anikengur Sep 11 2023 at 16:59

Приведение линейных нестационарных систем

6 min

1.6K

Изучение структурных свойств стационарных динамических систем - хорошо изученная область теории дифференциальных уравнений. Иначе обстоит дело, если коэффициенты зависят от времени. Однако, такие системы достаточно часто встречаются в задачах механики и управления. Сегодня выделяют лишь классы нестационарных систем, свойства которых в достаточной мере изучены. В данной статье рассматривается один из таких классов - периодические системы.

Результаты могут быть использованы при изучении вопросов устойчивости программных движений различных механических объектов, линеаризованные модели которых описываются линейными нестационарными системами.

Линейные нестационарные системы

Рассматривается линейная система дифференциальных уравнений вида:

$\dot{x} = A(t)x + B(t)u \quad (1.1)$ $z = C(t)x \quad (1.2)$

где - время, - -мерный вектор фазовых координат, - -мерный вектор управлений (или возмущений), - -вектор измерений (или наблюдений), , , - известные матричные функции времени.

Если матрицы , , - постоянные матрицы, то система называется стационарной, в противном случае - нестационарной. Причем, если матрица зависит от времени, то система называется нестационарной по управлению, а если , то нестационарной по наблюдению.

Преобразование Ляпунова

Рассматривается линейная система:

$\dot x = A(t) x \quad (2.1)$

где - вектор $(n \times 1)$ размерности, - непрерывная равномерно ограниченная вещественная или комплексная матрица-функция.

Говорят, что система (2.1) приводима к системе

$\dot y = B(t) y \quad (2.2)$

если существует линейное преобразование

$x = L(t) y \quad (2.3)$

где - невырожденная матрица размерности $(n \times n)$ с непрерывно дифференцируемыми элементами, такая что:

и $\dot L(t)$ ограничены при $t \in [t_0, \infty)$ , $t_0 \geq 0$ ( то есть имеет непрерывную производную на временном интервале )
$|det L(t)| \geq \nu > 0$ (определитель ограничен по модулю снизу положительной постоянной величиной $\nu$ )

Тогда линейное преобразование (2.3) переводящее линейную систему (2.1) в систему (2.2) называется преобразованием Ляпунова.

Матрицы и - кинематически подобны, то есть связаны соотношением:

$B(t) = L^{-1}(t) A(t) L(t) - L^{-1}(t) \dot L(t) \quad (2.4)$

Если матрица - постоянна, то связь соотношение коэффициентов линейных систем превращается в обычное соотношение подобия:

$B(t) = L^{-1}(t) A(t) L(t) \quad (2.5)$

$y = L^{-1}(t) x$ также является преобразованием Ляпунова.

Предполагается, что в системе (2.1) произойдет замена переменных, вследствие которой она примет вид системы (2.2). При этом, система (2.2) будет сохраняет свойства системы (2.1), но имеет более простой вид, для которого исследования свойств оказывается проще, чем для системы (2.1).

Основные свойства, которые сохраняются при преобразовании (2.4), - это свойства устойчивости решений системы (2.1), то есть преобразование Ляпунова (2.4) сохраняет характеристические показатели решений.

Действительно, если $\phi$ и $\psi$ - решения систем (2.1) и (2.2), соответственно, связанные соотношением $\phi(t) = L(t)\psi(t)$ , то $\|\phi(t)\| \leq \|L(t)\| \cdot \|\psi(t)\|$ , а следовательно, $\xi(\phi) \leq \xi(L) + \xi(\psi) = \xi(\psi)$ . Аналогично, поскольку $\psi(t) = L^{–1}(t)\phi(t)$ , $\xi(\psi) \leq \xi(\phi)$ , что и требовалось.

Приводимые системы

Наиболее полно изученными являются автономные линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому важны признаки приводимости линейных систем к системам с постоянными коэффициентами.

Простейший результат в этом направлении представляет теорема Еругина: Для того, чтобы система (2.1) была приводима к системе (2.2) с постоянными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы некоторая ее фундаментальная матрица была представима в виде $Φ(t) = L(t)e^{Bt}$ , (2.5), где - преобразование Ляпунова, а - постоянная матрица.

Для линейных систем с периодическими коэффициентами представление (5) всегда выполнено и имеет место теорема Флоке: Если в системе (2.1) матрица-функция периодична: $A(t + T) \equiv A(t)$ , то любая ее фундаментальная матрица $\Phi(t)$ имеет вид $\Phi(t) = \psi(t)e^{Bt}$ , где - постоянная, а $\psi(t)$ - непрерывно дифференцируемая невырожденная -периодическая матрицы (вообще говоря, комплексные).

Из теорем Еругина и Флоке вытекает теорема Ляпунова о приводимости: Любая система (2.1) с периодической матрицей приводима к системе с постоянными коэффициентами.

Приводимые к системам с постоянными коэффициентами системы хороши, в частности, тем, что они правильны по Ляпунову и, следовательно, к дифференциальным уравнениям с такими линейными частями применима теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Один из основных методов исследования систем с переменными коэффициентами является приведение их к стационарному виду с помощью преобразования Ляпунова. Если такое преобразование возможно, то нестационарная система называется приводимой.

