В 2021 году научное сообщество отмечало 200-летний юбилей со дня рождения Чебышева Пафнутия Львовича — выдающегося математика XIX века, основателя первой русской математической школы Санкт-Петербурга и талантливого наставника. В этом большом материале рассказали про биографию ученого.
Домашнее образование в многодетной семье
Пафнутий родился 16 мая 1821 года в деревне Окатово, Калужской области. Деревня в 10 км от научного города Обнинск была частью большого имения его отца, Чебышева Льва Павловича, отставного армейского офицера дворянского происхождения, который сражался с армией Наполеона. Если бы не хромота (одна нога была короче другой), возможно молодой Пафнутий пошел бы по стопам отца и выбрал военную карьеру.
У мальчика было четыре брата и четыре сестры и до 11 лет он был на домашнем обучении. Мать и сестра научили его читать и писать, Пафнутий изучал французский язык и арифметику. Одним из любимых занятий Чебышева было создание механических игрушек с помощью простых инструментов. Например, с помощью перочинного ножа он строил миниатюрные мельницы. Это увлечение помогло Пафнутию увидеть связь между механикой игрушек и геометрией.
Учеба и известность среди французских математиков
В 1832 году семья Чебышева переехала в Москву, чтобы дети получили достойное образование и поступили в университет. Пафнутий начал заниматься с Погорельским, известным московским учителем начальной математики и автором лучших учебников для старших классов.
В отличие от многих других петербургских математиков первой половины XIX века, Чебышев прошел все учебные ступени. В 1837 году, когда Пафнутию было 16 лет, он поступил на факультет физики и математики Московского университета, где на него обратил внимание математик Брашман, который возглавлял кафедру прикладной механики.
Чебышев получил степень кандидата весной 1841 года с работой на тему «О численном решении алгебраических уравнений высших степеней». Из-за голодомора бизнес его отца обанкротился и семья больше не могла помогать финансово Пафнутию. Несмотря на это Чебышев продолжал заниматься математикой.
Делоне пишет: «Чтобы не страдать от голода, молодому Чебышеву, только что окончившему университет, пришлось бы или служить где-то, или давать уроки. Рассуждая, что такие занятия отвлекут его от математики, он выбрал нужду».
В 1843 году Чебышев опубликовал статью на французском языке в журнале «Journal de mathématiques pures et appliquées» под названием «Заметка о классе множественных неопределенных интегралов». В статье Чебышев предложил новые доказательства формул, которые принадлежали Лиувиллю и Огюстену-Луи Коши, по множественному интегрированию некоторых специальных функций. Статья сразу привлекла внимание бельгийско-французского математика Евгения Каталана, который опубликовал двухстраничное дополнение к результатам Чебышева.
Год спустя молодой математик опубликовал вторую статью «Заметка о сходимости ряда Тейлора», в которой указывал на ошибку в знаменитых «Упражнениях по анализу и математической физике» Коши относительно интегрирования бесконечного ряда функций. Чебышев доказал результат, который «является очень простым следствием замечательных открытий г-на Коши, но в то же время противоречит правилу сходимости для ряда, данному этим знаменитым геометром».
Действительно, Коши ошибочно утверждал, что определенный интеграл некоторого бесконечного ряда функций равен (без дополнительных условий) бесконечной сумме интегралов этих функций. Цитируя неправильное правило Коши, Чебышев написал: «Мне кажется, что недостаток этого правила происходит из того факта, что г-н Коши предполагает, что значение определенного интеграла может быть разложено как сходящийся ряд, если дифференциал между пределами интегрирования может быть разложен как сходящийся ряд. Но это происходит только в особых случаях».
После этих двух статей Чебышев, которому тогда было всего 23 года, стал известен среди французских математиков. В том же году Чебышев защитил магистерскую диссертацию в Московском университете под руководством Брашмана на тему «Очерк элементарного анализа в теории вероятностей».
