Мне кажется, это образцовое(!) изложение введения в сложную тему. Автор действительно нашёл оптимальное сочетание «строгости и популярности изложения». Не грех у него поучиться.
4. Как-то не могу согласиться с Вашим п. 4. Ведь ei и ek это базисные векторы, а Вы их превратили в тензоры 2-го ранга.
5. По п. 5 у нас с Вами согласие.
6. Не по поводу, а вообще. Вот чем меня бесит тензорное исчисление, так это тем, что у всех специалистов разное мнение и они никак не могут между собой договориться. И так фактически по любому вопросу. Причём учили-то всех одинаково, набор знаний стандартизован, а вот понимание оказалось разным. Почему в других разделах математики нет такого разнобоя? По моему мнению, дело в крайней заформализованности(!) тензорного исчисления. Стремление всё записать в краткой индексной форме напрочь скрывает физическую(!) суть, а она есть, и при нормальном изложении она проявляется. Знание тензорного исчисления сводится к умению жонглировать индексами. Проверочный вопрос: многие ли смогут толково объяснить «физику» такого ключевого понятия, как свёртка? И при этом не переругаться между собой.
1. В НЕортогональном базисе евклидова пространства скалярное произведение включает метрический тензор:А∙B=gikAi∙Bi. Пример приведён в начале обсуждаемого текста.
2. В псевдоевклидовом пространстве СТО всё то же самое, но теперь матрица gik на главной диагонали содержит не только +1, но и -1. Это означает расширение понятия скалярного произведения, теперь оно называется индефинитным и в нём перед парами компонент (сомножителей) стоят не только «+», но и «-».
3. В пространстве СТО скалярное произведение ei∙ek (включая ei∙ei) теперь имеет индефинитную форму, так что наличие минусов в этой формуле и минусов в матрице метрического тензора не противоречат друг другу.
4. Непонятно только, как теперь должна выглядеть формула gik=еi∙еk? Ведь, исходя из сказанного, она должна быть такой:gik = gikеi∙еk – ??
5. А вот насчёт углов не соглашусь: в пространстве СТО углы определяются корректно, только косинус там гиперболический.
В общем и целом я, насколько сумел разобраться, согласен с Вашими тезисами. Но хотел бы высказать некоторые замечания.
1. Цитата: «В приводимых Вами источниках логика ломается с первых же абзацев». Из каждого первоисточника я брал только то, что мне было необходимо (и что считал верным), и не более того. Например, я, так же как и Вы, не согласен с отождествлением числа и вектора, но почему не процитировать из того же источника верный и важный тезис? Если бы не привёл ссылку, получилось бы, что я присвоил себе чужую мысль, а это гораздо хуже, чем грех отождествления числа и вектора. То же самое и с Речкаловым: суть дуального базиса лучше и понятнее него, по моим сведениям, никто не объяснил, а мне от него только этого и было надо. Кроме того, мы же не знаем, какие претензии имел в виду Речкалов, критикуя свою книгу: может, он имел в виду неудачную систему обозначений, и только? Вряд ли он в ней что-то «наврал».
2. Полностью согласен с Вами, что понятие вектора можно трактовать по-разному – как алгебраический («три/четыре числа» в физике) или геометрический объект («направленный отрезок», в частности, в механике). Но эти трактовки не отменяют друг друга, более того, они в равной степени продуктивны в рамках векторного или координатного подхода. По-моему, та или иная трактовка вектора определяется степенью абстрагирования от реальности. Вы изначально в рамках решаемой задачи принимаете ту трактовку, которая вам удобнее, понимая, что она не является единственно верной.
3. Мне кажется, местами Вы совершенно напрасно высказываете крайние(!) точки зрения. Примеры: «линейной алгебры нет»; поскольку электрон не частица и не волна, то «нет никакого квантово-волнового дуализма». Это не значит, что эти утверждения не имеют под собой оснований, но их крайность заведомо делает их уязвимыми для критики(!) и может загнать в тупик догматизма.
