        0
                                        спасибо за разъяснение. Так немного понятнее.
                                      0
                                      > а за идею репликации pay-off опциона при помощи портфеля из бонда и некоторого количества акций. При помощи данной идеи можно прайсить любые деривативы.
                                      > выплаты по опциону можно повторить, составив портфель из двух других финансовых инструмент

                                      А я вот ничего не понял. Вы похоже влажное с мягким перепутали.

                                      То о чем вы говорите это… как ее… Put call parity.
                                      Которая говорит, что можно построить из комбинации инструментов одинаковый профиль выплат.
                                      Сейчас нарисую:
                                      www.dropbox.com/s/0kusoigmzsgz3yd/2012-04-30%2023.29.33.jpg

                                      То о чем вы говорите, это просто:
                                      Put+Stock=Call+Bond.

                                      Так что вы тоже промазали ;)
                                      • UFO just landed and posted this here
                                          0
                                          Ну на счет безрискового вы загнули. В ситуации, когда портфель содержит акции он не является безрисковым. А моделей построения портфеля для выплаты опциона много, практически столько-же сколько статистических методов оценки :)
                                          Конечно БШ получили свою премию не только за одну формулу, особенно если учесть, что формула это 70ые, а премия конец 90. Как достаточно часто с премиями, получают за вклад в данную область, а не за конкретную работу. Обычно есть что-то очень новое (в нашем случае формула), а потом на этом разрабатывается много разных вещей (как например хеджирование опционной выплаты).
                                          • UFO just landed and posted this here
                                            0
                                            Бррр… Вы имеете ввиду Delta hedge?
                                            • UFO just landed and posted this here
                                              • UFO just landed and posted this here
                                                  0
                                                  Желанием не изгораю. Но проверить и что-то добавить/подправить могу. Стучите)
                                          +3
                                          «в десять раз превышает стоимость товаров, произведённых за всю историю человеческой цивилизации.»

                                          Как они оценили цену топора неандертальца и пирамиды фараонов?! Все вокруг становиться желтым! Дайте мне мои фиолетовые очки! :)
                                            0
                                            А давайте лучше обвиним в нынешнем, а заодно и во всех предыдущих, Кондратьева.
                                            И, конечно, Маркса.
                                              –2
                                              image
                                              • UFO just landed and posted this here
                                                  +2
                                                  Есть куда более фундаментальная теорема Мадильяни-Миллера, по которой никакие экономические параметры не имеют особого значения для экономики, а имеют исключительно — психологические.
                                                  Т.е. вся экономика лежит исключительно в плоскости «управления ожиданиями».
                                                  0
                                                  Формулы-формулы… Все это очень часто нужно заумным дядькам, чтобы оправдять свое существование. В конечном итоге все своидится купил подешевле — продал подороже. И все.
                                                    0
                                                    А я наивно надеялся на фразу в статье аля «а если вместо -r использовать -sqrt® то формула заработает правильно». И финансового кризиса не будет! И все заживут счастливо!

                                                    Не то что бы я верил в то, что это возможно, просто промелькнула такая мысль пока открывался хабракат.
                                                      –3
                                                      ну почему??? почему все опустились от кризиса к математике. Если вы подумаете, то поймете, что некоторые процессы реального мира, возможно описать математикой(формулами) лишь с большой погрешностью. Вспомните геометрию. Вспомните аксиому, того что через две точки можно провести лишь одну прямую. а потом вспомните геометрию Римана.
                                                      Я к тому что, для описание некоторые процессов до сих пор не хватает мат. базы. Ведь математика возникла для счета единиц товаров, а лишь потом люди с Phd начали ее использовать для моделирования экономических процессов.
                                                      • UFO just landed and posted this here
                                                          +1
                                                          извините, ошибся.

                                                          Геометрия Римана — одна из 3 великих геометрий (Евклида, Лобачевского и Римана). Если Геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой Гауссовой кривизной, Лобачевского — с постоянной отрицательной, то геометрия Римана — реализуется на поверхностях с постоянной положительной Гауссовой кривизной. В геометрии Римана прямая определяется двумя точками, плоскость — тремя, две плоскости пересекаются по прямой и т. д., но через данную точку нельзя провести к прямой ни одной параллельной. В частности, в этой геометрии имеется теорема: сумма углов треугольника больше двух прямых.
                                                          Исторически геометрия Римана появилась позже других двоих геометрий (в 1854 г.)
                                                          Геометрия Римана похожа на сферическую геометрию, но отличается тем, что любые две «прямые» имеют не две, как в сферической, а только одну точку пересечения. Поэтому иногда геометрией Римана называют геометрию на сфере, в которой противоположные точки отождествлены; таким образом из сферы получается проективная плоскость. Названа в честь великого Римана — блестящего немецкого математика, основателя математического аппарата современной физики.
                                                          ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0
                                                        0
                                                        Лучше бы он изобрел способ заставить мирным способом всех этих биржевых спекулянтов заняться чем-то действительно полезным.
                                                          0
                                                          Шоулз сказал, что когда он разорился, его фонд не использовал формулу!

                                                          Only users with full accounts can post comments. Log in, please.