Топ 100+ возможностей работы с синусом в Wolfram|Alpha, или Краткий обзор математических возможностей и синтаксиса Wolfram|Alpha / Habr

Перевод поста Майкла Тротта (Michael Trott) и Эрика Вайсштайна (Eric W. Weisstein) "Michael Trott & Eric W. Weisstein
The Top 100+ Sines of Wolfram|Alpha", существенно расширяющий вопросы, затронутые авторами.
Скачать перевод в виде документа Mathematica, который содержит весь код использованный в статье, можно здесь (архив, ~12 МБ).

Сервис Wolfram|Alpha может выполнять огромное количество всевозможных вычислений и математические вычисления являются одной из его узких специальностей. В самом деле, используя мощь вычислительных возможностей системы Mathematica, с помощью которой создана система Wolfram|Alpha, сервис Wolfram|Alpha может решать большой спектр задач связанных с математическими функциями, начиная от самых простых и заканчивая дьявольски сложными.

Чтобы прояснить то, что мы подразумеваем под “большим спектром задач” (о котором мы действительно так думаем), давайте возьмем в качестве примера такую непритязательную математическую функцию, как синус. Ниже мы привели список, который раскрывает 93 возможности того, что Wolfram|Alpha может делать с синусом, но в итоге мы добавили еще сверх того некоторое количество бонусных возможностей, перед включением которых в пост мы не могли устоять.

Давайте начнем с того, что просто введем в Wolfram|Alpha запрос sin(x), т. е. просто функцию синус от аргумента x, как она есть. Ниже представлено то, что сервис Wolfram|Alpha выдаст нам в качестве результата на этот запрос:

Для тех, кто знает о том, что такое действительные числа, большинство из приведенных выше результатов относится к действительным значениям аргумента х. С другой стороны, если вы будете использовать другой вид аргумента у функции синус, т. е. введете запрос, скажем, sin(z) или sin(х+iу), то Wolfram|Alpha предположит что вы хотите работать в области комплексных чисел (комплексных переменных) и выдаст вам другой набор графиков и результатов, как это показано на рисунке ниже:

Конечно, вы можете попросить Wolfram|Alpha вычислить каждый из вышеупомянутых результатов расчетов по отдельности, например,

• Глобальный максимум функции sin(х).

Запрос в Wolfram|Alpha: global maxima sin(x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Вы также можете построить построить множество графиков, задав соответствующие запросы:

• Построить графики sin(x), sin(2x), sin(3x)

Запрос в Wolfram|Alpha: Plot sin(x), sin(2x), sin(3x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Построить графики sin(x), sin(sin(x)), sin(sin(sin(x))), sin(sin(sin(sin(x)))), sin(sin(sin(sin(sin(x)))))

Запрос в Wolfram|Alpha: Plot sin(x), sin(sin(x)), sin(sin(sin(x))), sin(sin(sin(sin(x)))), sin(sin(sin(sin(sin(x)))))

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• График изолиний поверхности sin(x/|y| — y/|x|) при x = -π до π и y = -π до π

Запрос в Wolfram|Alpha: Contourplot sin(x/|y| — y/|x|) from x = -pi to pi and y = -pi to pi

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• График поверхности sin (x — y) / sin(x + y) при x = -2π до 2π и y = -2π до 2π

Запрос в Wolfram|Alpha: Plot3d sin(x — y) / sin(x + y) from x = -2pi to 2pi and y = -2pi to 2pi

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Полярный график r = 1 + sin(100 θ)

Запрос в Wolfram|Alpha: Polar plot r = 1 + sin(100 theta)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Результат последнего запроса, полученный в Wolfram|Alpha имеет вид:

Вы также можете с легкостью построить более сложные выражения, зависящие от функции синус, например:

• График функции {(1/{1/sin(x)}}, где {y} — дробная часть числа y.

