Пьер Ферма утверждал, что:
Как же подойти к доказательству этого утверждения Ферма?
(картинка для привлечения внимания)
Представим себе, что мы нашли или построили прямоугольный треугольник со следующими сторонами: катеты —
, 
и гипотенузой 
где (p, q, k, n) — числа натуральные. Тогда по теореме Пифагора получим 
или 
. Таким образом, если мы найдем или построим такой треугольник, то мы опровергнем Ферма. Если же мы докажем, что такой треугольник не существует, то мы докажем теорему.
Так как в утверждении речь идёт о натуральных числах, то найдем, чему равняется разность квадратов двух нечетных натуральных чисел. Т.е. решим уравнение
. Для этого построим прямоугольные треугольники, гипотенуза которых равна 
, а катет равен 
, где 
и (a > b). Тогда по теореме Пифагора можно вычислить второй катет по формуле (1), или 
(2). Мы получили, что стороны этих треугольников равны 
и 
. Таким образом, мы можем перебрать все пары чисел a и b из натурального множества (назовем эти числа “генераторами” данного тождества) и получить все возможные треугольники с заданными свойствами , . Докажем необходимость данного решения. Перепишем (1) в виде 
. Так как Z и Y нечетные числа, значит можно написать ( Z — Y ) = 2b и (Z + Y )=2a. Решая их относительно Z и Y, получим Z = (a + b) и Y = (a — b). Тогда можно записать, что X = 4ab и, подставляя эти значения в (1), получим .
Чтобы избежать получения подобных треугольников, и, учитывая, что Z и Y — нечетные числа по условию, числа a и b должны быть взаимно простыми и разной четности. Далее будем считать, что четным является число a. Для того, чтобы упорядочить распределение прямоугольных треугольников в множестве натуральных чисел N, поступим следующим образом: из этого множества вычтем все числа, которые являются четными степенями натуральных чисел. Обозначим это множество
, где n — натуральное число. Затем из оставшихся натуральных чисел вычтем все числа, которые являются нечетными (≥3) степенями натуральных чисел и обозначим множество этих чисел как 
. Оставшиеся натуральные числа составят множество, числа которого есть натуральные числа в первой степени. Обозначим это множество 
. Очевидно, соединение этих 3-х множеств есть множество натуральных чисел, или 
. Множество представим как ряд = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17,………}. Представим множества и в виде рядов. Тогда множество будет представлять собой матрицу, состоящую из бесконечного числа строк, каждая строка будет состоять из чисел ряда , возведенных в степень 2n, а n — есть номер строки. Так первая строка состоит из квадратов всех чисел ряда , вторая строка состоит из 4-х степеней этих чисел и т.д. Рассмотрим множество , которое будет представлять собой матрицу, состоящую из бесконечного числа строк, каждая строка которой будет состоять из чисел ряда , возведенных в степень 2n+1. (n — есть номер строки). Так первая строка этой матрицы состоит из кубов чисел ряда , вторая строка состоит из чисел ряда в пятой степени и т.д. Рассмотрим множество . Т.к. 
, то примем тот же алгоритм построения треугольников (см. выше). Найдем «генераторы» тождества, Это будут числа 
, где 
, составим тождество: 
(3), мы получили множество прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами. Здесь 
— гипотенуза, 
— катет и 
— второй катет. Для опровержения утверждения Ферма нужно, чтобы стороны X, Y, Z искомого треугольника равнялись 
(4). Где (p, q, k, n) — натуральные числа. По теореме Пифагора будем иметь 
или 
и утверждение Ферма будет опровергнуто. Из тождества видно, что 
. Рассмотрим последнее равенство 
, в этом равенстве «p» ни при каких значениях «a и b» 
не будет натуральным числом, если 
. Это означает, что в рассмотренном множестве треугольников не существует ни одного треугольника с искомыми сторонами (4).
Теперь рассмотрим множество. Обозначим (2n+1) как «m», тогда во множестве 
получим прямоугольные треугольники, описываемые тождеством 
(6). Если мы сможем построить прямоугольный треугольник X, Y, Z со сторонами 
(7), где 
, то мы опровергнем утверждение Ферма, т.к. по теореме Пифагора 
и (p, q и k) — натуральные числа. Надо, чтобы 
. Рассматривая последнее равенство заметим, что «p» не может быть натуральным числом ни при каких значениях «a и b», , если 
. Значит и в этом множестве треугольников не существует ни одного треугольника с искомыми сторонами (7).
