Математика *

Если вы не поняли гипотезу, значит вам её плохо объясняли. И да, если что-то хочешь сделать хорошо, сделай это сам.

Интересным является вопрос о погружении арифметики в n+1-значные логики Лукасевича Ł_n+1. Какая часть арифметики может быть погружена в Ł_n+1? Для функции φ(х) = m  рассматривается обратная к ней, определяемая  соотношением φ ^–1(m) = {n, φ(n) = m}, где φ(х) – функция Эйлера.

Пример, если φ(n) = 4, то это уравнение имеет ровно четыре решения φ ^–1(4) = {5, 8, 10, 12}. Гольдбахом (1690 –1764) поставлена проблема о разложении четных чисел ≥ 4 на сумму двух простых. Если это верно, то для каждого числа m найдутся простые числа р и q такие, что φ(р) + φ(q) = 2m.

Эдмунд Ландау в 1912 г. на международном конгрессе математиков в Кембридже заявил, что проблема Гольдбаха недоступна для современного состояния науки. Недоступна она и сейчас. Верифицируемость предположения Гольдбаха установлена до 4∙10¹⁴.

Делались попытки найти формулу, с помощью которой вычислялись бы (или порождались) все простые числа. Наилучший результат принадлежит Ю.В. Матиясевичу (1977), который нашел полином из 10 переменных. Асимптотическое распределение простых чисел в НРЧ, доказываемое аналитическими методами, приводится в книге К. Прахара (1967). О первых 50 млн простых чисел статья Д. Цагера (1984).
Можно считать, что впервые на проблему решения подобных уравнений обратил внимание Э. Люка (1842 – 1891). Об этом сказано в книге И.В. Арнольда (1939) «… следуя Люка, сгруппированы числа n с одним и тем же значением функции φ(n) в пределах от 1 до 100, т.е. дана таблица функции обратной по отношению φ(n).

В книге Серпинского (1968) задача №245 «Найти все натуральные числа n≤ 30, для которых φ(n) = d(n), где φ(n) – функция Эйлера, а число d(n) – число натуральных делителей числа n». Рассмотрим только случай n = 30. Делителями числа 30 являются числа 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 и 30, т.е. d(n = 30) = 8. Значит надо решить уравнение φ(30) = 8, где n≤ 30. Или, по-другому, найти значения для обратной функции Эйлера φ ^–1(8), т.е. определить множество {n, φ (n) = 8} для  n≤ 30. Это множество образовано числами {15, 16, 20, 24, 30}. Более того, ни для каких других n >30 φ (n) ≠ 8.

Множество значений φ ^–1(m) = Ø пусто для всех нечетных значений и многих четных значений m > 1. В первой сотне числа 14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94 и 98 не являются значениями φ (n).

Привет! К первому сентября я публиковала задачку «Василий и теория вероятностей: а не решить ли задачку в честь 1 сентября?». Самое время обсудить решения.

Ученые из МФТИ нашли новое интегральное представление различных произведений функций Эйри, которое позволяет написать точное решение многих задач математической физики. В частности, описывать квантовое движение электрона в постоянном внешнем электрическом поле, что дает возможность распространить теорию туннельной ионизации молекул на случай сильных полей — крайне важный аспект для аттосекундной физики. Работа опубликована в Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik.

Туннельная ионизация является ключевым этапом в отслеживании перемещения электронов и образовавшихся «дырок» в молекулах. В перспективе это может привести к возможности управления их движением, что, в свою очередь, откроет новые горизонты в молекулярной биологии, фармацевтике, органической химии и других направлениях промышленности. 

Для освоения этой технологии, помимо сложностей технологических, предстоит также преодолеть сложности математические. Дело в том, что существующая теория туннельной ионизации молекул построена только для случая слабых полей, в то время как требуется исследовать эти процессы в сильных полях.

Российским ученым в своем новом исследовании удалось сделать важный шаг для построения точного математического описания процесса туннельной ионизации.

В теории вероятностей имеется несколько известных задач, решение которых противоречит здравому смыслу. Одна из таких задач — «Парадокс сестёр». Сейчас я изложу условие задачи, дам вам возможность подумать над ответом, а потом расскажу о том, как её решать.

Сегодня поговорим про одно из величайших творений человеческой мысли — попытку понять, как выстроена на микро- и макроуровне вся Вселенная, и найти единый свод законов, которые ей управляют. Гипотетическая объединенная физико-математическая теория, описывающая все четыре фундаментальных взаимодействия, что она такое — Святой Грааль, до которого наука вот-вот доберется и решит все проблемы? Или, может быть, все-таки миф, корни которого следует искать в человеческой психологии и который на самом деле не сбудется никогда? Давайте разбираться. 

Время имеет большое значение для прикладной криптографии. Многие и многие аспекты применения криптосистем прямо или косвенно завязаны на ход или на измерение хода времени. Иногда влияние очевидно. Но чаще – нет. Рассмотрм на примерах самые занимательные аспекты времени в приложениях криптографии.

Привет, меня зовут Диана, я математик и пишу для хабраблога МТС. Моя прошлая публикация была про скутоиды и набрала больше 40к просмотров — спасибо вам за ваш интерес!

Сегодня в честь первого сентября предлагаю решить тематическую задачку. Первые три пункта простые, на размяться и вспомнить базу. А вот четвертый весьма нетривиален и сильно сложнее. Мне его решение доставило много радости — надеюсь, и вам понравится!

