Математика *

Сегодня я хочу рассказать о теме, которая редко затрагивается в курсах по статистике, но порой встречается на практике. Она может сломать основания всех ваших привычных методов и даже ваш мозг. Имя этой теме – power laws или “степенные законы”. В этой статье я расскажу, что это такое, покажу примеры реальных данных и расскажу, что делать, если в ваших данных встретился степенной закон. Я постарался сделать текст читаемым для широкого круга людей и не нагружать его формулами.

Обзор на существующие алгоритмы гомоморфного шифрования, сложности реализации на вычислителях общего назначения и архитектуры аппаратных ускорителей.

Я попробовал создать вселенную. Ночью, лежа в кровати, думая о том, что могло бы стать ее фундаментальной основой. Самым базовым кирпичиком, так что бы проще уже некуда. Может ли базовый строительный элемент быть онтологически сложным? Скажем, Теория Струн и ее развитие М-теория, постулируют, что базовым кирпичиком лежащим в основе мироздания, является многомерная брана. Неужели все должно быть так сложно?

В этой статье разберем четыре задачи из студенческих олимпиад по математике. Условие везде такое: возвести матрицу в какую-то большую степень. Но вместе с этим мы увидим, что в зависимости от того под каким углом посмотреть на задачу актуальными оказываются самые разные разделы линейной алгебры. Поехали!

Не пугайтесь, это не об окончательном решении вопроса. Спасибо Berakningsingenjo за коммент, подсказавший идею. Статья адресована всем интересующимся и посвящена разбору гипотезы Коллатца на общепонятном языке. По ее прочтении Вы сможете сказать себе, что поняли в гипотезе почти всё, и это оказалась проще, чем считается. Надеюсь, из нее также станет ясно в чем смысл утверждения и почему обоснован именно такой заголовок. Думаю, в этой аудитории излишне напоминать как формулируется гипотеза Коллатца (Collatz conjecture [0]).

Стереотипы

В этом разделе выскажу свое сугубо субъективное мнение о ситуации с гипотезой Коллатца. Внешнее впечатление непрофессионала, оценки изнутри математического сообщества мне неизвестны. Мнение основано на знакомстве с большим, но ограниченным массивом статей, по большей части недавних.

Из-за недоказанности при такой простой формулировке гипотеза Коллатца приобрела репутацию чрезвычайно сложной, неподдающейся решению даже лучшими умами и т.п. При этом лучшие умы уже давно не занимались этой задачей, у них есть более важные темы. Есть некоторое количество математиков-профессионалов и математиков-любителей, использующих устоявшийся арсенал формальных подходов.

Тщетность их усилий может объясняться изначально неудачной концептуализацией гипотезы Коллатца как задачи о поведении рекурсивных числовых последовательностей. Поначалу, в далекие уже годы, видимо казалось, что проблемы рекурсии преодолимы. Но всё оказалось сложнее, и ситуация зашла в некрасивый тупик. К очередным заявкам о «доказательстве» гипотезы скептическое отношение, их никто не собирается проверять. Понятно, что для качественного прорыва нужно что-то другое. Оно должно существовать, но его не видно. На этом месте я перехожу от субъективного мнения к обоснованным утверждениям.

Привет, Хабр!

Хочу поделиться своим путём в блокчейн. К 2023 году за плечами было уже 7 лет строгого режима веб-разработки, и она начала казаться рутиной. Хотелось нового. В идеале — области, где можно было бы применить свою любовь к математике. Выбор стоял между датой и блокчейном. Я выбрал второе — во многом потому, что несколько моих друзей уже погрузились в этот «тёмный лес» и своими проектами пробудили во мне интерес. Это решение привело меня к неожиданным открытиям, трем разным проектам, нескольким месяцам жизни на доширак и к пониманию, что блокчейн — это идеальный полигон для любого разработчика, увлеченного математикой.

За решениями нестандартных задач часто стоит какая-то интересная математика. Вместе с навыками работы с графикой она позволяет выходить за рамки стандартных инструментов и пробовать новые подходы в рабочих проектах.

Меня зовут Андрей Гринблат, я ИТ-инженер в СберТехе, занимаюсь разработкой фронтенд-интерфейсов приложений.
В этой статье расскажу о том, как с помощью математики и ray marching построить фотореалистичные изображения 3D-фракталов. Всех, кому интересно, прошу под кат.

Группа российских ученых из компании Smart Engines и МФТИ предложила новый способ квантования бинарных нейронных сетей. Им удалось добиться лучших результатов для обучения таких сетей. Работа опубликована в журнале Computer Optics 2024.

Ученые из МФТИ с коллегами совершили прорыв, разработав новый метод квантования на неопределенной базе, который решает эту проблему, обеспечивая стабильное обучение и высокое качество бинарных нейронных сетей даже при ограниченном количестве параметров. 

Российские ученые провели моделирование параметров вытянутой плазмы в токамаке, используя код SPIDER. Им удалось получить численную оценку вириальных отношений, описывающих связь равновесных характеристик тороидальной плазмы через интегральные величины, определяемые по данным внешних магнитных измерений. Ранее для них были получены аналитические оценки, а сейчас проверялась их точность. Работа опубликована в журнале Physics of Plasmas.