Запрос в Wolfram|Alpha: Plot frac(1/frac(1/sin(x)))

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• График функции sin (x!)! при x = -3 до 3

Запрос в Wolfram|Alpha: Plot sin (x!)! from x = -3 to 3

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Изобразить графически члены последовательности 1, sin(1), sin(sin(1)), ... (всего 101 член)

Запрос в Wolfram|Alpha: Plot nestlist(sin, 1., 100)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• График параметрически заданной кривой x=max(sin(t), cos(pi t)), y=max(cos(t), sin(pi t))} t = 0 до 100

Запрос в Wolfram|Alpha: Parametric plot {max(sin(t), cos(pi t)), max(cos(t), sin(pi t))} from t = 0 to 100

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Графики поверхности действительной и мнимой частей функции sin(sin(x + i y)) при x =-π до π и y =-π до π

Запрос в Wolfram|Alpha: Plot3d sin(sin(x + i y)) from x=-pi to pi and y =-pi to pi

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Полярный график функции r = min(sin(x), sin(sqrt(2) x), sin(sqrt(3) x), sin(sqrt(5) x)) при x = 0 до 100 π

Запрос в Wolfram|Alpha: Polar plot min(sin(x), sin(sqrt(2) x), sin(sqrt(3) x), sin(sqrt(5) x)) from x = 0 to 100 pi

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Полярный график функции r = exp(sin(theta)) — 2 cos(4 theta) + sin^5(theta/12 — pi/24)

Запрос в Wolfram|Alpha: Polar plot r = exp(sin(theta)) — 2 cos(4 theta) + sin^5(theta/12 — pi/24)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• График трехмерной параметрически заданной поверхности (тора) {sin(s + pi/2) + sin(s + pi/2)sin (t + pi/2)/2, sin(s) + sin(s)sin (t + pi/2)/2, sin (t)/2} при s = 0 до 2π и t = 0 до 2π

Запрос в Wolfram|Alpha: Parametric plot3D {sin(s + pi/2) + sin(s + pi/2)sin (t + pi/2)/2, sin(s) + sin(s)sin (t + pi/2)/2, sin (t)/2} from s = 0 to 2pi and t = 0 to 2pi

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

А также можете использовать синтаксис Mathematica для задания многих выражений и их обработки:

• График плотности потока некоторой векторной величины {Re(sin(x + iy)), Im(Sin(x + iy))}

Запрос в Wolfram|Alpha: StreamDensityPlot[{Re[Sin[x + I y]], Im[Sin[x + I y]]}, {x, -Pi, Pi}, {y, -Pi, Pi}, ColorFunction -> “ThermometerColors”]

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• График семейства функций sin(kx) при k=0,1,2,3,...,30 пурпурного цвета

Запрос в Wolfram|Alpha: Plot[Table[Sin[k x], {k, 0, 30}],{x, 0, Pi/2}] in purple

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Мы можем вычислять какие-то конкретные значения функции синус, скажем

• sin(π/88)

Запрос в Wolfram|Alpha: sin(pi/88)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Или, наоборот, ввести число 0.0356923338389804557600… и посмотреть результат:

…вы можете заметить, что Wolfram|Alpha выдает для этого числа его аналитическое приближение в виде функции синус от аргумента x = π/88 (первое из трех представленных возможных аналитических форм представленных выше в разделе “Possible closed forms”). Если вы заинтересовались этим, то можно было бы попросить Wolfram|Alpha предоставить список всех “особенных” значений аргументов функции синус и ее значений при этих значениях аргумента сразу. Одним из особенно красивых примеров такого типа является представление значения sin(π/17) через радикалы, которое демонстрирует один из классических результатов, который был получен великим математиком Гауссом в день своего 17-летия.

Можно спросить у Wolfam|Alpha имеют ли какие-то выражения определенные свойства или форму:

• Является ли число sin(2/3) алгебраическим?

Запрос в Wolfram|Alpha: Is sin(2/3) algebraic?

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Представление числа sin(pi/(2^4 3 5)) через радикалы

Запрос в Wolfram|Alpha: Toradicals(sin(pi/(2^4 3 5)))

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Можно искать периоды различных функций:

• Период функции sin(x)

Запрос в Wolfram|Alpha: Period of sin(x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Период функции sin(x) + 2sin(2x) + 3sin(3x)

Запрос в Wolfram|Alpha: Period of sin(x)+2sin(2x)+3sin(3x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

А также находить максимумы и минимумы функций, содержащих функцию синус:

• Найти максимум функции (sin(x)/x)^2 находящийся между точками π и 4π

Запрос в Wolfram|Alpha: Maximize (sin(x)/x)^2 between pi and 4 pi

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Мы также можем построить как двумерные, так и трехмерные фигуры Лиссажу:

