maisvendoo Jun 30 2015 at 10:48

Магия тензорной алгебры: Часть 1 — что такое тензор и для чего он нужен?

7 min

359K

Содержание

Введение

Это было очень давно, когда я учился классе в десятом. Среди довольно скудного в научном плане фонда районной библиотеки мне попалась книга — Угаров В. А. «Специальная теория относительности». Эта тема интересовала меня в то время, но информации школьных учебников и справочников было явно недостаточно.

Однако, книгу эту я читать не смог, по той причине, что большинство уравнений представлялись там в виде тензорных соотношений. Позже, в университете, программа подготовки по моей специальности не предусматривала изучение тензорного исчисления, хотя малопонятный термин «тензор» всплывал довольно часто в некоторых специальных курсах. Например, было жутко непонятно, почему матрица, содержащая моменты инерции твердого тела гордо именуется тензором инерции.

Погружение в специальную литературу не приносило просветления. Технарю достаточно тяжело переварить строгий абстрактный язык чистой математики. Тем не менее, от случая к случаю я возвращался к этому вопросу, и вот спустя почти шестнадцать лет наступило просветление, о чем и будет рассказано под катом. Возможно, мои рассуждения покажутся примитивными и упрощенными, но понимание любой сложной вещи принято разворачивать от процесса оперирования простыми понятиями, поэтому начнем.

1. Вектор на плоскости. Контравариантные, ковариантные координаты и связь между ними

Рассмотрим вектор, и без потери общности наших рассуждений, рассмотрим вектор заданный на плоскости. Как известно из курса ещё школьной геометрии, любой вектор можно задать на плоскости с помощью двух неколлинеарных векторов

$\vec{a} = a^1 \vec{e}_1 + a^2 \vec{e}_2.\quad (1)$

Здесь $a^i,\, i = \overline{1,2}$ — коэффициенты разложения, (под верхним индексом следует понимать именно номер компоненты, а не возвдение в степень), называемые контрвариантные координаты вектора $\vec{a}$ . Геометрически это можно изобразить так, как показано на рисунке ниже. Векторы $\vec{e}_1, \vec{e}_2$ называют базисными, угол между ними, при условии $\varphi \ne 0,\pi$ , может быть произвольным, произвольна так же ненулевая длина базисных векторов. Указанный базис задает косоугольную систему координат на плоскости, с осями (u,v) .

Рис.1. Вектор в косоугольных координатах на плоскости

Исходя из чертежа длины отрезков OA_1 и OA_2 равны

$OA_1 = a^1 \left|\vec{e}_1 \right|,\, OA_2 = a^2 \left|\vec{e}_2 \right|\quad (2)$

Однако, это не единственный способ определить вектор $\vec{a}$ в данной системе координат. Его можно так же задать ортогональными проекциями на оси (u, v) . Нетрудно видеть, что эти проекции равны

$&OB_1 = OA_1 + OA_2\cos\varphi = a^1 \left|\vec{e}_1 \right| + a^2 \left|\vec{e}_2 \right| \cos\varphi\quad (3) \\ &OB_2 = OA_1\cos\varphi + OA_2 = a^1 \left|\vec{e}_1 \right|\cos\varphi + a^2 \left|\vec{e}_2 \right|\quad (4)$

С другой стороны, выразим длины этих проекций через длины базисных векторов таким образом
$&OB_1 = a_u = \frac{\vec{a} \cdot \vec{e}_1}{\left|\vec{e}_1 \right|} = \frac{a_1}{\left|\vec{e}_1 \right|} \quad (5) \\ &OB_2 = a_v = \frac{\vec{a} \cdot \vec{e}_2}{\left|\vec{e}_2 \right|} = \frac{a_2}{\left|\vec{e}_2 \right|}\quad (6)$

где $a_1 = \vec{a} \cdot \vec{e}_1$ и $a_2 = \vec{a} \cdot \vec{e}_2$ — ковариантные координаты вектора $\vec{a}$ .