Переезд в Санкт-Петербург и работы по теории чисел
После окончания учебы в 1847 году Чебышев понял, что ему не удастся найти подходящую должность в Москве, и переехал в Санкт-Петербург. Там он представил диссертацию на тему «Об интегрировании с помощью логарифмов». Это название относится к задаче выражения неопределенных интегралов вида:
Научный труд, в котором были освещены сложные аспекты интегрирования, впечатлил профессора Остроградского. После защиты диссертации Чебышева пригласили на должность доцента Императорского Санкт-Петербургского университета. Практически сразу его привлекли в амбициозный проект Академии наук — издание научных работ Эйлера в сфере теории чисел. В сотрудничестве с Буняковским Чебышев представил детальный индекс трудов Эйлера. Он дополнил его аннотациями и внес коррективы в ранее допущенные ошибки.
Ученый усердно изучал работы великих математиков прошлого: Эйлера, Жозефа Луи Лагранжа, Карла Фридриха Гаусса и Нильса Хендрика Абеля. При этом он воздерживался от чтения математических работ своих современников, потому что считал, что это отвлекает его от создания оригинальных идей.
Пафнутий сосредоточил свои научные усилия на самой запутанной задаче в теории чисел — распределении простых чисел. Эйлер в своем научном труде 1747 года, посвященном этой проблеме, отмечал: «Многие математики пытались выявить определенный порядок в ряду простых чисел, но безуспешно. И есть все основания считать, что это — тайна, недоступная человеческому уму. Достаточно взглянуть на таблицы простых чисел, которые некоторые ученые продлили до ста тысяч, чтобы понять: в них нет явного порядка или закономерности».
Чебышев внес совершенно новые идеи в эту область и разработал методы, которые лежат в основе аналитической теории чисел. Его первая статья по этой теме «О функции, определяющей все простые числа, меньшие заданного предела» была представлена в Академии наук Санкт-Петербурга в 1848 году и опубликована четыре года спустя.
Основным объектом исследования в этой статье была функция, которая каждому положительному целому числу присваивает количество простых чисел, которые меньше или равны этому числу. Математик получил первый определенный результат по этой функции, корректируя утверждения Адриана-Мари Лежандра, которые были получены на основе эмпирических наблюдений. Чебышев сделал их более точными. Например, доказал, что можно приблизить эту функцию с помощью определенного интеграла. А также показал, что независимо от того, насколько мала действительная величина и насколько велико целое число, разница между этой функцией и интегралом меньше определенного значения для бесконечно многих чисел. Вот так выглядит начало его статьи:
«Лежандр в своей “Теории чисел” предлагает формулу для определения количества простых чисел от 1 до определенного предела. Он начинает со сравнения своей формулы с очевидным перечислением простых чисел, приведенным в самых больших таблицах, а именно между 1000 и 1000000, и применяет ее для решения нескольких вопросов. Несмотря на явное соответствие формулы Лежандра с таблицами простых чисел, мы все же позволяем себе выразить некоторые сомнения относительно ее правильности и, следовательно, относительно результатов, которые были из нее выведены. Мы основываем наше утверждение на теореме, относительно свойств функции, которая определяет количество простых чисел, меньших заданного предела, из которой мы можем вывести несколько любопытных последствий. Сначала мы предоставим доказательство этой теоремы, а затем представим несколько ее применений».
Теорема, на которую Чебышев ссылается в вышеуказанной цитате, утверждает, что для любого целого числа, заданного положительным действительным числом, бесконечная сумма сходится к конечному пределу при стремлении к нулю.
В своем доказательстве этой теоремы Чебышева использует поведение действительной функции зета Эйлера при s=1. Стоит напомнить, что Эйлер уже открыл фундаментальное отношение между функцией зета и простыми числами, а именно
В статье выделяется тот факт, что независимо от того, насколько маленьким или большим брать определенные значения, не существует такого предела, после которого график одной функции полностью лежит ниже или выше графика другой функции.
Еще один ключевой результат из той же статьи гласит, что если отношение двух функций имеет предел, то этот предел обязательно равен единице. Более того, Чебышев показал, что это отношение находится в определенном диапазоне для достаточно больших значений.
Факт о том, что предел этого отношения действительно равен единице, был получен независимо в 1896 году Ж. Адамаром и Ж-Ш. де Ла Валле Пуссеном. Оба доказательства основаны на методах комплексного анализа. Этот результат, доказанный Адамаром и де Ла Валле Пуссеном, известен как теорема о простых числах.