Однако из вышесказанного видно, что все доказательство сводится к анализу числа 
, где «
» при любых натуральных «a и b» не будет натуральным числом в степени «m/2». Или же 
(8) при тех же условиях не будет натуральным числом в степени «m». Из доказательства видно, что «генераторами» тождества (6) являются числа «
» из ряда Но, анализируя (8), можно подставить вместо «
» число 
. Так как есть четное число, (см.Примечание), то — натуральное число. После подстановки его в (8) получим 
, то есть натуральные числа в степени «m». Совершив вышеуказанную подстановку в тождество (6), и, обозначив через 
, получим следующее тождество: 
. Мы получили множество прямоугольных треугольников со сторонами 
. Если ( k,q, p) — натуральные числа в нечетной степени, т.е. 
где r — любое нечетное число, а 
. Чтобы опровергнуть Ферма нужно, чтобы: 
В последнем равенстве при любых натуральных a и b, 
— числа натуральные, но первые два равенства невозможны, так как, если «m и r» любые нечетные числа, то 
— иррациональные числа, а числа в скобках — числа натуральные. Если же (k,q, p) — натуральные числа в четной степени, т.е. 
, то мы получим следующие равенства 
(5). В данном варианте последнее равенство невозможно, т.к. извлекая корень m степени из обеих частей равенства получим 
, т.е. в скобках иррациональное число, а 
— натуральное. Это значит, что и в этом множестве не найдено «нужного» треугольника. А это значит, что для любых нечетных «m» утверждение Ферма верно, а значит, верно, для всех простых показателей «m ≥ 3».
Остается найти доказательство теоремы для четных показателей. Из (5) следует, что, если в каноническом разложении четного показателя степени есть нечетное простое число, то утверждение Ферма для этой степени верно. Очевидно, что этому условию отвечают все четные числа, кроме числа «4» и чисел кратных четырем, т.е. 8, 16, 32, 64 … и т.д. В разложении этих чисел есть только простое число 2. Поэтому вышеприведенное доказательство не дает ответа для этих степеней.
Значит остается доказать теорему для «n = 4». Можно предположить, что у Ферма было общее доказательство, но не полное. Может быть, поэтому он и не записал свое доказательство. И только через несколько лет, создав свой метод «бесконечного или неопределенного спуска», он доказал, что не существует прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами, у которого площадь равнялась бы квадрату натурального числа. После этого доказательство теоремы для «n = 4» не составило труда. Это доказательство Ферма записал. И теорема оказалась доказанной полностью.
невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два биквадрата и вообще невозможно разложить какую-либо степень, большую чем два, на две степени с таким же показателем.
Как же подойти к доказательству этого утверждения Ферма?
(картинка для привлечения внимания)
Представим себе, что мы нашли или построили прямоугольный треугольник со следующими сторонами: катеты —
, и гипотенузой где (p, q, k, n) — числа натуральные. Тогда по теореме Пифагора получим или . Таким образом, если мы найдем или построим такой треугольник, то мы опровергнем Ферма. Если же мы докажем, что такой треугольник не существует, то мы докажем теорему.Так как в утверждении речь идёт о натуральных числах, то найдем, чему равняется разность квадратов двух нечетных натуральных чисел. Т.е. решим уравнение
. Для этого построим прямоугольные треугольники, гипотенуза которых равна , а катет равен , где и (a > b). Тогда по теореме Пифагора можно вычислить второй катет по формуле (1), или (2). Мы получили, что стороны этих треугольников равны и . Таким образом, мы можем перебрать все пары чисел a и b из натурального множества (назовем эти числа “генераторами” данного тождества) и получить все возможные треугольники с заданными свойствами , . Докажем необходимость данного решения. Перепишем (1) в виде . Так как Z и Y нечетные числа, значит можно написать ( Z — Y ) = 2b и (Z + Y )=2a. Решая их относительно Z и Y, получим Z = (a + b) и Y = (a — b). Тогда можно записать, что X = 4ab и, подставляя эти значения в (1), получим .Примечание
Чтобы избежать получения подобных треугольников, и, учитывая, что Z и Y — нечетные числа по условию, числа a и b должны быть взаимно простыми и разной четности. Далее будем считать, что четным является число a. Для того, чтобы упорядочить распределение прямоугольных треугольников в множестве натуральных чисел N, поступим следующим образом: из этого множества вычтем все числа, которые являются четными степенями натуральных чисел. Обозначим это множество
