Математика *

Давайте начистоту. Для большинства из нас первая встреча с математическим анализом была интеллектуальной травмой. Туман из эпсилонов и дельт, теоремы, падающие с потолка, и тоскливое чувство самозванца, который вот-вот будет разоблачен.

Я здесь, чтобы сказать вам: дело было не в вас.

Проблема не в том, что вы «гуманитарий». Проблема в том, что вам преподавали не математику. Вам показывали вскрытие: препарирование живой, интуитивной идеи до тех пор, пока от нее не оставался лишь скелет формальных определений.

Моя предыдущая статья, где я впервые озвучил этот тезис, стала хитом. Судя по множеству сообщений в личке, эта боль знакома слишком многим. И почти в каждом была просьба:

«Напиши учебник. Тот самый, который мы заслужили».

Что ж, это он. Глава первая. Забудьте всё, что вы знали. Мы начинаем с нуля.

Мы отправимся в путешествие к самым основам человеческого мышления. Мы увидим, как драма, начавшаяся 2500 лет назад с простого вопроса о летящей стреле, породила всю современную науку — от физики до нейросетей.

Пристегнитесь. Мы погружаемся.

Международный коллектив ученых из Греции (FORTH, Университет Крита), Китая (Университет Вестлейк, Университет Тунцзи), Великобритании (Университет Сент‑Эндрюс) и России (МФТИ, Санкт‑Петербургский государственный университет) впервые продемонстрировал создание и управление экзотическими топологическими состояниями света при комнатной температуре, используя уникальные свойства самособирающихся кристаллов перовскита. Заперев свет в микроскопической ловушке вместе с этими кристаллами, исследователи смогли создать «синтетические» магнитные поля для фотонов, что привело к появлению необычных и надежно защищенных световых состояний. Статья об открытии опубликована в журнале Light: Science & Applications.

Привет, Хаброжители! Сегодня у нас открылся предзаказ на книгу «Кото-математика». Хотим вам рассказать про нее побольше в этом посте.

Мяу-математика? Именно! В своей книге Дэниел М. Лук превращает скучные числа в захватывающие приключения, где каждый урок ведет... кот!

Эта книга — не просто о математике, а о том, что математика вездесуща, даже когда коты управляют миром. В книге нет заумных терминов, она написана легко, в формате веселых диалогов автора с его четырьмя котами-соавторами и бесконечным множеством их пушистых товарищей по математическим играм.

Ученые из Московского физико-технического института (МФТИ) и Всероссийского научно-исследовательского института автоматики им. Н.Л. Духова (ВНИИА), Евгений Андрианов и Олег Толстихин, разработали теорию, которая показывает, как казалось бы пассивное облако свободных электронов, рожденных при ионизации газа мощным лазером, способно кардинально изменять саму квантовую природу этого лазерного света. Их работа, опубликованная в журнале Physical Review A и отдельно особо отмеченная редакцией (Editors’ Suggestion), предсказывает формирование так называемых неклассических и негауссовых состояний света, включая состояния с кольцеобразной функцией Вигнера, что открывает новые пути к созданию и управлению светом для будущих квантовых технологий.

Коллектив исследователей из Московского физико-технического института и Института автоматизации проектирования Российской академии наук разработал новаторский вычислительный подход, позволяющий заглянуть в самое сердце процесса усталостного разрушения материалов. Их метод, основанный на комбинации сеточно-характеристических расчетов и технологии перекрывающихся сеток, дает возможность детально, цикл за циклом, моделировать накопление повреждений в конструкциях под воздействием высокочастотных нагрузок, что критически важно для таких отраслей, как авиастроение. Первые результаты, демонстрирующие работоспособность и точность предложенной методики, опубликованы в журнале Mathematical Models and Computer Simulations. 

Долгое время не мог разобраться в квантовой физике на глубоком уровне — не в формулах, а в понимании: что всё это значит? Теория струн казалась непреодолимым препятствием:  слишком много математики, непонятно с какой стороны подступиться, какие физические основы. Квантовую механику ещё как-то популяризируют, но про струны популярная наука обычно молчит.

Эта статья — попытка пройти путь «от нуля до героя»: от базовых принципов квантовой информации до теории струн, дуальностей и голографии. Не упрощая математику до метафор, но и не требуя докторской степени. Уровень — физмат-школа при МИФИ: серьёзно, но доступно.

Мы покажем, как квантовая информация порождает симметрии, симметрии требуют полей, поля организуются конформной инвариантностью, конформность приводит к струнам, а голография  замыкает круг: геометрия оказывается способом кодирования квантовой запутанности. В конце — программа экспериментальных проверок и честный ответ: действительно ли это «теория всего»?

Российские ученые из Московского физико-технического института и Института системного анализа Российской академии наук разработали новый вычислительный метод и программное обеспечение, способные с высокой точностью моделировать сейсмическое воздействие на многоэтажные здания, возведенные на свайных фундаментах в суровых условиях Крайнего Севера. Результаты исследования опубликованы в журнале Mathematical Models and Computer Simulations. 