Научные факты объективны. Но они могут быть истолкованы и описаны не одним способом. (Хотя эта неоднозначность как раз не объективна, она отражает степень нашего незнания). Например, по Фейнману, волновая функция электрона – результат интегрирования по всем возможным траекториям его движения, и с этой точки зрения электрон всё-таки волна(!) и математически описывается как волна. Подобных примеров, между прочим, не мало. Во времена Эйнштейна считалось, что в релятивистской области масса движущегося объекта стремится к бесконечности («релятивистская» масса), теперь же большинство физиков склоняется к тому, что масса не зависит от скорости («инвариантная» масса). Источник противоречия – различная трактовка уравнения для энергии движущегося тела. (В своё время об этом много писал физик Окунь). Но это не означает, что Эйнштейн был не прав. Современная трактовка массы отнюдь не отменяет старую, просто она (сейчас!) признана… более удобной, что ли. Это очень разумно со стороны нынешних физиков: ещё не известно, какой трактовки будут придерживаться их потомки.
Одним словом, я не против Ваших оценок (тем более, что электрон по современным представлениям это, действительно, неизвестно что), но, как кажется, твёрдо отстаивая свои принципы, логично оставить себе «люфт» – смягчить формулировки, признав право на существование других трактовок. В общем, наверное, не стоит спешить признавать квантово-волновой дуализм лженаукой.
Можно обойтись без интегралов. Дело в том, что метрический тензор входит в формулу для интервала – этим всё сказано. Через него осуществляется расчёт кратчайшего расстояния между точками пространства (ds). Более подробно об этом см. п. 11 в списке литературы в обсуждаемой(?!) статье: https://habr.com/ru/articles/756604/
Относительно «заткнись и считай». Компоненты метрического тензора gik равны скалярному произведению базисных векторов (см. обсуждаемый текст, формулы (7) и (8)). В СТО на главной диагонали имеем: gik=ei∙ei. Косинус угла между ei и ei равен +1. Объясните неучу: как при этом может возникнуть минус? (Только не надо ссылаться на формулу интервала, это здесь не при чём – суть изложена в предыдущих строках). Честно признаюсь, я не знаю ответа, поэтому заранее благодарен за содержательное объяснение.
1. Я в очередной (второй) раз настаиваю, утверждаю, провозглашаю, декларирую, что целью статьи не является «попытка осмыслить и объяснить понятие тензора». Напротив, хотя бы начальное понимание того, что такое тензор, предполагается изначально.
2. Тема статьи – выявить «физику»(!!) понятий контра- и ковариантности вектора/тензора. (Только это, ничего другого!). Формальное жонглирование индексами может освоить любой первокурсник, но речь именно о «физике». То, что ниже - не очень правильно с точки зрения научной этики, но, поскольку статью полностью, подозреваю, никто не прочитал, приходится перечислить основные её положения (для возбуждения хотя бы минимального интереса).
а). Последовательно изложена «физика» дуальной системы координат – её связь с основной системой и правила построения. (Кстати, огромное спасибо за это «Речкалову со звёздочкой». Вообще, я с уважением отношусь к любым авторам – они, совершенно точно, знают тензорное исчисление лучше меня). Для кого-то пункт (а) не открытие, но дело в том, что большинство авторов первоисточников его игнорируют или излагают мимоходом и без пояснений, а он - ключевой(!). Замечание. В самом начале статьи чётко указано, что её адресат – не «продвинутые», а «первоходы» в тензорном исчислении.
б). На простейших примерах показано, как строится и как выглядит дуальная система координат. Даны именно геометрические (следуя Вашей рекомендации) и физические иллюстрации, после которых, по моему мнению, вопросов остаться не должно.
в). Показаны «физические» отличия обычного вектора и ковектора (линейного функционала). Для последнего даны физическая и геометрическая интерпретации. (Опять: многие авторы-математики, те же ЛиЛ, эту «физику» игнорируют, оставаясь в рамках «беспощадно формальной» математики).
г). В связи с п. (в) констатировано, что формулы преобразования координат – не более чем формальные(!) критерии различения обычных векторов и ковекторов. Замечание. Как-то авторы не очень-то упоминают об этом формальном характере. Наоборот, они эти формулы «возводят в абсолют».
д). После пп. (а)-(г) непонятных вопросов по контра- и ковариантности векторов, но мой взгляд, остаться не должно.
г). Выявлена, причём математически, (опять же!) «физика» (а не формальные формулы) взаимной трансформации векторов: контра- и ковариантный векторы «естественно» представляются в «родных» для них системах координат, а суть трансформации сводится лишь к формальной процедуре расчёта компонент вектора в другой системе. (Может, я не прав, но авторы первоисточников как-то не акцентируют на этом внимание).