• График параметрически заданной двумерной кривой {sin(11t), sin(13t)}

Запрос в Wolfram|Alpha: Parametric plot {sin(11t), sin(13t)}

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• График параметрически заданной трехмерной кривой {sin(2t), sin(3t), sin(5t)} from t = 0 to 2pi

Запрос в Wolfram|Alpha: Parametric plot {sin(2t), sin(3t), sin(5t)} from t = 0 to 2pi

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Результат запроса Parametric plot {sin(11t), sin(13t)} о котором говорилось выше:

Можно не только строить кривые, но и вычислять их кривизну:

• Кривизна параметрически заданной кривой {sin(3t), sin(4t)} в точке t = 1

Запрос в Wolfram|Alpha: Curvature of {sin(3t), sin(4t)} at t = 1

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Найти координаты точек перегиба кривой:

• Точки перегиба кривой sin(x)

Запрос в Wolfram|Alpha: Inflection points sin(x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Или длину дуги кривой:

• Длина дуги параметрически заданной кривой {sin(t), sin(2t)} при t = 0 до π

Запрос в Wolfram|Alpha: Arc length {sin(t), sin(2t)} from t = 0 to pi

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Длина дуги полярной кривой r = phi sin(phi) при phi = 0 до 12π

Запрос в Wolfram|Alpha: Arc length r = phi sin(phi) from phi = 0 to 12pi

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Ниже представлен результат, который выдает Wolfram|Alpha на предыдущий запрос о длине кривой, заданной в полярной системе координат:

Можно найти точки возврата некоторой функции:

Или проверить функцию на периодичность:

• Периодична ли функция sin (4x + pi/3)?

Запрос в Wolfram|Alpha: Periodicity sin(4x + pi/3)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Есть множество математических формул, которые могут потребоваться. Рассмотрим несколько конкретных примеров:

• Представить в виде суммы sin (x)^10

Запрос в Wolfram|Alpha: Trig reduce sin(x)^10

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Представить в виде суммы sin(10x)

Запрос в Wolfram|Alpha: Trig expand sin(10x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Точно также можно получить основные формулы тригонометрии:

• Формула половинного угла для функции sin(x)

Запрос в Wolfram|Alpha: Half-angle formulas sinx

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Формула двойного угла для функции sin(x)

Запрос в Wolfram|Alpha: Double-angle formulas sinx

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Формулы синуса от суммы (разности) двух и более аргументов

Запрос в Wolfram|Alpha: Addition formulas sinx

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Ниже представлен результат запроса о формуле двойного угла для синуса:

Wolfram|Alpha также знает множество всевозможных представлений функций через другие функциональные конструкции:

• Представление синуса в виде бесконечного произведения

Запрос в Wolfram|Alpha: Product representations sinx

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Представление синуса в виде предела

Запрос в Wolfram|Alpha: Limit representations sinx

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Представление синуса через гипергеометрические функции

Запрос в Wolfram|Alpha: Sinx in terms of hypergeometrics

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Вы можете спросить у Wolfram|Alpha о связи функции синус с другими функциями:

• Представление функции sin(x) через экспоненциальную показательную функцию

Запрос в Wolfram|Alpha: Sinx in exponentials

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Связи между sin(x) и cos(x)

Запрос в Wolfram|Alpha: Relations between sin(x), cos(x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Связи между sin(x) и tg(x)

Запрос в Wolfram|Alpha: Relations between sinx, tanx

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Также можно найти связь с обратной функцией и другими функциями, выраженными через синус:

• Связи с обратной функцией для sin(x)

Запрос в Wolfram|Alpha: Relations with inverse function sinx

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Функции, которые имеют собственные имена, выраженные через sin(x)

Запрос в Wolfram|Alpha: Named functions expressed through sin(x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Ниже представлен результат предыдущего запроса, выдаваемый Wolfram|Alpha:

Вы можете решать уравнения и неравенства, содержащие функцию синус:

• Найти все решения уравнения cosx + sinx = tanx

Запрос в Wolfram|Alpha: Find all solutions for cosx + sinx = tanx

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Решить неравенство cos(x) > 2sin(x)

