Комментарии 100
Теория фракталов развивается и сегодня, например, установлена связь между фрактальностью и дробными производными и спектрами дробных порядков (кстати, этим занимались в ННГУ им. лобачевского в Нижнем Новгороде, я публиковал подробную статью на хабре). Вроде бы очень абстрактная теория, а на деле с ее помощью моделируют финансовые ряды или тот же рельеф. Скажем, у нас есть открытый рельеф участка местности с относительно низким разрешением и более детальный космоснимок этой же территории. Учитывая фрактальность (линейную связь в двойных логарифмических координатах), можно дополнить пространственный спектр рельефа спектром космоснимка - каждой пространственной частоте соответствует своя амплитуда, которую можно посчитать с помощью индекса фрактальности. Так «плоский» космоснимок превращается в детальную трехмерную модель рельефа. Кому интересно, примеры таких преобразований у меня на гитхабе доступны. Так же можно локально совместить спектры гравики и рельефа и космоснимков, вместо монстрообразных глобальных моделей всей планеты и еще много всего вычислить.
кстати, этим занимались в ННГУ им. лобачевского в Нижнем Новгороде, я публиковал подробную статью на хабре
Я всегда с большим удовольствием читаю Ваши статьи, однако предыдущему комментарию едва не поставил
минус за отсутствие там ссылки на упомянутую статью
А если учесть, что эти статьи устаревают очень неспешно, то просто для удобства читателей, заинтересовавшихся темой (другие до этого места просто не дочитают ;-), еще лучше было бы где-то под спойлером дать небольшой обзор этих публикаций или ссылку на него
То есть я понимаю, что дотошный читатель всегда может залезть в профиль автора и поискать там... но вот например вот в этой статье (https://habr.com/ru/articles/826560/) первая же многообещающая ссылка (как бы намекающая на такой обзор):
ведет в никуда :-((
P.S. Сейчас при редактировании своего ответа я неожиданно обнаружил, что редактор Хабра не дает мне привязать гиперссылку к выделенному тексту. Так что возможно дело не в недооформленном комментарии (https://habr.com/ru/articles/831604/#comment_27093504), а в каком-то техническом сбое?
UPD: После перезагрузки у меня гиперссылки все-таки вставились. Но на всякий случай я оставил их дубликаты в текстовом виде.
ведет в никуда
Справедливости ради, она всё же работает и ведёт в https://habr.com/ru/users/n-cube/publications/articles/ (а не в https://habr.com/ru/users/n-cube/posts/, как указано).
только если вы по атомам всё мерить не начнете
В атомном мире свои проблемы с определением размеров.
Граница все же отличается от береговой линии тем, что это либо рукотворный объект, либо линия, проведенная по естественным рубежам (русло реки, например). И там довольно быстро можно прийти к некоему пределу, за которым длина перестанет расти.
линия, проведенная по естественным рубежам (русло реки, например).
В XXI веке так границы никто не рисует. Иначе было бы достаточно изменить русло реки, чтобы передвинуть границу.
Китай с Амуром до недавнего времени так делал. Теперь уже не надо - своё можно получить проще.
Как раз именно так и рисуют (см. любое приложение с описанием границы к любому договору о гос. границе), но с оговоркой, что граница не меняется в случае изменения русла реки (см. пп. "в" п. 2 ФЗ о гос. границе РФ). Так что это тот ещё квест - определить, например, фарватер реки, но не на текущий момент, а на момент подписания международного договора, которым эта граница была установлена. Не знаю, есть ли прецеденты, когда всю эту муть официально (т.е. в международном договоре) закрепили в конкретных координатах, но это точно стóило бы уже сделать.
"Где стоит стена - там и граница"
Со временем всплывёт проблема начала отсчета. В сейсмически активных местах за пару столетий так может целая улица в другую страну переехать. Даже в перспективе одного десятилетия расстояние перемещения литосферных плит местами существенно больше погрешности спутниковой навигации. А при сильных землетрясениях там за минуты и часы до нескольких метров смещение, вроде, бывает.
