petuhoff Oct 29 2023 at 21:50

7. Точность систем автоматического регулирования (ч. 2)

Medium

7 min

5.5K

System Analysis and Design*Mathematics*Industrial Programming*Matlab*Systems engineering*

Tutorial

7.4 Точность по возмущающему воздействию

Рассмотрим замкнутую САР, на которую может воздействовать возмущающее входное воздействие .

Рисунок 7.4.1 Схема САР с возмущающим воздействием

Предположим, что , т.е. управляющее воздействие отсутствует. В этом случае САР обязана поддерживать на выходе (с некоторой степенью точности)

В этом случае $\varepsilon(t)=-y(t)\Rightarrow E(s)=-Y(s)$ , поэтому установившуюся ошибку $\varepsilon_{уст}=\lim_{t\rightarrow\infty}\varepsilon(t)$ можно вычислить как:

$\varepsilon_{уст}=\lim_{s\rightarrow0}s\cdot E(s)=-\lim_{s\rightarrow0}s\cdot Y(s) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.4.1)}$

Используя передаточную функцию замкнутой САР по возмущающему воздействию $\Phi_f(s)$ , имеем:

$\varepsilon_{уст}=-\lim_{s\rightarrow 0}s\cdot\Phi_f(s)\cdot F(s) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.4.2)}$

7.4.1 Ступенчатое возмущающее воздействие

Пусть ступенчатое возмущение $f(t)=f_0\cdot1(t)\Rightarrow F(s)=\frac{f_0}{s}$

Передаточная функция $\Phi_f(s)$ равна:

$\Phi_f(s)=\frac{Y(s)}{F(s)}=\frac{M(s)\cdot L(s)}{L(s)+k\cdot N(s)}=\frac{R(s)}{D(s)}\Rightarrow$ $\varepsilon_{уст}=-\lim_{s\rightarrow0}s\cdot \frac{R(s)}{L(s)+k\cdot N(s)}\cdot f_0=-\lim_{s\rightarrow0}\frac{R(s)}{L(s)+k\cdot N(s)}\cdot f_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.4.3)}$

Анализ соотношения (7.4.3) показывает, что:

- если САР – статическая (т.е. полином имеет свободный член, равный 1), то:

$\left\{ \begin{align} \varepsilon_{уст}&=-\frac{f_0\cdot b_0}{k+1}, если \ \ полином \ R(s) \ имеет \ свободный \ член \ b_0;\\ \varepsilon_{уст}&= 0, если \ полином \ R(s) \ не имеет \ свободного \ члена. \end{align} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.4.4)}$

- если САР – астатическая (степень астатизьма $v\ge1$ ), то:

$\left\{ \begin{align} \varepsilon_{уст}&=-\frac{f_0\cdot b_0}{k}, если \ \ полином \ R(s) \ имеет \ свободный \ член \ b_0;\\ \varepsilon_{уст}&= 0, если \ полином \ R(s) \ не имеет \ свободного \ члена. \end{align} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.4.5)}$

Графическая иллюстрация переходного процесса:

Рисунок 7.4.2 Переходной процесс при ступенчатом возмущающем воздействии

Кривые 1 на рисунках соответствуют случаям, когда полином имеет свободный член, равный (причем для данных рисунков ), а кривые 2 соответствуют случаям, когда полином не имеет свободного члена.

Случай, когда полином не имеет свободного члена принято называть астатизмом по возмущающему воздействию.

7.4.2 Линейное возмущающее воздействие

Пусть возмущающее воздействие $f(t)=f_0\cdot t$ перейдем в изображение $F(s)=\frac{f_0}{s^2}$

Подстановка в формулу (7.4.2) показывает, что если САР не имеет астатизм по возмущающему воздействию, то:

$\varepsilon_{уст}=-\lim_{s\rightarrow0} s\cdot\frac{R(s)}{L(s)+k\cdot N(s)}\cdot \frac{f_0}{s^2}=\infty$

Если САР имеет астатизма по возмущающему воздействию $v_f\ge2$ , то $\varepsilon_{уст}=0$ .

Рисунок 7.4.3 Переходной процесс при линейном возмущающем воздействии

В завершении обсуждения рассмотренных подразделов сделаем некоторые заключающие выводы:

Система автоматического регулирования называется астатической по управляющему воздействию, если при воздействии, стремящемся к установившемуся значению ошибка (рассогласование) стремится к нулю независимо от величины управляющего воздействия.