Термоядерный синтез является одной из самых многообещающих технологий для получения чистой и практически неистощимой энергии. Параметры плазмы бета (βp) и внутренней индуктивности (ℓi) являются ключевыми параметрами, которые характеризуют работу токамаков и определяют равновесие плазмы. Проблема разделения этих параметров возникла более 60-ти лет назад, когда В.Д. Шафранов (член-корреспондент АН СССР с 1981, академик РАН с 1997 года) в своих работах показал, что их комбинация естественно появляется в интегральных следствиях уравнений равновесия. С тех пор исследователи стремятся найти эффективные методы для их разделения, что является важной задачей для диагностики плазмы и теории.

 Ученые из МФТИ, Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН и Курчатовского института провели три серии расчетов равновесия плазмы в токамаке: при низком, среднем и высоком давлении.

Ноябрьским вечером 1999 года присяжные собрались произнести вердикт в зале Честерского суда. На скамье подсудимых – 35-летняя адвокат из Чешира по имени Салли Кларк, мать двоих умерших младенцев. За окном холодно, а внутри – мёртвая тишина. Только что эксперт-педиатр сэр Рой Мидоу спокойно сообщил ошеломляющую цифру: вероятность того, что две здоровые дети из одной благополучной семьи скончались естественной смертью, равна «примерно одному шансу из 73 миллионов». Присяжные переглянулись: такое случается реже, чем раз в столетие. Казалось, сама статистика шепчет обвинение. Через несколько часов Салли услышит слово «виновна» – и звук захлопывающейся тюремной двери на долгие годы.

Два трагических случая легли в основу процесса. В декабре 1996 года первый сын Салли, 11-недельный Кристофер, внезапно перестал дышать в своей колыбели. Врачи назвали причиной «синдром внезапной детской смерти» (СВДС), то есть непредсказуемая гибель младенца без видимых причин. Горе молодых родителей не укладывалось в голове, но они старались жить дальше. Спустя год, в январе 1998-го, случилось немыслимое: умер второй сын, 8-недельный Гарри, тоже внезапно, во сне. Два случая СВДС в одной семье – статистическая редкость. Полиция, получив сигнал от патологоанатома, заподозрила худшее. Салли и её мужа арестовали по обвинению в убийстве младенцев, хотя ни прямых улик, ни мотива, ни признаков насилия не находили. Отца вскоре отпустили, а вот мать предали суду: против неё играла сама невероятность двух несчастий подряд.

В III веке до н. э. Аполлоний из Перги задался задачей: сколько окружностей можно построить так, чтобы каждая из них касалась трёх данных окружностей ровно в одной точке. Оказалось, что таких окружностей восемь, но доказать это удалось лишь спустя почти 1800 лет.

Коллектив ученых из МФТИ разработал компьютерную программу, которая позволяет получать изображения космических объектов на основе данных телескопов с высокой точностью. Для этого им потребовалось решить ряд задач компьютерного моделирования. Работа опубликована в Journal of Physics: Conference Series.

Космический мониторинг представляет собой систематический подход к наблюдению и отслеживанию объектов, находящихся в космосе. Сюда относятся как естественные тела — планеты, звезды, галактики, так и созданные человеком — спутники, ракеты и даже мусор, оставшийся после запуска космических аппаратов.

Авторы исследования решили сосредоточиться на процессах формирования изображений на фотодетекторах, исследуя, как именно эта информация может быть собрана в различных условиях наблюдений. Эти процессы включают в себя захват и интерпретацию визуальной информации о небесных телах. Чтобы воспроизвести эти наблюдения и создать изображения, учёные разработали математическую модель, учитывающую характеристики оптических устройств и специфические условия окружающей среды. 

Студенты пришли в библиотеку, чтобы подготовиться к экзаменам. Всего у них предметов. Каждая из книг покрывает некоторое множество предметов. Нужно выбрать минимальное число книг, которые покроют все предметы.

Выпуск 446

Сильная поляризация импульсов долгопериодического радиотранзиента с белым карликом.

Открыт новый долгопериодический радиотранзиент. Период 841 секунда. Открытие сделано на LOFAR. Также источник виден и в УФ, что может говорить о том, что это белый карлик. Тогда он должен быть в двойной, но компаньон не виден, так что, видимо, это маломассивный красный карлик.

Интересно, что источник выдает импульсы, у некоторых из которых 100-процентная круговая поляриация, а у некоторых - линейная. Импульсы узкие - не более 10 секунд, - около 1% от периода и меньше.

Есть интересная квазипериодичность в приходе импульсов, что авторы связывают с тем, что источник находится в двойной системе.