Интересно, как сей-час решается проблема привязки спутниковой навигации к земле? Там же еще из-за постоянно меняющейся скорости вращения поправки вводить надо.
Да какие смещения литосферных плит... Вот беру первый попавшийся договор о гос. границе, заключённый уже в 21 веке. Описание первых же точек:
"в 0,05 км восточнее развилки просёлочных дорог"
"на контуре леса в 0,34 км западнее моста"
"в 0,54 км севернее клабдища"
и т.д. и т.п. Привязки к скважинам, сараям, садам, зарослям кустарника. И моё любимое - "0,35 км восточнее отдельно стоящего дерева" (!)
Накатали дорогу чуть в стороне старой, разросся лес/сад/кустарник, спилили дерево, расширили кладбище, сгорел сарай, пробурили новую скважину - приехали. Всё это имеет шансы наступить на порядки быстрее, чем смещение литосферных плит. Точности больше 10 м тоже, кстати, нигде нет.
Да даже без изменений совершенно непонятно, как точную точку отбить на местности. "Севернее кладбища" - это от чего надо отмерить на север: от крайней северной точки кладбища, центра, въезда?
Почему границы любого дачного участка в кадастре заданы конкретными точками в местной системе координат, а гос. границу продолжают описывать средневековыми приёмами, для меня загадка.
А можете ссылку на договор прислать?
Я верю, но хочется ещё больше этого треша
Пожалуйста :)
И моё любимое - "0,35 км восточнее отдельно стоящего дерева"
А как же "затем вдоль узкой полосы кустарника", "0,46 км южнее сарая"?
Составители такого договора явно перечитали в детстве Роберта Стивенсона.
«Высокое дерево на плече Подзорной Трубы, направление к С. от С.-С.-В. Остров Скелета В.-Ю.-В. и на В. Десять футов. Слитки серебра в северной яме. Отыщешь ее на склоне восточной горки, в десяти саженях к югу от черной скалы, если стать к ней лицом. Оружие найти легко в песчаном холме на С. оконечности Северного мыса, держать на В. и на четверть румба к С. Д.Ф.»
Вам смешно, а пока я читал статью пришли ценные указания от жены: "калину посадим в метре от дорожки на уровне дальнего края малины". Не удержался и процитировал в ответ Стивенсона из комментария ниже. Готовлюсь ночевать на диване.
... это рукотворный объект (...) довольно быстро можно прийти к некоему пределу, за которым длина перестанет расти.
Да Вы оптимист ;-))
Чисто теоретически
никто не мешает записать в договор о демаркации границы, что между точками с координатами (...) граница следует "по кривой Коха с в-о-о-о-т такими" параметрами ;-)
Нет, я в курсе, что до сих пор так обычно не делали... Ну так сначала и географические координаты использовать было не принято. Но время идет, технологии развиваются, математика все глубже в нашу жизнь проникает ;-)))
Можно и троллейбусный парк строить на хлебозаводах, так-то. Но я всё-таки про реально существующие границы.
Если чуть-чуть серьезнее, то Вы зря думаете, что длину реальных границ всегда можно взять и измерить. Как велотурист, я несколько раз путешествовал в непосредственной близости от советско-китайской границы. Бывал и в тех краях, где она осталась "советской", так и там, где ее перенесли на много км (в пользу Китая, естественно) уже совсем в недавние времена
Впрочем, формально это называется "компромисс"
Китай, апеллируя к картам времен Великого шелкового пути (тут ссылка на прекрасную серию лекций Сергея Дмитриева по истории Древнего Китая), претендовал на 28 тыс.км2 бывшей советской территории. А в итоге с таджиками договорились примерно на полторы тысячи. Очевидный же компромисс? Причем с огромным перекосом в пользу одной из сторон ;-)
Так вот, найти на местности точную линию этой границы на некоторых участках до сих пор невозможно, даже несмотря на ее максимально подробное описание (ну, какое мы смогли найти в разных источниках, включая таджикскую погранслужбу, в 2011-12гг). Так как эта граница часто идет по труднодоступным местам, на которые просто нету хороших карт. И на местности она тоже тогда была не маркирована вообще (хотя мы там были через много лет после заключения официальных договоров), да и сейчас еще далеко не везде.