Сравниваем (3), (5) и (4), (6)

$&\frac{a_1}{ \left|\vec{e}_1 \right|} = a^1 \left|\vec{e}_1 \right| + a^2 \left|\vec{e}_2 \right| \cos\varphi \quad (7) \\ &\frac{a_2}{ \left|\vec{e}_2 \right|} = a^1 \left|\vec{e}_1 \right|\cos\varphi + a^2 \left|\vec{e}_2 \right| \quad (8)$

Умножим (7) на $\left|\vec{e}_1 \right|$ , а (8)
на $\left|\vec{e}_2 \right|$ и преобразуем их

$&a_1 = a^1(\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1) + a^2 (\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2) \quad (9) \\ &a_2 = a^1(\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2) + a^2 (\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2) \quad (10)$

Введем матрицу

$\mathbf{g} = \begin{bmatrix} \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 && \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 \\ \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 && \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 \end{bmatrix} \quad (11)$

тогда (9) и (10) можно выразить следующим соотношением

$a_i = \sum_{j=1}^{2} g_{ij} a^j,\, i=1,2 \quad (12)$

Выражение (12) дает связь между ковариантными и контрaвариантными координатами вектора, определяемую лишь видом матрицы $\mathbf{g}$ , зависящей от длин взаимного расположения базисных векторов. Пока никак не будем интерпретировать полученный результат, а просто запомним его.

Набор контравариантных и ковариантных компонент, по сути, задают в выбранном базисе один и тот же вектор. При использовании контравариантных координат этот вектор задается матрицей-столбцом

$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a^1 \\ \vdots \\ a^n \end{bmatrix}$

а в ковариантной форме — матрицей-строкой

$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1 && \cdots && a_n \end{bmatrix}$

2. Скалярное произведение векторов

Перейдем к пространству более высокой размерности и рассмотрим два вектора

$\label{eq:3d-vectors} \vec{a} = a^1 \vec{e}_1 + a^2 \vec{e}_2 + a^3 \vec{e}_3,\, \vec{b} = b^1 \vec{e}_1 + b^2 \vec{e}_2 + b^3 \vec{e}_3$

где базисные векторы $\vec{e}_1,\vec{e}_2, \vec{e}_3$ , как и выше, ненулевые
некомпланарные векторы. Перемножим векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ скалярно.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left(a^1 \vec{e}_1 + a^2 \vec{e}_2 + a^3 \vec{e}_3\right) \cdot \left(b^1 \vec{e}_1 + b^2 \vec{e}_2 + b^3 \vec{e}_3\right)$

В последнем выражении аккуратно раскроем скобки

$\vec{a} \cdot \vec{b} = &a^1 b^1 (\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 ) + a^2 b^1 (\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 ) + a^3 b^1 (\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3 ) + \\ &a^1 b^2 (\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 ) + a^2 b^2 (\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 ) + a^3 b^2 (\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 ) + \\ &a^1 b^3 (\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3 ) + a^2 b^3 (\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 ) + a^3 b^3 (\vec{e}_3 \cdot \vec{e}_3 )$

и снова введем матрицу

$\mathbf{g} = \begin{bmatrix} \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 && \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 && \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3 \\ \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 && \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 && \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 \\ \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3 && \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 && \vec{e}_3 \cdot \vec{e}_3 \end{bmatrix} \quad (14)$

и тогда скалярное произведение можно свернуть весьма компактным образом

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^3 \left(\sum_{j=1}^3 g_{ij} a^j\right) b^i \quad (15)$

Первое, что можно заметить, при уменьшении числа измерений пространства мы перейдем от (14) к (11) а выражение
(15) будет работать и давать склярное произведение векторов, но уже на плоскости. То есть мы получили некую обобщающую форму записи операции скалярного умножения, не зависящую ни от размерности пространства, ни от рассматриваемого базиса, все свойства которого обраны в матрице $\mathbf{g}$ . Внимательно взглянув на (15) мы поймем ещё одну вещь

$a_i = \sum_{j=1}^3 g_{ij} a^j,\, i=1,2,3 \quad (16)$

что есть ничто иное как ковариантные координаты вектора $\vec{a}$ . То есть, (15) можно переписать

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^3 a_i b^i \quad (17)$

Но и это не предел упрощения

3. Правило Эйнштейна

Хитный и проницательный Альберт Эйнштейн придумал правило суммирования, в выражениях подобных (17), избавляющее математика от надоедливой и избыточной $\sum$ . В выражениях (16) и (17) можно опустить знак суммы, подразумевая суммирование по повторяющемуся индексу, который называют «немым». То есть, (16) переписываем так

$a_i = g_{ij}\, a^j,\, i=1,2,3 \quad (18)$

здесь j — индекс, по которому происходит суммирование. По правилу, этот индекс должен чередовать свое положение — если у первого множителя он внизу, то у второго должен быть вверху и наоборот. Выражение (17) будет выглядеть так

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_i\, b^i \quad (19)$

Ну а (15) придет к виду

$\vec{a} \cdot \vec{b} = g_{ij}\, a^j\, b^i \quad (20)$

А теперь мы посмотрим, для чего надо было городить такой огород.

