Если вы о том, что настоящее распределение напряжений в треугольнике от трёх точечных сил будет с сингулярностями по углам, а здесь оно равномерно размазано по треугольнику — да, согласен.
Никакие силы к вершинам треугольника не приложены.
А куда же они тогда приложены? Воспроизвожу картинку из конспекта и цитирую:
"Regardless of the source, all forces are applied at the nodes only. Tractions, and body forces may be distributed across several nodes but they are still applied at the nodes."
"A force is applied at the top right corner of the plate."
FEM и FEA - это разные термины. У вас используется принцип минимума потенциальной энергии в состоянии равновесия, а не переход к слабой интегральной форме исходного уравнения.
Различение FEM и FEA на основании каких-то способов вывода уравнений выглядит как педантизм, причём локальный. Вот несколько цитат из терминологического разбора:
"The differences between FEA and FEM relies on the source, author, and market authority"
"FEA is a practical application of the Finite Elements Method (FEM)"
"FEA is a computerized method for the prediction of how a product reacts to surrounding conditions"
"Both terms refer to the same concept, FEA being mostly used in the industry and FEM academically"
Я пытался ответить на ваш вопрос, откуда в сплошном треугольнике сдвиговые (касательные) напряжения, когда в ферменном их будто бы нет. Ответ я формулировал в микроскопических понятиях: тензор напряжений в точке, приведение к главным осям и т.д.
Вы же мне возражали на макроскопическом языке: дескать, откуда в треугольнике сдвиговые напряжения, если он в целом нагружен совсем не так, как срезаемый болт? Конечно, не так. И это вовсе не чистый сдвиг. Но неустранимые сдвиговые напряжения в точках, тем не менее, есть.
Например болт в плотном отверстии при поперечной нагрузке работает на сдвиг
Это означает только то, что в пределах болта вы можете так ориентировать оси элементарных кубиков, что во всех них одновременно исчезнут нормальные напряжения и останутся касательные.
Собственно весь прикол ферм в том, что они действтельно работают только на сжатие и растяжение.
Это вновь означает, что в пределах одного стержня вы можете так ориентировать оси элементарных кубиков, что в них одновременно исчезнут касательные напряжения и останутся нормальные.
Но вы не сможете выбрать такие оси, чтобы в пределах всего треугольника у всех элементарных кубиков одновременно исчезли касательные напряжения. Их я и отношу к сдвиговой составляющей.
Сдвиг — это не характер внешней нагрузки, а характер напряжённого состояния в точке. Мысленно вырезаем маленький квадратик вокруг точки; если есть напряжения вдоль его сторон (т. е. касательные) — это и есть сдвиг.
Разумеется, наличие этих касательных напряжений зависит от ориентации квадратика. Его всегда можно повернуть так, чтобы касательных напряжений не было.
Вопрос лишь в том, можно ли квадратики вокруг всех точек пластины повернуть на один и тот же угол, чтобы касательные напряжения исчезли сразу всюду. Ответ — нет, нельзя. В этом смысле сдвиг неустраним.
Это одинаково относится и к ферме, и к сплошной пластине. Однако в случае фермы вы можете поворачивать эти квадратики на разные углы для разных стержней и всякий раз говорить: "Касательных напряжений нет, здесь чистое растяжение".
Иными словами, локально вы можете устранить сдвиг всегда подходящим поворотом осей координат, глобально — не можете ни в ферме, ни в сплошной пластине.
Именно, что для моделирования сплошных объектов использутся все варианты и их комбинации.
Очевидно, в том смысле, что купол на ферменном каркасе потребует для моделирования и стержней, и оболочек. Это логично.
Однако при полностью шарнирном креплении сдвиг непонятно, как получить. Для сдвига нужен момент, но при шарнирном креплении суммарный момент=0. Он уходит либо в растяжение, либо в сжатие по разным осям.