В 1849 году Чебышев защитил докторскую диссертацию «Теория сравнений» по теории чисел, которая позже была опубликована в виде книги. Эта работа стала классикой и оставалась на протяжении нескольких десятилетий единственным доступным русским учебником по этой теме. За нее математика наградили премией Демидова от Академии наук Санкт-Петербурга.
На следующий год ученого избрали профессором математики в Университете Санкт-Петербурга. Десять лет спустя, в 1860 году, он стал ординарным профессором.
В 1850 году Чебышев опубликовал статью «Записка о простых числах» о распределении простых чисел. Во введении он напоминает, что большинство существующих утверждений о распределении простых чисел основаны на изучении больших таблиц простых чисел и остаются, по сути, недоказанными.
В качестве примера он приводит постулат Бертрана, который утверждает, что для любого числа больше трех всегда существует простое число между этим числом и его удвоенным значением минус два. Затем он упоминает другие типы вопросов, которые касаются рядов, индексированных простыми числами. Он начинает с того, что Эйлер доказал: ряд, индексированный простыми числами, и ряд, индексированный всеми целыми числами больше двух, сходятся или расходятся для одних и тех же значений, и оба сходятся тогда и только тогда, когда значение больше единицы.
Он показывает, что это не является общим правилом, доказывая в качестве контрпримера, что хотя ряд
индексированный простыми числами, имеет предел, значение которого меньше 1,73, ряд
который учитывает все целые числа, начиная с двойки, не сходится. Вдохновившись такими наблюдениями, Чебышев решает сложную задачу: как определить, сойдется ли ряд, основанный на простых числах, и если сойдется, то как приблизительно оценить его сумму.
Пафнутий предлагает метод, который включает в себя анализ функции, отображающей сумму логарифмов всех простых чисел до определенного предела. Этот метод позволил ему подтвердить известное утверждение — постулат Бертрана. Кстати, более лаконичное доказательство этой теории было представлено Рамануджаном в 1919 году.
С фамилией Чебышева связаны и другие теоретические результаты и предположения, например, «смещение Чебышева». Это замечание он высказал в письме к П.Н. Фуссу. Суть заключается в том, что, судя по наблюдениям, простых чисел определенного вида больше, чем простых чисел другого вида. Эта идея сейчас рассматривается как гипотеза и, несмотря на старания многих ученых, до сих пор не доказана. Для более глубокого понимания этой проблемы можно обратиться к работам Рубинштейна и Сарнака.
Благодаря своим работам по теории чисел Чебышев стал кандидатом на членство в Санкт-Петербургской академии наук. В 1853 году его избрали, но на кафедру прикладной математики, так как три кафедры чистой математики были заняты Буняковским, Фуссом и Остроградским. В 1859 году Пафнутий стал членом Академии, а через год профессором университета.
Путешествие во Францию и доклад императору Николаю I
В 1840-х годах Пафнутий Львович активно устанавливал связи с математиками из Западной Европы, прежде всего с французами. Несмотря на то что многие ученые того времени предпочитали общение по переписке, Чебышев был сторонником личных встреч и диалогов и часто путешествовал в Европу летом. Париж стал его любимым городом для научных визитов.
Во Франции Чебышев проявил интерес к ветряным мельницам, особенно в регионе Лилль. Он анализировал их конструкцию, эффективность и обсуждал возможные улучшения. В Париже, несмотря на летние каникулы в университетах, Чебышев встретился с выдающимися математиками, включая Жозефа Лиувиля.
Также Пафнутий посетил Консерваторию искусств и ремесел, где изучал различные машины и технологии. Его интерес к механике и инженерии совпадал с интересами Леонарда Эйлера, который работал в Санкт-Петербургской академии до Чебышева.
Чебышев побывал на предприятиях в различных регионах Франции, где изучал современные технологии и методы производства. Его исследования и наблюдения в области прикладной механики и инженерии показывают глубокий интерес к практическим аспектам науки, что было характерно для многих ученых.