Строительство в регионах Крайнего Севера – это вызов инженерной мысли. Неустойчивые грунты, подверженные просадке из-за оттаивания вечной мерзлоты, и потенциальная сейсмическая активность требуют особого подхода к возведению зданий. Одной из ключевых технологий, обеспечивающих надежность сооружений в таких условиях, являются свайные фундаменты. Сваи, уходящие глубоко в землю, передают нагрузку на более прочные слои грунта, предохраняя конструкцию от разрушения. Однако существующие методы моделирования либо чрезмерно упрощают картину, либо требуют колоссальных вычислительных ресурсов, что ограничивает их практическое применение.

Перед коллективом российских исследователей стояла амбициозная цель: создать такой инструмент, который позволил бы не только точно, но и эффективно оценивать сейсмостойкость зданий на сваях. Ученые стремились разработать метод, который бы учитывал максимальное количество параметров, влияющих на поведение конструкции: от количества этажей и подъездов, высоты потолков и частоты расположения свай до их длины и толщины, упругих и прочностных характеристик используемых материалов, а также сложной геометрии просадки грунта и характеристик самой сейсмической волны.

Стоя посреди поля, мы легко забываем, что живём на круглой планете. Мы настолько малы по сравнению с Землёй, что с нашей точки зрения она кажется плоской.

Мир полон таких форм, которые кажутся плоскими для живущих на них муравьёв, хотя в целом они могут иметь более сложную структуру. Математики называют эти формы многообразиями. Введённые Бернхардом Риманом в середине XIX века, многообразия изменили представление математиков о пространстве. Оно перестало быть просто физической средой для других математических объектов, а стало абстрактным, чётко определённым объектом, заслуживающим самостоятельного изучения.

Эта новая перспектива позволила математикам тщательно исследовать пространства более высоких измерений, что привело к зарождению современной топологии — области, посвящённой изучению математических пространств, таких как многообразия. Многообразия также стали играть центральную роль в таких областях, как геометрия, динамические системы, анализ данных и физика.

Коллектив физиков-теоретиков из Московского физико-технического института (МФТИ), Национального исследовательского центра «Курчатовский институт» – Института теоретической и экспериментальной физики им. А.И. Алиханова (ИТЭФ) и Института проблем передачи информации им. А.А. Харкевича Российской академии наук (ИППИ РАН) поставил точку в давнем споре о том, как правильно «считать» частицы, рождающиеся из вакуума в расширяющихся просторах космоса.

Эта статья продолжает линию, начатую в предыдущей работе, где мы предложили рассматривать реальность не как совокупность объектов и свойств, а как сеть Корреляционных Паттернов — элементарных узоров связи, из которых эмерджируют пространство, время и материя. Теперь мы сделаем следующий шаг — попробуем понять, каким образом из той же реляционной ткани возникает сознание и смысл.

Если в первой статье речь шла о том, как из отношений рождается структура мира, то теперь нас интересует обратное направление: как структура мира начинает осознавать саму себя. Мы будем рассматривать сознание не как нечто добавленное к материи, а как особую фазу корреляционной динамики, где информация начинает рефлексировать собственные состояния.

Выпуск 449

Открыта интересная планета с рекордными характеристиками. Открыта методом транзитов, но потом удалось измерить вариацию лучевой скорости звезды и детально изучить саму звезду и особенности транзитов.

Итак, планета имеет орбитальный период 105 дней и массу менее 30 земных. Пекулярны две характеристики. Во-первых, орбита полярная, т.е. ее наклон к экватору звезды почти 90 градусов. Во-вторых, планета имеет очень низкую среднюю плотность (менее 0.3 от плотности воды). Т.е., она "раздутая" - радиус определяется очень протяженной атмосферой. Это необычно для планет, находящихся так далеко от звезды.

Объяснение этого, скорее всего, связано с составом: очень большая (для такой массы, это ведь не гигант!) доля водорода и гелия. Также отметим относительную молодость планеты. Возраст оценивается не очень точно: от 200 миллионов до 1.5 миллиарда лет. Ожидается, что будущие наблюдения на JWST помогут определить состав атмосферы и лучше разобраться в физике этого необычного объекта.

Если вы когда-нибудь задумывались о написании своего языка программирования, в особенности функционального, то должны быть в курсе, что лямбда исчисление — это основа всех функциональных языков. Я решил сделать цикл статей, где мы будем реализовывать интересные алгоритмы, используемые в компиляторах, а также различные исчисления. Лямбда‑исчисление — это фундамент, с которого я и предлагаю начать погружение в эту нору.

Я задался этим вопросом, когда внезапно мне пришел подарочный набор игральных костей для игры в D&D. Для тех, кто не в курсе, если таковые есть — большая часть игровых механик завязана на использовании кубиков с 4, 6, 8, 10, 12 и 20 гранями. Есть ещё бросок к100, но он достигается броском двух кубиков к10. В идеале каждый такой бросок — рандом, абсолютная случайность, которая и определяет успешность тех или иных действий. Но так ли это на практике?