Причем если во времена СССР граница шла, преимущественно, по безлюдным и малодоступным хребтам и опиралась
на точки вершин
которые, кстати, на разных картах отмечены по-разному (если вообще отмечены), но можно измерить хотя бы с точностью до выбора карты
то новые границы часто проведены по долинам и привязаны к рекам, которые мало того, что пересыхающие (точнее, вода там бывает лишь изредка и только местами;-), так еще и основное "русло" может
гулять на сотни метров
Фрагмент той самой границы: гуляющее русло реки на севере снимка, и блуждающие барханы на юге. На самом деле долина такой реки выглядит как большая плоская
россыпь мелких камней
среди которых после дождей местами проступает вода. А иногда даже можно приглядеться и понять, в каком направлении она пытается течь. Да, по большим праздникам эти лужи действительно объединяются во что-то похожее на русло... только вот от праздника к празднику оно почти всегда разное ;-)
Впрочем, судя по последним снимкам, именно в этом месте границу все-таки начали физически демаркировать
А еще эти границы местами пересекают дороги, накатанные еще советскими пограничниками. А мы, с одной стороны, хотели ими воспользоваться (например, вот этот маршрут как бы огибал советский Памир), а с другой, совершенно не хотели оказаться в китайской кутузке, случайно заехав на сопредельную территорию. В одном месте даже пришлось из-за этого вместо дороги на всякий случай идти
по барханам
Участок, где остатки советской приграничной дороги, по которой мы ехали, вроде бы уходит на китайскую территорию
В общем, до идеального мира, в котором теория меры всюду аналитически продолжается в практику, нам еще далеко ;-)
Вспомнились армейские рассказы.
Ущелье Карангурт, упиравшееся в одноименный перевал - странное место. Попасть туда по земле можно было раз в несколько лет. Седловина на высоте около четырех тысяч, в силу топографо-климатических обстоятельств была закрыта практически всегда. Еженедельного облета было достаточно. Но лето 1991года случилось немного другим, и снег сошел. Граница проходила вдоль гипотетической прямой меж двух господствующих вершин. Ну, и теперь попробуйте себе представить в натуре. Если стоять на перевале и задрать голову вверх, воображая эту самую линию, то она проходила отнюдь не над головой. То бишь, сама седловина находилась чуть в тылу. Может с километр, а может и все пять, кто там чего мерил, знака не стояло естественно. То есть "та" сторона хребта по склону слегка была территорией СССР. Участок сей "принадлежал" нашей заставе. На облёте, какой-то глазастый козёл из маневренной группы заметил там людей. Люди, заметив что их заметили, побежали вниз, в Китай.
Говорят что фракталы имеют какое-то отношение к нецелым размерностям пространства. Вот эту тему было бы интересно раскрыть:)
Подозреваю, если на в поиске хабра вбить слово "фрактал", наверняка куча статей найдётся.
Интересно, а правило 34 действует в отношении фракталов?
Он медленно обнажил её множество Мандельброта...
Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей).
Вас интересует порно с близняшками (условие самоподобия) или жесть, где кто-то что-то ломает/дробит, себе или партнеру?
знающие люди говорят, что в эпоху монополизации порно тьюбами правило всё
Некоторые математики предполагают, что фракталы можно считать объектами с дробной мерностью. Например, если у нас есть линейный фрактал на плоскости, то логически рассуждая, любая, наугад выбранная точка на этой плоскости принадлежит и этому фракталу, но сам фрактал плоскостью (то есть, двумерным объектом) не является... Есть формулы, по которым можно рассчитать эту мерность... Но, как я понял, с этим согласны не все...
Ну например размерность можно считать так.
Отрезок имеет размерность 1: если вы возьмёте вдвое меньшие отрезки, то чтобы составить исходный отрезок, их нужно 2¹ штук.
Квадрат имеет размерность 2: если вы возьмёте вдвое меньшие (линейно) квадраты, то чтобы составить исходный квадрат, их нужно 2² штук.
По той же причине куб имеет размерность 3.
