Комментарии 63
Как можно было не процитировать Пуанкаре?
Это определение в высшей степени подходит для того, чтобы дать представление о числе 1 тем лицам, которые никогда о нем ничего не слышали!
Не процитировать Пуанкаре можно было в первую очередь потому, что он отозвался таком образом не об определении единицы по Бурбаки, а об определении по Бурале-Форти, которое, кстати, было здесь на Хабре уже разобрано: https://habr.com/ru/articles/263067/
А нельзя обобщенные единицы делать как функтор из моноида натуральных чисел? Это как-то естественнее было бы.
(EDIT: ) То есть, обратно, в моноид натуральных чисел
Теория множеств - прекрасное основание для математики. Другое дело, что не стоит городить огород (математической) логики там, где она не нужна. Нельзя ввести числовую алгебру иначе, как аксиоматически (т.е. объявив то либо иное множество "числовым" и задав на нём функции). Но я где-то читал, что именно Бурбаки ввели все -екции (биекция итд), что есть их несомненный вклад в развитие математики.
Отсюда и первая часть статьи с началами теории множеств - хороша и стройна, а вот вторая - со всеми этими "цитатами" на английском - "плавает" откровенно.
>Так, например, возьмем википедию .... если мы примем именно такое понимание символа 
, то мы не сможем понять ни определение единицы, ни многое другое в Бурбаки.
просто показывает что Бурбаки и википедия плохо совместимы, их том по теории множеств был опубликован где-то в 1954, и не то чтобы сильно устарел, скорее даже в момент публикации уже был довольно спорным, если правильно помню Курт Гедель вообще считал авторов этого тома не вполне нормальными, когда-то давно учился на мехмате, интересовался математикой и даже пытался его читать, но как-то повезло интуитивно почувствовать примерно тоже самое что Гедель и бросить это бесполезное занятие, конечно строго imho
Ох уж эта бурбакинщина... Может быть конечно дело вкуса, но на мой взгляд это не та математика, что можно назвать красивой.
Идея Бурбаки была в том, чтобы весь накопленный математический опыт выразить исключительно через теорию множеств, даже ценой натягивания совы на глобус. Исключительная сложность даже элементарных понятий тому наглядное подтверждение.
Вот интересно, все остальные книжки Бурбаков вполне нормальные. Полезли не в своё дело (среди них не было специалистов по матлогике и основаниям математики)
Я не заглядывал внутрь Бурбаки, но разве их программа не была как раз направлена на аксиоматизацию математики. Без специалистов по матлогике и основаниям математики? Забавно!
это была программа Давида Гильберта, заметим сформулированная до результатов Геделя о неполноте и пр., группа Бурбаки собиралась реализовать эту программу, в свое время были многочисленные обсуждения почему в ранних томах Бурбаки работы Геделя упорно не упоминаются, однозначного мнения нет, но по факту поздние тома Бурбаки скорее энциклопедия математики, чем продолжение работ по программе Гильберта
ps
на первый взгляд представляется, что важность программы Гильберта существенно снизилась после работ Геделя
Нужно понимать две вещи:
а) Работы Бурбаки даже в момент их опубликования считались довольно спорными.
б) Цитируемая тут книга самая спорная из всех, т.к. среди авторов не было специалистов по вопросам, которые в этой книге рассматриваются.
Если так — то все эти «числа» просто эквивалентно «схлопываются» в пустые множества.
Дык 0 = сard(∅) по-идее. А единица стартует с множества содержащее другое множество, двойка - два предыдущих множества, тройка - три предыдущих и далее по индукции. Куда множество множеств можно схлопнуть, если мы выражаем числа через количество элементов во множестве? Теоретически можно сделать множество из пустых множеств, но там свойства для всяких проекций-биекций-фигекций неприятные и аксиомы поверх таких множеств определять в лучшем случае неудобно.
Соотвественно ваше утверждение будет ложным, т.к. пустое множество не может быть эквивалентно множеству, содержащим ноль. По крайней мере без дополнительных определений.
Куда множество множеств можно схлопнуть, если мы выражаем числа через количество элементов во множестве?Ну так количество элементов — точно ноль
Соотвественно ваше утверждение будет ложным, т.к. пустое множество не может быть эквивалентно множеству, содержащим ноль.Виноват, не сразу разобрался как вставить формулу. Имелось ввиду: ∅<=>{}<=>{∅}
Пустая коробка, и коробка, содержащая пустую коробку, - это разные сущности.