, где n — натуральное число. Затем из оставшихся натуральных чисел вычтем все числа, которые являются нечетными (≥3) степенями натуральных чисел и обозначим множество этих чисел как . Оставшиеся натуральные числа составят множество, числа которого есть натуральные числа в первой степени. Обозначим это множество . Очевидно, соединение этих 3-х множеств есть множество натуральных чисел, или . Множество представим как ряд = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17,………}. Представим множества и в виде рядов. Тогда множество будет представлять собой матрицу, состоящую из бесконечного числа строк, каждая строка будет состоять из чисел ряда , возведенных в степень 2n, а n — есть номер строки. Так первая строка состоит из квадратов всех чисел ряда , вторая строка состоит из 4-х степеней этих чисел и т.д. Рассмотрим множество , которое будет представлять собой матрицу, состоящую из бесконечного числа строк, каждая строка которой будет состоять из чисел ряда , возведенных в степень 2n+1. (n — есть номер строки). Так первая строка этой матрицы состоит из кубов чисел ряда , вторая строка состоит из чисел ряда в пятой степени и т.д. Рассмотрим множество . Т.к. , то примем тот же алгоритм построения треугольников (см. выше). Найдем «генераторы» тождества, Это будут числа , где , составим тождество: (3), мы получили множество прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами. Здесь — гипотенуза, — катет и — второй катет. Для опровержения утверждения Ферма нужно, чтобы стороны X, Y, Z искомого треугольника равнялись (4). Где (p, q, k, n) — натуральные числа. По теореме Пифагора будем иметь или и утверждение Ферма будет опровергнуто. Из тождества видно, что . Рассмотрим последнее равенство , в этом равенстве «p» ни при каких значениях «a и b» не будет натуральным числом, если . Это означает, что в рассмотренном множестве треугольников не существует ни одного треугольника с искомыми сторонами (4).Теперь рассмотрим множество
. Обозначим (2n+1) как «m», тогда во множестве получим прямоугольные треугольники, описываемые тождеством (6). Если мы сможем построить прямоугольный треугольник X, Y, Z со сторонами (7), где , то мы опровергнем утверждение Ферма, т.к. по теореме Пифагора и (p, q и k) — натуральные числа. Надо, чтобы . Рассматривая последнее равенство заметим, что «p» не может быть натуральным числом ни при каких значениях «a и b», , если . Значит и в этом множестве треугольников не существует ни одного треугольника с искомыми сторонами (7).Однако из вышесказанного видно, что все доказательство сводится к анализу числа
, где «» при любых натуральных «a и b» не будет натуральным числом в степени «m/2». Или же (8) при тех же условиях не будет натуральным числом в степени «m». Из доказательства видно, что «генераторами» тождества (6) являются числа «» из ряда Но, анализируя (8), можно подставить вместо «» число . Так как есть четное число, (см.Примечание), то — натуральное число. После подстановки его в (8) получим , то есть натуральные числа в степени «m». Совершив вышеуказанную подстановку в тождество (6), и, обозначив через , получим следующее тождество: . Мы получили множество прямоугольных треугольников со сторонами . Если ( k,q, p) — натуральные числа в нечетной степени, т.е. где r — любое нечетное число, а . Чтобы опровергнуть Ферма нужно, чтобы: В последнем равенстве при любых натуральных a и b, — числа натуральные, но первые два равенства невозможны, так как, если «m и r» любые нечетные числа, то — иррациональные числа, а числа в скобках — числа натуральные. Если же (k,q, p) — натуральные числа в четной степени, т.е. , то мы получим следующие равенства (5). В данном варианте последнее равенство невозможно, т.к. извлекая корень m степени из обеих частей равенства получим , т.е. в скобках иррациональное число, а — натуральное. Это значит, что и в этом множестве не найдено «нужного» треугольника. А это значит, что для любых нечетных «m» утверждение Ферма верно, а значит, верно, для всех простых показателей «m ≥ 3». Остается найти доказательство теоремы для четных показателей. Из (5) следует, что, если в каноническом разложении четного показателя степени есть нечетное простое число, то утверждение Ферма для этой степени верно. Очевидно, что этому условию отвечают все четные числа, кроме числа «4» и чисел кратных четырем, т.е. 8, 16, 32, 64 … и т.д. В разложении этих чисел есть только простое число 2. Поэтому вышеприведенное доказательство не дает ответа для этих степеней.
Значит остается доказать теорему для «n = 4». Можно предположить, что у Ферма было общее доказательство, но не полное. Может быть, поэтому он и не записал свое доказательство. И только через несколько лет, создав свой метод «бесконечного или неопределенного спуска», он доказал, что не существует прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами, у которого площадь равнялась бы квадрату натурального числа. После этого доказательство теоремы для «n = 4» не составило труда. Это доказательство Ферма записал. И теорема оказалась доказанной полностью.