Также источник обнаружен на CHIME, arxiv:2507.05139. В этой статье также указывается на раскрутуку источника. Т.е., период уменьшается. Авторы предполагают такие идеи: или есть аккреция, раскручивающая объект, или это орбитальный период, и тогда "виноваты" гравитационные волны. В принципе, можно добавить еще одну идею: молодой сжимающийся белый карлик (вроде того, что мы идентифицировали раньше: arxiv:1711.02449). Тогда это должен быть молодой (не старше примерно 100 000 лет) объект.

Ученые из МФТИ и Объединенного института высоких температур РАН промоделировали двухфазное течение в пористых средах с использованием неоднородной сетевой модели. Их исследование поможет более эффективно добывать углеводороды и исследовать подземные пласты. Работа опубликована в журнале «Компьютерные исследования и моделирование».

Моделирование двухфазного течения в пористых средах — задача критически важная для нефтедобычи, гидрологии и многих других областей. 

Авторы предлагают новую модель, основанную на сетевом представлении пористой среды. Эта модель представляет собой двумерную сеть, где узлы соответствуют порам, а ребра — капиллярам различного радиуса. 

Характеризация — одна из интересных головоломок игры Puzzle Hunt Сиднейского университета 2010 года. Ее сюжет в том году был основан на произведениях Льюиса Кэрролла «Приключения Алисы в Стране чудес» и «Алиса в Зазеркалье». Игра состояла из множества сцен, которые представляли собой импровизации на знаменитое «Безумное чаепитие». Каждая сцена содержала одну головоломку, органично встроенную в повествование. Характеризация была последней головоломкой игры перед финальным мета-заданием и имела пять «звезд» по сложности из пяти.

Данная заметка продолжает тему популярной гипотезы.
Если интересно, то начало от 27.12.2024 здесь:
https://habr.com/ru/articles/870220/ (ru)
https://habr.com/ru/articles/870404/ (en)

Среди прочего, там была высказана мысль, что окончательное доказательство должно быть сторонним по отношению к алгоритму Коллатца. Именно такое доказательство, почему алгоритм сходится к 1 и никогда не расходится, появилось. Новая статья опять, извините, mustread, как для профессионалов, так и любителей гипотезы Коллатца. Опубликована 26.09.2025 на сайте Academia.edu.

Однозначное доказательство и расширение гипотезы Коллатца
https://www.academia.edu/144161052 (ru)
A distinct proof and extension of the Collatz conjecture
https://www.academia.edu/144160827 (en)

Статья (12 страниц) с картинками (8 штук). Для быстрого понимания логика доказательства выделена в отдельный раздел на одну страницу. Коротко суть отражена в аннотации: «Представлено доказательство от противного гипотезы Коллатца на основе конструктивно-топологического подхода с использованием средних геометрических свойств структур сети, порожденной алгоритмом 3n+1. Ключевое противоречие выявлено методом «конструктивной индукции» и связано с обнаруженным инвариантом — «делимостью сети». Доказательство переносимо и на другие алгоритмы, что дало основание сформулировать расширение оригинальной гипотезы на алгоритмы типа Коллатца, но с операцией деления на любое целое число, не только 2.» Еще короче: доказано, что расходимость алгоритма запрещена.

В результате нет ничего неожиданного, это должно было случиться раньше. Но мешала, как представляется, исходно неудачная концептуализация гипотезы Коллатца как задачи о поведении числовых последовательностей. Более адекватной оказалась ее трактовка как задачи об устройстве соответствующей сети.

Международная команда ученых совершила прорыв в области распределенного машинного обучения, разработав новые алгоритмы, значительно повышающие эффективность обучения моделей в федеративных сетях. Исследование, проведенное учеными из Университета имени Короля Абдуллы ( Саудовская Аравия), Московского физико-технического института (МФТИ), Университета Мила и Монреальского университета (Mila, Канада), Университета имени Мухаммеда бен Зайда по искусственному интеллекту (MBZUAI, ОАЭ) и Принстонского университета (США), представляет собой значительный шаг вперед в решении проблемы высокой вычислительной сложности обучения больших моделей в распределенных системах. Результаты опубликованы в материалах конференции NeurIPS 2024.

Всем привет! Меня зовут Ирина, я NLP-инженер в red_mad_robot, занимаюсь научными исследованиями интерпретируемости LLM и анализом механизмов внутренних вычислений моделей, чтобы применять полученные результаты на практике. Например, сегодня хочу рассказать, как мы подошли к решению задачи детекции галлюцинаций LLM в RAG системах со стороны исследования графов размышлений модели — с помощью интересного фреймворка от Anthropic.

В статье поговорим, как использовать cross-layer transcoders и атрибуционные графы для детекции галлюцинаций в RAG системах. Рассмотрим пример реализации детектора на графах для анализа модели Qwen2.5-7B и практические примеры использования. Спойлер: на простой реализации получили точность детекции 85% на тестовом датасете.

Исследователи из России вместе с их американским коллегой предложили новый, полностью децентрализованный алгоритм оптимизации. Этот алгоритм позволяет эффективно решать различные задачи, работая без центрального сервера и автоматически настраиваясь без предварительной настройки параметров. Результаты исследования опубликованы в материалах конференции NeurIPS 2024