4. Анализ на простых примерах

Допустим, что наш базис — декартов, то есть ортонормированый. Тогда, матрица $\mathbf{g}$ становится единичной

$\mathbf{g} = \begin{bmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \end{bmatrix}$

Пусть вектор $\vec{a}$ задан в таком базисе. Квадрат длины вектора, как известно, это скалярное произведение этого вектора самого на себя, то есть

$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = g_{ij}\, a^j\, a^i = &\left(g_{11} a^1 + g_{12} a^2 + g_{13} a^3\right) a^1 + \\ & + \left(g_{21} a^1 + g_{22} a^2 + g_{23} a^3\right) a^2 + \\ & + \left(g_{31} a^1 + g_{32} a^2 + g_{33} a^3\right) a^3 = \\ & = (a^1)^2 + (a^2)^2 + (a^3)^2$

И мы получили… квадрат длины вектора, заданного в прямоугольной системе координат!

Ещё пример, дабы не загроможнать который, будем работать в двух измерениях. Пусть система координат подобна той, что изображена на рисунке из параграфа 1, и в ней задан вектор $\vec{b}$ своими контравариантными rоординатами. Тогда

$\mathbf{g} = \begin{bmatrix} 1 && \cos\varphi \\ \cos\varphi && 1 \end{bmatrix}$

где $\varphi$ — угол между векторами базиса. Вычислим длину вектора $\vec{b}$

$|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = g_{ij}\, b^j\, b^i = &\left(g_{11} b^1 + g_{12} b^2\right) b^1 + \left(g_{21} b^1 + g_{22} b^2\right) b^2 = \\ & = (b^1)^2 + b^2\, b^1 \cos\varphi + b^1\, b^2 \cos\varphi + (b^2)^2 = \\ & = (b^1)^2 + (b^2)^2 + 2\, b^1\, b^2 \cos\varphi$

Ровно такой же результат мы получим, если воспользуемся теоремой косинусов и найдем квадрат длины диагонали параллелограмма.

Что получается? Работая в разных системах координат, мы использовали одну единственную формулу (20) для вычисления скалярного произведения. И её вид совершенно не зависит ни от базиса, ни от числе измерений пространства, в котором мы работаем. Базисом определяются лишь конкретные значения компонент матрицы $\mathbf{g}$ .

Так вот, уравнение (20) выражает скалярное произведение двух векторов в тензорной, то есть независимой от выбранного базиса форме.

Матрица $\mathbf{g}$ задает так называемый метрический тензор. Её вид
определяет каким образом в выбранных координатах вычисляется расстояние между двумя точками.

Но почему мы называем эту матрицу тензором? Следует понимать, что математическая форма, в данном случае квадратная матрица, содержащая набор компонент, это ещё не тензор. Понятие тензора несколько шире, и прежде чем мы скажем, что такое тензор, мы рассмотрим ещё один вопрос.

5. Преобразование метрического тензора при смене базиса

Перепишем соотношение (20) в матричной форме, так нам будет легче оперировать им

$c = \mathbf{a}^{(0)T}\, \mathbf{g}^{(0)}\, \mathbf{b}^{(0)} \quad (21)$

где c — скалярное произведение векторов. Верхний индекс несет смысл системы координат, в которой заданы векторы и определен метрический тензор. Скажем это система координат СК0. Преобразование вектора к некоторой другой системе
координат СК1 описывается матрицей преобразования $\mathbf{A}_{01}$ , то есть

$\mathbf{a}^{(0)} = \mathbf{A}_{01}\, \mathbf{a}^{(1)}, \quad \mathbf{b}^{(0)} = \mathbf{A}_{01}\, \mathbf{b}^{(1)} \quad (22)$

Подставим (22) в (21)
$c = \left(\mathbf{A}_{01}\, \mathbf{a}^{(1)}\right)^T\, \mathbf{g}^{(0)}\,\mathbf{A}_{01}\, \mathbf{b}^{(1)} = \mathbf{a}^{(1)T}\, \mathbf{A}_{01}^T \mathbf{g}^{(0)}\,\mathbf{A}_{01}\, \mathbf{b}^{(1)}$

в последнем выражении

$\mathbf{A}_{01}^T \mathbf{g}^{(0)}\,\mathbf{A}_{01} = \mathbf{g}^{(1)}$

метрический тензор, компоненты которого определяются новым базисом. То есть, в новом базисе операция имеет аналогичную форму

$c = \mathbf{a}^{(1)T}\, \mathbf{g}^{(1)}\, \mathbf{b}^{(1)}$

Тем самым мы показали ещё одно свойство тензора — его компоненты меняются синхронно с компонентами векторов того пространства, в котором определен тензор. То есть теперь мы можем сказать, что тензор — это математический объект, представленный набором компонент и правилом их преобразования при смене базиса.

