Управление запасами

Прочие статьи цикла

1. Исследование операций

2. Метод ветвей и границ. Задача коммивояжера

3. Симплексный метод решения задач линейного программирования

4. Cимплексный метод решения ЗЛП. Пример

5. Двойственная задача линейного программирования

6. Транспортная задача линейного программирования

7. Задача выбора (назначения). Венгерский метод решения

8. Управление запасами

Развитием методов линейного программирования и их обобщением следует рассматривать нелинейное программирование (НЛП), к которому относят задачи квадратичного, выпуклого, вогнутого, целочисленного, геометрического и др. видов математического программирования. В работе рассматривается относительно простая задача управления запасами, не претендующая на общность и универсальность, для всех или даже многих случаев. Основное содержание подобных задач состоит в оптимальном регулировании запасов. В настоящее время реализуется заполнение хранилищ сжиженного газа в системе «Северный поток-2», что несомненно вызывает интерес как в Европейских странах, так и за пределами Европы. В системе энергоснабжения Европейских стран включена и функционирует (в терминах статьи) подсистема пополнения запасов водородного топлива. Статья в некоторой мере проясняет основные вопросы и проблемы функционирования и этой системы снабжения.

Потребность в теории управления запасами испытывают малые производства (например, выпечка тортов и их сбыт) и масштабные трансконтинентальные системы прежде всего энергетические (газоснабжение, транспортировка нефти, электроснабжение и пр.). Организация запасов и функционирование резервных нефтехранилищ, газохранилищ, водохранилищ гидроэнергетических систем и др. требуют постоянного мониторинга и управления уровнями наполнения.

Для системы управления запасами в рамках теории исследования операций формулируется задача оптимального управления, в которой выделяют следующие элементы:

• система снабжения (совокупность складов, хранилищ, гидросооружений);

• система спроса на предметы снабжения;

• система пополнения запасов;

• функция затрат (в частном случае – цены);

• принятая стратегия управления запасами;

• математическая система ограничений.

Рисунок 1 - Транспорт Российской нефти

Основной класс таких задач связывают с оптимальным регулированием запасов. Формулировка задачи возможна в следующем виде:

• Определить объем заказов при фиксированных моментах заявок на пополнение запасов.

• Определить объем и моменты времени подачи заявок на пополнение запасов.

Требуется отыскивать оптимальные решения, т.е. такие, которые минимизируют сумму всех расходов, связанных с созданием запасов.

Расходы представляются следующими:

• расходы, вызываемые оформлением и получением заказа при покупке или производстве;

• стоимость хранения единицы продукции на складе;

• штрафы, возникающие при задержках поставок из-за отсутствия изделий на складах.

Рисунок 2 - Транспорт российского газа

Важным допущением теории является неисчерпаемость источников пополнения запасов.

Задача управления запасами может быть отнесена к нелинейному программированию, так как ее ЦФ нелинейная.

Система снабжения удовлетворяет заказы на пополнение запасов, которые можно делать в любые или только в определенные моменты времени, и они могут выполняться немедленно либо с задержкой по времени.

Система спроса на предметы снабжения характеризуется спросом:

• стационарным или нестационарным;

• детерминированным или стохастическим;

• непрерывно распределенным или дискретным;

• зависящим от спроса на другие номенклатуры или независимым, может быть известным или неизвестным, постоянным или зависеть от времени.
  
  Система пополнения запасов характеризуется вариантами полноты и быстродействия:

• поставка равна требуемому объему (количеству);

• поставка является случайной величиной с известным (или нет) законом распределения;

• мгновенная поставка;

• задержка поставок на фиксированный срок;

• задержка поставок на случайный интервал времени.
  
  График (рис.3) отображает пополнение и расход хранимой (на складах, в хранилищах) субстанции. Оба процесса описываются линейными зависимостями от текущего времени.
  
  В примере ниже вводятся упрощающие допущения, о том, что поставка осуществляется немедленно, т.е. функция изменяется скачкообразно, а недостача продукта отсутствует. Это обеспечивает получение решения в аналитической форме.

Рисунок 3 - График зависимости изменения (пополнение/расход) запасов

Функции затрат – показатели эффективности принятой стратегии и учитывают издержки:

• расходы на хранение;

• затраты на штрафы;

• транспортные расходы и затраты, связанные с заказами каждой новой партии.

Ограничения характеризуются следующими вариантами:

• емкостью хранилища;

• длительностью переналадки оборудования;

• по числу поставок в заданном интервале времени;

• по максимальному объему (весу, стоимости) поставки;

• по максимальному объему запасов;

• по максимальному весу;

• по максимальной стоимости;

• по средней стоимости;

• по доле требований, удовлетворяемых только после прибытия очередной поставки;

• по вероятности недостачи (стохастический случай).

