Математика *

Перед тем, как смотреть решение обязательно попробуйте одолеть самостоятельно!

Автор решений: телеграм канал "Поступашки —  ШАД, Стажировки и Магистратура".

Задача 1 (Линейность)

Рассмотрим линейное пространство многочленов степени не выше 3 над полем На нём задано отображение

где - многочлен наивысшей степени, являющийся одновременно делителем и , и , у которого старший коэффициент совпадает со старшим коэффициентом . Дополнительно доопределим .

Пример:

Является ли данное отображение линейным?

Чтобы получить допуск на экзамен при поступлении на магистерской программе «Программное обеспечение высоконагруженных систем», которую ИТМО делают вместе с Яндекс Образованием, для начала нужно пройти онлайн тест. Здесь представлен тест 2024 года, а также мое личное решение к нему.

Сразу хочу сказать, что автор (то есть я) публикую это решение как абитуриент и ни сколько не претендую на полную корректность и строгость решения. И так как это онлайн тест и на него никто не накладывает никаких ограничений, помимо того, что его должен решать я, а не кто-то другой, то оставляю за собой полное право пользоваться онлайн “помощниками” такими, как сервисы построения графиков и вычисления производных. Допускаю, что многие задачи можно решить аналитически и без использования кода. Но зачем, когда время сильно ограничено :)

Публикую это, потому что нашел задачи довольно интересными, а также специально для следующих поколений абитуриентов.

Теперь когда награда обещанная уважаемым  @vvvphoenixв исходной статье здесь нашла своего героя, можно рассмотреть действительный способ решения задачи, а заодно посмотреть как красивые картинки и умные слова уводят нас в сторону от настоящего решения задачи.

В этом тексте я намерен выяснить, как быстро меняется частота несущей спутников GPS в результате эффекта Доплера.

Также намерен выяснить в каких диапазонах стоит ожидать варьирование значения несущей частоты для GPS спутников и почему. Задачу буду решать в упрощенном виде, численно.

Для решения этой задачи достаточно обыкновенной школьной математики и физики.

В этой статье я расскажу что такое Uniswap Impermanent Loss, и почему это такая острая тема для провайдеров ликвидности.

Более конкретно, что вас ждёт в статье:

• Небольшое погружение в то как работает Uniswap V2
• Impermanent Loss для Uniswap V2
• Погружение в то как работает Uniswap V3
• Impermanent Loss для Uniswap V3
• Проблемы провайдеров ликвидности или почему эта тема очень важна для них

Краткий гид по основам библиотеки NumPy и основным линейно-алгебраическим операциям с её использованием

Меня зовут Ксения и я уже более 7 лет в IT. В данной статье хочу разобрать, что такое «классы эквивалентности» со стороны математического анализа — со стороны точной науки.

Начинала я с QA и прочитала достаточно много книг о тестировании. В университете у меня был предмет «математический анализ», на котором мы разобрали, что такое классы эквивалентности. В книгах по тестированию тоже были «классы эквивалентности», но ни одной формулы там не было. Подружить эти два понятия было достаточно сложно, но мы справились.

Наше сообщество в телеграм "Поступашки  — ШАД, Стажировки и Магистратуры" в частности специализируется на подготовке к стажировкам. В этой статье наши выпускники трех самых популярных направлений расскажут, как они проходили отбор. Далее представлен слегка отредактированный текст наших выпускников.

Аналитика

Сначала ждал контест. Мне и моему другу хватило всего 3 из 6 задач, чтобы позвали дальше на собеседования.

Аналитическая секция проходила так. Была одна алгоритмическая задача: есть массив целых чисел отсортированный, надо у всех отрицательных чисел знак поменять и снова отсортировать. Потом была стандартная задача на формулу Байеса: вычислить вероятность болезни, если тест показал положительный результат. В конце был бизнес кейс в духе как оценивать качество работы службы поддержки Яндекс такси. Поговорили про метрики, пользователей и тд. Прошел без каких-либо трудностей и напрягов. На все ушел час.

Алгоритмическая секция проходила так. Всего было две задачи. Первая задача: есть строка из Х, У, О наподобие "O,O,O,O,X,X,OY,O,O,X" найти минимальное расстояние между Х и У.
Вторая задача: есть массив целых чисел надо вывести границы отрезка с заданной суммой чисел, или если такого отрезка нет, то вывести (-1,-1). Опять же прошел собес без каких-либо трудностей. На все ушел час.

Интервью с командами прошли так. На финалах в основном были беседы за жизнь и спрашивали всякую фигню типо бизнес кейсов.
На первом финале были разговоры за жизнь и кейс: придумать метрики оценки системы рекомендаций фильмов на умных телевизорах.
На другом финале дали простейшую задачу на sql, которую я даже не запомнил, ибо на столько элементарная она была. Еще был бизнес кейс по оценке работы пуш уведомлений Яндекс лавки.
Но прям норм задачи были на финале в команде, которую я по итогу и выбрал. Было несколько задач по теор веру типо рассчитать оптимальный размер гардеробов в театре с двумя входами, если известно что приходят 400 человек (мы даже такую задачу решали на семинарах). Потом спросили: у тебя десять А/Б экспериментов проводится (цвета кнопки тестируются, ну 10 разных цветов ) и один из тестов показал значимый результат (ошибка первого рода 0.1) , так вот приходит дизайнерша и говорит что её цвет кнопки показал значимый результат, что ей стоит ответить. Более типичный вопрос про множественное тестирование, я немного потупил, но решил. Ещё две задачи чисто были на теор вер, но там длинные условия и я их не понял и особо не запомнил.

