Нерекурсивный алгоритм генерации всех разбиений и композиций целого числа

Привет, Хабр! Вдруг снова захотелось написать сюда! Так как было время на выходных, я снова решил поиграться с алгоритмизацией и написал вот эту статейку. Хотел даже отправить в какой-нибудь рецензируемый журнал, но оценить тривиальность/нетривиальность данного материала я не в состоянии, так как программирование всего лишь мое хобби и то эпизодическое, поэтому, как обычно, заранее прошу прощения, если все окажется слишком простым и до боли знакомым.

Спасибо администрации Хабра за отзывчивость и молниеносную оперативность при восстановлении аккаунта!

Итак, плоды усилий долгих...

Нерекурсивный алгоритм генерации всех разбиений целого числа в лексикографическом
порядке, когда все элементы выстроены в порядке убывания, является альтернативным; в
Интернете представлено несколько способов порождения данных комбинаторных
объектов, однако, как это справедливо и относительно других комбинаторных алгоритмов,
реализации сводятся к двум типам — нерекурсивному и рекурсивному. Чаще можно встретить
реализации, которые не учитывают порядок вывода объектов или осуществляют
вывод по принципу дробления числа.

Приведенная ниже реализация работает по обратному принципу: исходное число изначально разбито на единицы, алгоритм работает до тех пор, пока число в нулевом индексе массива не станет равным сумме исходного числа. Особенностью данного алгоритма является то, что он крайне прост для понимания, однако это не лишает его некоторый специфики:

1) Первый объект просто выводится на экран в самом начале, таким образом, он вынесен за пределы циклов, фактически является инициализирующим;
2) Существует несколько способов реализации переноса единицы, которые могут, как упростить код, так и сделать его более запутанным;
3) Данная нерекурсивная реализация может служить наглядным примером для объяснения генерации комбинаторных объектов на нескольких процессорах, после незначительной модификации. Для разделения генерации на процессоры достаточно: а) определить элемент по его номеру и сделать инициализирующим; б) определить момент для остановки работы. Например, если известно число объектов, генерируемых на одном процессоре, то достаточно ввести еще одну инкрементируемую переменную в верхний цикл и изменить условие выхода из самого верхнего цикла по достижении требуемого количества.

Код на языке PHP приведен только для демонстрации корректности алгоритма и может содержать лишние языковые средства, которые добавляют реализации избыточности.

Описание алгоритма

Дано: исходный массив в виде единиц — А (1,1,1,1,1).

Шаги
0) Если получили сумму (в случае реализации ниже, если нулевой индекс равен сумме числа), тогда остановка алгоритма.

1) Двигаясь по массиву слева направо, искать в массиве А первый минимальный элемент — x,
последний элемент не учитывается (не участвует в поиске минимального).
2) Перенести единицу из конца (последнего элемента) в найденный минимальный элемент x
(равносильно увеличению x на единицу и уменьшению на единицу последнего элемента).
3) Если в массиве А есть ноль — 0, то удалить последний элемент.
4) Разложить сумму всех элементов после измененного элемента — x – на единицы.

Пример

А=(1,1,1,1,1)
2,1,1,1
2,2,1
3,1,1

Код алгоритма на PHP

<?php
/*Генерация всех разбиений.   Generate all partitions.*/
$a = array(
	1,
	1,
	1,
	1,
	1,
	1,
	1
);
$n = count($a);
while (1)
	{
	/*Печать и выход. Print end exit.*/
	print_r($a);
	if ($a[0] == $n) break;
	
	/*Элемент в нулевом индексе нашего динамического
	массива на текущий момент.
	First element of our dynamic array*/
	$first_elem = $a[0];
	
	/*Размер массива на текущий момент. Length of an array*/
	$c = count($a) - 1;
	$i = 0;
	while ($i != count($a) - 1)
		{
		/*Найдем элемент меньше первого. Here we search min. element.*/
		if ($a[$i] < $first_elem)
			{
			$first_elem = $a[$i];
			$min_elem = $i;
			}
		$i++;
		}
	if (empty($min_elem)) $min_elem = 0;
	
	/*Перенос элемента  "1". Here we transfer "1". */
	$a[$min_elem]+= 1;
	$a[$c]-= 1;
	
	/*Обрежем массив и найдем сумму его элементов. We cut the array
	* and count the sum of elements.*/
	array_splice($a, $min_elem + 1);
	$array_sum = array_sum($a);
	
	/*Добавим в массив единицы заново с учетом суммы.
	Here we add 1 (fill)  to the array
	( taking into account the sum ).*/
	for ($j = 0; $j != $n - $array_sum; $j++) $a[] = 1;
	
