Как найти площадь произвольного многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги?
В простых ситуациях его можно разбить на треугольники (рис. 1а) или, наоборот, достроить до прямоугольника (рис. 1б). Но как быть в общем случае? Посмотрите, скажем, на рисунок 1в.

Оказывается, достаточно подсчитать числовершин внутри многоугольника и число
на его границе — тогда его площадь
будет равна
Это формула называется формулой Пика в честь австрийского математика Георга Пика (1859–1942), открывшего её в 1899 году. Так, для многоугольника на рисунке 1в имеем ,
, поэтому
Формула выглядит удивительно просто. Интересно, столь же просто её доказать?
Этап 1: ШАГ ИНДУКЦИИ. Предположим, что многоугольник разбит диагональю на два, для которых формула доказана. Тогда несложно показать, что она верна и для.
Этап 2: ТРИАНГУЛЯЦИЯ. Многократно проводя внутренние диагонали, разобьём наш многоугольник на элементарные треугольники (не содержащие узлов ни на границе, ни внутри, кроме вершин). Для такого треугольникаи
поэтому площадь должна быть равна
Этап 3: БАЗА ИНДУКЦИИ. Остаётся доказать, что площадь элементарного треугольника равнаМы приведём важное и красивое рассуждение.
Пусть треугольник имеет вершины и
Достроим его до параллелограмма, добавив вершину
и замостим его копиями всю плоскость (рис. 2).

Элементарность нашего треугольника равносильна тому, что любой узелможно получить из узла
целочисленными сдвигами сторон
и
Иными словами, для любых целых
и
найдутся целые
и
такие, что
Неожиданно, геометрическая задача свелась к чисто алгебраической — системе линейных уравнений. Её решение даётся формулами Крамера
Хорошо известно, что определительпо модулю равен площади параллелограмма, построенного на векторах
и
поэтому нам надо доказать, что
Приимеем
а при
Так как
всегда должны быть целыми, то
кратны
откуда
кратно
, что возможно, лишь при
Формула Пика доказана.
В заключение сделаем несколько замечаний.
Приведённое рассуждение с замещением плоскости на школьном языке иллюстрирует важные идеи высшей алгебры — описание базисов свободной абелевой группы
и группы её автоморфизмов:
Последний факт можно обобщить на высшие размерности:
А вот формула Пика неверна уже в трёхмерном пространстве: объём многогранника с целыми вершинами не выражается через количества вершин внутри, на гранях и рёбрах.
Вместе с тем существуют варианты обобщения формулы Пика для некоторых классов целочисленных многомерных многогранников (например, с центрально-симметричными гранями).
Автор: Андрей Канунников, к. ф.-м. н., мехмат МГУ, преподаватель ШАД Хелпер