Соглашусь с замечанием в том плане, что для пассивных счетов (типа капитала), входящий поток действительно уменьшает капитал (кредитовый остаток). Но при этом остается дебетовым.
В статье, кстати, все примеры — активные счета.
Вы точно не путаете остатки с оборотами? Про пассивы и активы вы правильно пишите, но дебетовые обороты счета (того же, например, 51-го), — это, извиняюсь, все-таки приход.
) Думаю, что источником недоумения насчет "метода итераций" является фраза "когда я впервые столкнулся с уравнением...". На самом деле я столкнулся не с уравнением, конечно же, а с конкретной прикладной задачей,- как и автор упоминаемой статьи о ценности карт (читали?). А про уравнение и прочее это я уже потом выяснил.
И еще соглашусь, пожалуй, что в приведенных примерах можно было бы обойтись и без понятия "потенциал лапласиана" (просто вектор решения уравнения баланса). Но если мы копнем чуть глубже, то столкнемся с потенциалами 2-го и более высоких порядков. Там уравнение баланса уже особой роли не играет.
Если я правильно понял ваше замечание, то вы говорите о системе, при которой учитываются остатки в узле. То есть используется уравнение (1.1), а не (1.2). Что-то подобное учету текущего рейтинга спортсменов (шахматистов, например). (Можно назвать такие системы открытыми). Там да, порядок (историчность) лайков имеет значение.
Хороший вопрос насчет нового участника. Навскидку не скажу, надо смотреть.
Но знаю, что при изменении элемента матрицы смежности пересчитывать все по новой необязательно. Производная потенциала 1-го порядка (по Cij) определяется потенциалом 2-го порядка. В статью не стал включать, чтоб не раздувать.
Да, я был неточен насчет Гаусса. В статье приведен способ определения потенциалов через обращение матрицы. Перед этим матрицу надо немного модифицировать, примерно так же, как вы и указали. Ну а обращать матрицы можно и Гауссом, конечно.
Но то, что мы таким образом делаем, — это и есть "мучение с лапласианами" ) — с Гауссом или без — не особо принципиально.
Гаусс, конечно, крутой, но даже он не смог придумать метод, который решал бы все системы. Обычный Гаусс тут неприменим, но, возможно, вы имеете ввиду какой-то другой неизвестный мне метод.
В статье описан принцип самооценки объектов. То есть скорее можно говорить о его использовании для оценки участниками хабра друг друга. С другой стороны, полученный таким образом вес может быть применим к оценке статей.
Для завершенности картины приведем явные формулы для профита карты — количества ожидаемых приобретений.
Профит — это относительная ценность (потенциал) карты, умноженная на количество карт (n).
Для вычисления относительной ценности надо поделить потенциал карты на сумму потенциалов всех карт.
Сумма потенциалов карт может быть вычислена по формуле: S(n) = Sum(k){U(k,n)} = (n-2)! (2n-3)
Тогда профит 6-ки равен: P(1,n) = U(1,n)* n / S(n) = n/(2n — 3)
Для 36-колоды получаем P(1,9) = 9/15 = 3/5 = 0.6. Именно эта цифра приведена в статье.
А профит туза — P(n,n) = U(n,n)* n / S(n) = n(n — 2) / (2n — 3),
Для стандартной колоды — P(9,9) = 97 / 15 = 0.6 7 = 4.2.
) Ну то, что они простые — это неудивительно, поскольку мы и раскладывали на простые.
А вот то, что множители в разложении не превышают 9 — тоже объяснилось. Поскольку в формулах для вычисления используются факториалы до 9 (см. ниже), то другим простым не откуда взяться.
Да, как я и предполагал — нашлось явное выражение для потенциалов (значимости) карт.
Возможно, пояснения требуют отдельной статьи,- тут пока отпишусь для фиксации формул.
Обозначим количество карт разного достоинства через n (для колоды в 36 карт n = 36/4 = 9, для колоды в 52 — n = 13).
Достоинства карт пронумеруем от 1 (самая младшая,- 6-ка для 36, 2-ка для 52) до n (самая старшая — туз) и обозначим через k.
Тогда имеем три формулы для потенциалов достоинств U(k, n):
Для k = 1: U(1,n) = (n-2)! — это потенциал самых младших карт (шестерок), которые бьют туза, но проигрывают всем остальным.
Для k = n: U(n,n) = (n-2)!(n-2) — это потенциал самых старших карт, которые бьют всех, но проигрывают шестеркам.
Для 1 < k < n: U(k,n) = (n-k-1)!(n-1)! / (n-k+1)! — это потенциалы всех остальных карт.
Для колоды из 36 карт получаем приведенные выше цифры:
U(1,9) = (9-2)! = 5040 — шестерка
U(9,9) = (9-2)!(9-2) = 50407 = 35280 — туз
U(6,9) = 2!8! / 4! = 25678 = 3360 — валет
Из формул видно, например, что отношение потенциала условного туза к условной шестерке всегда равно (n-2).
А отношение туза к королю — U(n,n) / U(n-1,n) = 2(n-2) / (n-1).
Ну и т. д.
На простые и понятные статьи про лапласианы и их потенциалы я навскидку ссылок не вспомню.
Надо бы написать, конечно, в формате хабра.
Сам про них узнал несколько лет назад, когда разбирался с расчетом рейтингов и самооценок, — поэтому ваша задача и показалась знакомой.
Есть википедия — про матрицу лапласиана. Другое название — матрица Кирхгофа.
Дополнительный минор лапласиана — это когда вы из него удаляете строку и столбец и считаете определитель оставшейся матрицы.
То есть для получения потенциала 6-ки надо удалить из лапласиана от приведенной выше матрицы 1-й столбец и строку.
Можете все посчитать прямо в экселе.
Кстати, еще заметил, что все приведенные выше потенциалы кратны 16, так что можно сократить:
6 315
7 45
8 60
9 84
10 126
В 210
Д 420
К 1260
Т 2205
И еще — разложение приведенных потенциалов на простые множители включает только 2, 3, 5 и 7. Почему — пока неясно, но, повторюсь, что скорее всего можно общую формулу найти для потенциалов матриц приведенного выше типа (диагональных единиц с одним выколом в углу).
Прикольная задачка.
Вот как можно ее решить (и все подобные) в немного другой (более простой) постановке.
Положим, что каждая карта — это игрок. А все сражения между картами — это просто результаты турнира.
Тогда таблица результатов может быть записана проще и нагляднее,- примерно так:
0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 1 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1 1 1 1
Это матрица смежности графа.
Все, что нам надо — вычислить потенциалы узлов (хм, тут должна быть ссылка куда-то наверное, — может на PageRank) — то есть грубо говоря, найти значимость узлов. Расчет потенциалов сводится к расчету миноров лапласиана от матрицы смежности, — то есть без всяких циклов можно просто посчитать определители (на самом деле — еще проще через обратную матрицу, но это нюансы).
Вектор результатов (ценности карт) получается такой:
6 5040
7 720
8 960
9 1344
10 2016
В 3360
Д 6720
К 20160
Т 35280
Отличается от вашего вектора в 8.4 раза.
То есть действительно ценность 6-ки лежит между валетом и дамой. Не знал ).
Думаю, что можно найти и явные выражения для потенциалов, поскольку матрица смежности проста.
В статье да, идет речь про количество 9-к и 1-ц после 9-ки.
А я в своем посте указал, что простых чисел, оканчивающихся на 3 и 7, — больше, чем на 1 и 9. Без всяких "после" или "до".
Это разные подсчеты, да.
Ну да, ваши цифры, если вы им доверяете, тоже подтверждают это правило.
Непонятно, правда, чего вдруг 9-ка провалилась относительно 1. Их должно быть примерно одинаково.
В статье, кстати, все примеры — активные счета.
И еще соглашусь, пожалуй, что в приведенных примерах можно было бы обойтись и без понятия "потенциал лапласиана" (просто вектор решения уравнения баланса). Но если мы копнем чуть глубже, то столкнемся с потенциалами 2-го и более высоких порядков. Там уравнение баланса уже особой роли не играет.
Но знаю, что при изменении элемента матрицы смежности пересчитывать все по новой необязательно. Производная потенциала 1-го порядка (по Cij) определяется потенциалом 2-го порядка. В статью не стал включать, чтоб не раздувать.
Но то, что мы таким образом делаем, — это и есть "мучение с лапласианами" ) — с Гауссом или без — не особо принципиально.
Профит — это относительная ценность (потенциал) карты, умноженная на количество карт (n).
Для вычисления относительной ценности надо поделить потенциал карты на сумму потенциалов всех карт.
Сумма потенциалов карт может быть вычислена по формуле:
S(n) = Sum(k){U(k,n)} = (n-2)! (2n-3)
Тогда профит 6-ки равен:
P(1,n) = U(1,n)* n / S(n) = n/(2n — 3)
Для 36-колоды получаем P(1,9) = 9/15 = 3/5 = 0.6. Именно эта цифра приведена в статье.
А профит туза — P(n,n) = U(n,n)* n / S(n) = n(n — 2) / (2n — 3),
Для стандартной колоды — P(9,9) = 97 / 15 = 0.6 7 = 4.2.
А вот то, что множители в разложении не превышают 9 — тоже объяснилось. Поскольку в формулах для вычисления используются факториалы до 9 (см. ниже), то другим простым не откуда взяться.
Возможно, пояснения требуют отдельной статьи,- тут пока отпишусь для фиксации формул.
Обозначим количество карт разного достоинства через n (для колоды в 36 карт n = 36/4 = 9, для колоды в 52 — n = 13).
Достоинства карт пронумеруем от 1 (самая младшая,- 6-ка для 36, 2-ка для 52) до n (самая старшая — туз) и обозначим через k.
Тогда имеем три формулы для потенциалов достоинств U(k, n):
Для колоды из 36 карт получаем приведенные выше цифры:
U(1,9) = (9-2)! = 5040 — шестерка
U(9,9) = (9-2)!(9-2) = 50407 = 35280 — туз
U(6,9) = 2!8! / 4! = 25678 = 3360 — валет
Из формул видно, например, что отношение потенциала условного туза к условной шестерке всегда равно (n-2).
А отношение туза к королю — U(n,n) / U(n-1,n) = 2(n-2) / (n-1).
Ну и т. д.
Надо бы написать, конечно, в формате хабра.
Сам про них узнал несколько лет назад, когда разбирался с расчетом рейтингов и самооценок, — поэтому ваша задача и показалась знакомой.
Есть википедия — про матрицу лапласиана. Другое название — матрица Кирхгофа.
Дополнительный минор лапласиана — это когда вы из него удаляете строку и столбец и считаете определитель оставшейся матрицы.
То есть для получения потенциала 6-ки надо удалить из лапласиана от приведенной выше матрицы 1-й столбец и строку.
Можете все посчитать прямо в экселе.
Кстати, еще заметил, что все приведенные выше потенциалы кратны 16, так что можно сократить:
6 315
7 45
8 60
9 84
10 126
В 210
Д 420
К 1260
Т 2205
И еще — разложение приведенных потенциалов на простые множители включает только 2, 3, 5 и 7. Почему — пока неясно, но, повторюсь, что скорее всего можно общую формулу найти для потенциалов матриц приведенного выше типа (диагональных единиц с одним выколом в углу).
Вот как можно ее решить (и все подобные) в немного другой (более простой) постановке.
Положим, что каждая карта — это игрок. А все сражения между картами — это просто результаты турнира.
Тогда таблица результатов может быть записана проще и нагляднее,- примерно так:
0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 1 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1 1 1 1
Это матрица смежности графа.
Все, что нам надо — вычислить потенциалы узлов (хм, тут должна быть ссылка куда-то наверное, — может на PageRank) — то есть грубо говоря, найти значимость узлов. Расчет потенциалов сводится к расчету миноров лапласиана от матрицы смежности, — то есть без всяких циклов можно просто посчитать определители (на самом деле — еще проще через обратную матрицу, но это нюансы).
Вектор результатов (ценности карт) получается такой:
6 5040
7 720
8 960
9 1344
10 2016
В 3360
Д 6720
К 20160
Т 35280
Отличается от вашего вектора в 8.4 раза.
То есть действительно ценность 6-ки лежит между валетом и дамой. Не знал ).
Думаю, что можно найти и явные выражения для потенциалов, поскольку матрица смежности проста.
В статье да, идет речь про количество 9-к и 1-ц после 9-ки.
А я в своем посте указал, что простых чисел, оканчивающихся на 3 и 7, — больше, чем на 1 и 9. Без всяких "после" или "до".
Это разные подсчеты, да.
Непонятно, правда, чего вдруг 9-ка провалилась относительно 1. Их должно быть примерно одинаково.