В Париже Чебышев встретился с другими математиками: Коши, Лиувиль, Бьенаме и Эрмит. Их дискуссии касались сложных тем в области дифференциальных уравнений и интегрирования. Чебышев отметил, что именно благодаря советам Лиувиля и Эрмита он решил продолжить исследования в области интегрирования, что впоследствии привело к публикации ряда его работ.
В 1852 году Чебышев представил доклад о своем путешествии по Западной Европе императору Николаю I. Доклад был адресован покровителю Академии наук, который финансировал его исследовательские поездки. В отчете Пафнутий уделил особое внимание техническим новшествам и научным достижениям, которые он изучал во время своего визита. Например, двигатели, созданные шотландским инженером Джеймсом Уаттом, механические автоматы, разработанные французским мастером Жаком де Вокансоном, и арифметическая машина, которую создал Блез Паскаль в XVII веке.
После Франции Чебышев отправился в Англию. Там он изучал промышленные новшества и общался с английскими математиками, такими как Артур Кейли и Джеймс Джозеф Сильвестр. В Лондоне Пафнутий посетил Королевский политехнический институт, где был поражен обширной коллекцией моделей, которые демонстрируют принципы прикладной механики.
После Лондона Чебышев вернулся в Париж, где приобрел устройства для Императорского Александровского лицея в Санкт-Петербурге. В ожидании инструкций к этим устройствам, он встретился с физиком Леоном Фуко. Возвращаясь в Россию, математик остановился в Брюсселе, где осмотрел музей прикладной механики, и в Берлине, где встретился с Дирихле.
Чебышев был активным участником встреч Ассоциации Французского Продвижения Наук (AFAS). Между 1873 и 1882 годами он представил множество докладов на этих встречах. Одним из его значительных достижений был арифмометр (вычислительная машина).
Сферы научных интересов Чебышева
Теория приближений
Чебышев интересовался методами получения информации о математических преобразованиях на основе конечных данных. В период с 1839 по 1841 годы, будучи студентом в Москве, математик написал статью об итерационных методах поиска приближенных реальных решений уравнений, улучшив метод Ньютона.
Один из первых опубликованных результатов Пафнутия по теории приближений — «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов». В ней он рассматривает проблему наилучшего равномерного приближения реальной функции на замкнутом интервале с помощью полиномов ограниченной степени.
В 1855 году Чебышев представил Академии наук в Санкт-Петербурге статью на тему непрерывных дробей. В ней он использует метод наименьших квадратов, непрерывные дроби и полиномы Чебышева для получения интерполяционной формулы. Сейчас теория приближений находит применение в теории чисел, экстремальных задачах, а также в анализе, вычислительной математике и прикладных науках.
Теория вероятностей
Пафнутий Львович занимался исследованиями в этой теории вероятностей, начиная со своей магистерской работы в Московском университете. Чебышев был учителем для основателя современной теории стохастических процессов Маркова и создателя теорем в области теории меры, динамических систем и теории потенциала Ляпунова.
География
В 1856 году Чебышев опубликовал две работы, в которых изучал проблему создания карт с минимальным искажением. Он опирался на работы Лагранжа и искал способы минимизации искажений при переходе от трехмерной сферы к двумерной плоскости. Одно из его достижений — установление связи между этой проблемой и уравнением Лапласа.
Достижение Чебышева заключается в том, что карта с наименьшим искажением имеет свойство постоянного локального увеличения на границе региона. Математик предложил метод для вычисления этого искажения. Пафнутий часто давал лишь идеи доказательств, избегая подробностей. Позже Гастон Дарбу предоставил детали доказательства этой теоремы, опираясь на идеи Чебышева. Современное доказательство теоремы представил Джон Милнор примерно через столетие после ее открытия.
Пошив одежды
Одна из работ Чебышева посвящена применению геометрии в пошиве одежды. Он представил доклад на сессии AFAS в 1878 году в Париже. Чебышев рассматривал проблему, начиная с куска ткани, состоящего из перпендикулярных нитей.
Предполагается, что ткань предназначена для того, чтобы принимать форму части тела человека. Нити жесткие в точках их пересечения, но углы на этих пересечениях гибкие. Таким образом, нити, которые первоначально образуют евклидовы квадраты, становятся криволинейными параллелограммами после их деформации.
