Комментарии 44
Эту задачу можно представить в более практичной формулировке:
Если вместо отеля мы представим всю доступную человечеству свободную дисковую память всех электронных устройств (увеличивающуюся благодаря постоянно растущему производству новых дисков и флеш-накопителей, а также методам сжатия), а вместо клиентов - записи всех интересных событий, происходящих с человечеством, разделённых на “автобусы” - людей и локации, то… здесь два варианта: память либо когда-то закончится, либо не закончится никогда…
Помню, в универе это сначало слегка взрывало мозг, а потом удивляло красотой.
Алеф0 - мощность множества натуральных чисел. Или множества конечномерных векторов с натуральными значениями.
Алеф1 - мощность множества вещественных чисел. Или множества конечномерных векторов с вещественными значениями.
Не читал про алеф2, но думал что бы это могло быть. И придумал, что это либо мощность множества бесконечномерных векторов с натуральными значениями (но не факт, что это не алеф1), либо мощность множества бесконечномерных векторов с вещественными значениями.
алеф2 вроде бы множество всех возможных функций от вещественных аргументов, хотя точно сказать не могу
алеф (N+1) грубо говоря множество всех подмножеств алеф N,
более точно см. https://en.wikipedia.org/wiki/Successor_cardinal
к сожалению практически все что написано в статье про Пуанкаре не соответствует действительности, на самом деле его идеи по поводу бесконечности были ближе к работам Геделя, типа формальные системы подобные построениям Кантора не являются логически полными, что и было доказано позже,
ps
основная логическая проблема - могут ли аксиомы вообще использовать понятие бесконечности
Предположение о равенстве мощностей множества всех действительных чисел и множества всех подмножеств натурального ряда называют "Континуум гипотезой". Ходит байка, что Кантор сошел с ума пытаясь ее доказать. Позже, когда были формализованы некоторые подходы к определению понятия множества Гильберту и Коэну удалось доказать, что Континуум гипотеза независима от остальных аксиом типичных теорий множеств, т.е внутри этих теорий ее нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
Аксиомам совсем не обязательно оперировать понятием бесконечности, чтобы ее подразумевать. Например для системы аксиом
1.для всяк. x сущ. y т.ч. y=x+1
2.сущ. x т.ч. x != (x+1)
3. для всяк. x: x+1>x.
4.для всяк x, y: если x>y, то x+1 > y
всякое множество, которое наделено отношениями =, > и отображением +, может удовлетворять 1.-4. только если оно бесконечно.
надо добавить
5. для всяк. x, y если x>y, то x!=y.
без 5 аксиомам 1-4 удовлетворяет, например, множество остатков от деления целых чисел, скажем, на 3, где +1 - это прибавление по модулю 3, а отношение > истинно для всех пар элементов.
> Аксиомам совсем не обязательно оперировать понятием бесконечности
если говорить об аргументации Пуанкаре и др. в отношении работ Кантора, то имелось ввиду несколько иное, предположим система не полна, и принципиально не может быть полной, упрощенно это означает, что для ее описания необходимо бесконечно много аксиом, какой смысл для нас живя в конечном мире может быть в исследовании такой системы, если даже ее описание не помещается в нашей вселенной, см. Henri Poincaré, Science and Method -
"... For my part I think, and I am not alone in so thinking, that the important thing is never to introduce any entities but such as can be completely defined in a finite number of words .... "
Совсем не так, равенство мощностей множества всех действительных чисел и множества всех подмножеств натурального ряда доказывается легко. Смотрите мой комментарий чуть ниже за правильной формулировкой (вопрос сложный, ошибку делают часто).
Да, вы конечно же правы. Континуум гипотеза - это вопрос о равенстве именно первой несчетной мощности и множества всех действительных чисел. Видите, моя память за древностию лет сделала "ошибку Кантора". Конечно двоичная дробь вида 0,10110... кодирует по правилу "взять - не взять" некоторое подмножество натурального ряда и наоборот, поэтому множество действительных чисел интервала (0,1) равномощно множеству всех подмножеств на натуральных чисел.
исправил "чуть выше" на "чуть ниже"
Не совсем так. Мощность множества вещественных чисел - это два в степени алеф0, она же мощность множества подмножеств натурального ряда. А алеф1 - это самая маленькая несчётная мощность (его можно описать содержательнее, но надо знать, что такое "ординал", это мощность множества всех счётных ординалов). Равны ли алеф1 и два в степени алеф0 или алеф1 строго меньше - сложный вопрос (континуум-гипотеза утверждает, что равны, Кантор спятил, пытаясь её доказать).
