Математика *

Коллектив исследователей из МФТИ разработал новые методики моделирования распространения сейсмических волн в средах со сложной геометрией. Это важно для эффективного поиска новых месторождений нефти и газа. Исследование опубликовано в журнале Lobachevskii Journal of Mathematics. 

Традиционные методы решения обратных задач сейсморазведки сталкиваются с трудностями при учете рассеяния волн на границах и контактных границах сложной формы. Это приводит к снижению точности результатов и, как следствие, к неэффективному использованию ресурсов при поисках новых месторождений.

Разработанный учеными МФТИ метод, основанный на использовании химерных сеток, позволяет эффективно преодолеть эти ограничения. Это особенно важно для поиска и разведки труднодоступных месторождений углеводородов, так как он позволяет существенно повысить точность прогнозирования месторождений углеводородов, одновременно сокращая вычислительные затраты.

Химерные сетки представляют из себя комбинацию декартовой (фоновой) и криволинейной сеток. Это позволяет точно учитывать условия на границах сложной формы. Связь между сетками осуществляется с помощью интерполяции.

Добрый день, меня зовут Богдан, я фронтенд-разработчик в компании iSpring. В статье расскажу про интерактивную стрелку в редакторе изображений. Вы узнаете: как строятся кривые Безье и какие полезные свойства имеют; как вычислить кривую Безье, проходящую через заданные точки; как найти ограничивающую площадь этой кривой. Рассмотрим плюсы и минусы реализаций на Canvas и SVG.

Хабр, привет! На связи Никита и Егор, мы работаем над продуктовой аналитикой в дирекции по развитию программы лояльности Х5. В статье мы бы хотели рассказать вам о том, как можно использовать модификацию дивергенции Кульбака-Лейблера для ответа на вопрос, а насколько ваша пилотная аудитория специфична относительно генеральной совокупности всех клиентов, и какие могут быть «подводные камни».

Известно, что математики - это устройства, трансформирующие кофе в теоремы. Много кофе в большое количество теорем. Чтобы их различать, им дают названия. Часто по имени авторов ("Теорема Ху", "Теорема Банаха-Алаоглу"); иногда, если авторы плодовитые, - просто по номеру (так и говорят: "Теорема 3.4 из [Tarjan '97]"). Иногда дают пафосные названия ("Основная Теорема Арифметики", "Центральная Предельная Теорема"). Если совсем нет идей, называют по содержанию ("Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения").
Но иногда теоремам дают забавные и смешные названия, которые приживаются в фольклоре и изучаются в вузах. Я хочу поделиться с вами некоторыми из них; парочка широко известна, еще несколько могут быть знакомыми выпускникам математических вузов, и пара из моей личной коллекции, возможно, будет вам неизвестна.

Физики смоделировали распространение звука внутри гибридных нейтронных звезд при наличии внутри них кварк-глюонной плазмы. Оказалось, что даже небольшая доля пузырьков кварковой материи может привести к высокой нелинейности звуковой волны. «Результаты моделирования помогут обнаружить кварк-глюонную плазму в естественных условиях», — пишут ученые из МФТИ, Курчатовского института и Физического института им. Лебедева в журнале Physical Review D.

Исследователи провели расчёты на основе простой модели, где адронное вещество содержит небольшие кварковые «пузырьки». Они предположили, что эти пузырьки имеют радиус порядка 1—5 ферми, что составляет миллионные доли нанометра. Более сложные конфигурации, такие как капли, стержни или трубки, остаются интересной задачей для будущих исследований. 

Я разработала интерактивный макет для создания композиций цветов. Проблема свелась к задаче упаковки кругов в круг и её автоматизированному решению методом отжига. Расскажу теорию и математически обосную практику с визуальными пояснениями.

Коллектив российских ученых разработал новый способ численного моделирования ледовых торосов, айсбергов и стамухов в Арктике, который позволяет определить их структуру на основе ультразвукового сканирования толстых слоев льда. Их первоочередной задачей было описать криволинейные полости, заполненные воздухом и водой, чтобы получить проектных оценки ледовых нагрузок на инженерные сооружения. Работа была опубликована в российском научном журнале «Радиоэлектроника. Наносистемы. Информационные технологии». 

Новая работа ученых МФТИ, акцентирующая внимание на численном моделировании распространения волнового сигнала в торосах, демонстрирует инновационный подход к решению этой задачи. Используя сеточно-характеристический метод на структурированных и химерных расчетных сетках, исследователи проанализировали отклики от полостей, заполненных воздухом и водой. Их результаты дают возможность прогнозировать толщину ледяных образований и глубину их осадки.