Стратегия управления запасами, т.е. структура правила определения момента и объема заказа в приложениях обычно считается известной, и задача сводится к определению нескольких констант (параметров стратегии).

Примем некоторые обозначения, используемые в моделях:
q – объем заказа (при пополнении запасов);
q_i. – объем заказа, производимого в начале i-го интервала;
r – оптимальный объем заказа;
r_i – спрос за некоторый интервал времени;
S_i – уровень запасов к началу i-го интервала времени;
s_i – уровень запасов к концу i-го интервала; s_i = S_i -r_i; S_i = s_i-1 + q_i.
S_о – оптимальный уровень запасов к началу некоторого интервала времени;
t – интервал времени;
t_s – интервал времени между двумя заказами;
t_sо – оптимальный интервал времени между заказами;
Т – период времени, для которого ищется оптимальная стратегия;
R – полный спрос за время Т;
С_i – стоимость хранения единицы продукции в единицу времени;
С₂ – величина штрафа за нехватку одной единицы продукции в момент т;
С_s – стоимость заказа (при покупке или производстве);
Q – ожидаемые суммарные накладные расходов; Q_о – минимум ожидаемых суммарных накладных расходов;

Постановка задачи управления запасами

Малое предприятие должно поставлять клиентам R изделий равномерно в течение интервала времени Т. Этим условием спрос на продукцию предприятия фиксирован и известен. За просроченную поставку штраф непомерно велик (С_ш = ∞). Нехватка товара не допускается.

Затраты производства складываются из:
С₁-стоимость хранения одного изделия (в единицу времени),
С₂ – стоимость запуска в производство одной партии изделий.

Владельцу предприятия требуется решить, как часто следует организовать выпуск партий t_s и каким должен быть размер q_о каждой партии.

Уравнение цен и его аналитическое решение
Ситуацию, описывающую задачу удобно представить графически (кривой запасов).

На обоих графиках (рис. 4) предполагается, что поставки реализуются немедленно (в момент поступления запроса), а расходование хранимой субстанции линейно зависит от времени. Левый график описывает факты возникновения недостачи продукта, которые компенсируются очередной поставкой продукта. На правом графике ситуация проще (недостача отсутствует), график не пересекает ось абсцисс, и поставка начинается в момент достижения графиком этой оси.

Рисунок 4 – Графики изменения запасов в хранилищах в разных условиях

Пусть q – размер партии, t_s - интервал времени между запусками в производство партий, R - полный спрос за все время планирования Т. Тогда R/ q – число партий за время Т и t_s= T/(R/q)=Tq/R.

Если интервал t_s - начинается, когда на складе имеется q изделий, и заканчивается при отсутствии запасов, тогда q/2 средний запас в течение t_s, ½С₁∙t_s∙q – затраты на хранение в интервале t_s. Общая стоимость создания запасов в интервале t_s равна сумме стоимости хранения и стоимости запуска в производство С_s+ ½С₁∙t∙q.

Рисунок 5 – График изменения целевой функции от аддитивных факторов

Для вычисления полной стоимости создания запасов за время Т следует эту величину умножить на общее число партий за это время Q = (С_s + ½С₁∙t∙q) R/ q. Подставляя выражение для t_s получаем Q(q) = (С_s+ ½С₁∙t∙q) R/ q = (С_s+½С₁∙T∙q²/ R) R/q = ½С₁∙T∙q+RС_s /q.

Члены в правой части последнего уравнения – это полная стоимость хранения и и полная стоимость заказа в производстве всех партий. С увеличением размера партий первый член возрастает, а второй убывает. Решение задачи управления запасами и состоит в определении такого размера партии q_о, при котором суммарная стоимость была бы наименьшей (рис.5). Для вычисленных оптимальных t_s0 и Q_о определенное значение q_о размера партии

Рассмотренная задача допускает аналитическое решение, которое приводится ниже. Необходимо определить значение q, минимизирующее общие ожидаемые расходы Q(q), где Q(q) = ½С₁∙T∙q+RС_s/q. В результате дифференцирования по q находим ½С₁∙T - RС_s/q².      

После приравнивания производной к нулю, получаем  

Заключение

Работа в весьма ограниченном объеме знакомит читателя с проблематикой обширной теории управления запасами. Это первые шаги к пониманию того, что происходило и происходит сейчас на пространствах РФ с добычей и транспортировкой углеводородов. Исходить следует из понимания того, что базисом основой экономики является энергетика, энерговооруженность отдельного исполнителя работ. При всей вооруженности передовыми технологиями, производственными мощностями, все встанет без энергетической подпитки.