Система автоматического регулирования называется астатической по возмущающему воздействию, если при его приложении ошибка (рассогласование) стремится к некоторому установившемуся значению, зависящему от величины установившегося значения возмущающего воздействия.

Хорошей практикой при проектировании САР является придание ей свойства астатизма как по управляющему воздействию $(L(s)=s^v\cdot L_1(s))$ , так и по возмущающему воздействию $(R(s)=s^{v_f}\cdot R(s))$ .

Анализ подраздела (7.3) показывает, что астатизм по управляющему воздействию обеспечивается за счет астатических регуляторов (структура которого содержит интегрирующие звенья) – например ПИ-регуляторов.

Наряду со статическими и астатическими САР различают статические и астатические регуляторы.

Статический регулятор при ступенчатом управляющем воздействии на его входе обеспечивает на выходе (регулятора) асимптотически-устанавливающиеся значения.

У астатических регуляторов при ступенчатом входном сигнале выходной сигнал (регулятора) линейно (или нелинейно) нарастает без ограничений по уровню.

Пример

Определить установившиеся ошибки по управляющему и возмущающему воздействиям, если $x(t)=0.1 \cdot t$ и $f(t)=0.05\cdot t$ для следующей САР:

Найдем $\varepsilon_{уст}$ по управляющему воздействию, выполним преобразования к общей передаточной функции.
$W_4=\frac{W_2}{1-W_2\cdot W_3}=\frac{10\cdot(s+1)}{(s^2+2\cdot s+4)\cdot \left[1+\frac{10\cdot(s+1)}{s^2+2\cdot s+4}\cdot0.2\right ]}\Rightarrow$

$W_4=\frac{10\cdot(s+1)}{s^2+4\cdot s+6}$

Передаточная функция разомкнутой САР $W_{экв}=W_1\cdot W_4 \Rightarrow$

$W_{экв}(s)=\frac{120\cdot(s+1)}{s^3+4\cdot s^2+6\cdot s}=\frac{120\cdot(s+1)}{s\cdot(s^2+4\cdot s+6)}$

Рисунок 7.4.5 Эквивалентная САР по управляющему воздействию

Легко видеть, что данная САР устойчива

Т.к. система астатична по управляющему воздействию, то $\varepsilon_{уст}=\frac{x_0}{k}=\frac{0.1}{k}$

Найдем . Преобразуем к свободным членам, равным единице:

$\lim_{s\rightarrow0}W_{экв}(s)=\lim_{s\rightarrow0}\frac{120\cdot(s+1)}{6\cdot s\cdot \left [ \frac{1}{6}\cdot s^2+\frac{2}{3}\cdot s+1 \right ]}=20\Rightarrow k=20$ $\varepsilon_{уст}=\frac{0.1}{20}=0.005$

Найдем $\varepsilon_{уст}^e$ - установившуюся ошибку по возмущающему воздействию.
Используя замену цепи с местной обратной связью $W_4=\frac{W_2}{1-W_2\cdot W_3}$ , получаем следующую структурную схему:
Рисунок 7.4.6 Эквивалентная САР по возмущему воздействию

Найдем передаточную функцию по возмущающему воздействию (для замкнутой САР):

$\Phi_f(s)=\frac{Y(s)}{F(s)}\Rightarrow Y(s)=W_4(s)\cdot[F(s)+Y_1(s)]=W_4(s)\cdot[F(s)+E(s)\cdot W_1(s)]=$ $=W_4(s)\cdot F(s)-W_1(s)\cdot W_4(s)\cdot Y(s)\Rightarrow$ $\left[1+W_1(s)\cdot W_4(s) \right]\cdot Y(s)=W_4(s)\cdot F(s)$ $\Phi_f(s)=\frac{Y(s)}{F(s)}=\frac{W_4(s)}{1+W_1(s)\cdot W_4(s)}=\frac{10\cdot(s+1)}{(s^2+4\cdot s+6)\cdot \left [ 1+\frac{12}{s}\cdot \frac{10 \cdot (s+1)}{s^2+4\cdot s+6}\right ] }$ $\Phi_s(s)=\frac{10\cdot s \cdot (s+1)}{s^3+4\cdot s^2+126\cdot s+120}$

Замечаем, что САР астатична по возмущающему воздействию, т.к. числитель не имеет свободного члена.

