Комментарии 49
даже в альтернативной вселенной с геометрией, отличной от нашей, сознательные существа, задавшиеся вопросом[1] о значении интеграла sqrt(1-x^2) от x = -1 до x = 1, всё равно получили бы — ну, не 3,14..., а ровно половину от него
Но ведь интеграл это площадь под графиком функции. Ну или предел суммы площадей прямоугольников, определенных функцией, если точнее. А в альтернативной вселенной с иной геометрией площадь прямоугольника будет равна не произведению длин его сторон, а чему то другому, а значит и интеграл будет отлично от пи.
Скорее в альтернативной вселенной интеграл не будет площадью под графиком функции. Потому что эта самая площадь - не суть интеграла, а всего лишь его геометрический смысл.
Интеграл прежде всего - оператор противоположный дифференциалу.
Определённый интеграл - это именно площадь под графиком. А неопределённый - оператор. И вот после этого уже оказывается, что они связаны друг с другом.
Определённый интеграл - это семейство (линейных) функционалов. В частности, в крайнем случае можно рассматривать интеграл Даниеля - там даже не уточняется конкретный вид этих функционалов. В случае же Римановского интеграла - это не более чем предел интегральных сумм.
Интегралу правда можно придать геометрический смысл площади под графиком, но только в том случае, когда площадь прямоугольника/квадрата определена стандартным способом. Путаете причину и следствие
Ну уж простите, я физик. В моём понимании, интеграл появился ещё в работах Ньютона и Лейбница, несмотря на то, что строгие математические определения появились позже.
Спасибо за информацию, буду знать. Вот она причина и следствие интеграла - сначала физика, а потом, как следствие - математика.
В альтернативном мире альтернативные Ньютон и Лейбниц написали бы совсем другие работы.
Ну, так им не нужна была площадь под графиком. Им было нужно непрерывное суммирование. А оно возникает безотносительно понятия площади (и графиков).
Насколько мне известно, утверждения типа «смещение тела равно заметаемой площадью под графиком его скорости» опять же являются следствием теоремы о том, что площадь под графиком равна соответствующему интегралу. Или такие утверждения можно ещё как-то вывести?
Интересный вопрос. Я об этом не подумал. Я по образованию физик, а для физика интеграл это в первую очередь площадь под графиком, т.к. он позволяет считать накопительный эффект в физических процессах. А с точки зрения математики, конечно интеграл это обратная операция дифференцированию и это важно для функциональных уравнений и тому подобных вещей.
Таким образом в этой альтернативной вселенной будет 2 разных интеграла - один для суммирования, а другой для обратной операции дифференцирования. В то время как в нашей вселенной эти интегралы чудесным образом совпадают.
Ситуация, аналогичная трансфинитным числам - для привычных нам натуральных чисел кардинальность(количество элементов) и ординальность(порядковый номер) числа всегда совпадает, но для трансфинитных чисел кардинальность числа и ординальность числа различаются.
И тогда вопрос чему равен интеграл sqrt(1-x^2) становится ещё сложнее, так как возникает встречный вопрос - а интеграл какого типа?
Я по образованию физик, а для физика интеграл это в первую очередь площадь под графиком, т.к. это позволяет считать накопительный эффект в физических процессах.
Вот вы сами и сказали, только не заметили. Интеграл - это такая штука, которая позволяет считать накопительный эффект в физических процессах, и физикам она интересна только потому, что позволяет считать накопительный эффект в физических процессах.
В альтернативной вселенной с другой геометрией площадь под графиком функции не позволит считать накопительный эффект в физических процессах, а потому не будет использоваться для объяснения интеграла.
Мне кажется что площадь это и есть накопительный эффект. Эффект воздействия одной пременной (условной длины - y) при изменении второй переменной (условной ширины - х).
Это работает только для евклидовой геометрии в декартовых координатах.
А у меня есть пасека. Двенадцать новых ульев. По трое в ряд стоят они. Ряда четыре будет. (НОМ)
Если бы геометрия была такова, что 4 ряда по 3 улья в каждом ряду образовывало не 12 ульев, а f(3,4), то и площадь была бы определена не как a*b а как f(a,b). И не важно Евклидова ли там аксиоматика, Декартавы ли координаты, или нет - это всё вторично. Потому что науку выстраивают в соответствии с фактами из реальности, а не наоборот.
В альтернативной вселенной возможно вообще действуют принципиально иные законы логики... Неужели так трудно принять это допущение? Какой-то "пи-шовинизм")) Очень уж любит человечество транслировать своё мировоззрение на всё мироздание.
Вроде бы и квантовые эффекты уже хорошо известны, но нет, давайте привязываться к нашим родным константам...
А точнее это предел верхних и нижних сумм дарбу(если они совпадают конечно же)
/del
Во вселенной с дискретным пространством типа майнкрафта число пи равно четырем.