Теперь, используя правило Эйнштейна, перепишем (22) и (23) в тензорной форме

$a^{i(1)} = \alpha_k^i a^{k(0)}, \quad b^{i(1)} = \alpha_k^i b^{k(0)} \quad (24)$

$g_{ij}^{(1)} = \alpha_i^l \, \alpha_j^k \, g_{kl}^{(0)} \quad (25)$

где $\alpha_p^q$ — элементы матрицы $\mathbf{A}_{01}$ . Проиллюстрируем (25) на трехмерном примере. Пусть матрица преобразования координат имеет вид

$\mathbf{A}_{01} = \begin{bmatrix} \alpha_1^1 &&\alpha_2^1 && \alpha_3^1 \\ \alpha_1^2 &&\alpha_2^2 && \alpha_3^2 \\ \alpha_1^3 &&\alpha_2^3 && \alpha_3^3 \end{bmatrix}$

Распишем преобразование компонента метрического тензора, выполняя суммирование по немым индексам k и l в (25)

$g_{ij}^{(1)} = & \alpha_i^1 \, \left( \alpha_j^1 \, g_{11}^{(0)} + \alpha_j^2 \, g_{21}^{(0)} + \alpha_j^3 \, g_{31}^{(0)} \right) + \\ & \alpha_i^2 \, \left( \alpha_j^1 \, g_{12}^{(0)} + \alpha_j^2 \, g_{22}^{(0)} + \alpha_j^3 \, g_{32}^{(0)} \right) + \\ & \alpha_i^3 \, \left( \alpha_j^1 \, g_{13}^{(0)} + \alpha_j^2 \, g_{23}^{(0)} + \alpha_j^3 \, g_{33}^{(0)} \right)$

откуда видно что в (25) выполняется транспонирование матрицы перехода, умножение результата на метрический тензор и
умножение полученной матрицы на матрицу перехода.

Теперь рассмотрим конкретный пример, на плоскости, чтобы не писать излишне громоздких выкладок

Пусть вектор $\vec{a}$ задан в двух нормированных базисах: прямоугольном
$(\vec{e}_{10}, \, \vec{e}_{20})$ и косоугольном $(\vec{e}_{11}, \, \vec{e}_{21})$ . Преобразование из косоугольной системы координат в прямоугольную выражается матрицей

$\mathbf{A}_{01} = \begin{bmatrix} \cos\varphi && \sin\varphi \\ \sin\varphi && \cos\varphi \end{bmatrix}$

обратное преобразование

$\mathbf{A}_{10} = \mathbf{A}_{01}^{-1} = \begin{bmatrix} \cfrac{\cos\varphi}{\cos 2 \varphi} && -\cfrac{\sin\varphi}{\cos 2 \varphi} \\ -\cfrac{\sin\varphi}{\cos 2 \varphi} && \cfrac{\cos\varphi}{\cos 2 \varphi} \end{bmatrix}$

Пусть также, в прямоугольных координатах наш вектор имеет компоненты

$\mathbf{a}^{(0)} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$

и совсем нетрудно увидеть, что длина его $|\vec{a}| = 5$ . Метрический тензор в ортонормированном базисе представляется единичной матрицей

$\mathbf{g}^{(0)} = \begin{bmatrix} 1 && 0 \\ 0 && 1 \end{bmatrix}$

значит

$|\vec{a}|^2 = g_{ij}^{(0)} \, a^{j(0)} \, a^{i(0)} & = \left( g_{11}^{(0)} \, a^{1(0)} + g_{12}^{(0)} \, a^{2(0)} \right) a^{1(0)} + \left( g_{21}^{(0)} \, a^{1(0)} + g_{22}^{(0)} \, a^{2(0)} \right) a^{2(0)} \\ & = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25.$

Зададим угол наклона осей $\varphi = \frac{\pi}{6}$ и вычислим контравариантные компоненты вектора в косоугольных осях

$&a^{1(1)} = \tilde{\alpha}_1^1 \, a^{1(0)} + \tilde{\alpha}_2^1 \, a^{2(0)} = 3\sqrt{3} - 4 \\ &a^{2(1)} = \tilde{\alpha}_1^2 \, a^{1(0)} + \tilde{\alpha}_2^2 \, a^{2(0)} = -3 + 4\sqrt{3}$