	/*Обнулим переменную. Unset min_elem.*/
	unset($min_elem);
	}
?>

Update:
Операция с поиском и удалением 0 в массиве лишняя (так как используется array_splice, а затем новое заполнение массива), как правильно было замечено в комментарии участником dev26

Выводы

Хотел бы в конце поделиться одним наблюдением, я очень долго пытался понять, почему одни алгоритмы понятны сразу и легки для кодирования, а другие заставляют мучиться… и мучиться порой долго. Должен отметить, что этот алгоритм у меня получилось закодировать почти сразу, но только после того, как я получил однозначно понятное описание каждого шага. И тут есть важный момент, понять алгоритм и описать — задачи одна другой не легче. Однако, в алгоритмизации и составлении описания, особенно важным оказывается то, какими глаголами описываются действия в алгоритме — это (субъективно) в конечном счете может влиять и на конечную реализацию.

Литература
[1] Donald E. Knuth. The Art of Programming. Vol. 4. 2008.
[2] Dennis Ritchie and Brian Kernighan. The C Programming Language. 1978.
[3] Aleksandr Shen. Algorithms and Programming: Problems and Solutions.
[4] ru.wikipedia.org/wiki/Разбиение_числа
[5] en.wikipedia.org/wiki/De_Arte_Combinatoria

P.S. Несмотря на приведенный список литературы, алгоритм пришлось выводить заново.
Еще одно дополнение:
Вынос первого элемента из циклов при данном подходе имеет силу как для генерации разбиений, так и для генерации сочетаний, перестановок. В принципе данный подход (хоть и несколько избыточный при реализациях) вполне обобщается для генерации других комбинаторных объектов.

UPDATE
Алгоритм разбиений в соединении с алгоритмом перестановок позволяет генерировать и все композиции числа. Идея простая: для каждого разбиения вызывается функция генерации всех перестановок для этого разбиения.

Генерация композиций. PHP

<?php
/*Генерация всех разбиений.   Generate all partitions.*/
$a = array(
	1,
	1,
	1,
	1,
	1
);
$n = count($a);
$h=0;
while (1)
	{
	/*Печать всех перестановок и условие выхода.
	Permutations and exit.*/
	permute($a, $h);
	if ($a[0] == $n) break;
	/*Элемент в нулевом индексе нашего динамического
	массива на текущий момент.
	First element of our dynamic array*/
	$first_elem = $a[0];
	/*Размер массива на текущий момент. Length of an array*/
	$c = count($a) - 1;
	$i = 0;
	while ($i != count($a) - 1)
		{
		/*Найдем элемент меньше первого. Here we search min. element.*/
		if ($a[$i] < $first_elem)
			{
			$first_elem = $a[$i];
			$min_elem = $i;
			}

		$i++;
		}

	if (empty($min_elem)) $min_elem = 0;
	/*Перенос элемента  "1". Here we transfer "1". */
	$a[$min_elem]+= 1;
	$a[$c]-= 1;
	/*Обрежем массив и найдем сумму его элементов. We cut the array
	* and count the sum of elements.*/
	array_splice($a, $min_elem + 1);
	$array_sum = array_sum($a);
	/*Добавим в массив единицы заново с учетом суммы.
	Here we add 1 (fill)  to the array
	( taking into account the sum ).*/
	for ($j = 0; $j != $n - $array_sum; $j++) $a[] = 1;
	/*Обнулим переменную. Unset min_elem.*/
	unset($min_elem);

	}

/*Функция перестановок. Permutations function.*/
function permute($b,&$h)
	{
	/*Дублируем массив и перевернем его. Это нужно для выхода
	 * из алгоритма.
	 * Here we make a copy and reverse our array. It is necessary to
	 * stop the algorithm.*/
	$a = $b;
	$b = array_reverse($b);

	while (1)
		{
		/*Печать и условие выхода. Here we print and exit.*/
		print_r($a);
		print "\n";
		if ($a == $b) break;
		/*Ищем слдующую перестановку.
		 * Here we search next permutation.*/
		$i = 1;
		while ($a[$i] >= $a[$i - 1])
			{
			$i++;
			}

		$j = 0;
		while ($a[$j] <= $a[$i])
			{
			$j++;
			}

		/*Обмен. Here we change.*/
		$c = $a[$j];
		$a[$j] = $a[$i];
		$a[$i] = $c;
		/*Обернем хвост. Tail reverse.*/
		$c = $a;
		$z = 0;
		for ($i-= 1; $i > - 1; $i--) $a[$z++] = $c[$i];

		}

	}

?>