Только вот множество — это не коробка. Это абстрактное, "мысленное" объединение. Это, если хотите материальную аналогию, одинаковый ярлычок, который мы клеим на объекты. И никуда не наклеенные ярлычки и никуда не наклеенные ярлычки, которые никуда не наклеили ещё раз — это одно и тоже
Только в случае {∅} мы наклеили наш ярлычок.
А именно наклеили на единственный объект - на (единственный) ярлык, который никуда не наклеен.
Любое множество содержит пустое подмножество: {1,2,3} <=> {∅,1,2,3}.
Т.е. на ∅ уже наклеены все возможные ярлыки.
Более того, т.к. пустое множество — это тоже множество, то оно содержит пустое множество, как своё подмножество: {}<=>{∅}.
Т.е. этот ярлык уже наклеен сам на себя (наклеены абсолютно все ярлыки)
Потому как скобочки не расставляйте — получим нуль элементов в множестве.
Пока что это утверждение мне не опровергли
Вы путаете элемент множества и подмножество.
Верно что ∅ ⊂ {1,2,3}
Но неверно что ∅ ∈ {1,2,3}
Иными словами, фигурные скобки не раскрываются.
Тут нечего "опровергать", это просто по определению.
{1,2,3} <=> {∅,1,2,3}.
Опять же это утверждение неверно. Вы может выбрать из множества нисколько элементов, то бишь пустое подмножество и там будет не эквивалентное соотношение, а вот та самая проекция, тау или ещё какой-нибудь способ из той же оперы. Но тут есть нюансы с аксиомой выбора, которое может увести в разные области теории множеств.
Аналогия с коробками вполне легитимная в этом смысле. Если не нравятся коробки можете вектора программисткие использовать.
# пустое множество len(empty_set) = Card(∅) = 0
empty_set = []
# непустое множество включающее пустое множество
# len(set1) = 1
set1 = [empty_set]
# далее по индукции
# len(set1) = 2
set2 = [empty_set, set1]
# len(set1) = 3
set2 = [empty_set, set1, set2]
# а можно несколько пустых множеств
# покласть в одно множество и никто меня не остановит
set_0 = [empty_set, empty_set, empty_set] Тут более наглядно почему ничто никуда не схлопывается. Множество содержащее множество не может быть эквивалентно пустому множеству просто по определению.
Но это всё равно не делает {∅} эквивалентным пустому множеству.
Более того, в стандартной модели арифметики Пеано множество {∅} соответствует элементу, следующему за {} (то есть единице если начинать ряд с 0 или двум если начинать ряд с единицы).
Ну так про это я и пишу — что мол как же так, если ∅ это — {}, а {1,2,3,4} тождественно {∅,1,2,3,4}?
Нет, не тождественно.
ссылку?
На учебник математики? Давайте вы как-нибудь сами.
Просто посчитайте сколько элементов в одном множестве и сколько в другом. Еще можно написать так {∅,1,2,3,4} = {{},1,2,3,4}, но это не {1,2,3,4}.
В статье указано определение 1 как мощность множества, содержащего пустое множество. Если бы {∅} = {} то определение в статье было бы неверным.
Честно говоря попытки определить "1" через смыслы которые кроются в терминах логики, и эти смыслы так или иначе включающие в себя понятие единицы (я помню про отличие "1" и "один" но как минимум полагаю что первое входит в смысл второго) оставляют у меня ощущение что люди пытаются замкнуть логику саму на себя. То что мы оперируем сепарированными понятиями, например элемент множества подразумевает что это один элемент множества откуда смысл "1" начинает использоваться в определении самого себя. Видимо мне не хватает еще каких-то знаний и определений из математики :((
"Пытаясь понять точный смысл \tauоператора, я постоянно приходил к противоречию. Я не смог понять значение этого оператора у Бурбаки ... "
Можно узнать к какому противоречию и что не понятного в самом определении тау (33стр., Русское изд. 1965г.(Гл. 1, пар. 1, п. 1)) ?
Формально, я понимаю все, что там написано, но так и не понимаю сути этого символа из того, что там написано. Это просто введенные правила составления знакосочитаний.