Мы стараемся простым языком рассказывать про важные аспекты из мира ИИ. Полина Полунина, преподаватель НИУ ВШЭ, Сколково, Сириус и др., написала небольшой текст о сверточных нейронных сетях. Читать всем!

Сверточные нейронные сети (CNN) – это класс глубоких нейронных сетей, которые обладают специализированной архитектурой для обработки данных, имеющих пространственную структуру, таких как изображения. Они широко применяются в компьютерном зрении, распознавании образов, анализе временных рядов и других задачах, где важно учитывать пространственные зависимости между данными.

Основными строительными блоками CNN являются сверточные слои, пулинг-слои и полносвязанные слои. Сверточные слои состоят из фильтров (ядер), которые скользят по входным данным и вычисляют локальные признаки. Пулинг-слои уменьшают размерность данных, сохраняя важные признаки. Полносвязанные слои объединяют все признаки для принятия окончательного решения.

Для обучения CNN используется метод обратного распространения ошибки, который позволяет оптимизировать веса сети с целью минимизации ошибки на обучающем наборе данных. При этом часто применяются функции активации, такие как ReLU (Rectified Linear Unit), которые помогают улучшить скорость обучения и предотвратить проблему затухания градиента.

Одной из ключевых особенностей CNN является возможность извлечения иерархии признаков на разных уровнях абстракции. Более низкие слои могут выделять простые фичи, такие как грани и углы, в то время как более высокие слои могут распознавать более сложные паттерны, например, лица или объекты.

Если у вас два кредита с разной процентной ставкой и на разную сумму, и есть возможность вложить некую сумму в частичное досрочное погашение, то какой нужно гасить в первую очередь?

Вроде бы интуиция подсказывает, что дорогой кредит нужно гасить первым. Но может быть все зависит от объема кредита и суммы досрочного платежа?

Давайте проверим. Ведь это очень практичная задача.

Буду рассматривать на реальном примере из моей жизни — у меня две ипотеки.

В сентябре 2014 года в одном из селений на склонах Пиренеев садовник Жан-Клод, которому было под 60, был удивлен появлением соседа у своих ворот. Они не разговаривали почти 15 лет после спора о плетистой розе, которую Жан-Клод хотел подрезать. Старик, которому было 86 лет, жил в полном уединении, ухаживая за садом в своей неизменной джеллабе и проводя ночи за письмом, ни на кого не обращая внимания. Но на этот раз старик, с длинной бородой и видом ищущего истину, казался обеспокоенным.

«Ты можешь сделать мне одолжение?» – спросил он Жан-Клода.

«Если смогу».

«Можешь купить мне револьвер?»

Что такое вершинный буфер? Как создать трехмерный объект и отрисовать его на экран? Для чего нужен формат вершин и как с ним работает вертексный шейдер? Как работает буфер глубины и что такое борьба за глубину? Как это влияет на полупрозрачность и почему важен порядок отрисовки объектов на экран? Как посчитать координаты камеры и задать перспективу? Для чего нужны матрицы и как ими пользоваться? Что такое отсечение и зачем оно нужно?

Некоторые люди считают, что в небесной канцелярии только и заняты тем, что подсчитывают выборы людей и начисляют им карму за их делишки. Ведь делать выбор — это основное свойство нашей души.

Но какого объема нужно хранилище информации для хранения кармы населения Земного Шара?

Попробуем примерно оценить.

Допустим, в час человек совершает 10 значимых для кармы выборов. Во сне человек отдыхает от дел, значит всего у нас есть 16 часов в сутки. Это 160 выборов в сутки или 58.400 в год.

Принимая среднюю человеческую жизнь за 50 лет, получаем, что досье на каждого из нас занимает 2.920.000 выборов.

О каждом выборе достаточно хранить примерно 1 килобайт информации — краткое описание ситуации и классификационные поля для подсчета числа хороших и плохих выборов.

Получается что одна человеческая жизнь описывается для кармы 2.785 гигабайтами информации.

На Земле сейчас живет 6 миллиардов человек. Поэтому для хранения информации о всем текущем населении нашего мира нужно 6.000.000.000 * 2.78 = 16.289.062 Тб ≈16 млн Тб.

По подсчётам учёных, за всю историю существования человечества на Земле жило примерно 117 миллиардов человек, т.е. 117.000.000.000 * 2.78 = 317.636.719 Тб ≈ 317 млн Тб.

При этом неважно, есть переселение душ или нет. Если его нет, каждое дело хранится отдельно, если есть, новые воплощения подшиваются в общую папку души.