Одна из самых эзотерических тем в программировании и computer science это продолжения (continuations), ограниченные продолжения (delimited continuations) и continuation-passing style. Я попытаюсь раскрыть эту тему понятным для обычного программиста языком. Предполагается, что обычный программист знаком с понятиями функции/подпрограммы, фрейма вызова (stack frame), а также имеет базовое знания языка Scheme, хотя бы на уровне первых глав SICP.

И это всё, что вам нужно знать о них

Разумеется, речь идёт о действительном анализе. В теории функций комплексного переменного ряды Тейлора играют фундаментальную роль и являются важнейшим инструментом исследования функций. А вот действительный случай не может похвастаться такой же стабильностью. Именно поэтому это понятие бесполезно в действительном анализе. В статье рассказываю об этом чуть подробнее

Ученые из МФТИ построили цифровой аналог квантовой механики. Эта модель позволяет естественным и удобным образом моделировать любые квантовые явления на компьютере. Работа опубликована в Theoretical and Mathematical Physics.

В ходе своего исследования ученым удалось построить новую математическую модель — цифровую квантовую механику, которую можно использовать для численного моделирования квантовых явлений.

Доступное объяснение основных аспектов высшей математики, которые потребуются ML‑щику разного грейда в рабочих сценариях — без дотошных доказательств и с обилием визуальных и численных примеров.

Привет, Хабр! Сегодня я хочу рассказать о применении одного из интересных методов работы со статистическими данными — расчета коэффициента конкордации, который также называют коэффициентом Кендалла W. Он помог нам упростить выбор BI-платформы на замену многострадальному Qlik, который сегодня вообще непонятно как продлевать. Под катом — куча BI-систем, наши попытки усреднить результаты рейтингов…и г-н Кендалл с его методом 100-летней давности.

В этом посте будет исследовано, как математическую концепцию можно постепенно переформулировать во всё более «вычислительных» понятиях, от высокоуровневого языка, далее до машинного кода и, наконец, до прямого исполнения компьютером. Для этого определю одну и ту же логику в нескольких разных, но перекликающихся друг с другом форматах:

1. Математика — чистая математика
2. Haskell — язык для функционального программирования
3. C — язык для императивного программирования
4. Ассемблер — сравнительно удобочитаемое представление машинного кода
5. Машинный код для архитектуры x86-64 — вот это уже интересно

Если вам интересно, какие отличия бывают между языковыми стилями или любопытно, как ваш код может выглядеть после компиляции — добро пожаловать под кат!

Статья расскажет о систематическом росте норм эмбеддингов популярных объектов — эффекте, который противоречит интуитивным ожиданиям от косинусных лоссов.

Коллектив российских ученых исследовал применение методов машинного обучения для проектирования трассерных исследований. Целью было повышение достоверности результатов по выявлению гидродинамической связи в пласте между нагнетательными и добывающими скважинами в низкопроницаемых коллекторах с самопроизвольным развитием трещин гидроразрыва пласта (автоГРП) в нагнетательных скважинах. Работа была опубликована в российском журнале «Искусственный интеллект и принятие решений» и была выполнена совместно учеными и исследователями из МФТИ (г. Москва), ООО «РН-БашНИПИнефть» (г. Уфа) и ООО «РН-Юганскнефтегаз» (г. Нефтеюганск).

Евангелие от Иоанна начинается всем известной фразой "В начале было Слово". Однако в оригинале на греческом там написано "В начале был Логос". Слово "Логос" имеет множество значений и одно из них - число. Так что перевод этого предложения с греческого оригинала мог бы быть и совершенно иным, нежели тот, к которому мы привыкли.

Мы привыкли думать, что математика - это язык, на котором написаны законы природы. Мы используем формулы, чтобы описать движение планет, поведение электронов, расширение Вселенной. Но что, если мы всё время смотрели на картину мира, перевернутую с ног на голову?

Что, если математика - не просто язык, а сама субстанция реальности? Что, если наша Вселенная - не физический объект, описываемый уравнениями, а само уравнение, реализованное в себе?

Это не фантастика. Это - гипотеза математической Вселенной (далее - ГМВ), одна из самых радикальных, красивых и спорных идей современной физики и философии науки. В этой статье мы разберём её от истоков до последствий, рассмотрим, как она соотносится с теорией струн, квантовой теорией поля, петлевой квантовой гравитацией и информационным подходом к физике - и почему она может изменить всё, что мы думаем о реальности.

Архитектура эмулятора

Наш эмулятор строится по принципу фотонного вычислителя, описанного vsradkevich: "лазер → модулятор → решетка интерферометров → фотодетекторы → АЦП → CMOS-блок".

Топологическая безопасность ECDSA: Раскрываем скрытые уязвимости через законы диагональной периодичности

Ваши подписи на эллиптических кривых могут содержать скрытые паттерны, которые традиционные методы анализа пропускают. В новой статье я представляю революционный подход к анализу безопасности ECDSA через призму алгебраической топологии.

Вы узнаете:

Как закон диагональной периодичности помогает обнаруживать subtle уязвимости

Почему числа Бетти (, , ) являются ключевыми индикаторами безопасности

Как метод динамических улиток снижает сложность анализа с O(m⁴) до O(m log m)

Как TVI Score заменяет субъективные оценки количественной метрикой риска.

Что если ошибочные ответы модели — не мусор, а ценный обучающий материал? В данной статье мы разберём метод Hindsight Instruction Relabeling (HIR), который позволяет дообучать LLM модели иногда даже лучше, чем RLHF. Кроме того, данный метод требует меньшего количества вычислений, не использует дополнительные модели и вдобавок ко всему максимально использует имеющийся датасет.