Основной вопрос, который возникает, — насколько близко к форме тела человека может быть кусок ткани. Ученый предложил решение в виде дифференциального уравнения, удовлетворяющего гауссовой кривизне поверхности, покрытой тканью, и показал, как можно получить приближенные решения.
С этой работой Пафнутий создал новую тему в геометрии поверхностей. Вопрос о возможности покрытия произвольной поверхности сеткой Чебышева стал новой математической проблемой. Дарбу, в своем докладе на ICM в Риме (1908), упоминает работу Чебышева по пошиву одежды, рассматривая ее с дифференциально-геометрической точки зрения.
Баллистика
В своей статье А.В. Васильев утверждает, что работы Чебышева по приближениям функций были мотивированы не только проблемами теории механизмов, но и проблемой баллистики — движением тел, брошенных в воздух.
Начиная с 1856 года Чебышев стал членом Артиллерийского комитета Императорской русской армии, который был ответственен за внедрение научных новшеств в русскую артиллерию. Он обнаружил связи между своей теоретической работой по приближениям и баллистикой. Через три года после его назначения математику вручили медаль за «трехлетнюю дотошную и полезную работу, помимо выполнения его прямых обязанностей в Академии наук, по математическим исследованиям в Артиллерийском комитете».
Документ из Военно-научного совета Санкт-Петербурга 1863 года описывает сложные проблемы артиллерии, которые нужно решать с помощью математических инструментов, и, в частности, работу Чебышева по этой теме. Результаты Чебышева в этой области включают объяснение роли вращательного движения при стрельбе из орудия и изучение оптимальной формы снаряда.
Строгий преподаватель и талантливый наставник
Чебышев был строгим преподавателем. Он никогда не пропускал занятия, не опаздывал и не задерживался после окончания занятия. Если доказательство не было завершено, на следующем уроке он начинал с того же места. Перед расчетами на доске он давал объяснение, но выполнял их молча, и студенты должны были проверять детали самостоятельно.
Лекции Пафнутия были доступными и систематическими и прерывались лишь для экскурса о взглядах других математиков. Такие отступления делали лекции живыми и интересными. Чебышев оставался вежливым и сдержанным экзаменатором, задавая вопросы общего характера.
Ученый продолжал встречаться со своими бывшими студентами после их выпуска, особенно с теми, кто продолжил заниматься наукой. Среди студентов Чебышева — Марков, Ляпунов, Поссе, Коркин и другие. Многие из них основали школы в разных местах: Граве — в Киеве, Ахиезер — в Харькове, Ляпунов — в Харькове и Одессе.
Чебышев несколько лет был членом комитета Российского Министерства образования, ответственного за учебные программы по математике, физике и астрономии в средних школах.
Математик видел важное взаимодействие между чистой и прикладной математикой. Он считал, что практика извлекает пользу из теории, воздействует на нее, предоставляет новые темы для исследования и новые взгляды на давно известные вопросы.
Последние годы жизни ученого
Чебышев вел спокойную жизнь, посвященную математике. Он так и не женился. В 1882 году ученый ушел из университета, чтобы посвятить себя исследованиям в Академии наук, продолжая ежегодные поездки во Францию. Несмотря на свое скромное финансовое положение ученый продолжал создавать новые механические устройства.
За несколько лет до своей смерти Пафнутий Львович выразил свою точку зрения на цели и проблемы математики: «Математика уже прошла два периода: один, когда задачи ставились богами (например, задача о дупликации куба), и другой, когда они были поставлены полубогами, такими как Ферма, Паскаль и другие. Сегодня мы вступили в третий период, когда потребности человечества ставят перед нами задачи, которые нам предстоит решать».
Эта статья поддерживается командой ITGLOBAL.COM
Мы — первый облачный провайдер в России, а также интегратор, поставщик ИТ-услуг, продуктов, сервисов и разработчик собственного ПО.
• Наш сайт
• Наш блог про виртуализацию и Enterprise IT
• Наш YouTube канал
• Истории успеха наших клиентов