Используя первую предельную теорему:

$\varepsilon_{уст}^f=-\lim_{s\rightarrow 0}s\cdot Y(s)=-\lim_{s\rightarrow0}s\cdot \Phi_f(s)\cdot F(s)=\\=-\lim_{s\rightarrow0}s\cdot\frac{10\cdot s \cdot (s+1)}{s^3+4\cdot s^2+126\cdot s+120}\cdot \frac{0.05}{s^2}=-\frac{0.05}{12}\approx-0.00416$ $\varepsilon_{уст}^f=-0.00416$

7.5 Установившаяся ошибка при медленно изменяющемся произвольном воздействии (коэффициенты ошибок)

Сначала прокомментируем название данного раздела:

1. произвольное воздействие – форма воздействия не соответствует любому типовому воздействию:

Причем закон изменения - не известен.

2. Медленно изменяющееся – подразумевает, что скорость протекания собственной части переходного процесса намного больше (т.е. характерная постоянная времени существенно меньше), чем скорость (относительная) изменения входного воздействия. Например, если $x(t)=a\cdot e^{\frac tT}$ , где – период разгона, причем $T>>T_{пп}$ , где $T_{пп}$ – например, время переходного процесса при подаче на вход САР ступенчатого воздействия.

Поскольку входное (управляющее) воздействие и непосредственно САР имеют значительно различающиеся постоянные времени, в первом приближении можно считать, что САР почти без инерции «отслеживает» управляющее воздействие, т.е. рассогласование $\varepsilon(t)$ можно считать приблизительно «установившимся»:

$\varepsilon (t) \approx \varepsilon_{уст}(t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.5.1)}$

По аналогии с предыдущими подразделами:

$\varepsilon (t) \approx \varepsilon_{уст}(t)=\lim_{t\rightarrow0}\varepsilon(t) \Rightarrow$

Учитывая, что $E(s)=\Phi_\varepsilon(s)\cdot X(s)$ , используем обратное преобразование Лапласа:

$\varepsilon_{уст}=\lim_{t\rightarrow\infty}[w_\varepsilon(t)\cdot x(t)] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.5.2)}$

где $w_\varepsilon(t)$ - весовая функция замкнутой САР для ошибки; $w(t)\cdot x(t)$ - свертка.

Раскрывая свертку с помощью интеграла Дюамеля-Карсона (смотри раздел 2.9), получаем:

$\varepsilon_{уст}(t)=\int_0^\infty x(t-\tau)\cdot w_{\epsilon}(\tau)\cdot d\tau \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.5.3)}$

Если $\tau>t$ , то аргумент функции $x(t-\tau)$ - отрицателен, следовательно $x(t-\tau)<0$

Разложим $x(t-\tau)$ в ряд Тейлора:

$x(t-\tau)=x(t)-\frac{1}{1!}\cdot \tau \cdot x'(t)+\frac{1}{2!}\cdot\tau^2\cdot x''(t)-\frac{1}{3!}\cdot\tau^3\cdot x'''(t)+....\mathbf{(7.5.4)}$

Напомним сведения из математики:

Если - действительная функция, имеющая на интервале $a\le x<b$ n-ю производную, то значение функции можно расчитать по выражению:

$f(x)=f(a)+\frac{1}{1!}\cdot f'(a)\cdot(x-a)+\frac{1}{2!}\cdot f''(a)\cdot(x-a)^2+\frac{1}{3!}\cdot f'''(a)(x-a)^3\cdots$

В нашем случае в качестве переменной выступает $(t-\tau)$ ; в качестве - время ; в качестве - переменная $(-\tau)$ .