Ученые из России и Кореи провели теоретическое исследование трех различных моделей ускоренного расширения ранней Вселенной. Они рассмотрели модели, в которых потенциал, вызывающий расширение, генерируется квантовыми эффектами. Оказалось, что первая модель может быть согласована с наблюдениями, а остальные две нет. Исследование было опубликовано в Physics of Particles and Nuclei Letters. 

Ученые провели численный анализ трех относительно простых моделей инфляции, каждую из которых характеризуют уникальные параметры. Результаты исследования показали, что первая модель, описывающая инфляцию с помощью скалярного поля с ненулевой массой и минимальным гравитационным взаимодействием, демонстрирует согласие с данными наблюдений при определённых условиях. Однако не все параметры в этой модели способны поддерживать данное соответствие.

Я ворвался в лабораторию с криками “я знаю в чем дело, ща все починим” и от радости почти не заметил удушающе-скептический взгляд коллег. Но, несмотря на это, при помощи бормашинки, штанегнциркуля и транспортира пустился кромсать чугунину наносплав. Через 40 минут мы собрались вокруг стенда, щелкнули рубильником и - о чудо! Манометр ожил и положил стрелку! Это была микропобеда. 

А начинался этот стартап со школьной скамьи...

Замечательный метод МНК появился в недрах астрономии (точной науки). Здесь мы покажем как можно существенно улучшить ее оценки в гуманитарных (неточных) науках.

Сперва приведем реальный пример его использования. Летом 2024 года я вычислил курс доллара в Казахстане на полгода вперед. И написал об этом статью в здесь же.

В последние годы научные исследования в области аэродинамики становятся все более актуальными с учетом развития высокоскоростных летательных аппаратов. Новое численное исследование, проведенное командой российских ученых из МФТИ и Центрального аэрогидродинамического института им. профессора Н. Е. Жуковского (ЦАГИ), стало важным шагом к более глубокому пониманию сложных процессов, которые протекают в пограничном слое в условиях сверхзвукового потока. Результаты были опубликованы в журнале Fluid Dynamics. 

Работа сосредоточена на изучении взаимодействия слабых ударных волн, известных как N-волны, с ламинарным пограничным слоем, образующимся на плоской пластине с затупленной передней кромкой при числе Маха 2,5. Это число означает, что полет происходит со скоростью около 3000 километров в час, то есть в 2,5 раза превышающей скорость звука. Результаты численного моделирования были сопоставлены с известными экспериментальными данными.

Аэродинамические характеристики высокоскоростных летательных аппаратов сильно зависят от турбулизации сжимаемых пограничных слоев, что может значительно увеличить вязкое трение и тепловые потоки к обтекаемой поверхности. 

В программировании микроконтроллеров порой приходится прибегнуть к медианной фильтрации.

В этом тексте я произвел разбор решения LeetCode задачи 480. Sliding Window Median в контексте реализации на языке программирования Си.

Если Вы когда‑то учились в вузе на технической специальности или учитесь сейчас (иначе, зачем бы Вам эта статья), у Вас наверняка есть предмет, который назывался примерно так — «Методы оптимизации» / «Введение в оптимизацию» или что‑то похожее. Задачки там примерно такие: «завод производит продукцию типов, как бы произвести деталей первого типа,..., деталей k‑го и как можно дешевле». Потом рассказывалось про симплекс‑метод для задач линейного программирования и про метод Лагранжа для задач нелинейного. Про указанные выше условия где‑то упоминается, но без примеров, где‑то сразу абстрактные примеры с матрицами, а может быть Ваш препод и вовсе написал в своей методичке, мол, это выходит за рамки курса. В этой статье предлагаю аккуратно разжевать на простом примере, что такое условия ККТ.

Что нам позволяют найти условия Каруша‑Куна‑Таккера (ККТ)

Проверка условий ККТ позволяет решить условную задачу оптимизации, как линейную так и нелинейную, с ограничениями типа равенств и неравенств. Можно сказать, что ККТ это почти универсальный метод, позволяющий решить большинство «адекватных» задач.

Выпуск 442

Закончилась работа спутника Gaia. Он проработал чуть более 10 лет, что заметно дольше планировавшегося. Теперь огромный массив данных постепенно обрабатывают. В следующем, четвертом, релизе данных будут представлены результаты за половину времени наблюдений. Это произойдет в следующем году...

Глядя на слоган ВкусВилл-а («Здесь полезное вкусно») родился вопрос:

«Здесь полезное вкусно» и «Здесь вкусное полезно» - это одно и тоже?

Давайте спросим у LLM-моделей...

Условия задачи

Есть бесконечная плоскость, вымощенная квадратными клетками

У каждой клетки есть две координаты в виде целых чисел

Координаты от минус бесконечности до плюс бесконечности

В клетке с координатами (0,0) находится муравей (в другой версии обезьяна)

Он может перемещаться вертикально или горизонтально только на 1 клетку, только на клетки, у которых сумма цифр координат не больше определённого числа N.

