Всем привет. В преддверии старта продвинутого курса "Математика для Data Science", подготовили для вас перевод статьи, которая была написана в память о легендарном математике Джоне Хортоне Конвее.
Предлагаем вам развлечь себя, решая числовую головоломку, геометрический пазл, а также играя в игру со случайными узорами, вдохновленные игривым гением легендарного математика.
Легендарный математик Джон Хортон Конвей, умерший в апреле от COVID-19, по-детски искренне увлекался изобретением головоломок и игр. Он провел подробный анализ многих головоломок, таких как кубик Сома, пасьянс с колышками и солдаты Конвея. Он изобрел «алгоритм судного дня» (быстрый метод вычисления дня недели в вашей голове - Конвей мог сделать это менее чем за две секунды) и бесчисленное количество игр, в том числе игра ”Рассада” (Sprouts) и знаменитую игру “Жизнь”, которая положила начало изучению клеточных автоматов.
Большая часть серьезных математических работ Конвея также проистекает из его слабости к математическим играм. Он внес оригинальный вклад в теорию групп (Решётка Лича, гипотеза чудовищного вздора), многомерную геометрию, тесселяцию (мозаику), теорию узлов, теорию чисел (сюрреалистические числа), алгебру, математическую логику и анализ.
В этом месяце мы чествуем игривый гений известного британского математика двумя головоломками и исследовательской игрой. Сначала мы поиграем с числовой головоломкой, изобретенной Конвеем, которая без лишней скромности является воплощением самого совершенства. Затем насладимся геометрическим пазлом, относящимся к некоторым из его наиболее визуально доставляющих работ. И наконец, мы погрузимся в игру с открытым финалом, созданную читателем Quanta, которая напоминает культовую игру “Жизнь” Конвея.
Головоломка 1: Цифровое совершенство
Существует загадочное десятичное 10-значное число abcdefghij. Все его цифры разные, и они обладают следующими свойствами:
a делится на 1
ab делится на 2
abc делится на 3
abcd делится на 4
abcde делится на 5
abcdef делится на 6
abcdefg делится на 7
abcdefgh делится на 8
abcdefghi делится на 9
abcdefghij делится на 10
Какое это число?
Прежде чем приступить к решению этой головоломки, уделите минутку, чтобы полюбоваться абсолютным совершенством ее формы. Он излагается совершенно естественно, без малейших произвольностей или ухищрений. Прочитав первые два условия, вы точно знаете, в чем будет заключаться остальная часть головоломки. А когда этот естественный набор условий результирует в уникальном ответе, это просто восхитительно. Для меня, как создателя головоломок, эта головоломка с подстановкой цифр вызывает то же чувство, которое Моцарт внушал Эйнштейну, который сказал, что музыка Моцарта «была настолько чистой, что казалось, что она всегда присутствовала во Вселенной, ожидая, чтобы ее открыл мастер. » Только такой численно одаренный человек, как Конвей, мог уловить такую совершенную платоническую форму из райского сада головоломок!
Вы, конечно, можете решить эту головоломку, совершив поиск методом перебора с помощью компьютера, но это совсем не обязательно. Я призываю вас сделать это с помощью карандаша и бумаги. Все головоломки с подстановкой цифр такого типа могут быть решены с помощью двухэтапного процесса, знакомого тем, кто решал судоку: сначала вы устанавливаете отношения между цифрами, что сужает возможности, а затем вы проводите систематический поиск неизвестных цифр методом проб и ошибок. Здесь вам следует использовать уловки, которым вы научились в школе, чтобы определить, делится ли число на данную цифру. Если вы выжмите максимум из условий головоломки, у вас не останется слишком много кандидатов для поиска методом проб и ошибок.
Если же вы хотите усложнить себе задачу, попробуйте решить эту головоломку полностью в своей голове. В конце концов, Конвей был известен тем, что решал математические задачи «голыми руками». Это требует большого внимания и терпения, но я уверяю вас, что это возможно.
Головоломка 2: Двойственные треугольники
Есть равнобедренный треугольник, который содержит угол равный x градусов. Отношение двух сторон разной длины равно y.
Оказывается, не один, а целых два разных треугольника имеют одинаковые значения x и y!