Подставляя выражение (7.5.4) в соотношение (7.5.3), получаем:

$\varepsilon_{уст}=\int_0^\infty x(t)\cdot w_\varepsilon(\tau)\cdot d\tau+\int_0^\infty[-\tau\cdot x'(t)]\cdot w_\varepsilon(\tau)\cdot d\tau+\\+\int_0^\infty\left [\frac{1}{2!}\cdot\tau^2 \cdot x''(t) \right ]\cdot w_\varepsilon(\tau)\cdot d\tau +...\Rightarrow$ $\varepsilon_{уст}=С_0\cdot x(t)+\frac{C_1}{1!}\cdot x'(t)+\frac{C_2}{2!}\cdot x''(t)+\frac{C_3}{3!}x'''(t)+... \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.5.5)}$

где:

$С_0=\int_0^\infty w_\varepsilon(\tau)\cdot d\tau; \ \ \ \ C_1=\int_0^\infty(-\tau)\cdot w_\varepsilon(\tau)\cdot d\tau; \ \ \ C_2=\int_0^\infty \tau^2\cdot w_\varepsilon(\tau)\cdot d\tau$ $C_3=\int_0^\infty-\tau^3\cdot w_\varepsilon(t)\cdot d\tau; \ \ \cdots \ \ \ C_n=\int_0^\infty(-\tau)^n\cdot w_\varepsilon(\tau)\cdot d\tau.$

Коэффициенты $C_0,C_1,C_2,\cdots,C_n$ - называются коэффициентами ошибок.

Если аналитическое выражение $\Phi_\varepsilon(s)$ - известно, то «нетрудно» рассчитать $w_\varepsilon(t)$ и, соответственно, рассчитать значения коэффициентов ошибок по выше приведенным интегралам.

Если известна экспериментально-определенная весовая $w_\varepsilon(t)$ (или переходная $h_\varepsilon(t)$ ), то расчет коэффициентов ошибок тоже не представляет проблем.

Второй способ определения установившейся ошибки при произвольном воздействии, отталкиваясь от формулы $E(s)=\Phi_\varepsilon(s)\cdot X(s)$ , разложим $\Phi_\varepsilon(s)$ в ряд Тейлора (а точнее в ряд Маклорена):

$\Phi_\varepsilon(s)=\Phi_\varepsilon(0)+\frac{1}{1!}\left [ \frac{d\Phi_\varepsilon(s)}{ds}\right ]_{s=0}\cdot s+\frac{1}{2!} \left [ \frac{d^2\Phi_\varepsilon(s)}{ds^2} \right ]_{s=0}\cdot s^2+\\+\frac{1}{3!}\left [\frac{d^3\Phi_\varepsilon(s)}{ds^3} \right]_{s=0}\cdot s^3+... \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(*)}$

Подставляя последнее соотношение в формулу для рассогласования , имеем:

$E(s)=\Phi_\varepsilon(0)\cdot X(s)+\frac{1}{1!}\cdot\Phi_\varepsilon'(0)\cdot s\cdot X(s)+\frac{1}{2!}\cdot \Phi_\varepsilon''(0)\cdot s^2+\\+\frac{1}{3!}\cdot \Phi_\varepsilon'''(0)\cdot s^3\cdot X(s)+\cdots$

Замечая, что оригиналы равны:

$\begin{align} E(s)\rightarrow\varepsilon(t)\cdot s\cdot X(s)\rightarrow x'(t), \\X(s)\rightarrow x(t)\cdot s^2\cdot X(s)\rightarrow x''(t), \\. . . \end{align}\Rightarrow$ $\varepsilon(t)=\Phi_\varepsilon(0)\cdot x(t)+\frac{1}{1!}\cdot\Phi_\varepsilon'(0)\cdot x'(t)+\frac{1}{2!}\cdot\Phi_\varepsilon''(0)\cdot x''(t)+. . . \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.5.6)}$

Окончательно:

$\varepsilon(t)=C_0\cdot x(t)+\frac{C_1}{1!}\cdot x'(t)+\frac{C_2}{2!}\cdot x''(t)+\frac{C_3}{3!}x'''(t)+... \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.5.7)}$

где: $С_0=\Phi_\varepsilon(0), \ \ \ \ C_1=\Phi_\varepsilon'(0), \ \ \ \ C_2=\Phi_\varepsilon''(0), \ \ \ \ \ C_3=\Phi_\varepsilon'''(0), .....$

Второй способ вывода явно более простой.

Коэффициенты ошибок могут быть определены и путем деления полином числителя $\Phi_\varepsilon(s)$ на полином знаменателя и сравнением полученного ряда с выражением (*).