А силы сами по себе разве не могут создавать момент? Отсеките от треугольника кусочек, чтобы посмотреть внутренние силы, и увидите, что там должна быть какая-то внутренняя сила вдоль линии разреза, чтобы уравновесить внешнюю силу в вершине.
Когда вы говорите о ферменном треугольнике, вы каждый раз прилаживаете систему координат по оси одного из стержней, то есть для разных стержней у вас системы координат повёрнуты по-разному. В каждой из них у вас чистое нормальное напряжение. В сплошном треугольнике у вас одна система координат. Перенося её от точки к точке, вы будете иметь разные касательные напряжения. Разумеется, и в сплошном треугольнике можно всё свести к чистым нормальным напряжениям, если разрешить в каждой точке по-своему поворачивать координатные оси. (Как известно, это и есть процедура поиска главных напряжений.)
Итог - используются все варианты. В 3Д - могут быть и стержни, и плоские и обьемные элементы.
Конечно, могут. Потому что и в жизни в 3D могут быть стержни (стрела подъёмного крана), оболочки (купол, котёл), сплошные объёмные конструкции. Но это не значит, что купол нужно моделировать фермой.
С другой стороны как посчитать прочность треугольника? Со стержнем всё просто, однако математический треугольник имеет бесконечно тонкие углы куда, как раз, и приложена нагрузка
Да, формально на углах бесконечные напряжения. Однако вместо них берётся некоторое конечное напряжение, размазанное по треугольнику. Его можно найти из того, как потенциальная энергия деформации меняется при шевелении вершин.
Собственно почему другие? Одинаковые перемещения должны вызывать одинаковые напряжения.
Другие, потому что другая геометрия и другая матрица жёсткости, даже при тех же перемещениях вершин. Ещё раз: в треугольной ферме с шарнирами по углам вообще нет сдвиговых напряжений, только растяжение-сжатие. В сплошном треугольнике они есть.
Весь смысл ферм в том, что они убирают лишние степени свободы.
Нет. Весь смысл ферм в том, чтобы моделировать фермы — мосты, подъёмные краны и т.д. Сплошные поверхности моделируются сплошными элементами.
Например вращение в узлах. Собственно у вас он тоже отсутствует.
Вот именно. И для этого мне не нужны фермы.
Вы же по сути сделали из 3х ферм один треугольник... у вас в итоге должны получиться те же самые уравнения, что и для ферм.
Ни в коем случае. Сплошной треугольник имеет совсем другую матрицу жёсткости. Вернее, так: я допускаю (хотя не проверял), что можно найти некую треугольную ферму, эквивалентную по деформациям заданному сплошному треугольнику. Однако возникают два вопроса:
Какую площадь сечения должны иметь стержни эквивалентной фермы? Для сплошного треугольника такого параметра вообще нет. Чтобы найти эту эквивалентную площадь сечения, вам придётся-таки приравнять две матрицы жёсткости (фермы и треугольника) и выразить эту площадь.
Как получить напряжения в сплошном треугольнике (два нормальных и одно касательное) исходя из напряжений в эквивалентной ферме? Она ведь эквивалентна только по деформациям, а напряжения в ней совсем другие (три разных напряжения растяжения).
Насколько я знаю (хотя мои знания могли сильно устареть) в моделировании используется именно разбиение на фермы.
Ещё раз нет. Посмотрите типовой элемент ANSYS, который уже упоминал коллега в этой дискуссии.
Абсолютно уверен.
Осторожнее. Интуиция часто даёт сбой в предельных переходах. Как известно, она говорит, что π = 4:
Думаю, что связи молекул вполне можно условно считать фермами :)
Они могут оказаться совсем не такими фермами, на которые вы рассчитывали — например, пространственными и с какими-то совсем другими углами между связями. Да ещё и подчиняющимися квантовой механике. Квантовый сопромат — это уже высший пилотаж.
Ради интереса можно попробовать загнать какую-нибудь конструкцию в обе программы и сравнить результат.
Вы не сможете этого сделать, пока не решите вопрос об эквивалентной площади сечения стержня (см. выше).