Да, Манхэттенская метрика. А вообще интересно было бы копнуть глубже и посмотреть, чему равно число Пи в пространствах с различными "нестандартными" метриками, и какие выводы можно сделать о нашем пространстве исходя из нашего значения Пи.
Предполагаю, что во многих метриках оно вообще перестанет быть константой.
Да просто на сфере значение отношения длины окружности к диаметру зависит от этого самого диаметра и меняется от пи до 2.
Была попытка уважаемых пользователей разобраться с этим вопросом в комментариях к материалу https://habr.com/ru/articles/853450/#habracut Дело в том, что число "пи" искусственно созданное, только для плоскости (если иметь ввиду манипуляции с параметрами окружности). Для реального положения дел видимо нужно учитывать "кривизну пространства" в котором находится тот или иной объект. Тогда число "пи" как коэффициент при манипуляциях с окружностью перестает быть константой.
Число пи более фундаментальное, чем круг на плоскости. В формуле Эйлера нет ничего ни про круг ни про плоскость.
Так в формуле Эйлера и число Пи нигде не упоминается, при том что сама формула непосредственно связана и с кругом, и с плоскостью))
Формула Эйлера связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.
Вы, наверное, имели в иду тождество Эйлера? Которое является — частным случаем формулы Эйлера при x=π.
Пройдите по ссылке, иллюстрации там рассмотрите - точно про круг и плоскость ничего нет? ;)
В Санкт-Петербурге Пи равно трём: https://habr.com/ru/posts/891014/
Сам только что написал. На статью, думаю, не тянет, а для поста пойдёт.
А разве квадрат является местом точек равноудалённых от данной?
Изобразите такую фигуру в Майнкрафте, и чем точнее вы это сделаете, тем более точное значение Пи вы получите...
Да и дискретность нашего пространства тоже под вопросом...
С другой стороны, мои умозаключения вполне допускают существование разных значений Пи. Само понятие "равноудалённости" уже дискуссионно. Сразу принцип Ферма вспоминается и прочие "парадоксы шеста и сарая"...
Но в Майнкрафте пространство не "дискретное", мобы и сам игрок находиться в местах с нецелыми координатами, и двигаться в любом направлении.
Меня в свое время заинтересовал схожий вопрос - почему фундаментальной единицей измерения углов является радиан, а не оборот. Ведь казалось бы, один оборот (360 градусов) это нечто достаточно фундаментальное чтобы принять его за единицу, а прочие углы измерять дробными значениями. И это было бы весьма заманчиво для универсального кодирования углов в двоичном виде - естественное свойство арифметического переполнения (255+1==0) идеально подходит именно для арифметики углов.
В Doom, кстати, так и сделали — углы кодируются 32-битными числами, и полный оборот соответствует переполнению.
Это следует из свойств тригонометрических функций: в sin(1) 1 в каких единицах?
1 градус? 1 оборот?
Это безразмерная величина, которую называют радиан. А для градусов, оборотов и т. д. это получается по сути другая функция.
sin прямого угла выглядит одинаково, вне зависимости от того, в градусах этот угол или в радианах, или в других единицах.
Большинство углов в жизни и простой геометрии до 180 градусов (например в треугольниках). Так просто меньше всяких дробей получается.
Для математики первый замечательный предел удобнее. А переполнение появилось в жизни человечества в 20 веке, через несколько десятков лет, после того, как радианная мера стала общепринятой. Ну и, конечно, кодировать углы можно и нужно так, как удобнее для конкретной задачи.
Можно определять как угодно. Но отказывается, что если рассматривать функцию f(x) = sin(x rad), как функцию безразмерной величины x, то для неё несколько достаточно важный утверждений принимают наиболее простой вид.
Это и первый замечательный предел sin(x) ~ x при малых x, и разложение синуса в ряд Макларена, и связь с (комплексной) экспонентой e^ix = cos(x) + i*sin(x).
Поэтому Вы либо считаете в радианах, либо у Вас во всяких таких формулах появляются всякие множители типа 2pi
Число пи отражает изотропность свойств пустого пространства нашей Вселенной, их одинаковость по любому направлению.
Число пи берется из изотропности пространства, что являет собой симметрию первого порядка.
Число е берется из времени, все процессы во времени будут содержать число е. Из-за однородности времени. Т.е. процесс обязан быть мочь "сдвинут" во времени.
Формула Эйлера e*i*pi=-1 означает абсолютную "без фазную" изотропность и однородность как пространства, так и времени.
В конце концов все свелось к праздникам и ритуалам.
Косячок. То что число Пи другое означает что и метрика другая. А это приведет к тому что интегралы в другой метрике будут иметь другие значения. Так что инопланетянам придется еще объяснять что мы имеем круг, а не эллипс.
Число пи могло быть другим