Для понимания этого объема можно сравнить данные с примерным объемом YouTube, который согласно некоторым оценкам занимает как минимум один Эксабайт (1 000 000 Тб) хранилища в своих дата-центрах.

Вслед за Альфредом Тарским поинтересуемся: можно ли доказать любое школьное тождество с помощью программы?

Данная статья является разбором статьи 2003 года Dimitris Karlis'а и Ioannis Ntzoufras'а "Analysis of sports data by using bivariate Poisson models".

Данная статья будет интересна в основном тем кто использует или понимает как использовать распределения Пуассона в моделях машинного обучения и для предобработки данных для прогнозирования результатов спортивных событий.

Для моделирования спортивных данных было использовано двумерное распределение Пуассона и его расширения. Двумерное распределение Пуассона позволяет получить корреляцию между результатами соревнующихся команд, что вполне вероятно для некоторых командных видов спорта.

Более 90% всех программистов знают, что такое обычные числа с плавающей запятой: binary32/binary64/binary128, их часто называют float, double и т.д. соответсвенно, есть много информации о том почему 0,1 не может существовать в бинарном виде, что при большом количестве значащих цифр будут недостаток точности, даже, если ты не выходишь за рамки 16 цифр, зато они быстрые… Но почти нет информации о том, что прекрасное решение, которое сохраняет все достоинства и исправляет недостатки есть, даже в самом, обновленном стандарте плавающих чисел IEEE 754-2008 уже больше 15 лет, это decimal floating point(DFP).

Для начала вспомним устройство обычного binary64: 1 бит знака, 11 битов экспоненты, 52 бита мантиссы. Давайте лучше картинку покажу:

Приветствую всех, сегодня я хочу рассказать про одну из самых интересных неразгаданных загадок математики. Гипотеза Коллатца, или же дилемма 3n+1 прославилась благодаря простоте своей формулировки, при этом оставаясь не доказанной уже более 90 лет.

В этом выпуске : обзор самой гипотезы, код-снипеты, кэширование, рекурсия, и много чего еще.

Поехали.

Краткая формулировка, то бишь немного измененная выдержка из википедии Collatz conjecture — Wikipedia Гипотеза Коллатца — Википедия (wikipedia.org):

Берём любое натуральное число n:

1) Если оно чётное, то делим его на 2,

2) Если нечётное, то умножаем на 3 и прибавляем 1.

Над полученным числом выполняем те же самые действия, и так далее.

Алгоритм RSA является одним из первых представителей асимметричной криптографии, прошедший свой путь сквозь бурные дискуссии математиков, сквозь сотни успешных и безуспешных попыток взлома криптоаналитиками, сквозь тысячи неправильных применений и реализаций.

В настоящее время алгоритм RSA уже постепенно и планомерно заменяется асимметричной криптографией на эллиптических кривых за счёт сохранения старого уровня безопасности с меньшей длиной ключа. Но всё же, он до сих пор занимает лидирующие позиции по своему применению и вполне оправданно, учитывая его относительно долгую историю для раздела асимметричной криптографии.

На хабре алгоритм RSA не раз обсуждался и критиковался, как например тут, тут, тут, но весь анализ сводился либо к анализу конкретного недостатка / уязвимости, либо к неправильному использованию / применению старого стандарта. Всё это неплохо, но не даёт полной картины того, чем всё же может быть опасна чистая математическая структура алгоритма RSA.

Сергей Климкин, руководитель группы C3D Web Vision, C3D Labs, рассказывает о том, что из себя представляет модуль Web Vision, освещает текущие рабочие проекты и знакомит с планами по развитию компонента.

Web Vision — это клиент-серверный модуль, предназначенный для визуализации в браузере. Он включает процессы управления камерой, такие как панорамирование, вращение, зумирование, причем как с помощью компьютерной мыши, так и с помощью жестов на сенсорном экране. Процесс поиска геометрии можно осуществлять как в режиме поиска под курсором, так и рамкой — секущей и объединяющей. Кроме того, имеются функции управления видимостью, масштабирования камеры и динамического сечения.

Web Vision состоит из двух частей. Первый, frontend-часть, представляет собой npm-пакет, поставляющийся для внедрения в браузер разработчика. В него входит Type Script API для управления свойствами визуализации — скрытия объекта, его покраски и других способов взаимодействия с графикой. Второй компонент, серверная часть, в большей степени ориентирован на управление данными. Серверная часть используется для конвертации, подготовки данных для визуализации, получения атрибутной информации, метаданных и т. д. Управление сервисом происходит с помощью REST API, это сделано для интеграции с микросервисной архитектурой.

В 1940 году французский математик и артиллерийский офицер Жан Лере попал в плен к немцам. Опасаясь, что его истинная специализация в гидродинамике может быть использована для помощи военным усилиям Германии, он сообщил своим захватчикам, что является специалистом в области топологии. На протяжении почти пяти лет заключения Лере поддерживал эту уловку, проводя исследования в топологии - разделе математики, изучающем свойства фигур, не меняющиеся при деформациях. В результате этих исследований он разработал одну из самых революционных идей в современной математике - концепцию "пучка".