А как цитаты добавить в этом редакторе?
Нажать на большой "+" слева от строки и выбрать "Цитата".
По картинке возникает впечатление, что один треугольник вообще не нагружен, а второй, смежный с ним, нагружен сильно.
Да, это возможно. Напряжения постоянны по площади треугольников и зависят от перемещений всех трёх вершин. Разное напряжение в двух смежных треугольниках может быть оттого, что их вершины, не входящие в общее ребро, переместились по-разному.
Но граница между ними - это один элемент, а не два разных.
Нет. Кажется, вы по-прежнему пользуетесь ферменными понятиями. Элемент у меня — это треугольник (кусок плоскости), а не граница между треугольниками.
Это вполне решается уменьшением размера элемента. МКЭ достаточно легко масштабируется, причём автоматически.
Если этим злоупотребить, что метод лишится своего главного преимущества — конечных (не бесконечно малых) элементов, которые могут быть достаточно большими, но при этом давать хорошую точность. (И кстати, совсем неочевидно, что ваша бесконечно мелкая ферма действительно в пределе сходится к пластине).
Нет. Вся моя статья была о том, как МКЭ оперирует не фермами. Треугольный элемент никак не сводится к стержням: это 2D элемент с другим числом степеней свободы (6 вместо 4), другим набором напряжений (3 вместо 1, в том числе сдвиговое, чего в ферме принципиально быть не может), другой матрицей жёсткости и т.д. Если вы станете моделировать сплошную пластину фермой, вы получите очень грубый результат.
Все наоборот, у автора конспекта линейно интерполируются сдвиги, а стрессы оказыватся постоянными внутри ячеек, поскольку зависят от производных сдвигов.
Так что наоборот-то? Или вы запутались в терминологии? Ваши "сдвиги" — это displacements, перемещения. Ваши "стрессы" — это stresses, напряжения. Тогда вы слово в слово озвучили то, что есть и у автора конспекта, и у меня. Я несколько раз повторил про линейную интерполяцию перемещений и постоянное напряжение.
Я не знаю, чем вам не угодила аббревиатура МКЭ и при чём тут советские учебники. Пока я вижу только то, что даже среди комментаторов моего текста собрались представители двух разных школ — условно, "механиков" и "математиков". Для первых МКЭ — это раздел сопромата и развитие метода перемещений, для вторых — что-то из области уравнений в частных производных и вариационного исчисления.
Я себя отношу к "механикам". Мой текст — не учебник, и я в нём вовсе не собирался выводить формулы для матрицы жёсткости из вариационных принципов или любых других. Мне здесь вполне достаточно, что такая матрица существует и позволяет провести аналогию с законом Гука для пружины, но многомерного, по степеням свободы.
Так что ваши рассуждения о потенциальной энергии ничего не добавляют к моей логике (хотя я не сомневаюсь, что они верны и у вас, и у автора конспекта). Украсить текст парой частных производных? Моя цель была ровно обратной, как я и заявил во введении.
При этом вы так и не объяснили, откуда должна была взяться непрерывность напряжений при линейной интерполяции перемещений и почему эта линейная интерполяция допустима у автора конспекта и недопустима у меня.
Да, фиксированы. И автоматического измельчения сетки тоже нет. Можно только натыкать дополнительных точек руками, предварительно посмотрев, где случаются самые интересные перепады напряжений.
берем ребро, принадлежащее двум ячейкам и интерполяцией смотрим, что-там. Результат - общие сдвиги и напряжения вдоль ребра для обеих ячеек.
Повторю: у меня используется самый низкий — первый — порядок интерполяции упругих перемещений. Относительная деформация — производная перемещения, она постоянна. Напряжения пропорциональны деформациям — они тоже постоянны по всей площади треугольника. Нет никаких особых напряжений вдоль рёбер, есть просто напряжение, общее для всего треугольника. И да, на рёбрах получаются разрывы напряжений от двух смежных треугольников. И да, такого в природе не бывает — это артефакт расчётной схемы. Примерно как при интегрировании прямоугольниками.