д). Ещё один вопрос по теме – смешанный тензор. По ходу дела показана сущность тензоров высших рангов (а она проистекает из их базиса). Вот тут, действительно, приходится сообщить некую информацию по тензорам вообще.
е). Со ссылкой на первоисточники (что характерно и для всего текста) вскрывается «физическая» сущность тензора смешанного типа и показано, почему он не может быть представлен графически. Полагаю, может быть, напрасно, что пп. (д) и (е) не излагаются «слишком подробно» студентам- физикам.
Резюме. Статья посвящена обсуждению частного, узкого вопроса тензорного исчисления. Она рассчитана на студентов-первокурсников. Автор ничего не придумал сам, он основывается на первоисточниках.
Извините за склонность к длинным и нудным объяснениям. С уважением, dfreev.
fujinon'у. Цель статьи сформулирована в названии. И это - не "попытка объяснить само понятие тензора с нуля". Наоборот, пару раз указано, что текст предполагает некоторое, хотя бы начальное, знакомство с тензорным исчислением.
Понятно, что никто даже не попытался прочитать текст далее преамбулы. Не надеюсь изменить ситуацию. Но тогда хотя бы обратите внимание на Приложение-2 в самом конце текста. Вдруг там содержится информация, содержательная с точки зрения разгоревшейся здесь дискуссии?
Первыми были механики. Эйнштейн стал изучать тензорное исчисление и геометрию Римана только по "наводке" Гильберта - математика. В статье первенство механиков обосновывается, и достаточно убедительно - со ссылками на первоисточники.
По моему не слишком авторитетному мнению. Относительно Ландау и Лифшица: всё-таки они говорят об одной и той же(!) векторной(!) величине. Так что, прямой смысл их цитаты противоречит Вашей трактовке. Однако в тексте автор не ограничивается этой цитатой, а для большей убедительности подкрепляет утверждение Ландау и Лифшица ещё одной цитатой: «Всякий вектор А может быть разложен как по векторам основного базиса(тогда компоненты его разложения являются контравариантными), так и по векторам дуального базиса (с ковариантными компонентами)», и далее приводятся соответствующие формулы разложений [Победря, с. 15]. Но дело не в Победре, а в том, что последняя цитата почти дословно повторяется всеми авторами, которые пишут на обсуждаемую тему. И ещё (без обид!). Было бы печально, если бы Вы оказались правы, и вектор в самом деле не является тензором: в этом случае придётся переписывать все до единой книги по тензорному исчислению, потому как в них утверждается обратное. Пожелание: похоже, никто не прочитал эту длинную и нудную статью до конца. Не хотите стать первым? С учетом Вашей квалификации Вы могли бы написать действительно содержательную рецензию.
Относительно "Вашего непонимания". Конечно, текст длинный, вероятно поэтому Вы не удосужились дочитать до того места, где приведена цитата из Ландау и Лифшица: «Одна и та же векторная физическая величина может быть представлена как в контра-, так и в ковариантных компонентах». Так что, Вы обнаружили непонимание не у меня, а у Ландау с Лифшицем.
Я понял, в чём суть разногласий. Я обсуждал формулы (1) и (2), а Вы – определение базиса. Ну, определение Вы дали, спасибо за это. В продолжении дискуссии не вижу смысла.
1. В моём понимании базисный вектор – это «стрелка», уходящая за границы видимой Вселенной. Он не имеет количественного измерения и по этой причине не может входить в уравнения типа (1), описывающего количественные взаимосвязи. В уравнениях типа (1) могут фигурировать только орты.
2. «Ковариантный базис» является синонимом «дуального базиса». Само название дуального базиса говорит о том, что он противопоставляется некоему исходному базису – контравариантному. Впрочем, в математике противопоставление этих базисов чисто условное, их можно менять местами. (В этом с Вами следует согласиться). Но в любом случае это не один базис, это разные базисы. Иллюстрация: в СТО ко- и контравариантный базисы совершенно разные, у них совпадают только временнЫе координатные оси.
3. Здравый смысл заставляет не допускать абсолютной уверенности в собственной правоте, поэтому хотелось бы услышать мнение автора по обсуждаемым вопросам.