А вот салфетка Серпинского интереснее: вам понадобится 3 штуки вдвое меньших салфеток, чтобы составить одну исходного размера. Поэтому размерность d салфетки Серпинского считается как решение 2ᵈ = 3, то есть d = ln 3 / ln 2 = log₂ 3.
Это довольно простые, но довольно формальные рассуждения, для раскрытия можете просто загуглить словосочетание "фрактальная размерность".
Вот видосик, там тема немного раскрыта
Полез смотреть, кто же продвигает этого Ричардсона как первооткрывателя новой дисциплины, но тут возник не менее интересный вопрос
В своей статье, опубликованной в 1961 году, он сделал вывод
А как именно называлась статья и где именно она была опубликована?
Ибо, ЕВВЧДКН, Льюис Фрай Ричардсон умер в 1953 году.
извиняюсь, а как расшифровывается ЕВВЧДКН?)
Гугл только ваши посты выдает
подозреваю, что эта аббревиатура что-то вроде транслита.
Е - е: ВВ - w; ч - ch; Д - d; К - k; Н - n.
Итого: Englishman We CHose Dont KNow.
То-есть, англичанин которого мы выбрали, не знаю.
Речь о млучайном англичанине, которого выбрали для примера в посте.
(шутка)
С учётом контекста я бы предложил что-нибудь в стиле "если верить Википедии, чего делать, конечно, нельзя"...
"Категорически"
Интересно вы разгадываете контекст, где единственная точка соприкоснования между комментарием и расшифровкой только то, что они написаны в интернете.
Исходный комментарий с сокращением указывает на противоречие текста статьи некоторой внешней информации, то есть это место, где логично было бы спрашивать / предъявлять пруфы. Место расположения сокращения выглядит как логичное место в предложении для размещения ссылки на источник в стиле "согласно тому-то". В то же время, сокращение вряд ли специфично для обсуждаемой темы, т.к. она достаточно специфическая, но, согласно предшествующему комментатору, Гугл находит таковое в других сообщениях этого автора. Гипотеза: это и есть ссылка на источник в типичном для этого автора стиле.
Сокращение не содержит очевидного обозначения какого-то широко известного источника. Вероятно, это отсылка к источнику "по умолчанию". Комментарий на Хабре, так что Википедия в этом качестве кажется наиболее вероятной, чат-боты эту нишу ещё не заняли.
На этом месте "щёлкает" словосочетание "если верить Википедии", мне оно кажется достаточно устойчивым. Остаётся найти более или менее правдоподобную расшифровку для продолжения, а утверждение, что Википедии доверять нельзя, достаточно общеизвестно и в то же время достаточно значимо, чтобы автор мог хотеть сделать его стандартной частью такой отсылки. Гипотеза достаточно правдоподобно выглядит, чтобы её озвучить.
Всего-то чуть-чуть СПГС спортивного ЧГК в студенческие годы.
Если Верить Википедии, Чего Делать Категорически Нельзя
А какая сейчас мера точности измерения береговой линии?
С учетом прошедшего дождя и приливов?
ну так-то уже давно все решено и почти у всех стран есть примерно похожий закон:
Статья 4. Исходные линии, от которых отмеряется ширина территориального моря
Исходными линиями, от которых отмеряется ширина территориального моря, являются: линия наибольшего отлива вдоль берега, указанная на официально изданных в Российской Федерации морских картах; прямая исходная линия, соединяющая наиболее удаленные в сторону моря точки островов, рифов и скал в местах, где береговая линия глубоко изрезана и извилиста или где имеется вдоль берега и в непосредственной близости к нему цепь островов;
Думаю это обобщается и на любые другие размерности: можно с бесконечной точностью замерять площадь поверхности у планеты (хотя это не так наглядно по сравнению с береговой линией).
Некоторые говорят, что не бесконечно ибо есть минимально возможная длина - "Планковская длина".
Я имею в виду чисто математически, в контексте данной статьи. Понятно, что на уровне молекул, и даже намного раньше возникнут большие сложности с подсчетом.