Чтобы получить что-то другое, нужен более высокий порядок интерполяции перемещений, а для него нужны новые узлы, и численное взятие интегралов по треугольнику, и много чего другого, что затуманивает суть метода.
Полагаю, вы правы. Я и сам навскидку не могу придумать, как можно учесть взаимодействие рёбер (если они не разбиты дополнительными вершинами). Замечание @Andy_U справедливо в одном: разрыв напряжений на рёбрах — физически абсурдный результат. "Природа не делает скачков". Но что-то подобное случается с любой дискретизацией любого уравнения. Любое интегрирование прямоугольниками — уже скачки, которых нет в исходной физической системе.
У меня было желание вернуться к истокам и показать МКЭ в самом простом и наглядном исполнении. Поэтому и задача выбрана механическая — самая интуитивная и исторически первая, решённая этим методом. Все те понятия, что вы перечислили, — позднейшие математические наслоения, нужные ради обобщения, но педагогически вредные при первом знакомстве. К тому же, моё образование — механика, а не уравнения математической физики.
Действительно, в моей модели (хотя она вовсе не моя) треугольники связаны только вершинами. Опять же, это самое простое исполнение, дающее хоть сколько-то адекватный результат. Получающиеся при этом разрывы напряжений на рёбрах — издержка аппроксимации (в том конспекте лекции, на который я ссылался в статье, этому уделено внимание). Возьми я более сложную модель с непрерывными напряжениями, меня бы спросили, а почему они не гладкие. Усложнять можно до бесконечности. Я хотел упростить.
Построение сетки имеет к МКЭ хотя бы то отношение, что без сетки МКЭ невозможен. Руководства по МКЭ (в том числе и статьи на Хабре) упоминали сетку как некую данность. Для меня это — потерянное звено в цепи. К тому же, МКЭ выдвигает свои требования и к конкретным свойствам сетки (почему Делоне, а не какая-нибудь наугад взятая триангуляция?).
Понял вас. Но лично мне не хотелось иметь несамодостаточный редактор. И конечно, было желание самому пройти все этапы пути к решению. Триангуляция оказалась даже более интересной проблемой, чем МКЭ как таковой.
У меня абсолютно тот же FEM, но только для одного типа задач (механическая деформация плоских пластин) и со многими оговорками про типы граничных условий.
Не совсем понял, каких интегралов вы ждали. Но те интегралы (по площади элемента), которых здесь действительно следовало ждать, скажем так, посчитаны аналитически и спрятаны в матрицу жёсткости элемента k. И интегралы эти самые простые: интегрируется постоянная относительная деформация и получается линейно нарастающее перемещение точек.
А что делать с силами, связями и материалом? Здесь в любом случае нужен специализированный редактор. Ну и вообще, продолжая вашу логику, можно просто взять ANSYS и сразу всё посчитать. Но удовольствие было не в этом.
Если вы о том, что настоящее распределение напряжений в треугольнике от трёх точечных сил будет с сингулярностями по углам, а здесь оно равномерно размазано по треугольнику — да, согласен.
А куда же они тогда приложены? Воспроизвожу картинку из конспекта и цитирую:
"Regardless of the source, all forces are applied at the nodes only. Tractions, and body forces may be distributed across several nodes but they are still applied at the nodes."
"A force is applied at the top right corner of the plate."
Различение FEM и FEA на основании каких-то способов вывода уравнений выглядит как педантизм, причём локальный. Вот несколько цитат из терминологического разбора:
"The differences between FEA and FEM relies on the source, author, and market authority"
"FEA is a practical application of the Finite Elements Method (FEM)"
"FEA is a computerized method for the prediction of how a product reacts to surrounding conditions"
"Both terms refer to the same concept, FEA being mostly used in the industry and FEM academically"
Какие усилия? МКЭ? Сплошные треугольники? Учёт касательных напряжений?