1. Всё-таки остаюсь при своём мнении: формулы (1) и (2) «не стыкуются» между собой. В формуле (1) е1 и е2 – это именно орты, то есть, единичные базисные вектора, задающие масштаб вдоль соответствующей оси. Произведения проекций вектора а (а1 и а2, скаляров) и ортов е1 и е2 задают векторы ОА1 и ОА2. В сумме векторы ОА1 и ОА2 дают (по правилу параллелограмма) исходный вектор а, что и отражает формула (1).
В таком случае в числителе (5) е1 тоже орт, и при скалярном произведении вектора а на единичный вектор (орт) мы получаем точное значение проекции а на ось (ОВ1, скаляр). Поэтому знаменатель избыточен.
Однако в целом ход рассуждений автора, по-моему, правильный. Если всё подкорректировать, в итоге всё равно должен получиться метрический тензор (11).
2. Математика описывает количественные взаимосвязи и законы природы в окружающем нас реальном мире, в отрыве от него она не существует. Поэтому рискну утверждать, что любому абстрактному математическому объекту можно найти физическую иллюстрацию, пусть даже не менее абстрактную (типа десятимерного пространства). Автор и сам не ограничивается формулами, а сопровождает их рисунками – это и есть физическая (геометрическая) интерпретация. Конкретно: автор указал на место ковариантного базиса в косоугольных координатах (хотя и не акцентировал этот момент). Где он локализуется в СТО, известно. Если бы уважаемые математики рассказали нам, где он прячется в ОТО, а потом обобщили на все «случаи жизни», они сильно облегчили бы жизнь всем остальным: по-моему, непонимание тензорного исчисления (в частности, ковариантности, свёртки, «жонглирования» индексами и т. п.) объясняется именно отсутствием понятных физических интерпретаций. Поэтому всё сказанное здесь не «философия», а самая что ни на есть «проза жизни». А вопрос остаётся: какой смысл в очередной раз излагать тензорное исчисление без «физики»?
Мне кажется, это образцовое(!) изложение введения в сложную тему. Автор действительно нашёл оптимальное сочетание «строгости и популярности изложения». Не грех у него поучиться.
Kergan’у88.
4. Как-то не могу согласиться с Вашим п. 4. Ведь ei и ek это базисные векторы, а Вы их превратили в тензоры 2-го ранга.
5. По п. 5 у нас с Вами согласие.
6. Не по поводу, а вообще. Вот чем меня бесит тензорное исчисление, так это тем, что у всех специалистов разное мнение и они никак не могут между собой договориться. И так фактически по любому вопросу. Причём учили-то всех одинаково, набор знаний стандартизован, а вот понимание оказалось разным. Почему в других разделах математики нет такого разнобоя? По моему мнению, дело в крайней заформализованности(!) тензорного исчисления. Стремление всё записать в краткой индексной форме напрочь скрывает физическую(!) суть, а она есть, и при нормальном изложении она проявляется. Знание тензорного исчисления сводится к умению жонглировать индексами. Проверочный вопрос: многие ли смогут толково объяснить «физику» такого ключевого понятия, как свёртка? И при этом не переругаться между собой.
Вроде, разобрался (спасибо Kergan88!).
1. В НЕортогональном базисе евклидова пространства скалярное произведение включает метрический тензор: А∙B=gikAi∙Bi. Пример приведён в начале обсуждаемого текста.
2. В псевдоевклидовом пространстве СТО всё то же самое, но теперь матрица gik на главной диагонали содержит не только +1, но и -1. Это означает расширение понятия скалярного произведения, теперь оно называется индефинитным и в нём перед парами компонент (сомножителей) стоят не только «+», но и «-».
3. В пространстве СТО скалярное произведение ei∙ek (включая ei∙ei) теперь имеет индефинитную форму, так что наличие минусов в этой формуле и минусов в матрице метрического тензора не противоречат друг другу.
4. Непонятно только, как теперь должна выглядеть формула gik=еi∙еk? Ведь, исходя из сказанного, она должна быть такой: gik = gikеi∙еk – ??
5. А вот насчёт углов не соглашусь: в пространстве СТО углы определяются корректно, только косинус там гиперболический.
В общем и целом я, насколько сумел разобраться, согласен с Вашими тезисами. Но хотел бы высказать некоторые замечания.