Алгоритм приведения линейных систем, нестационарных по управлению

Рассмотри линейную систему, нестационарную по управлению:

$\dot x = Ax + B(t) u \quad (3.1)$

где - вектор $(n \times k)$ управлений (возмущений), - $(n \times k)$ матрица с непрерывно дифференцируемыми элементами, такая, что:

$B^T(t) = \sum_{j=1}^{r} \beta_j(t) B_j^T \text{, } \quad (r\leq ln) \quad (3.2)$

- постоянные $(k \times n)$ - матрицы, $\beta_j(t)$ - линейно независимые непрерывно дифференцируемые функции, такие что можно ввести вектор

$f(t) = \begin{pmatrix} \beta_1, ..., \beta_r, f_{r+1}, ..., f_{m} \end{pmatrix} ^T \quad (3.3)$

где компоненты $\beta_1, ..., \beta_r$ - это функции $\beta_j(t)$ , а $f_{r+1}, ..., f_{m}$ выбраны так, чтобы поведение вектора описывалось системой (условие периодичности):

$\dot f(t) = S f(t) \quad (3.4)$

где - постоянная $(m \times m)$ матрица. То есть $\beta_j(t)$ могут быть полиномами, экспонентами, синусами, косинусами произвольных частот и всевозможные комбинации этих функций.

Сопряженная система будет иметь вид:

$\begin{cases} \dot \xi = -A^T \xi \\ \sigma = B^T (t) \xi \end{cases} \quad (3.5)$

Введем следующую замену переменных:

$\eta = F(t) \xi = (f(t) \otimes E_n)\xi \quad (3.6)$

где $\otimes$ - кронекеровское произведение матриц.

Замена (3.6) приводит систему (3.1) к виду:

$\begin{cases} \dot \eta = G_1 \eta \\ \sigma = \Gamma \eta \end{cases} \quad (3.7)$ $G_1 = S \otimes E_n - E_m \otimes A^T \quad (3.8)$ $\Gamma = [B_1^T(k \times n) \quad ... \quad B_{r1}^T(k \times n) \quad 0(k \times n) \quad ... \quad 0(k \times n)] \quad (3.9)$

Переход к полностью стационарной системе:

$\dot y = -G_1^T y + \Gamma^T u \quad (3.10)$

При этом, переменные и связаны соотношением:

$x = F^T(t) y = (f^T(t) \otimes E_n) y \quad (3.11)$

Преобразование системы тангажных колебаний малого спутника, нестационарной по управлению, к стационарному виду

В 60х годах прошлого века у первого метеорологического спутника США (Tiros 1) были обнаружены нарушения ориентации и движения. Причиной оказалось сильное влияние магнитного поля Земли (МПЗ). Тогда же было предложено использовать это поле для управления космическими аппаратами (КА) и созданы первые магнитные системы управления (МСУ).

Физическая постановка

При построении системы, предполагается что:

Система строится для малых спутников
Центр масс спутника движется по круговой полярной орбите вокруг Земли с постоянной скоростью
Геомагнитное поле аппроксимируется моделью прямого диполя
Намагниченность космического аппарата отсутствует
Управление осуществляется с помощью токовых или магнитных катушек
Множество допустимых управлений - это множество кусочно-непрерывных функций, ограниченных по абсолютной величине
Рассматриваем влияние гравитационного и магнитного моментов, остальными мы пренебрегаем
Полагается, что спутник стабилизирован по углам крена и курса, то есть рассматриваются уравнения тангажных колебаний
Система представляет собой линеаризованные в окрестности нулевого положения равновесия уравнения управляемого движения

Учитывая все вышеперечисленное, линеаризованная система примет следующий вид:

$\begin{cases} \dot{x_1} = x_2 \\ \dot{x_2} = -a x_1 + 2b \sin(t) u \end{cases} \quad (4.1)$

где $a = 3 \frac{(J_{11} - J_{33})}{J_{22}}$ , $b = \frac{M_0 \mu_0 M_3 }{ (\omega_0^2 J_{22} R^3)}$

В матричном виде:

$\dot x = Ax + B(t)u$

где $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -a & 0 \end{pmatrix}$ , $B(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ 2b \sin(t) \end{pmatrix}$ .

, - угол тангажа и скорость соответственно
$J_{11}$ , $J_{22}$ , $J_{33}$ - главные моменты инерции
$\omega_0$ - орбитальная угловая скорость КА относительно Земли
- радиус Земли
- магнитный момент Земли
$\mu_0$ - магнитная проницаемость среды
, $|u(t)| \leq \mu$ - управляющий (возмущающий) момент катушки. Для малых спутников

Система (4.1) является нестационарной по управлению, но, согласно теории, она является приводимой.

