Аддитивная композиция натуральных чисел и её интересные свойства

Введение

UPD: После публикации статьи в комментариях выяснилось, что представляемое разбиение не является новым, оно известно как последовательность Пиллаи. С учётом "вновь открывшихся данных", эту статью можно рассматривать как пример удавшегося обращения к сообществу Хабр за советом. Я выражаю признательность @harius за ценную подсказку.

Любое натуральное число можно выразить через уникальное множество простых чисел, перемножение которых даёт исходное число. Для простых чисел это множество состоит из одного элемента – самого этого числа. Такую композицию можно называть мультипликативной, она очень хорошо известна и изучена.

В статье предлагается способ выразить натуральное число через уникальное множество простых чисел (включая единицу), сложение которых даёт исходное число. Такую композицию будем называть аддитивной.

При работе над статьёй была посчитана композиция чисел до одного триллиона. Данный расчёт дал довольно интересные результаты, изложенные в статье. Возможно, обсуждение этих результатов поможет сделать дальнейшие выводы, пригодные для публикации в научном журнале.

Аддитивная композиция

Введём понятие примитивного числа. Натуральное число будем называть примитивным, если оно является простым или равно единице. Мы будем раскладывать натуральное число на примитивные по следующему правилу:

Пусть - натуральное число. Найдём наибольшее примитивное число такое что . Вычислим . Далее аналогично найдём наибольшее примитивное число такое что . Будем повторять эти действия до тех пор, пока не окажется равно нулю; тогда Множество будем называть аддитивной композицией числа .

Аддитивное разбиение, как и мультипликативное, является однозначным для каждого . Разбиение для первых 50 чисел выглядит так:

* данное разбиение является исключением, оно считается не строго по формуле

Единственным случаем, когда в присутствуют одинаковые числа, является 2 = 1+1, далее числа не повторяются. Предположительно, это объясняется тем, что между и есть как минимум одно простое число .

Как видно, размер для первых чисел (кроме единицы) равен двум или трём. Первая композиция длиной 4 появляется при (1354 = 1327+23+3+1), первым простым числом с композицией длиной 4 является (2010881 = 2010733+139+7+2).

И на этом всё! Все числа до одного триллиона включительно разбиваются не более чем на 4 числа. Первый из немедленно возникших вопросов – а не все ли вообще натуральные числа можно разбить не более чем на 4 примитивных числа?

Предположим, есть два простых числа и , такие что . Тогда разбиение будет . По всей видимости, "запретных" расстояний между простыми числами нет, и рано или поздно встретится расстояние 1354 и второе число будет иметь композицию длиной 5. Насколько далеко находится первая такая пара? Википедия говорит, что расстояние 1356 где-то в районе четырёхсот квадриллионов.

Юмор: у кого-нибудь есть на примете суперкомпьютер, чтобы прогнать программу до такого значения? И куда вообще записать информацию о таком количестве простых чисел? Для записи чисел до триллиона использовался битовый массив размером 116 Гигабайт.

Второе интересное свойство заключается в том, что для простых чисел до триллиона все композиции длиной 4 заканчиваются на 7+2. В зависимости от расстояния между простыми числами, последние три числа выглядят так (расстояние = x+7+2):

Второй аналогичный вопрос: верно ли это для всех простых чисел с композицией длины 4?

Заключение

Идея аддитивной композиции родилась в процессе размышлений на тему: можно ли понять, каково следующее простое число, если известны все простые числа до него? Т.е. вычислять следующее простое число по простой формуле или алгоритму. Когда аддитивная композиция была сформулирована, естественным желанием было посчитать её на практике и посмотреть на результаты.

Цель статьи – подключить к исследованию других заинтересованных участников.