Наверное вы имеет ввиду что ваше понимание сути ведет к противоречию и я как раз интересовался этим пониманием. С другой стороны один из смыслов этой книги я вижу как раз в том чтобы создать математику как науку об именно знакосочетаниях, как науку о правилах создания и определенной обработки определенных знакосочетаний. Если правила создания и обработки знакосочетаний работают, то каждый волен вкладывать суть свою. Мы понимаем друг друга в том смысле, что мы согласовали правила составления и обработки именно знакосочетаний.
Позвольте пример: вы прекрасно привели схему S7 как правило работы с символом тау, но заключаете, что из равенства термов следует, что это один и тот же самый терм. Но надо следовать точно написанным знакосочетаниям - равенство всего лишь реляционный знак и схема S7 говорит лишь об равенстве (то же мелким шрифтом на 66стр.), а не о тождестве.
Продолжу мысль. Если тау есть возможность выбора, то схема S7 говорит, что для эквивалентных свойств выбранные объекты равны, но это не один и тот же объект.
Интересное замечание. Готов рассмотреть такой вариант, но мне кажется, что тогда все становится еще более запутано.
Вот берем определение функционального графика:
«Мы говорим, что график F есть функциональный график, если для каждого x существует не более, чем один объект, соответствующий этому x относительно F.»
В определении единицы они представляют это в виде следующей формулы
Если мы примем то, что y = y’ не значит, что это один и тот же объект (а значит что-то другое), то эта формула не отражает определения. По определению это должен быть один и тот же объект.
Мне кажется, чтобы понять смысл схемы S7 я пытаюсь подогнать тау, а Вы знак равенства.
Тут есть следующая тонкость: в том месте где вводится схема S7 (61стр., Русское изд. 1965г.) как раз и идет речь об отличии в высказываниях термы равны и термы тождественны. Взгляните на стр. 62 самый верхний (первый) мелкий текст - взаимозаменяемость тождества и равенства прямо называется вольностью речи (в английском издании 2004г. стр. 45 "by abuse of language"), но при точном истолковании это, разумеется не одно и то же.
Ваш пример про функциональный график уже на стр. 90, но он рождается на стр.63, перед C45, где определяется соотношение "существует самое большое одно x, такое, что R". Т.е. тут равенство есть как раз реляционный знак эгалитарной теории. Так, что запись y = y’, сохраняя точность, утверждает как раз равенство объектов, а не их тождество и как раз это и есть определение функционального графика. Это не увеличивает запутанность, а, наоборот, расставляет все по местам. Взглянем еще раз: у нас есть знакосочетания, термы, не тождественные, но равные. Глядя сверху, с позиций, например, алгебры, можно сказать, что это первый виток фактор-множества по эквивалентности, в этом случае по знаку равенства.
Теперь про тау. Чтобы не быть зависимым от википедии интуитивный смысл приведен на стр. 36 в единственном мелком тексте где говорится, что с помощью тау создается привилегированный объект, если он существует. В английском издании 2004г. стр.20 употребляется термин "distinguished object", но так как это замечания вне основного текста и существование еще не определено, то каждый понимает в меру своего внутреннего понимания, недоступного другим.
Самое интересное с тау начинается в кванторных теориях, где появляется определение существования. Для него и созданно тау и с этого определения можно о нем точно рассуждать.
И, да, Вы так и не рассказали мне о противоречии.
У меня нет никакого сомнения, что группа профессиональных казуистов не допустила формальных ошибок или противоречий. Когда я говорю о том, что я постоянно сталкивался с противоречием, то я имел ввиду лишь противоречия в моем понимании предмета, и это связанно именно с тем, что ясно не определен смысл привилегированного элемента.
Понятно, что тождественность и равенство не равны. Но давайте по существу. Вот в моем примере с монетками, где утверждение А - круглое в моем кармане, а утверждением В - металическое в моем кармане. 
и 
укажут на один и тот же предмет?
Тау-оператор не указывает на предмет, это просто символ который вводится аксиоматически.
Это просто ярлык, наклеенный на предикат.
Ключевое слово здесь — "изображает": 𝜏x(B) не является предметом, а просто находится на его месте в формуле.
Здесь Бурбаки явно называют 
предметом, без всяких изображают
Тут явно пытаются ввернуть в математику объективный идеализм и "платоновские монетки" (иначе как одна монета может быть привилегированее другой?).
А раз так то противоречивость будет зависит от школы философии которой вы придерживаетесь. И спор, как я понимаю, немного бессмыслен.