Для систем с различным порядком астатизма первые три коэффициента ошибок принимают следующие значения:

для статической САР $C_0=\frac{1}{k+1};$

для астатической САР 1^-го порядка $(\nu=1) \Rightarrow C_0=0,\ \ \ C_1=\frac{1}{k}$ ;
для астатической САР 2^-го порядка $(\nu=2)\Rightarrow C_0=0,\ \ \ C_1=0, \ \ \ C_3=\frac{1}{k}$ .

Пример 3

Найти установившуюся ошибку для САР, замкнутой единичной обратной связью, если разомкнутая САР состоит из последовательно-соединенных идеального интегрирующего звена $k_1=1; \ \ T_1=1 \ \ сек)$ и апериодического звена первого порядка $(k_2=10; \ \ T_2=0.1),$ а входное управляющее воздействие $x(t)=1-e^{-t};$ где возмущающее воздействие $f(t)=f_0\cdot sin(\omega\cdot t)$ , где .

Рисунок 7.5.3 САР для анализа возмущения

Численное решение данной задачи в видео:

Аналитическое решение

Сначала рассмотрим первую часть задачи, когда возмущающее воздействие отсутствует.

$\varepsilon_{уст}=C_0\cdot x(t)+\frac{C_1}{1!}\cdot x'(t)+\frac{C_2}{2!}\cdot x''(t)+\frac{C_3}{3!}\cdot x'''(t)+....$

Очевидно, что данная САР имеет астатизм 1-го порядка, следовательно $C_0=0;C_1=\frac{1}{k}$ Тем не менее проведем эти вычисления:

$\Phi_\varepsilon(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{1+W_1\cdot W_2}=\frac{T_1\cdot s\cdot(T_2\cdot s+1)}{T_1\cdot s\cdot (T_2\cdot s+1)+k_1\cdot k_2}=\frac{s\cdot(T\cdot s+1)}{s\cdot (T\cdot s+1)+k}$

где новые переменные $T=T_2; k=\frac{k_1\cdot k_2}{T_1}$

Найдем коэффициенты ошибок: $C_0=\Phi_\varepsilon |_{s=0}=0\Rightarrow C_0=0;$

$C_1=\frac{d\Phi_\varepsilon(s)}{ds}|_{s=0}=\frac{(2\cdot T\cdot s+1)(s^2\cdot T+s+k)-(2\cdot T\cdot s+1)(T\cdot s^2+s)}{(T\cdot s^2+s+k)^2}=$ $=\frac{(2\cdot T\cdot s+1)\cdot k}{(T\cdot s^2+s+k)^2}=k\cdot\frac{2\cdot T\cdot s+1}{(T\cdot s^2+s+k)^2}$ $\Phi_\varepsilon'(s)=k\cdot\frac{2\cdot T\cdot s+1}{(T\cdot s^2+s+k)^2}$ $C_1=\Phi_\varepsilon'(0)=\frac{1}{k}$

Найдем коэффициент $C_2 =\Phi_\varepsilon''(s)|_{s=0}$ :

$\Phi_\varepsilon''(s)=k\frac{2\cdot T\cdot(T\cdot s^2+s+k)^2-(2\cdot T\cdot s+1)\cdot 2\cdot(T\cdot s^2+s+k)(2\cdot T\cdot s-1)}{(T\cdot s^2+s +k)^4}=$ $=2\cdot k\cdot\frac{T\cdot(T\cdot s^2+s+k)-(2\cdot T\cdot s+1)^2}{(T\cdot s^2+s+k)^3}\Rightarrow\Phi_\varepsilon''(0)=2\cdot k\frac{T\cdot k-1}{k^3}$ $C_2=\frac{2\cdot(T\cdot k-1)}{k^2}$

Аналогичным путем можно найти , , и т.д.

Вычислим значения и подставля занчения

$C_1=\frac{T_1}{k_1\cdot k_2}=\frac{1}{1\cdot 10}=0.1; \\ C_2=\frac{2\cdot(0.1\cdot10-1)}{10}=0;$ $\varepsilon_{уст}=С_1\cdot x'(t)+C_2\cdot x''(t)+C_3\cdot x''(t)+...$

Пренебрегая в первом приближении составляющими высокого порядка ( $\ge 3$ ), получаем: $\varepsilon_{уст}\approx C_1\cdot x'(t)$

Пусть $x(t)=1-e^{-t}$ , тогда $x'=e^{-t}\Rightarrow x'(t)=e^{-t}$ подставляем в $\varepsilon_{уст}(t)\approx0.1\cdot e^{-t}$