Как только мы опускаемся на уровень квантовых эффектов, так сразу фракталы заменяются на неопределённость. Измерили границу по атому слишком точно, глядь, а этот атом уже на другом конце Вселенной.
Помню ещё со школы задачу со «звёздочкой». Есть прямоугольный треугольник ABC. Проведём параллельно одному катету через равные промежутки N прямых, пересекающих гипотенузу (крайние прямые проходят через концы гипотенузы AB). И проведём через точки пересечения прямые, параллельные другому катету. На этих прямых обозначим отрезки, пересекающие гипотенузу и образующие ломаную линию (см. рисунок).
Hidden text
Сумма длин горизонтальных отрезков ломаной равна длине катета BC, а вертикальных — длине катета CA (по построению). Очевидно, что при увеличении N ломаная будет всё больше сливаться с гипотенузой, и при достаточно больших N можно считать, что длина ломаной равна длине гипотенузы AB. Поэтому в прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равна сумме длин катетов: AB = BC + CA.
Пифагор ошибался?
Задача интересная (" ... при достаточно больших N можно считать, что длина ломаной равна длине гипотенузы AB" - здесь ошибка), но с фракталами ещё хуже. При увеличении N длина фрактальной ломанной стремится к бесконечности (иначе она - не фрактальная).
Кажется, что длина "ломаной гипотенузы" всегда будет равна сумме длин катетов, вне зависимости от N. А вот площадь треугольника что с ломаной гипотенузой, что с классической будет const.
это конечно наивно-интуитивные выводы
что при увеличении N ломаная будет всё больше сливаться с гипотенузой
Очевидно, что длина гипотенузы большого треугольника будет равна сумме длин гипотенуз маленьких треугольников. А с кем там кто и как будет сливаться — это к биологии )
А вопрос вообще интересный
Не менее занятная географическая проблема (хотя совсем не фрактальная) - вычисление площади поверхности Земли. Даже если пренебречь высотой суши, а просто на уровне моря.
Вопрос смысла задачи и метода решения.
Можно провести береговую линию и измерять от нее, но тут возникает вопрос точности той самой линии. Можно провести две линии - одну строго по суше, другую строго по воде, и получить оценку сверху и оценку снизу - и чем точнее линии, тем меньше расхождение.
А можно и фрактально измерить при желании. Например, пытаясь на каменистом плато суммировать площадь видимой поверхности камней.
Вы имеете в виду площадь геоида? Там же все просто вроде, придумали модель расчета гравитации (точечными массами например), определили уровень моря, посчитали площадь эквипотенциальной поверхности. На первый взгляд расходиться точно не должно.
Сходиться при увеличении точности конечно тоже не обязано. Ну или пойдет мелкая рябь и проблема станет таки фрактальной.
Да, на самом деле геоид вычислить просто невозможно. Есть модель квазигеоида (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%B8%D0%B4) которая должна определяться на основе большой кучи разнообразных измерений (в основном с орбиты спутников). Ряби в разумных моделях быть вроде как не должно, если исключить антигравитацию, мелкие чёрные дыры, и квантовые эффекты. Так что задача должна сходиться, но скорей всего она непостоянна во времени.
Ну я моделей видел 2:
берем ряд (не помню какой) и начинаем подбирать коэффициенты, минимизируя невязку с измерениями. Увеличиваем номер последнего ненулевого коэффициента, пока не подберем достаточную точность.
Берем N масс, вычисляем их координаты и значения опять же пока не понравится ошибка с измерениями.
Технически, с ростом N что для коэффициентов, что для количества масс поверхность будет все менее гладкой. В пределе как обычно будет оверфитинг по измерениям и бред в промежутках.
Нет, на измерение влияют приливы-отливы, в прилив длина береговой линии меньше и наоборот)
береговая линия/граница это ни разу не фрактал. Фрактал в каждом своём кусочке содержит информацию обо всём фрактале, по кусочку можно построить его весь (хоть он и бесконечен). По кусочку границы никак не понять какова вся граница.
