Comments 26
Здравствуйте, на тёмной теме чёрные формулы совсем не видно.
Доброе утро. Случайно вместо ответить нажал стрелочку вниз, не знаю как изменить.. Что такое "черные формулы"?
В некоторых картинках с формулами, по-видимому, получился прозрачный фон.
Например
А почему не получить матрицы Паули через инфинитезимальные операторы вращений? По крайней мере, оператор, например, момента импульса, может быть введён таким способом. А дальше в деле изоморфизм групп SO(3) и SU(2), или что-нибудь через общую теорию момента в частном случае двумерного пространства.
Ок, спасибо!
Идеей было создать базис в матрицах Паули из комплексных чисел, без привлечения квантовой физики и теории групп, статья задумана для людей с подготовкой на стандартной программе двух курсов обычного вуза
Изменил, которые с прозрачным фоном были
вот более менее популярная статья описывающая четырёхкомпонентные спиноры Дирака и двухкомпонентные Вейля с помощью матриц Паули, то есть частицы фермионы, электрон например
https://www-arxiv--vanity-com.translate.goog/papers/1006.1718/?_x_tr_sl=auto&_x_tr_tl=ru&_x_tr_hl=ru
А вообще все эти сложности не нужны (это только для машинного мозга хорошо), можно нарисовать на бумаге полный спин, собственной спин и как он прецессирует в условиях цилиндричности
4D не требуются, идея данного контекста описать именно 3D и именно для обычной физики. Дал посмотреть статью товарищу из математиков МФТИ, он сразу сказал в ответ, что ну да эти объекты (матрицы Паули) во первых про геометрию, а про квантовую физику это уже потом, и только потому, что эти матрицы там прижились.
Ну вот, за что минусуют:( Вот и помогай исправлять:(
КДПВ у вас совсем низкого разрешения и плохо читается. Советую поискать другую картинку. Ну, или введите формулу через редактор хабра.
Вообще, идеально было бы все формулы в статье переввести через редактор хабра (в формате латех). Но, понимаю, что это очень большой объем работы. Хотя бы КДПВ исправьте.
Очень интересная статья. Возможно вас заинтересует также и моя статья (с интерактивной программой) о произвольных квантовых вращениях с использованием матриц Паули -https://vlad0007.github.io/BlochSphereOnline/QS_Part3/QS_Part3.html
Спасибо на добром слове, и вашу статью почитаю поподробнее, как раз в тему. Что сразу заметил при ее просмотре по диагонали, что в форме экспоненты комплексное число это многолистная функция, вот как раз думаю как ввести эту многолистность для матричной экспоненты. А то при попытке проверить корректность записи для трехмерной экспоненты (которая во введении) символьныая математика дает очень уж многоэтажные выражения))
Я сейчас потихоньку пишу текст про проективную геометрическую алгебру. Она кроме вращения ещё и переносы кодирует.
И знаете что? Очень сильно похоже, только там вместо матриц Паули будет скаляр 1, вектора x, y, z и их комбинации (бивектора) xy, xz, yz, а так же xyz (тривектор и в данном случае псевдоскаляр). И точно также квадрат каждого вектора равен единичке.
И вращение будет точно такое же в виде q r q^-1 = a b r b^-1 a^-1.
Причём я скажу больше - умножение на вектор справа и слева будет оператором отражения, а умножение на бивектор будет вращением, которое является комбианцией двух отражений.
Вообще складывается ощущение что математически один-в-один всё то же самое и матрицы Паули ведут себя как векторы в геометрической алгебре. Но нюанс в том, что в геометрической алгебре может быть произвольное количество базисных векторов - 1, 2, 3, 4 ..., а матрицы Паули кажутся каким-то частным случаем для числа 3.
P.S. конкретно в проективной геометрической алгебре ещё вводится дополнительный базисный вектор, квадрат которого равен нулю. Благодаря этому экспонента от бивектора с нулевым квадратом превращается в обычное сложение, а не в сумму синуса и косинуса:
Это позволяет кодировать перемещение (например, если бивектор v описывает линейную скорость, то перемещение - это exp(vt) = 1 + vt, а если вращательную, то там будет exp(vt) = cos(|vt|) + vt sin(|vt|) / |vt|
Подробнее можно глянуть тут: https://bivector.net/
Здравствуйте, коллега :-). Вижу что вам ГА тоже зашла. Надеюсь вы отличаете Plane-based GA от Projective GA. У их коммьнити (bivector.net) была небольшая битва кого как называть, ибо кто-то другой уже застолбил имя Projective GA.
Да, разбираюсь Plane-based потихоньку. Наверно, через какое-то время напишу статью на хабр. У меня есть статья про вращение тел и момент инерции - напишу то же самое в терминах Plane-based GA (примерно как в книжке на сайте, но хочу код самостоятельно написать и убедиться, что всё правильно понял)
Путаница между projective и plane-based заметно увеличила порог входа, причём начинал осваивать первую, а потом пришёл ко второй и не сразу понял что они разные :(
Да переносы кодирует, поэтому и занялся вопросом. Что касается базисного вектора не вводите его, отлично создается и экспонента, и логарифм прямо с тем вектором, который выше по тексту) Ровно это сейчас закончил делать. Есль сложность только с многолистностью комплексной экспоненты, неонятно что считать нулем отсчетов.
Я правильно понимаю, что вы кодируете переносы с помощью комплексных чисел?
Просто в описанном мной варианте все числа действительные и их достаточнно. В трёхмерном случае удачно совпадает, что перенос можно описать тремя числами и поворот тоже тремя, но в общем случае это не так. Например в 2д перенос по двум направлениям и поворот всего лишь один угол.
А в 4д будет 4 переноса, но 6 поворотов.
С дополнительным базисным вектором это всё красиво выражается - например для 2д будет w, x, y и бивекторы wx, xy, xy, где wx и wy относятся к переносу, а xy описывает поворот.
Как подход с комплексными числами и без дополниьельного вектора обобщить на произвольное количество измерений?
Хоть это здесь и не существенно, раз противопоставляется лишь размерность, но наверное, стоило уточнить, что приведена лишь одна из разновидностей матрицы поворота, поскольку её элементы зависят от осей поворота и их последовательности.
Матрицы Паули кодируются обычными кватернионами, т.е. бивекторами в пространстве G(3,0,0). А если пойти дальше и изучать SpaceTime Algebra (STA), так там вообще чудеса творятся. Один только SpaceTime Split чего стоит. Они сейчас переписали всю стандартную модель на STA, создали Gauge Theory of Gravity, тоже в терминах STA. Короче великое объединение физики не за горами. Дэвид Хестенес (старичку 90! лет) описал электрон (а заодно и фотон) в ГА, и избавился от этой неопределенности которая мучала физиков почти 100 лет.
Слышал люди работают над SpaceTime Projectivе Algebra. Вот это будет бомба если доведут до ума. Будем программировать как сигналы со спутников доходят до кораблей/самолетов/ракет/других планет/чего угодно сразу со всеми заморочками теории относительности в простой и элегантной алгебре. Представляю какой-нибудь Ray-Tracing на уровне распространения волн!
Можете написать ссылки на статьи по этой теме?
STA: https://www.youtube.com/watch?v=e7aIVSVc8cI
Доклад Хестенеса про электрон, статьи пока не вышло: https://www.youtube.com/watch?v=TC9Cz3Rmnws
https://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_theory_gravity (там есть пара ссылок)
Собственно, эти три чувака Anthony Lasenby; Chris Doran; Stephen Gull + Steven De Keninck как раз и стоят за bivector.net коммьюнити.
Матрицы Паули. Просто. Для обычной физики и графики