Рисунок 7.5.5 Перходной процесс и установившиеся отклонения

Если учесть член $C_3\cdot x'''(t)$ проведя вычисления

$C_3=6\cdot\frac{(1-2\cdot k\cdot T)}{k_3}=6\cdot\frac{1-2\cdot10\cdot 0.1}{10^3}=-0.006$

Дифференцируя $x(t)\Rightarrow x'''(t)=e^{-t}\Rightarrow \varepsilon_{уст}=0.1\cdot e^{-t}\cdot-\frac{0.006}{3!}\cdot e^{-t}=0.099\cdot e^{-t}$

Анализ показывает, что учитывать члены более высокого порядка нет смысла, т.к. они очень малы.

Теперь рассмотрим 2-ю часть задачи: найдем установившиеся отклонения $\varepsilon_{уст}(t)$ при возмущающем воздействии $f(t)=0.1 \cdot sin(\omega\cdot t)$ где $\omega = 1 \ \ c^{-1}$ и нулевым входным воздействием

Найдем передаточную функцию системы для ошибки по воздействию:

$\Phi_\varepsilon^f(s)=\frac{E(s)}{F(s)}$ $E(s)=-Y(s)=-[F(s)\cdot W_2(s)+E(s)\cdot W_1(s)\cdot W_2(s)] \Rightarrow$ $\Rightarrow \Phi_\varepsilon^f(s)=-\frac{W_2}{1+W_1\cdot W_2}=-\frac{k_2\cdot s}{T_2\cdot s^2+s+\frac{k_1\cdot k_2}{T_1}}=-\frac{k_2\cdot s}{T\cdot s^2+s+k}$

где новые переменные $T=T_2; k=\frac{k_1\cdot k_2}{T_1}$

Найдем коэффициент ошибок:

$C_0=\Phi_\varepsilon^f(0)=0$ - это означает, что рассматриваемая САР имеет астатизм по возмущающему воздействию.

Найдем :

$C_1=\frac{d}{ds}\Phi_\varepsilon^f(s)|_{s=0}=-\frac{k_2\cdot(T\cdot s^2 +s+k)-k_2\cdot s\cdot(2\cdot T\cdot s+1)}{(T\cdot s^2+s+k)}|_{s=0}=\\=k_2\frac{T\cdot s^2-k}{(T\cdot s^2+s+k)^2}|_{s=0}=-\frac{k_2\cdot k}{k^2}=-1;$

Найдем :

$C_2=\frac{d^2}{ds^2}\Phi_\varepsilon^f(s)|_{s=0}=\\=k_2\cdot\frac{2\cdot T\cdot s\cdot(T\cdot s^2+s+k)^2-(T\cdot s^2-k)(T\cdot s^2+s+k)(2\cdot T\cdot s+1)}{(T\cdot s^2+s+k)^4}|_{s=0}=\\=-2\cdot k_2\cdot\frac{T^2\cdot s^3-3\cdot k\cdot T\cdot s-k}{(T\cdot s^2+s+k)^3}|_{s=0}\Rightarrow\\ \Rightarrow C_2=\frac{2\cdot k_2\cdot k}{k^3}=\frac{2\cdot k_2}{k^2}=0.2$

Найдем :

$C_3=\frac{d^3}{ds^3}\Phi_\varepsilon^f(s)|_{s=0} =\\=-2 k_2\frac{(3 T^2 s^2-3 k T)(T s^2+s+k)^3-3(T^2 s^3-3 k T s)(2Ts+1)}{(Ts^2+s+k)^6}|_{s=0}=\\-6k_2\frac{(T^2s^2-kT)(Ts^2+s+k)-(T^2s^3-3kTs-k)(2Ts+1)}{(Ts^2+s+k)^4}|_{s=0}=\\=-6k_2\frac{(-kT)\cdot k-(-k)\cdot1}{k^4}=6k_2\frac{1-kT}{k^3}=0$

Члены более высокого порядка не учитываем, т.к. они второго порядка малости.

$\varepsilon_{уст}(t)=С_1\cdot f'(t)+\frac{C_2}{2!}\cdot f''(t)+...$ - подставляя значения $C_1,C_2,f'(t),f''(t)\Rightarrow$