Ученый из МФТИ и его коллеги из Египта провели фундаментальное аналитическое исследование, направленное на изучение эволюции микрокавитационных пузырьков в тройных гибридных наножидкостях, находящихся вблизи упругих твердых тел. Примером такой жидкости является человеческая кровь. Работа опубликована в Results in Engineering.

Все ML-инженеры знают о линейной регрессии. Это та самая база, с которой начинает изучение алгоритмов любой новичок. Но вот парадокс: даже многие «прожженные» инженеры не всегда до конца понимают ее истинную работу под капотом.

А именно — какая у «линейки» статистическая связь с Методом Максимального Правдоподобия (MLE) и почему она так сильно «любит» MSE и нормальное распределение. В этой статье мы как раз в этом и разберемся.

В статье представлена параметризация всех натуральных нечетных чисел на основе приведенной системы вычетов {1, 3, 5}, которая взаимно проста с модулем 6. Показан способ описания подмножеств вычетов {1, 3, 5}, который за счет разбиения на подмножества, подпространства, уровни масштабирования и индексации внутри уровней, позволяет исчерпывающе покрыть все нечетные числа и доказывает их фрактальную структурную детерминированность.

Как-то раз моя пятилетняя дочка, вернувшись домой из детского садика, сообщила мне и моей жене, что математика — тупая штука (!). С тех пор мы не покладая рук работаем (пока что успешно), стараясь увлечь её всевозможными математическими интересностями, а теперь ещё и гордимся её успехами в математике. Одна из наших наиболее удачных находок привела к тому, что теперь дочь очень интересуется фракталами вообще. Особенно ей нравится смотреть видеоролики, где с увеличением показаны множества и оболочки Мандельброта, а вдобавок есть капусту романеско. Благодаря этому увлечению дочери, я стал больше задумываться о фракталах, а также о том, как они соотносятся с особенно волнующей меня темой — искусственными нейронными сетями.

Mr. Game & Watch — одна из интересных головоломок игры Puzzle Hunt Мельбурнского университета 2011 года. Эта игра представляет собой ежегодный квест, цель которого — первыми обнаружить «сокровища», спрятанные где‑то на территории кампуса. Задания игры не содержат инструкций. Вместо этого участникам дается сюжет, который постепенно развивается, и в который встраиваются головоломки.

Головоломка представляет собой большое количество однотипных часов: всего их 24, и они аккуратно расположены на странице в 6 рядов и 4 столбца. На всех часах можно видеть циферблат с 12 римскими цифрами; расположение часовой стрелки и минутной стрелки; время суток (AM или PM); а также угол в градусах, который представляет собой разность между положением стрелок...

Вы когда-нибудь задумывались, почему в компьютерных играх объекты иногда проваливаются сквозь текстуры? Или почему финансовые модели так сложны, когда пытаются предсказать курс акций, который кажется то плавным, то скачущим? В основе этих, казалось бы, разных проблем лежит одна и та же фундаментальная идея, над которой бились величайшие умы человечества более двух тысяч лет.

Идея непрерывности.

Это не просто заумный термин из учебников. Это история о том, как мы пытались соединить мир счётных, отдельных предметов с миром плавного, неделимого движения. Это история о схватке с бесконечностью. Я хочу рассказать её так, как мне не рассказывали в университете: без кванторов и дельт, через парадоксы и гениальные озарения, и при этом без малейшей потери математической строгости. Мы пройдём путь от Аристотеля до создателей матанализа и увидим, как одна красивая идея сформировала наш мир.

Также вы сегодня, возможно, впервые узнаете о том, что победа формализации анализа по Коши вместо альтернативной по Гейне является самой главной причиной того, что понятия и идеи математического анализа остаются непонятными для основной массы студентов. От наглядного и понятного языка, предложенного Гейне, для которого совершенно не нужно использовать эпсилоны и дельты, в учебнике осталось только определение предела по Гейне — и то только потому. что некоторые теоремы без него никак не доказать. Но что еще интереснее — определение предела по Коши вообще не нужно для доказательств!

Прочитав эту статью, вы сможете без особых усилий предельно ясно осознать примерно половину первого семестра университетского курса математического анализа, причем, возможно, даже глубже, чем многие лекторы по математическому анализу.

Приготовьтесь к разоблачению, возможно, самого крупного обмана в современном высшем образовании. Суть его проста: по своей природе математический анализ — это наглядная геометрия, но её маскируют под абстрактную алгебру. В результате этого фокуса простой и ясный предмет становится тёмным лесом даже для многих лекторов.

У многих видов на Земле самки и самцы имеют ряд отличий, не касающихся репродуктивной системы. Поведение, внешний вид, гастрономические предпочтения — все эти элементы жизни особи могут отличаться в зависимости от пола. Продолжительность жизни также отличается, порой весьма существенно. Ученые из Института эволюционной антропологии Общества Макса Планка (Лейпциг, Германия) провели обширное межвидовое исследование млекопитающих и птиц, чтобы установить, является ли отличие в продолжительности жизни между полами результатом внешних и/или поведенческих факторов, или же это эволюционный механизм. Что им удалось установить мы узнаем из доклада ученых.