Запрос в Wolfram|Alpha: Solve cos(x) > 2sin(x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Можно доказывать (проверять верность) тригонометрических тождеств, включающих в себя функцию синус:

• Проверить тождество sin(x + y) sin(x — y) = sin^2x — sin^2y

Запрос в Wolfram|Alpha: Verify: sin(x + y) sin(x — y) = sin^2x — sin^2y

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Можно искать точки разрыва и полюсы функциональных выражений, содержащих синус:

• Точки разрыва функции x / sin(x)

Запрос в Wolfram|Alpha: Discontinuities x / sin(x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Полюсы функции x / sin(x)

Запрос в Wolfram|Alpha: Poles x / sin(x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Можно продифференцировать функцию синус:

• Найти значение шестой производной функции x sin(2^x) при x=0

Запрос в Wolfram|Alpha: Sixth derivative of x sin(2^x) at x = 0

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Найти n-ю производную функции sin(x)

Запрос в Wolfram|Alpha: d^n / dx^n sin(x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Можно находить конечные суммы:

• Найти сумму sin(kx) при k = 1 до n

Запрос в Wolfram|Alpha: Sum sin(kx) for k = 1 to n

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

И, безусловно, также легко можно находить разнообразные интегралы, содержащие синус:

• Найти интеграл от функции sin(x) по переменной х в пределах от 0 до π

Запрос в Wolfram|Alpha: Integrate sin(x) dx from x = 0 to pi

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Найти неопределенный интеграл от функции sin(x^3)^3 по x

Запрос в Wolfram|Alpha: Integrate sin(x^3)^3 dx

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Применить формулу интегрирования по частям к интегралу с подынтегральной функцией cos^2(x) sin^4(x)

Запрос в Wolfram|Alpha: Integrate by parts cos^2(x) sin^4(x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Среднее квадратическое значение функции sin(4x+pi/3)

Запрос в Wolfram|Alpha: Root mean square sin(4x+pi/3)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Ниже представлен результат запроса о интегрировании по частям (см. выше), который выдает Wolfram|Alpha:

Вы можете получить списки формул на основе интегралов, сумм, рядов и произведений, которые содержали бы в себе функцию синус:

• Конечные суммы, содержащие синус

Запрос в Wolfram|Alpha: Finite sums containing sin(x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Бесконечные суммы, содержащие синус

Запрос в Wolfram|Alpha: Infinite sums containing sinx

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Произведения, содержащие синус

Запрос в Wolfram|Alpha: Products containing sinx

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Неопределенные интегралы, содержащие синус

Запрос в Wolfram|Alpha: Indefinite integrals containing sinx

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Определенные интегралы, содержащие синус

Запрос в Wolfram|Alpha: Definite integrals containing sinx

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Можно найти разнообразные интегральные преобразования функции синус:

• Преобразование Фурье функции sin(x)

Запрос в Wolfram|Alpha: Fourier transform of sin(x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Преобразование Лапласа функции sin(x)

Запрос в Wolfram|Alpha: Laplace transform of sin(x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Преобразование Гильберта функции of sin(x)

Запрос в Wolfram|Alpha: Hilbert transform of sin(x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

А также можно вычислять разнообразные пределы:

• Предел при x стремящемся к 0 функции ln(2 + sqrt(arctan(x)*sin(1/x)))

Запрос в Wolfram|Alpha: Limit as x goes to 0 of ln(2 + sqrt(arctan(x)*sin(1/x)))

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Предел sin (x)/x при x -> 0

Запрос в Wolfram|Alpha: Lim sin(x)/x as x -> 0

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Ниже представлен результат запроса о поиске предыдущего предела, который выдает Wolfram|Alpha:

Можно получить разложение функции синус в ряд:

• Найти разложение функции sin(x) до десятого порядка малости в окрестности точки x=0

Запрос в Wolfram|Alpha: Series of sin(x) to order 10

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Найти сумму ряда Тейлора бесконечного порядка в аналитическом виде:

• Просуммировать частичные суммы ряда Тейлора функции sin(x)

Запрос в Wolfram|Alpha: Summed truncated Taylor series of sin(x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Или получить аппроксимацию Паде функции синус:

• [5/5] аппроксимация Паде функции sin(x)