Не обязятельно. В общем случае фрактал не обязан быть точно самоподобным - есть, например стохастические фракталы. Да даже для детерминированных фракталов - небольшой кусочек (что значит небольшой?) "содержит весь фрактал" только в простейших случаях.
И береговая линия - она как бы и послужила основой для придумывания такой конструкции, так что она - как бы самый первый описанный фрактал вообще.
Но на самом деле довольно грустно, что нет чёткого математического определения что есть фрактал - и потому рассуждения о том что является фракталом, а что нет - довольно бессмысленны.
Можно дать определение, что фрактал - всё, что имеет фрактальную размерность отличную от пространства в которое оно вложено (ну или просто - не цЕлую). Но такое определение - это будет всего лишь моим мнением.
Вообще-то по определению
Фрактал — это множество, обладающее свойством самоподобия
Так что нет самоподобия - не фрактал.
https://old.bigenc.ru/mathematics/text/4735405
Что-то статья закончилась не успев начаться. Про береговую линию кажется знают все, кто знает слово "фрактал". Всё популярные статьи что я видел - это одни и те же картинки и бла-бла-бла. Интересны были бы примеры практических приложений, вот есть фрактал - и что мы можем с ним сделать полезного?
Поиграть в математику.
Пользуясь тем, что они небольшим числом параметров задают сложные детали - попробовать использовать для сжатия. Будет давать артефакты не квадратиками, что многим возможно понравится.
На счёт игр в математику - есть такое, например
По сути - тот же фрактал, но с числами. Даже имеет какую-то пользу.
а вот сегодня это удивительное открытие называют эффектом Ричардсона или парадоксом береговой линии
Вряд ли это можно назвать "открытием". Тем более "удивительным". Любой математик того времени сразу сказал бы, что длина отрезка кривой линии будет больше чем длина отрезка прямой линии, если концы этих отрезков совпадают. И не надо бегать по берегу с линейками разной длины, чтобы в этом убедиться. Но видимо географы не сильны в математике, поэтому для них это стало "открытием".
И кто интересно "проблему береговой линии" назвал "парадоксом"? Это ни разу не "парадокс". Парадокс должен содержать противоречие.
Можно конечно сформулировать так - "Чем меньше берется линейка, которой измеряют длину берега, тем длиннее становится берег." Или так - "Чем точнее измеряется линия берега, тем более бесполезным будет полученный результат." Но и то и другое это "ложный парадокс", по причине неграмотных формулировок. "Береговая линия" не является точной линией сопряжения воды и суши. Это условное понятие. И при измерении длины береговой линии заведомо предполагается что часть неровностей будет сглажена.
математик Бенуа Мандельброт вновь подробно описал парадокс береговой линии, а в 1975 году придумал название для таких бесконечно сложных объектов, как ломаная граница побережий. Так родилось красивое слово – фрактал.
А вот это наверное парадокс. Потому что береговая линия как правило фракталом не является, потому что не обладает свойством самоподобия. Даже нет такого природного механизма, чтобы малая часть берега повторяла форму всего берега в миниатюре.
То есть парадокс в том, что человек придумавший термин "фрактал", неправильно его использовал. (это шуточный парадокс)
В своей статье, опубликованной в 1961 году, он сделал вывод, что при уменьшении единицы измерения длина береговой или пограничной линии стремится к бесконечности
Это что-то совсем странное. Видимо издержки безудержной экстраполяции. (типа прогноза смертности от ковида в несколько триллионов человек, при данном уровне заразности)
Так что, если площадь поверхности Байкала можно довольно точно измерить, то длина его берегов в разных источниках будет отличаться. Подумайте над этим, если вы учитель географии, и вам приспичило помучить кого-то из учеников каверзными вопросами.
Какой именно вопрос - "Почему два источника показывают разные цифры?". Это наверное больше к метрологии (науке об измерениях) относится, чем к географии.
Береговая линия вещь условная. При измерении учитывается практическая цель. Если линия измеряется с целью строительства береговых сооружений, это одно. Если с целью контроля за размытием берегов, это другое. Надо уточнять цель, или методику измерения.
А вот это наверное парадокс. Потому что береговая линия как правило фракталом не является, потому что не обладает свойством самоподобия.