Я пытался ответить на ваш вопрос, откуда в сплошном треугольнике сдвиговые (касательные) напряжения, когда в ферменном их будто бы нет. Ответ я формулировал в микроскопических понятиях: тензор напряжений в точке, приведение к главным осям и т.д.
Вы же мне возражали на макроскопическом языке: дескать, откуда в треугольнике сдвиговые напряжения, если он в целом нагружен совсем не так, как срезаемый болт? Конечно, не так. И это вовсе не чистый сдвиг. Но неустранимые сдвиговые напряжения в точках, тем не менее, есть.
Это означает только то, что в пределах болта вы можете так ориентировать оси элементарных кубиков, что во всех них одновременно исчезнут нормальные напряжения и останутся касательные.
Это вновь означает, что в пределах одного стержня вы можете так ориентировать оси элементарных кубиков, что в них одновременно исчезнут касательные напряжения и останутся нормальные.
Но вы не сможете выбрать такие оси, чтобы в пределах всего треугольника у всех элементарных кубиков одновременно исчезли касательные напряжения. Их я и отношу к сдвиговой составляющей.
Сдвиг — это не характер внешней нагрузки, а характер напряжённого состояния в точке. Мысленно вырезаем маленький квадратик вокруг точки; если есть напряжения вдоль его сторон (т. е. касательные) — это и есть сдвиг.
Разумеется, наличие этих касательных напряжений зависит от ориентации квадратика. Его всегда можно повернуть так, чтобы касательных напряжений не было.
Вопрос лишь в том, можно ли квадратики вокруг всех точек пластины повернуть на один и тот же угол, чтобы касательные напряжения исчезли сразу всюду. Ответ — нет, нельзя. В этом смысле сдвиг неустраним.
Это одинаково относится и к ферме, и к сплошной пластине. Однако в случае фермы вы можете поворачивать эти квадратики на разные углы для разных стержней и всякий раз говорить: "Касательных напряжений нет, здесь чистое растяжение".
Иными словами, локально вы можете устранить сдвиг всегда подходящим поворотом осей координат, глобально — не можете ни в ферме, ни в сплошной пластине.
Очевидно, в том смысле, что купол на ферменном каркасе потребует для моделирования и стержней, и оболочек. Это логично.
А силы сами по себе разве не могут создавать момент? Отсеките от треугольника кусочек, чтобы посмотреть внутренние силы, и увидите, что там должна быть какая-то внутренняя сила вдоль линии разреза, чтобы уравновесить внешнюю силу в вершине.
Когда вы говорите о ферменном треугольнике, вы каждый раз прилаживаете систему координат по оси одного из стержней, то есть для разных стержней у вас системы координат повёрнуты по-разному. В каждой из них у вас чистое нормальное напряжение. В сплошном треугольнике у вас одна система координат. Перенося её от точки к точке, вы будете иметь разные касательные напряжения. Разумеется, и в сплошном треугольнике можно всё свести к чистым нормальным напряжениям, если разрешить в каждой точке по-своему поворачивать координатные оси. (Как известно, это и есть процедура поиска главных напряжений.)
Конечно, могут. Потому что и в жизни в 3D могут быть стержни (стрела подъёмного крана), оболочки (купол, котёл), сплошные объёмные конструкции. Но это не значит, что купол нужно моделировать фермой.
Да, формально на углах бесконечные напряжения. Однако вместо них берётся некоторое конечное напряжение, размазанное по треугольнику. Его можно найти из того, как потенциальная энергия деформации меняется при шевелении вершин.
Другие, потому что другая геометрия и другая матрица жёсткости, даже при тех же перемещениях вершин. Ещё раз: в треугольной ферме с шарнирами по углам вообще нет сдвиговых напряжений, только растяжение-сжатие. В сплошном треугольнике они есть.
Нет. Весь смысл ферм в том, чтобы моделировать фермы — мосты, подъёмные краны и т.д. Сплошные поверхности моделируются сплошными элементами.
Вот именно. И для этого мне не нужны фермы.