Они просто устали говорить полные формулировки (которые у них по дохренелиону букв) и перешли к сокращённым.
Хорошо, пусть даже изображает.
Так тау в моем примере будет изображать одни и те же монетки или нет?
Скажите, вы когда видите запись вида f(0+) тоже недоумеваете: "какому числу этот 0+ соответствует"?
Или, скажем, в определении из школьной геометрии (одном из) "вектором называют символ, изображающий класс эквивалентности направленных отрезков" задаёте вопрос — так какой же из отрезков изображает вектор?
Или вот ещё пример, самый вопиющий — что означает символ ∂ в выражении ∂/∂x и чему равно ∂x?
Еще раз посмотрите первое определение. Там ясно говорится : тау есть предмет.
Если, по всем буквам, соотношение А эквивалентно В, то схема S7 не оставляет двух мнений - тау объекты по одной и той же букве равны т.е. укажут на равные предметы. Это не исключает, но и не требует их тождественности. Вам не нравится, что не тождественные объекты могут быть равными, или вы обязательно хотите получать из равенства тождество? Еще студентом читая это место я думал об объектах которые равны но не тождественны. Тогда мне помогло то, что я заменил, согласно замечанию на стр. 36, объект (предмет) обратно на терм, знакосочетание. Т.е. нужны были равные, но не тождественные знакосочетания? Так для этого подходит даже 4/2 = 2. И, если принять приведенное мной равенство, то примеров тьма. Фактически все доказанные формулы с равенствами это не тождественные но равные знакосочетания.
Итак, возвращаемся к ключевому моменту - мы имеем дело с наукой о создании определенных знакосочетаний и определенных правил их обработки.
Вопос о том как же работает это тау выводит на аксиому выбора и сводиться к взаимосвязи существования и выбора. Очень интересная и сильная тема.
Мне вполне понятно, что не тождественные объекты могут быть равны.
Я просто хочу убедиться, что не упустил ли я что-то в своем рассуждении. Если тау в моем примере указывают на одно и те же монетки, то не упустил.
Мне показалось, что вы хотите указать на ошибку в моей логике.
У вас просто и в тексте публикации и тем более в коменте с примером функционального графика слова "один и тот же ". Но если мы договорились, что тут равенство, то мы пришли к согласию. Я вообще очень терпимо отношусь к чужим ошибкам, как к логическим, так и к не-логическим. Главное как ведет себя человек при разборе. Трудно назвать не то что человека, но и книгу, в которой нет ошибок.
Я думаю уточнение подобных деталей способствует и пониманию сути. Вот смотрите идет обсуждение что-же делает тау: то-ли изображает(замечание на стр. 36. В Английском издании 2004г. стр. 20 слово represent), то-ли указывает, то-ли это наклейка то ли это оператор. Но именно эти попытки интерпретации понять или создать суть написанного, возможно, создают неясность между беседующими. В Бурбаках же тау это просто логический знак (стр.31), с помощью которого создаются определенные знакосочетания. Это такой-же знак как знак отрицания, знак дизъюнкции и т.д. Извините, что повторяю, мы имеем дело с наукой о создании определенных знакосочетаний и определенных правил их обработки. Что понимать под ними т.е. что есть суть, понимание - это у каждого может быть свое. Я называю взаимопониманием то, как мы согласны или не согласны на оценки собеседником написанных знакосочетаний.
Вам же я благодарен за поднятую тему и возможность обсудить не смотря на все возможные бурбакизации или бурбакифобии бродящие в некоторых умах. Название просто магическое - вспомнилось "Блеск и нишета .." т.е. красота, запредельной абстрактности.
Все было бы ничего, еслиб французы не пытались учить детей математике по Бурбаки...
что, если развернуть эти сокращения, то длина этого знакосочетания представляет 2 409 875 496 393 137 300 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 знаков и 871 880 233 733 949 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 связей. Это безумное число.
Автор, вы так занялись расшифровкой записи в 3 сточки, что совершенно забыли о ЦЕЛИ вашей статьи, а именно пояснения, почему определение единицы занимает кучу книг.
Дело в том, что эти три сточки - не доказательство в математическом смысле, а доказательство без доказательства. Это лишь число формального языка. Число из Нумерации_Гёделя
Единица по Бурбаки. Красота запредельной абстрактности