Фракталу не обязательно нужно быть самоподобным. В математике фрактал - это множество с дробной размерностью Хаусдорфа.
Фракталу не обязательно нужно быть самоподобным.
Если убрать признак "самоподобия", то сильно размываются признаки класса, и под фракталы попадет слишком много объектов. Практически все вокруг станет фракталами. Все имеет сложную форму поверхности при увеличении, и сжимается в точку при уменьшении.
Другое дело, что "подобие" это не "точная копия". Критерии подобия субъективны. Кот и диван подобны, потому что оба мягкие.
В математике критерии подобия задаются самим математиком, при постановке условий задачи.
Для "фрактала" невозможно дать четкое и лаконичное определение, обобщающее все случаи.
По существу, определение "фрактал" характеризует форму контура фигуры или форму поверхности объекта. Минимальные признаки "фрактала" это сложность формы, и подобие формы при разных масштабах. Самый примитивный фрактал, это ломаная линия, у которой отрезки между вершинами тоже являются ломаными линиями. При уменьшении масштаба ломаная линия превращается в прямую. При увеличении, наоборот - прямые линии распадаются на ломаные.
В математике фрактал - это множество с дробной размерностью Хаусдорфа.
В математике как раз все просто. Если данное множество при визуализации выглядит как фрактал, значит оно описывает фрактал. Или если данная функция совместно с алгоритмом ее применения, позволяют графически построить "фрактальную поверхность", значит они относятся к "фракталам". Как генераторы фракталов. А если не позволяют, то не относятся.
А "дробная размерностью Хаусдорфа" у множества, может быть одним из признаков того, что это множество описывает "фрактальную" поверхность. Но это не требование, и не гарантия того что множество описывает фрактал.
Само по себе множество, в отрыве от "фрактальной поверхности", не будет фракталом. Оно будет просто "множеством обладающим свойством самоподобия". Потому что исторически "фрактал" это описание формы контура или поверхности геометрической фигуры.
И как бы "дробная размерность Хаусдорфа", это разве не абстракция? Можно всякие определения придумывать. Например "Множество, два соседних элемента которого являются границами подмножества, содержащего число элементов равное или большее числу элементов этого множества."
Парадоксально звучит, правда? Потому что соседние элементы множества в таком случае перестают быть соседними. А суть в порождении нового множества на основе структуры исходного множества. Но при этом будем считать что все элементы нового множества принадлежат к исходному.
И такое определение будет в духе современной неприкладной математики, которая стремится к максимальному обобщению и построению всеохватывающих определений.
Можно даже проще. Берем отрезок прямой, и разбиваем его на несколько отрезков, суммарная длина которых должна быть строго больше чем длина исходного отрезка. После этого утверждаем, что все новые отрезки являются частью исходного. И никакой магии здесь нет. Просто надо "разбивать" с помощью подходящей функции, а исходный отрезок прямой должен иметь размерность с именем какого-то чувака.
В математике как раз все просто. Если данное множество при визуализации выглядит как фрактал, значит оно описывает фрактал.
И как это "множество при визуализации выглядит как фрактал" выражается на языке математики? Как это вообще к математике относится?
А "дробная размерностью Хаусдорфа" у множества, может быть одним из признаков того, что это множество описывает "фрактальную" поверхность. Но это не требование, и не гарантия того что множество описывает фрактал.
Сможете доказать это смелое утверждение? Математически? Антипример привести?
Множество, два соседних элемента ...
Определите (математически) понятие "соседний элемент множества"
Можно даже проще. Берем отрезок прямой ...
Фракталы они как бы могут иметь размерности и больше 2, и больше 3, и, даже, больше 100 ...
Узковато получается ...
педия
Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей).
И на английском
In mathematics, a fractal is a geometric shape containing detailed structure at arbitrarily small scales, usually having a fractal dimension strictly exceeding the topological dimension. Many fractals appear similar at various scales,
.
Проблема фракталов - что они имеют довольно мало практических применений. Даже в чистой математике. И потому никто так и не озаботился всерьёз "утверждением" строго и однозначного определения - т.к. это просто не нужно.