Ни в коем случае. Сплошной треугольник имеет совсем другую матрицу жёсткости. Вернее, так: я допускаю (хотя не проверял), что можно найти некую треугольную ферму, эквивалентную по деформациям заданному сплошному треугольнику. Однако возникают два вопроса:
Какую площадь сечения должны иметь стержни эквивалентной фермы? Для сплошного треугольника такого параметра вообще нет. Чтобы найти эту эквивалентную площадь сечения, вам придётся-таки приравнять две матрицы жёсткости (фермы и треугольника) и выразить эту площадь.
Как получить напряжения в сплошном треугольнике (два нормальных и одно касательное) исходя из напряжений в эквивалентной ферме? Она ведь эквивалентна только по деформациям, а напряжения в ней совсем другие (три разных напряжения растяжения).
Ещё раз нет. Посмотрите типовой элемент ANSYS, который уже упоминал коллега в этой дискуссии.
Осторожнее. Интуиция часто даёт сбой в предельных переходах. Как известно, она говорит, что π = 4:
Они могут оказаться совсем не такими фермами, на которые вы рассчитывали — например, пространственными и с какими-то совсем другими углами между связями. Да ещё и подчиняющимися квантовой механике. Квантовый сопромат — это уже высший пилотаж.
Вы не сможете этого сделать, пока не решите вопрос об эквивалентной площади сечения стержня (см. выше).
Нажать на большой "+" слева от строки и выбрать "Цитата".
Только пересчётом номера степени свободы треугольника в глобальный номер. Впрочем, сама логика накопления глобальной матрицы жёсткости из матриц жёсткостей элементов — тоже своего рода учёт.
Да, это возможно. Напряжения постоянны по площади треугольников и зависят от перемещений всех трёх вершин. Разное напряжение в двух смежных треугольниках может быть оттого, что их вершины, не входящие в общее ребро, переместились по-разному.
Нет. Кажется, вы по-прежнему пользуетесь ферменными понятиями. Элемент у меня — это треугольник (кусок плоскости), а не граница между треугольниками.
Если этим злоупотребить, что метод лишится своего главного преимущества — конечных (не бесконечно малых) элементов, которые могут быть достаточно большими, но при этом давать хорошую точность. (И кстати, совсем неочевидно, что ваша бесконечно мелкая ферма действительно в пределе сходится к пластине).
Нет. Вся моя статья была о том, как МКЭ оперирует не фермами. Треугольный элемент никак не сводится к стержням: это 2D элемент с другим числом степеней свободы (6 вместо 4), другим набором напряжений (3 вместо 1, в том числе сдвиговое, чего в ферме принципиально быть не может), другой матрицей жёсткости и т.д. Если вы станете моделировать сплошную пластину фермой, вы получите очень грубый результат.
А какие элементы у вас тут: стержни или треугольники? Вся конструкция ферменная или сплошная?
Так что наоборот-то? Или вы запутались в терминологии? Ваши "сдвиги" — это displacements, перемещения. Ваши "стрессы" — это stresses, напряжения. Тогда вы слово в слово озвучили то, что есть и у автора конспекта, и у меня. Я несколько раз повторил про линейную интерполяцию перемещений и постоянное напряжение.
Я не знаю, чем вам не угодила аббревиатура МКЭ и при чём тут советские учебники. Пока я вижу только то, что даже среди комментаторов моего текста собрались представители двух разных школ — условно, "механиков" и "математиков". Для первых МКЭ — это раздел сопромата и развитие метода перемещений, для вторых — что-то из области уравнений в частных производных и вариационного исчисления.
Я себя отношу к "механикам". Мой текст — не учебник, и я в нём вовсе не собирался выводить формулы для матрицы жёсткости из вариационных принципов или любых других. Мне здесь вполне достаточно, что такая матрица существует и позволяет провести аналогию с законом Гука для пружины, но многомерного, по степеням свободы.