Приведение к стационарному виду

представима в виде произведения постоянной матрицы и периодической функции, согласно (3.2):

$B^T(t) = \sum_{j=1}^r \beta_j(t)B_j = \sin t \begin{pmatrix} 0 \\ 2b \end{pmatrix} \quad (4.2)$

Введем вектор , удовлетворяющий условиям (3.3)-(3.4). Из уравнения (4.2) видно, что одна из его компонент $\beta_1 = \sin{t}$ . Подберем такую компоненту , чтобы удовлетворял (3.4).

$f(t) = \begin{pmatrix} \sin t \\ ? \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \cos t \\ ? \end{pmatrix} = S \begin{pmatrix} \sin t \\ ? \end{pmatrix}$

Тогда, для удовлетворения условия (3.4), примем за вторую компоненту $f_1 = \cos t$
и матрицу $S = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ :

$f(t) = \begin{pmatrix} \sin t \\ \cos t \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \cos t \\ - sin t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin t \\ \cos t \end{pmatrix}$

Согласно (3.5), сопряженная система имеет вид:

$\begin{cases} \dot \xi_1 = a \xi_2 \\ \dot \xi_2 = - \xi_1 \\ \sigma = 2b \sin(t)\xi_2 \end{cases}$

Введем замену переменных, согласно (3.6):

$\eta = \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin(t)\\ \cos(t) \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin t & 0 \\ 0 & \sin t \\ \cos t & 0 \\ 0 & \cos t \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \end{pmatrix}$ $\begin{cases} \eta_1 = \sin{t} \cdot \xi_1 \\ \eta_2 = \sin t \cdot \xi_2 \\ \eta_3 = \cos t \cdot \xi_1 \\ \eta_4 = \cos t \cdot \xi_2 \end{cases} \quad (4.2)$

Замена (4.2) преобразует систему (4.1) к виду ( 3.7), в которой:

$G_1 = S \otimes E_n - E_m \otimes A^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & -a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} =$ $=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -a & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -a \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & a & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ $\Gamma = [B_1^T(k \times n) \quad ... \quad B_{r1}^T(k \times n) \quad 0(k \times n) \quad ... \quad 0(k \times n)] =$ $= \begin{pmatrix} 0 & 2b & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Тогда ( 3.7) примет вид:

$\begin{cases} \dot \eta_1 = \eta_3 + a \eta_2 \\ \dot \eta_2 = \eta_4 - \eta_1 \\ \dot \eta_3 = -\eta_1 + a \eta_4 \\ \dot \eta_4 = -\eta_2 - \eta_3 \\ \sigma = 2b \eta_2 \end{cases} \quad (4.3)$

Подставив результаты в ( 3.10) получим стационарную систему следующего вида:

$\dot y = -G_1^T y + \Gamma^T u$ $\begin{pmatrix} \dot y_1 \\ \dot y_2 \\ \dot y_3 \\ \dot y_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ -a & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 2b \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} u$ $\begin{cases} \dot y_1 = y_2 + y_3 \\ \dot y_2 = - a y_1 + y_4 + 2b u \\ \dot y_3 = - y_1 + y_4 \\ \dot y_4 = - y_2 - a y_3 \end{cases} \quad (4.4)$

(4.3) - приведенная стационарная система, сохраняющая структурные свойства системы (4.1).

Переход обратно, в двумерное пространство, будет осуществляться следующими уравнениями:

$x = F^T(t) y = (f^T(t) \otimes E_n) y$ $F(t) = (f(t) \otimes E_n) = \begin{pmatrix} \sin t \\ \cos t \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin t & 0 \\ 0 & \sin t \\ \cos t & 0 \\ 0 & \cos t \\ \end{pmatrix}$ $x =\begin{pmatrix} \sin t & 0 & \cos t & 0 \\ 0 & \sin t & 0 & \cos t \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix}$ $\begin{cases} x_1 = \sin t \cdot y_1 + \cos t \cdot y_3 \\ x_2 = \sin t \cdot y_2 + \cos t \cdot y_4 \\ \end{cases} \quad (4.5)$

С особой благодарностью Д.И.Бугрову!

Источники

Морозов В.М. Каленова В.И. Линейные нестационарные системы и ихприложения к задачам механики. — Москва : Физматлит, 2010.
Морозов В.М. Каленова В.И. Управление спутником при помощи маг-нитных моментов: управляемость и алгоритмы стабилизации. — Москва :Научно-исследовательский институт механики МГУ им. М.В. Ломоносо-ва, Космические исследования том 58 No 3, 2020.
Бугров Д.И. Формальский А.М. Зависимость от времени областей дости-жимости систем третьего порядка. — Москва : Прикладная математикаи механика, Вып.2, 2017.
Александров В.В. Лемак С.С. Парусников Н.А. Лекции по механикеуправляемых систем. — Москва : Московскй государственный универ-ситет имени М.В. Ломоносова, 2020.
Епугин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальныхуравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициента-ми. — Минск : АН БССР, 1963. — С. 272.
Коваленко А.П. Магнитные системы управления космическими лета-тельными аппаратами. — Москва : Машиностроение, 1975.

Tags:

Hubs: