Содержание
- Что такое тензор и для чего он нужен?
- Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
- Криволинейные координаты
- Динамика точки в тензорном изложении
- Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
- Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
- Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
- О свертках тензора Леви-Чивиты
- Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
- Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
- Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
- Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
- СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
- Нестандартное введение в динамику твердого тела
- Движение несвободного твердого тела
- Свойства тензора инерции твердого тела
- Зарисовка о гайке Джанибекова
- Математическое моделирование эффекта Джанибекова
Введение
Читая отзывы к своим статьям, понял, что я излишне перегрузил читателя теоретическими вводными. Прошу за это прощения, признаться честно, я сам далек от формальной математики.
Однако, тензорное исчисление пестрит понятиями, многие из которых требуется вводить формально. Поэтому третья статься цикла тоже будет посвящена сухой теории. Тем не менее, я обещаю, что в следующей работе приступлю к тому, к чему сам давно хотел — к описанию практической ценности тензорного подхода. На примете имеется интересная задача, большая часть которой в моей голове уже разобрана. Тензорное исчисление для меня не праздный интерес, а способ обработать некоторые из своих теоретических и практических соображений в области механики. Так что практика по полной программе ещё предстоит.
А пока что рассмотрим некоторые теоретические основы. Добро пожаловать под кат.
1. Матрица Якоби и локальная метрика. «Жонглирование» индексами
Те системы координат, что мы рассматривали до сих пор были косоугольными. Но их оси были прямыми линиями. Однако, крайне часто приходится работать в пространстве, координатные линии которого — кривые. Такая система координат называется криволинейной.
Простейший жизненный пример криволинейной системы координат — географические координаты

Рис. 1. Криволинейные координаты в трехмерном пространстве
Рассмотрим криволинейные координаты, заданные в трехмерном евклидовом пространстве (рисунок 1). Пусть положение точки задается в этих координатах вектором
и декартовы координаты точки связаны с (1) соотношением
или, в компонентной форме
Рассмотрим частную производную
Эти векторы задают базис так называемого касательного пространства. И в отличие от базиса в косоугольной системе координат, модуль и направление этих векторов будут изменятся при переходе от одной точки к другой. Мы получаем переменный базис, зависящий от положения в пространстве, заданного вектором (1). Такой базис называется локальным
Векторы (4) собирают в матрицу
которая называется матрицей Якоби, и по сути определяется как производная от одного вектора по другому вектору. В нашем случае
Легко догадаться, что если функция (2) линейна относительно компонент вектора
то мы рассматриваем косоугольную систему координат, и матрица Якоби будет равна матрице преобразования от косоугольных координат к декартовым
Теперь, любой вектор, заданный в пространстве (тензор ранга (1, 0)) можно представить через его контравариантные компоненты в криволинейной системе координат
Однако, компоненты вектора, из-за переменного базиса, будут зависеть от положения в пространстве точки приложения вектора. Кроме того, для того чтобы представление (6) существовало, надо чтобы векторы, составляющие базис были не компланарны. Из курса векторной алгебры нам известно, что векторы некомпланарны, если их смешанное произведение отлично от нуля. Отсюда возникает условие, которому должен удовлетворять определитель матрицы Якоби
Данный определитель как раз определяет смешанное произведение векторов базиса.
Теперь вычислим ковариантные компоненты вектора
В той же, первой статье, мы определили, что ковариантные компоненты вектора связаны с контравариантными через метрический тензор
Сравнивая два последних выражения мы получаем определение метрического тензора в криволинейных координатах
которое можно представить в матричной форме
Эту связь можно представить и в тензорной форме, но для этого придется ввести явно метрику для декартовых координат
Тогда, преобразование декартовой метрики в криволинейную будет выглядеть так
Выражение (8) вводит метрический тензор для криволинейных координат. Этот тензор зависит от положения точки в пространстве, поэтому говорят что он задан локально или определяет локальную метрику
Определившись с метрикой, мы можем записать правила преобразования контравариантных координат в ковариантные
и ковариантных координат в контравариантные
В тензорном исчислении операции опускания (9) и поднятия (10) индексов называют «жонглированием» индексами.
Выписав соотношения (9) и (10) мы подразумевали, что матрицы
Данное условие выполняется для криволинейных координат, если матрица Якоби не вырождена, и это непосредственно следует из (8), так как
то есть условие (7) выполняемое для всех точек пространства — достаточное условие невырожденности локальной метрики.
Рассмотрение вырожденнных метрик, это отдельный и сложный вопрос, поэтому мы ограничимся метриками, в которых матрица метрического тензора обратима, то есть выполняется условие
где
- единичный тензор, называемый дельтой Кронекера. Видно, что его компоненты представлены единичной матрицей с размерностью, соответствующей размерности пространства.
2. Взаимный базис
Введем векторы
Теперь возьмем и умножим (11) скалярно на вектор
но, мы знаем, что
Если мы возьмем, например, вектор
Дальше возьмем и умножим (11) скалярно на
и в силу (12) это дает контравариантный метрический тензор
Система векторов
Снова рассмотрим вектор
Умножим (13) скалярно на
приходим к заключению, что любой вектор может быть разложен как по базису
При этом, ковариантные компоненты — это скалярные произведение вектора на векторы базиса
что ещё раз иллюстрирует взаимность этих базисов.
Тут надо отметить, что векторы базиса
3. Преобразование криволинейных координат. Формальное определение ковариантных и контравариантных компонент
Допустим, что мы работаем в криволинейной система координат, определенной вектором
Будем считать преобразование (16) обратимым, то есть допустим существование функции
Для этого требуется, чтобы определитель матрицы Якоби
был отличен от нуля
Тогда существует матрица
Матрица
Получаем связь между старым базисом и новым
Разложим вектор
и используя соотношение (19), напишем
С учетом того, что векторы базиса линейно независимы, приравниваем коэффициенты при них в (21)
Теперь умножим обе части (21) на
Учтем, что
То есть, получаем формулу обратного преобразования контравариантных компонент
Из (22) и (19) можно заключить следующее
Контравариантные компоненты вектора преобразуются оператором, обратным оператору преобразования базиса
Действительно, чтобы получить векторы нового базиса, мы использовали матрицу
А теперь посмотрим, как преобразуется вектор, заданный своими ковариантными компонентами
Из (23) видно, что
Ковариантные компоненты вектора преобразуются тем же оператором, которым осуществляется преобразование базиса
Формулы (19), (22) и (23) и сформулированные определения, вынесенные в цитатный блок дают формальное определение контравариантных и и ковариантных координат и иллюстрируют разницу между ними. Можно сформулировать утверждение
Тензор ранга (1,0) преобразуется оператором обратным, используемому при преобразовании базиса, а тензор ранга (0,1) преобразуется тем же самым оператором, что используется при преобразовании базиса.
4. Ковариантная производная. Символы Кристоффеля 2-го рода
Предположим, что мы хотим продифференцировать вектор, заданный произвольными координатам по какой-то из координат. Что мы должны сделать? Давайте попробуем выполнить эту операцию
На каком основании мы выписали производную от базисного вектора? А на том основании, что базис в криволинейных координатах зависит от них, а значит его производная от координаты отлична от нуля. Ну и ладно, эта производная тоже будет вектором, а значит её можно разложить по локальному базису, например вот так
Найдем коэффициенты разложения в (25). Для этого, возьмем ковариантный метрический тензор и продифференцируем его по указанной координате
Подставим (25) в (26)
Здесь очевидно присутствие компонент метрического тензора, поэтому выполняем замену
Прежде чем начать работать с (27), скажем, что искомые коэффициенты разложения симметричны относительно нижних индексов, так как проведя прямое дифференцирования базисного вектора приходим к выражению
откуда, в силу непрерывности рассматриваемых функций, заключаем, что
Теперь, в (27) переставим индексы i и k
А теперь, переставим в (27) индексы j и k
Теперь сложим (29) и (30) учтя при этом симметричность (28)
Вычитаем (27) из (31), снова учитывая (28)
Умножаем (32) на
Выражение (33) определяет так называемый символ Кристоффеля 2-го рода. Тогда
Выражение, стоящее в скобках в (34) называется ковариантной производной контравариантных компонент вектора
Исходя из (35) мы должны понимать, что пытаясь дифференцировать по криволинейной координате, мы обязаны учитывать зависимость базиса от координат. Если метрика не зависит от положения точки приложения вектора в пространстве, то (35) превращается в частную частную производную, ибо все символы Кристоффеля равны будут нулю, из-за того что метрический тензор не зависит от координат. В любой косоугольной системе координат, и в их частном случае — декартовых координатах, символы Кристоффеля, согласно (33) равны нулю. А значит, согласно (35) ковариантрая производная от вектора по координате будет совпадать с его частной производной по этой координате, к чему мы приучены вобщем-то давно. Но если бы (33) был тензором, то он, будучи равен нулю, остался бы нулевым в любой другой системе координат. Но в криволинейных координатах (33) нулю не равны. А значит символы Кристоффеля не являются тензором. При преобразовании системы координат меняются компоненты, но не сущность тензора. Нулевой тензор должен быть таковым в любой системе координат.
Заключение
Первичные теоретические основы разобраны. Со следующей статьи мы уйдем в практику использования тензорного исчисления для решения конкретных задач. Спасибо Вам за оказанное мне внимание и доверие.
Продолжение следует…