Каковы значения x и y для этих двух равнобедренных треугольников? Что особенного в этих треугольниках и какое отношение они имеют к творчеству Конвея?
Для нашей последней головоломки вам снова понадобятся бумага и карандаш. Будет даже лучше, если вы возьмете несколько листов в клетку. Это игра, которая погрузит вас в образ мышления Конвея - вы будете рисовать небольшие диаграммы и создавать различные структуры, как это делал он в своих играх “Рассада” и “Жизнь”. Наша игра, которая создает структуры, подобные полимино, была предоставлена Quanta читателем по имени Jona Raphael.
Головоломка 3: Случайные волосатые узоры
У вас есть бесконечная плоскость, на которой вы размещаете квадратные тайлы. Вы должны поочередно добавлять новые тайлы случайным образом, так чтобы каждый новый тайл имел по крайней мере одно общее ребро с ранее размещенным тайлом. Вероятность размещения тайла в любом конкретном месте пропорциональна количеству ребер ранее размещенных тайлов, которые граничат с этим местом.
Рассмотрим два примера:
Если у вас пока есть только один тайл, то второй тайл имеет равную вероятность оказаться на севере, юге, востоке или западе от исходного тайла.
Если у вас есть кольцо из восьми тайлов, то есть 12 позиций вокруг внешних сторон кольца и одна позиция в середине, и все они действительны для размещения следующего тайла. Для той, что посередине, вероятность получит тайл в четыре раза больше, чем для любой внешней подходящей позиции, потому что у нее четыре общих края с ранее размещенными тайлами, а не только одна.
Мы оцениваем “волосатость” (H, потому что в оригинале используется “hairiness”) или “внешность” любой конфигурации как количество открытых ребер тайлов, деленное на количество тайлов. Например:
Для одного тайла на плоскости H = 4 ребра ÷ 1 тайл = 4.
Для кольца из восьми тайлов H = 16 ребер ÷ 8 тайлов = 2.
Для ряда из восьми тайлов H = 18 ребер ÷ 8 тайлов = 2,25.
Величину, обратную H, можно назвать “внутренностью” или компактностью конфигурации.
Цель этой игры - чистое исследование. В отличие от большинства игр, к которым мы привыкли, исключая игру «Жизнь» Конвея, это «бесконечная игра без игрока», как Конвей описывал свое творение. Для меня динамика нашей игры напоминает то, как взрослые дети уравновешивают свое желание оставаться рядом со своими родителями с желанием действовать самостоятельно. Параметр H является мерой того, насколько они расходятся, оставаясь при этом в минимальном контакте, в то время как его обратная величина, внутренность, является мерой того, насколько они сплачиваются.
(В этом видео 2014 года Numberphile(числофил) Джон Конвей рассказывает, как он создавал игру “Жизнь”.)
Вот несколько вопросов, которые направят ваше исследование этого квадратного мира.
Новый тайл может быть помещен рядом с одним ребром (касаясь только одного другого тайла), в углу (касаясь двух), внутри буквы «U» (касаясь трех) или внутри отверстия (касаясь всех четырех). Как каждое размещение влияет на количество открытых ребер в новой конфигурации (узоре)?
Каковы минимальные и максимальные значения H и каким типам тайловых узоров они соответствуют? Можете ли вы придумать приблизительную или точную формулу для максимального и минимального значений H по мере увеличения количества тайлов (n)?
Какое ожидаемое значение H (приблизительное или точное) для данного значения n?
Найдите наименьший узор, которая является «сбалансированным», так что добавление следующего тайла с такой же вероятностью увеличивает количество открытых ребер, как и уменьшает его. Сможете ли вы найти симметричный узор, обладающую этим свойством?
Найдите наименьший узор, для которой ожидаемое значение H остается неизменным после добавления еще одного тайла. Для какого следующего наименьшего по количеству тайлов узора справедливо это свойство?
Вот и все для начала. Теперь вы можете исследовать эту игру самостоятельно. Попробуйте найти ответы на несколько новых интересных вопросов. Может быть, вы найдете новую структуру (пожалуйста, поделитесь изображения интересных узоров!) Или даже докажете теорему. И пока вы это делаете, предложите название этой игре.
Играйте - подарите духу Конвея улыбку!
