Почему треугольники просты, а тетраэдры сложны

[Foxbator]

А есть какой-нибудь практический смысл в нахождении тетраэдров именно с рациональными углами? В статье рассмотрены именно углы между гранями, а существуют ли треугольники со всеми рациональными углами? В том числе с рациональным углами граней?

[Manyak872]

А есть какой-нибудь практический смысл в нахождении тетраэдров именно с рациональными углами?

Да, из статьи по ссылке:

By discovering a new method for finding solutions to polynomial equations, they answered a basic question about shapes and possibly made it easier to find solutions to other equations in the future.

Нет, потому что Солнце не вечно, а там и тепловая смерть Вселенной…

В статье рассмотрены именно углы между гранями, а существуют ли треугольники со всеми рациональными углами?

Да, (додумав, что имеются в виду треугольники, являющиеся гранями тетраэдра) — правильный тетраэдр же.

В том числе с рациональным углами граней?

Хороший вопрос. Чтобы ответить, нужно бы перебрать те 59 полученных тетраэдров.

[amarao]

Меня тоже не покидал вопрос о смысле. Для чего длину сторон хочется иметь рациональной - понятно. Приятно строить. А углы? Их же всё равно строят с помощью сторон.

Или, с практической точки зрения, что в каком процессе становится проще, если углы рациональные?

[iShrimp]

Да и вообще, что такое «рациональный угол»?

Например, 180° — это π радиан, иррациональное число. А 1 радиан - рациональное. Все тригонометрические функции вычисляются от аргумента в радианах, а градусы были введены людьми искусственно.

[vanxant]

радианы, в общем тоже искусственны. Естественным является полный оборот, он же 360 градусов. Ну да, разложение синусов в ряд пришлось бы подпилить, но сколько головной боли от «круговых частот» бы ушло…

[Naf2000]

Если все же оперировать телесными углами в вершинах тетраэдра, то очевидно, что их сумма постоянна и равна 4*pi/3 стерадиан

[runaway]

Аналогом плоского угла в стереометрии является телесный угол. Так что тут какая-то странная попытка использовать некорректный инструмент. Это как пытаться описывать алгебру комплексных чисел, используя только действительные, и при любой нестыковке кричать - Ага! Не сходится!

[Alexandroppolus]

С тетраэдрами есть ещё интересный вопрос: при каких размерностях N можно расположить правильный N-мерный тетраэдр так, что все вершины (коих N+1 штук) будут с целочисленными координатами? Легко сделать это для N = m^2 - 1, и легко доказать, что для всех четных N, не равных m^2 - 1 так сделать нельзя (из-за иррационального объема), а вот про остальные непонятно..

[omxela]

При чтении я вдруг подумал: а почему, собственно, тетраэдр - это трехмерный аналог треугольника? Потому, что грани треугольные? Это, конечно, аргумент. Но если я хочу вывести плоский треугольник в 3D, я возьму и потащу его в этом самом третьем измерении. И получу упомянутую в тексте пятигранную призму. С её углами всё в порядке.

[Alexandroppolus]

https://ru.wikipedia.org/wiki/Симплекс

[samsergey]

Треугольник, тетраэдр, пятиячейник и так далее -- это симплексы, простейшие выпуклые оболочки для минимальных множеств афинно независимых точек в афинном пространстве.

Логика тут такая. Точку можно сдвинуть вдоль вектора и получить отрезок. Любую точку отрезка можно вывести из полученного подпространства, "подняв" в каком-либо ином направлении. Далее любую точку треугольника можно вытащить в новое "измерение", получив пирамиду.

Процесс, описанный вами порождает иную последовательность фигур: точка -> отрезок -> параллелограмм -> косой параллелепипед (призма) -> 4-мерный гиперкуб т. д. Это тоже полезные политопы, но они не являются минимальными (симплектическими).

[DaneSoul]

4. Могут ли какие-нибудь четыре угла с суммой 360 градусов быть углами четырёхугольника?

В условии не сказано, что углы не могут быть все равны.
360/4 = 90, то есть квадрат, который тоже является четырехугольником.
Поэтому ознозначно МОГУТ.