1. Цитата: «В приводимых Вами источниках логика ломается с первых же абзацев». Из каждого первоисточника я брал только то, что мне было необходимо (и что считал верным), и не более того. Например, я, так же как и Вы, не согласен с отождествлением числа и вектора, но почему не процитировать из того же источника верный и важный тезис? Если бы не привёл ссылку, получилось бы, что я присвоил себе чужую мысль, а это гораздо хуже, чем грех отождествления числа и вектора. То же самое и с Речкаловым: суть дуального базиса лучше и понятнее него, по моим сведениям, никто не объяснил, а мне от него только этого и было надо. Кроме того, мы же не знаем, какие претензии имел в виду Речкалов, критикуя свою книгу: может, он имел в виду неудачную систему обозначений, и только? Вряд ли он в ней что-то «наврал».
2. Полностью согласен с Вами, что понятие вектора можно трактовать по-разному – как алгебраический («три/четыре числа» в физике) или геометрический объект («направленный отрезок», в частности, в механике). Но эти трактовки не отменяют друг друга, более того, они в равной степени продуктивны в рамках векторного или координатного подхода. По-моему, та или иная трактовка вектора определяется степенью абстрагирования от реальности. Вы изначально в рамках решаемой задачи принимаете ту трактовку, которая вам удобнее, понимая, что она не является единственно верной.
3. Мне кажется, местами Вы совершенно напрасно высказываете крайние(!) точки зрения. Примеры: «линейной алгебры нет»; поскольку электрон не частица и не волна, то «нет никакого квантово-волнового дуализма». Это не значит, что эти утверждения не имеют под собой оснований, но их крайность заведомо делает их уязвимыми для критики(!) и может загнать в тупик догматизма.
Научные факты объективны. Но они могут быть истолкованы и описаны не одним способом. (Хотя эта неоднозначность как раз не объективна, она отражает степень нашего незнания). Например, по Фейнману, волновая функция электрона – результат интегрирования по всем возможным траекториям его движения, и с этой точки зрения электрон всё-таки волна(!) и математически описывается как волна. Подобных примеров, между прочим, не мало. Во времена Эйнштейна считалось, что в релятивистской области масса движущегося объекта стремится к бесконечности («релятивистская» масса), теперь же большинство физиков склоняется к тому, что масса не зависит от скорости («инвариантная» масса). Источник противоречия – различная трактовка уравнения для энергии движущегося тела. (В своё время об этом много писал физик Окунь). Но это не означает, что Эйнштейн был не прав. Современная трактовка массы отнюдь не отменяет старую, просто она (сейчас!) признана… более удобной, что ли. Это очень разумно со стороны нынешних физиков: ещё не известно, какой трактовки будут придерживаться их потомки.
Одним словом, я не против Ваших оценок (тем более, что электрон по современным представлениям это, действительно, неизвестно что), но, как кажется, твёрдо отстаивая свои принципы, логично оставить себе «люфт» – смягчить формулировки, признав право на существование других трактовок. В общем, наверное, не стоит спешить признавать квантово-волновой дуализм лженаукой.
Можно обойтись без интегралов. Дело в том, что метрический тензор входит в формулу для интервала – этим всё сказано. Через него осуществляется расчёт кратчайшего расстояния между точками пространства (ds). Более подробно об этом см. п. 11 в списке литературы в обсуждаемой(?!) статье: https://habr.com/ru/articles/756604/
Относительно «заткнись и считай». Компоненты метрического тензора gik равны скалярному произведению базисных векторов (см. обсуждаемый текст, формулы (7) и (8)). В СТО на главной диагонали имеем: gik=ei∙ei. Косинус угла между ei и ei равен +1. Объясните неучу: как при этом может возникнуть минус? (Только не надо ссылаться на формулу интервала, это здесь не при чём – суть изложена в предыдущих строках). Честно признаюсь, я не знаю ответа, поэтому заранее благодарен за содержательное объяснение.
MasterMentor’у.
1. Я в очередной (второй) раз настаиваю, утверждаю, провозглашаю, декларирую, что целью статьи не является «попытка осмыслить и объяснить понятие тензора». Напротив, хотя бы начальное понимание того, что такое тензор, предполагается изначально.