Это не проблема (без чётких определений точки и линии живём же!) - но и спорить об этом не стоит. Истину такой спор не родит.
Спорить тут просто не о чём. Когда понадобится, введут определения "фрактал с точным самоподобием" и "фрактал с приближенным самоподобием", но пока термин "фрактал" покрывает оба варианта. Это нормальная жизнь терминов. И поэтому сейчас утверждать, что фрактал - именно точное самоподобие, неверно
Я конечно не эксперт, но Вики утверждает, что у фракталов дофига применений вне математики. Это раз. Два - где вы увидели отсутствие строгого определения?
Ну и три - в математике фракталы используются довольно широко, если вспомнить, что важнейший объект - канторовское множество, является фракталом.
Алгоритмы вот имеют много практических применений, а однозначного определения нет.
Но видимо географы не сильны в математике, поэтому для них это стало "открытием".
У таких историй есть разные причины появления.
Кто-то захотел сделать историю фирмы/университета/страны более весомой.
Кто-то захотел отмазаться от обвинений в плагиате или не хотел пиарить конкурента, и потом сослался на природу или уже мёртвого человека/организацию (которые ни прав на соавторство и премию не предъявят, ни конкурентам на рынке не будут) .
Похоже, что тут второй случай и надо смотреть с кем на перегонки бежал Бенуа Мандельброт. :)
Парадокс в том, что обычно люди ожидают, что при увеличении точности измерения результат будет не сильно отличаться от предыдущего и сходиться к истинному значению, чего для береговой линии не наблюдается.
Из заголовка и первого абзаца подумал, что вы заставите учеников находить изменение длины границы в зависимости уровня прилива и некоего угла, по которому берег уходит в море, заранее известного для каждой территории
Разве не абсурдны попытки измерять длину береговой линии по карте изначально?
Карта представляет собой проекцию местности. То есть сперва человек фиксирует изображение местности (с помощью спутниковых снимков, например), затем уже эти изображения расшифровываются и становятся картами. Возьмите длину кривой на данном этапе - и не будет никакого парадокса. Ведь на снимках поверхность планеты "изображена" в одном и том же масштабе. А что там потом происходит с границей при изменении масштаба карты, уже не важно. Величина для занесения в справочник получена ранее.
Странная статья. Давайте отделим мух от котлет.
С точки зрения физики, длина береговой линии конечна и можно указать верхнюю границу. Это следует хотя бы из того, что береговая линия состоит из атомов, и можно взять сумму всех максимальных длин между этими атомами. Тут парадокса нет.
С точки зрения метрологии, чем чаще прикладывается линейка при измерении, тем больше накапливаемая погрешность. Начиная с некоторой длины накопленная погрешность настолько велика по сравнению с измеряемым объектом, что брать линейку меньшего размера не имеет смысла. Поэтому тут тоже нет парадокса, размер будет плавать в зависимости от измерения, но он не бесконечный.
С точки зрения математики, длина береговой линии стремиться к бесконечности, при стремлении длины измеряемого инструмента к нулю. Тут тоже нет парадокса, это же математика.
Существует такая фрактальная функция - косинус Вейерштрасса-Мандельброта, она задается формулой
b и D - параметры, причем D - определяет "клеточную" размерность соответствующей кривой. Об этой функци можно почитать в книге: Е.Федер "Фракталы", там объясняется разница между клеточной размерностью и размерностью Хаусдорфа-Безиковича, а также разница между самоподобием и самоаффинностью. Определение фрактала в этой книге выглядит так:
Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому
Как бы математики не бились, всегда можно взять обычную верёвку и измерить периметр, который будет конечным и конкретным числом.
Нечто похоже это мысленный эксперимент с зайцем и черепахой, которая движется в 10 раз медленнее. С точки зрения математики заяц никогда не догоняет черепаху и лишь приближается к ней, хотя в обычной жизни исход очевиден
Зумеры открыли фракталы. Давайте уже про аттракторы которые я в 2000 изучал и применимости к фин рынку.
Парадокс береговой линии (или как завалить ученика на уроке географии)