Например, у клетки с координатами (758, -219) сумма цифр координат 7+5+8+2+1+9=32

Случай, когда рассматривается количество клеток без взаимосвязи с тем, можно ли к ним пройти или нет, рассматривать бессмысленно, т.к. существует бесконечное число клеток с координатами вида (0, 1000……000) с различным количеством нулей.

Вопрос

Сколько клеток доступно муравью при заданном N?

В 1985 году небольшая компания ThinkFun начала с простой идеи — делать обучение увлекательным через игры, которые развивают ум, а не просто развлекают. За десятилетия она выросла в мирового лидера STEM-игр, создавая хиты, которые учили логике, физике и даже программированию — без экранов и скучных уроков. Её игры вдохновляли миллионы детей по всему миру, превращая сложные науки в захватывающие приключения. Но путь от гаражного стартапа до глобального бренда оказался не таким простым, как казалось. А сейчас, похоже, даже вступил в период стагнации. Давайте посмотрим на хронологию событий.

Как‑то раз, просматривая новостную ленту перед работой, я наткнулся на почти ничем не примечательную статью на нашем любимом Хабре. Статья эта очень близко пересказывает страницу из Википедии, которая называется «Парадокс мальчика и девочки». Примечательна эта статья на Хабре лишь тем, что под стандартным и общепринятым решением этой несложной задачи разразился почти что холивар на тему правильности решения/формулировки задачи и адекватности автора.

В этой статье я хотел бы вставить свои пять копеек и выразить несколько своих мыслей по этому поводу, которые накопились на небольшую статью. Основная их цель — найти способ объяснить решение этой задачи человеку, который знает тервер на самом базовом школьном уровне, и который не имеет никакой теоретико‑вероятностной интуиции (такие люди, в основном, и рождали споры в комментариях). Конечно, без базовых знаний в других областях математики не обойтись, но на мой взгляд, если такое объяснение существует, то это неплохая альтернатива классическому решению. Ибо истинное решение задачи из теорвера зачастую противоречит человеческой интуиции.

Если вы не поняли гипотезу, значит вам её плохо объясняли. И да, если что-то хочешь сделать хорошо, сделай это сам.

Интересным является вопрос о погружении арифметики в n+1-значные логики Лукасевича Ł_n+1. Какая часть арифметики может быть погружена в Ł_n+1? Для функции φ(х) = m  рассматривается обратная к ней, определяемая  соотношением φ ^–1(m) = {n, φ(n) = m}, где φ(х) – функция Эйлера.

Пример, если φ(n) = 4, то это уравнение имеет ровно четыре решения φ ^–1(4) = {5, 8, 10, 12}. Гольдбахом (1690 –1764) поставлена проблема о разложении четных чисел ≥ 4 на сумму двух простых. Если это верно, то для каждого числа m найдутся простые числа р и q такие, что φ(р) + φ(q) = 2m.

Эдмунд Ландау в 1912 г. на международном конгрессе математиков в Кембридже заявил, что проблема Гольдбаха недоступна для современного состояния науки. Недоступна она и сейчас. Верифицируемость предположения Гольдбаха установлена до 4∙10¹⁴.

Делались попытки найти формулу, с помощью которой вычислялись бы (или порождались) все простые числа. Наилучший результат принадлежит Ю.В. Матиясевичу (1977), который нашел полином из 10 переменных. Асимптотическое распределение простых чисел в НРЧ, доказываемое аналитическими методами, приводится в книге К. Прахара (1967). О первых 50 млн простых чисел статья Д. Цагера (1984).
Можно считать, что впервые на проблему решения подобных уравнений обратил внимание Э. Люка (1842 – 1891). Об этом сказано в книге И.В. Арнольда (1939) «… следуя Люка, сгруппированы числа n с одним и тем же значением функции φ(n) в пределах от 1 до 100, т.е. дана таблица функции обратной по отношению φ(n).

В книге Серпинского (1968) задача №245 «Найти все натуральные числа n≤ 30, для которых φ(n) = d(n), где φ(n) – функция Эйлера, а число d(n) – число натуральных делителей числа n». Рассмотрим только случай n = 30. Делителями числа 30 являются числа 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 и 30, т.е. d(n = 30) = 8. Значит надо решить уравнение φ(30) = 8, где n≤ 30. Или, по-другому, найти значения для обратной функции Эйлера φ ^–1(8), т.е. определить множество {n, φ (n) = 8} для  n≤ 30. Это множество образовано числами {15, 16, 20, 24, 30}. Более того, ни для каких других n >30 φ (n) ≠ 8.

Множество значений φ ^–1(m) = Ø пусто для всех нечетных значений и многих четных значений m > 1. В первой сотне числа 14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94 и 98 не являются значениями φ (n).