2. Тема статьи – выявить «физику»(!!) понятий контра- и ковариантности вектора/тензора. (Только это, ничего другого!). Формальное жонглирование индексами может освоить любой первокурсник, но речь именно о «физике». То, что ниже - не очень правильно с точки зрения научной этики, но, поскольку статью полностью, подозреваю, никто не прочитал, приходится перечислить основные её положения (для возбуждения хотя бы минимального интереса).
а). Последовательно изложена «физика» дуальной системы координат – её связь с основной системой и правила построения. (Кстати, огромное спасибо за это «Речкалову со звёздочкой». Вообще, я с уважением отношусь к любым авторам – они, совершенно точно, знают тензорное исчисление лучше меня). Для кого-то пункт (а) не открытие, но дело в том, что большинство авторов первоисточников его игнорируют или излагают мимоходом и без пояснений, а он - ключевой(!). Замечание. В самом начале статьи чётко указано, что её адресат – не «продвинутые», а «первоходы» в тензорном исчислении.
б). На простейших примерах показано, как строится и как выглядит дуальная система координат. Даны именно геометрические (следуя Вашей рекомендации) и физические иллюстрации, после которых, по моему мнению, вопросов остаться не должно.
в). Показаны «физические» отличия обычного вектора и ковектора (линейного функционала). Для последнего даны физическая и геометрическая интерпретации. (Опять: многие авторы-математики, те же ЛиЛ, эту «физику» игнорируют, оставаясь в рамках «беспощадно формальной» математики).
г). В связи с п. (в) констатировано, что формулы преобразования координат – не более чем формальные(!) критерии различения обычных векторов и ковекторов. Замечание. Как-то авторы не очень-то упоминают об этом формальном характере. Наоборот, они эти формулы «возводят в абсолют».
д). После пп. (а)-(г) непонятных вопросов по контра- и ковариантности векторов, но мой взгляд, остаться не должно.
г). Выявлена, причём математически, (опять же!) «физика» (а не формальные формулы) взаимной трансформации векторов: контра- и ковариантный векторы «естественно» представляются в «родных» для них системах координат, а суть трансформации сводится лишь к формальной процедуре расчёта компонент вектора в другой системе. (Может, я не прав, но авторы первоисточников как-то не акцентируют на этом внимание).
д). Ещё один вопрос по теме – смешанный тензор. По ходу дела показана сущность тензоров высших рангов (а она проистекает из их базиса). Вот тут, действительно, приходится сообщить некую информацию по тензорам вообще.
е). Со ссылкой на первоисточники (что характерно и для всего текста) вскрывается «физическая» сущность тензора смешанного типа и показано, почему он не может быть представлен графически. Полагаю, может быть, напрасно, что пп. (д) и (е) не излагаются «слишком подробно» студентам- физикам.
Резюме. Статья посвящена обсуждению частного, узкого вопроса тензорного исчисления. Она рассчитана на студентов-первокурсников. Автор ничего не придумал сам, он основывается на первоисточниках.
Извините за склонность к длинным и нудным
объяснениям. С уважением, dfreev.
Согласен. Правильное уточнение, этот факт мне был неизвестен.
fujinon'у. Цель статьи сформулирована в названии. И это - не "попытка объяснить само понятие тензора с нуля". Наоборот, пару раз указано, что текст предполагает некоторое, хотя бы начальное, знакомство с тензорным исчислением.
Понятно, что никто даже не попытался прочитать текст далее преамбулы. Не надеюсь изменить ситуацию. Но тогда хотя бы обратите внимание на Приложение-2 в самом конце текста. Вдруг там содержится информация, содержательная с точки зрения разгоревшейся здесь дискуссии?
Первыми были механики. Эйнштейн стал изучать тензорное исчисление и геометрию Римана только по "наводке" Гильберта - математика. В статье первенство механиков обосновывается, и достаточно убедительно - со ссылками на первоисточники.
По моему не слишком авторитетному мнению. Относительно Ландау и Лифшица: всё-таки они говорят об одной и той же(!) векторной(!) величине. Так что, прямой смысл их цитаты противоречит Вашей трактовке. Однако в тексте автор не ограничивается этой цитатой, а для большей убедительности подкрепляет утверждение Ландау и Лифшица ещё одной цитатой: «Всякий вектор А может быть разложен как по векторам основного базиса (тогда компоненты его разложения являются контравариантными), так и по векторам дуального базиса (с ковариантными компонентами)», и далее приводятся соответствующие формулы разложений [Победря, с. 15]. Но дело не в Победре, а в том, что последняя цитата почти дословно повторяется всеми авторами, которые пишут на обсуждаемую тему. И ещё (без обид!). Было бы печально, если бы Вы оказались правы, и вектор в самом деле не является тензором: в этом случае придётся переписывать все до единой книги по тензорному исчислению, потому как в них утверждается обратное. Пожелание: похоже, никто не прочитал эту длинную и нудную статью до конца. Не хотите стать первым? С учетом Вашей квалификации Вы могли бы написать действительно содержательную рецензию.