Запрос в Wolfram|Alpha: [5/5] pade of sin(x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Или же можно упростить сложные выражения, которые содержать в себе синус:

• Упростить sin(2 arctan(3x) + pi)

Запрос в Wolfram|Alpha: Simplify sin(2 arctan(3x) + pi)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Ниже представлен результат запроса о упрощении тригонометрического выражения, рассмотрено выше, который выдает Wolfram|Alpha:

Также легко можно найти разложение функции в ряд Фурье по синусам:

• Разложение функции unitstep(x) в ряд Фурье по синусам

Запрос в Wolfram|Alpha: Fourier sin series unitstep(x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Функция синус имеет множество смежных функций и обобщений, которые включают, но не ограничиваются только ими, скажем следующие:

• haversin(x)

Запрос в Wolfram|Alpha: haversin(x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• versin(x)

Запрос в Wolfram|Alpha: versin(x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• qsin(x)

Запрос в Wolfram|Alpha: qsin(x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Вы можете использовать функцию синус в теории вероятностей, скажем, можно найти математическое ожидание случайной величины sin(x), если случайная величина x распределена нормально с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1:

• Математическое ожидание sin(x) если х имеет стандартное нормальное распределение

Запрос в Wolfram|Alpha: E(sin(x)) where x ~ N(0,1)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Ниже представлен результат запроса о значении математического ожидания выражения sin(x), рассмотренного выше, который выдает Wolfram|Alpha:

Мы можем найти решения дифференциальных уравнений, содержащих синус:

• y’ + sinx y = 0

Запрос в Wolfram|Alpha: y’ + sinx y = 0

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• y “ — 1/3 y’ + sin x y^3 = 0

Запрос в Wolfram|Alpha: y” — 1/3 y’ + sin x y^3 = 0

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• cos(x) dx + sin(y) dy = 0

Запрос в Wolfram|Alpha: cos(x) dx + sin(y) dy = 0

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Можно вычислить Вронскиан системы функций, которая содержит синус:

• Вронскиан системы функций {cos(x), sin(x)}

Запрос в Wolfram|Alpha: Wronskian({cos(x), sin(x)}, x)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

А также можно найти дифференциальное уравнение, решением которого является заданная функция, зависящая от синуса:

• Найти дифференциальное уравнение для функции sin(x^p)

Запрос в Wolfram|Alpha: Differential equation for sin(x^p)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Вы можете работать с теоремой синусов или ее сферическим аналлогом:

• Калькулятор теоремы синусов

Запрос в Wolfram|Alpha: sine law calculator

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

• Теорема синусов в сферической геометрии

Запрос в Wolfram|Alpha: spherical law of sines

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Ниже представлен результат запроса калькуляторе теоремы синусов, рассмотренного выше, который выдает Wolfram|Alpha:

Можно выразить и приблизить значение числа π через значения функции синус:

• Выразить 3.14 через sin(1) и sin(2)

Запрос в Wolfram|Alpha: Express 3.14 through sin(1) and sin(2)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

А также получить интерактивную модель функции синус:

• Варьировать параметры a, b, c в выражении Plot[a Sin[b x + c], {x, -3, 3}]

Запрос в Wolfram|Alpha: Vary Plot[a Sin[b x + c], {x, -3, 3}]

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Также можно выполнять вычисления на объектах, которые находятся в Интернете, еслии вы просто имеете ссылку на них, например, произведем анализ изображения функции синус, которое взято с сайта The Wolfram Functions Site о функциях Wolfram Research:

• Произвести анализ wolfr.am/OA39R2

Запрос в Wolfram|Alpha: Analyze wolfr.am/OA39R2

Ниже представлен результат предыдущего запроса, который выдает Wolfram|Alpha:

Наконец, можно «проиграть» функцию синус:

• Проиграть sin(440 t)

Запрос в Wolfram|Alpha: Play sin(440 t)

Код на языке Wolfram Language (Mathematica):

Мы можем конечно продолжать дальше (и дальше и дальше), но написанных примеров уже наверняка достаточно (их на самом деле много конечно).

Топ 100+ возможностей работы с синусом в Wolfram|Alpha, или Краткий обзор математических возможностей и синтаксиса Wolfram|Alpha

{{ titleHtml }}

{{ titleHtml }}