Вместе с вектором необходимо преобразовать и метрический тензор

$&g_{11}^{(1)} = \alpha_1^1 \, \left( \alpha_1^1 \, g_{11}^{(0)} + \alpha_1^2 \, g_{21}^{(0)} \right) + \alpha_1^2 \, \left( \alpha_1^1 \, g_{12}^{(0)} + \alpha_1^2 \, g_{22}^{(0)} \right) = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \frac{\sqrt 3}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 \\ &g_{12}^{(1)} = \alpha_1^1 \, \left( \alpha_2^1 \, g_{11}^{(0)} + \alpha_2^2 \, g_{21}^{(0)} \right) + \alpha_1^2 \, \left( \alpha_2^1 \, g_{12}^{(0)} + \alpha_2^2 \, g_{22}^{(0)} \right) =\frac{\sqrt 3}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt 3}{2} = \frac{\sqrt 3}{2} \\ &g_{21}^{(1)} = \alpha_2^1 \, \left( \alpha_1^1 \, g_{11}^{(0)} + \alpha_1^2 \, g_{21}^{(0)} \right) + \alpha_2^2 \, \left( \alpha_1^1 \, g_{12}^{(0)} + \alpha_1^2 \, g_{22}^{(0)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt 3}{2} + \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt 3}{2} \\ &g_{22}^{(1)} = \alpha_2^1 \, \left( \alpha_2^1 \, g_{11}^{(0)} + \alpha_2^2 \, g_{21}^{(0)} \right) + \alpha_2^2 \, \left( \alpha_2^1 \, g_{12}^{(0)} + \alpha_2^2 \, g_{22}^{(0)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \frac{\sqrt 3}{2} = 1$

Ну а теперь вычислим длину вектора в новом базисе

$|\vec{a}|^2 = g_{ij}^{(1)} \, a^{j(1)} \, a^{i(1)} & = \left( g_{11}^{(1)} \, a^{1(1)} + g_{12}^{(1)} \, a^{2(1)} \right) a^{1(1)} + \left( g_{21}^{(1)} \, a^{1(1)} + g_{22}^{(1)} \, a^{2(1)} \right) a^{2(1)} = \\ & = \left( 3\sqrt 3 - 4 - 3\frac{\sqrt 3}{2} + 6 \right) \left(3\sqrt 3 - 4 \right) + \\ & + \left( \frac{9}{2} - 2\sqrt 3 - 3 + 4\sqrt 3 \right) \left(-3 + 4\sqrt 3\right) = \\ & = \frac{27}{2} + 6\sqrt 3 - 6\sqrt 3 - 8 - \frac{9}{2} - 6\sqrt 3 + 6\sqrt 3 + 24 = 9 + 16 = 25$

то есть

$|\vec{a}| = 5,$

и скалярное произведение и длина вектора инвариантны, то есть неизменны при преобразовании координат, а так и должно быть. При этом, мы использовали по сути одно и то же соотношение (20) для работы в разных базисах, предварительно преобразовав метрический тензор в соответствии с правилом преобразования векторов в рассматриваемых пространствах
(25).

Заключение и выводы

Что мы увидели в предыдущем параграфе? Если свойства пространства, в котором заданы векторы известны, то для нас не составляет труда выполнить, строго формальным образом, действия над векторами, используя соотношения, вид которых от формы пространства независим. Причем соотношения (20), (24) и (25) дают нам и алгоритм вычисления и способ преобразования компонент выражений, используемых алгоритмом. В этом — мощь и сила тензорного подхода.

Многие физические теории, например ОТО, оперируют искривленным пространством-временем, и там другой подход просто неприемлем. В искривленном пространстве-времени метрический тензор задан локально, в каждой его точке, и если попытаться обойтись без тензоров, у нас ничего не выйдет — мы получим громоздкие и неповоротливые уравнения, если получим их вообще.

В прикладных областях науки тензорная запись выражений применима там, где требуется получать уравнения, независимые от используемой системы координат.

Но это ещё не всё. Мы не поговорили о свойствах метрического тензора, не рассмотрели векторное произведение и тензор Леви-Чевиты. Не поговорили о ранге тензоров и операциях с ними, не разобрались до конца с правилами индексации компонент тензоров и о многом другом. Об этом будет написано несколько позднее, а пока — спасибо всем моим читателям за внимание.

Продолжение следует...

Tags:

Hubs:

Mathematics