Относительно "Вашего непонимания". Конечно, текст длинный, вероятно поэтому Вы не удосужились дочитать до того места, где приведена цитата из Ландау и Лифшица: «Одна и та же векторная физическая величина может быть представлена как в контра-, так и в ковариантных компонентах». Так что, Вы обнаружили непонимание не у меня, а у Ландау с Лифшицем.
Все публикации автора: https://vk.com/id608846425
Все публикации автора: https://vk.com/id608846425
Там интересно!
Невозможно удалить свой собственный комментарий - ?!
---
Разобрался. Признаю: был неправ. Суть в том, что базисный вектор всегда выступает в качестве меры длины, но он не обязан быть единичным.
Я понял, в чём суть разногласий. Я обсуждал формулы (1) и (2), а Вы – определение базиса. Ну, определение Вы дали, спасибо за это. В продолжении дискуссии не вижу смысла.
Уважаемый mayorovp!
1. В моём понимании базисный вектор – это «стрелка», уходящая за границы видимой Вселенной. Он не имеет количественного измерения и по этой причине не может входить в уравнения типа (1), описывающего количественные взаимосвязи. В уравнениях типа (1) могут фигурировать только орты.
2. «Ковариантный базис» является синонимом «дуального базиса». Само название дуального базиса говорит о том, что он противопоставляется некоему исходному базису – контравариантному. Впрочем, в математике противопоставление этих базисов чисто условное, их можно менять местами. (В этом с Вами следует согласиться). Но в любом случае это не один базис, это разные базисы. Иллюстрация: в СТО ко- и контравариантный базисы совершенно разные, у них совпадают только временнЫе координатные оси.
3. Здравый смысл заставляет не допускать абсолютной уверенности в собственной правоте, поэтому хотелось бы услышать мнение автора по обсуждаемым вопросам.
1. Всё-таки остаюсь при своём мнении: формулы (1) и (2) «не стыкуются» между собой. В формуле (1) е1 и е2 – это именно орты, то есть, единичные базисные вектора, задающие масштаб вдоль соответствующей оси. Произведения проекций вектора а (а1 и а2, скаляров) и ортов е1 и е2 задают векторы ОА1 и ОА2. В сумме векторы ОА1 и ОА2 дают (по правилу параллелограмма) исходный вектор а, что и отражает формула (1).
В таком случае в числителе (5) е1 тоже орт, и при скалярном произведении вектора а на единичный вектор (орт) мы получаем точное значение проекции а на ось (ОВ1, скаляр). Поэтому знаменатель избыточен.
Однако в целом ход рассуждений автора, по-моему, правильный. Если всё подкорректировать, в итоге всё равно должен получиться метрический тензор (11).
2. Математика описывает количественные взаимосвязи и законы природы в окружающем нас реальном мире, в отрыве от него она не существует. Поэтому рискну утверждать, что любому абстрактному математическому объекту можно найти физическую иллюстрацию, пусть даже не менее абстрактную (типа десятимерного пространства). Автор и сам не ограничивается формулами, а сопровождает их рисунками – это и есть физическая (геометрическая) интерпретация. Конкретно: автор указал на место ковариантного базиса в косоугольных координатах (хотя и не акцентировал этот момент). Где он локализуется в СТО, известно. Если бы уважаемые математики рассказали нам, где он прячется в ОТО, а потом обобщили на все «случаи жизни», они сильно облегчили бы жизнь всем остальным: по-моему, непонимание тензорного исчисления (в частности, ковариантности, свёртки, «жонглирования» индексами и т. п.) объясняется именно отсутствием понятных физических интерпретаций. Поэтому всё сказанное здесь не «философия», а самая что ни на есть «проза жизни». А вопрос остаётся: какой смысл в очередной раз излагать тензорное исчисление без «физики»?