не обязательно ru.wikipedia.org/wiki/Континуум-гипотеза
Гильберт воспользовался случаем, чтобы превознести достоинства канторовской теории множеств, отметив, что Кронекер сделал все возможное для борьбы с ней. «Когда я был приват-доцентом, — говорил он, — к тем, кто верил в Кантора, относились с презрением. Даже сегодня выдающиеся математики продолжают сопротивляться теории Кантора».
Зачем давать ссылку на статью, автор которой не осилил даже нормально формулировку теоремы Гёделя о неполноте понять? Цитирую:
... первую теорему Гёделя о неполноте. Суть её сводится к тому, что в любой непротиворечивой системе утверждений существует такое правдивое утверждение, которое невозможно доказать
Вообще-то её суть сводится к тому, что в для любой непротиворечивой системы утверждений (аксиом) всегда найдётся утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть (ещё одна аксиома).
"Кот скорей всего, жив! Хотя может быть и мёртв."
Сейчас я вижу ошибку в своём комментарии, но уже не могу поправить. Тем не менее, https://page.hyoo.ru/#!=ixy44o_3oga48 - чел лезет со своим бытовым пониманием и наивными рассуждениями. При этом допускает логические прорехи, достойные шизофреника.
Для обоснования приводится выражение вида "это выражение невозможно доказать"
Нет. Там всё сложнее, чем доказательство через рекурсивное высказывание.
Также умиляет опровержение доказательства теоремы Кантора о несчётности вещественных чисел:
доказательство Кантора выглядит так: ... нарушили один из основных принципов доказательства от противного
Не все доказательства этой теоремы Кантора являются доказательством от противного.
введём в рассмотрение Санту - некоторое вещественное число, которое по построению не соответствует ни одному натуральному. А в рамках исходной гипотезы, в которой мы не сомневаемся, пока она не опровергнута, его определение эквивалентно следующему: "Санта - это такое вещественное число, которое не равно.. никакому вещественному числу".
непонятно, как от "не соответствует ни одному натуральному" автор перепрыгнул к "не равно.. никакому вещественному числу"
Там всё сложнее
Просто пыль в глаза.
доказательство через рекурсивное высказывание.
Через самоотрицание. Проблема не в рекурсии самой по себе.
Не все доказательства этой теоремы Кантора являются доказательством от противного.
Спасибо за ссылку.
непонятно, как от "не соответствует ни одному натуральному" автор перепрыгнул к "не равно.. никакому вещественному числу"
Исходная гипотеза: "любому вещественному числу соответствует натуральное".
я посмотрел на твой блог, там в комментариях тебя уже пытались переубедить. Извини, не хочу тратить время на очередного шизофреника изобретателя-вечного-двигателя сторонника-торсионных-полей опровергателя-ОТО и вот теперь канторо-разоблачителя.
про "спасибо за ссылку". Если ты опровергатель доказательства Кантора, то ты наверняка знаешь, где найти как он её доказал.
А приведите пожалуйста пример практической задачи где используется что-то в духе алгоритма зачеленяи отеля?
Задачу знаю давно, но вот как она соотносится с жизнью?
Скажите, пожалуйста, что такое "актуальная бесконечность"? Это похоже на неточный перевод с английского "Hilbert's doesn't have merely hundreds of rooms, it's got an actual infinity". Правильнее перевести "у него их в действительности бесконечность".
Однако, в статье не указано, что это перевод. Добавлю ссылку для читателей, которые предпочитают оригинал: https://archive.nytimes.com/opinionator.blogs.nytimes.com/2010/05/09/the-hilbert-hotel/
А если приплывает бесконечное число паромов, на палубах которых бесконечное число автобусов, в каждом из которых бесконечное число пассажиров - их тоже всех можно разместить в отеле Гильберта?
Бесконечность - это буквально отсутствие конца. Что бы ты в неё ни засунул, конца у неё от этого не появится.
Можно, главное учесть методику размещения)))
Основная, и мне кажется самая важная, идея бесконечности отеля заключается в том, что она "расширяющаяся", чем больше пытаешься в неё впихнуть, тем больше влезет. Как то так. Если обыденными словами.
«Бесконечность не предел» или краткая история отеля Hilbert