Так что ваши рассуждения о потенциальной энергии ничего не добавляют к моей логике (хотя я не сомневаюсь, что они верны и у вас, и у автора конспекта). Украсить текст парой частных производных? Моя цель была ровно обратной, как я и заявил во введении.
При этом вы так и не объяснили, откуда должна была взяться непрерывность напряжений при линейной интерполяции перемещений и почему эта линейная интерполяция допустима у автора конспекта и недопустима у меня.
Да, фиксированы. И автоматического измельчения сетки тоже нет. Можно только натыкать дополнительных точек руками, предварительно посмотрев, где случаются самые интересные перепады напряжений.
Повторю: у меня используется самый низкий — первый — порядок интерполяции упругих перемещений. Относительная деформация — производная перемещения, она постоянна. Напряжения пропорциональны деформациям — они тоже постоянны по всей площади треугольника. Нет никаких особых напряжений вдоль рёбер, есть просто напряжение, общее для всего треугольника. И да, на рёбрах получаются разрывы напряжений от двух смежных треугольников. И да, такого в природе не бывает — это артефакт расчётной схемы. Примерно как при интегрировании прямоугольниками.
Чтобы получить что-то другое, нужен более высокий порядок интерполяции перемещений, а для него нужны новые узлы, и численное взятие интегралов по треугольнику, и много чего другого, что затуманивает суть метода.
Полагаю, вы правы. Я и сам навскидку не могу придумать, как можно учесть взаимодействие рёбер (если они не разбиты дополнительными вершинами). Замечание @Andy_U справедливо в одном: разрыв напряжений на рёбрах — физически абсурдный результат. "Природа не делает скачков". Но что-то подобное случается с любой дискретизацией любого уравнения. Любое интегрирование прямоугольниками — уже скачки, которых нет в исходной физической системе.
У меня было желание вернуться к истокам и показать МКЭ в самом простом и наглядном исполнении. Поэтому и задача выбрана механическая — самая интуитивная и исторически первая, решённая этим методом. Все те понятия, что вы перечислили, — позднейшие математические наслоения, нужные ради обобщения, но педагогически вредные при первом знакомстве. К тому же, моё образование — механика, а не уравнения математической физики.
Действительно, в моей модели (хотя она вовсе не моя) треугольники связаны только вершинами. Опять же, это самое простое исполнение, дающее хоть сколько-то адекватный результат. Получающиеся при этом разрывы напряжений на рёбрах — издержка аппроксимации (в том конспекте лекции, на который я ссылался в статье, этому уделено внимание). Возьми я более сложную модель с непрерывными напряжениями, меня бы спросили, а почему они не гладкие. Усложнять можно до бесконечности. Я хотел упростить.
Построение сетки имеет к МКЭ хотя бы то отношение, что без сетки МКЭ невозможен. Руководства по МКЭ (в том числе и статьи на Хабре) упоминали сетку как некую данность. Для меня это — потерянное звено в цепи. К тому же, МКЭ выдвигает свои требования и к конкретным свойствам сетки (почему Делоне, а не какая-нибудь наугад взятая триангуляция?).
Понял вас. Но лично мне не хотелось иметь несамодостаточный редактор. И конечно, было желание самому пройти все этапы пути к решению. Триангуляция оказалась даже более интересной проблемой, чем МКЭ как таковой.
У меня абсолютно тот же FEM, но только для одного типа задач (механическая деформация плоских пластин) и со многими оговорками про типы граничных условий.
Не совсем понял, каких интегралов вы ждали. Но те интегралы (по площади элемента), которых здесь действительно следовало ждать, скажем так, посчитаны аналитически и спрятаны в матрицу жёсткости элемента k. И интегралы эти самые простые: интегрируется постоянная относительная деформация и получается линейно нарастающее перемещение точек.
А что делать с силами, связями и материалом? Здесь в любом случае нужен специализированный редактор. Ну и вообще, продолжая вашу логику, можно просто взять ANSYS и сразу всё посчитать. Но удовольствие было не в этом.