Всем привет. При изучении 3D в программировании мы пользуемся математикой - линейная алгебра, матрицы, векторы, кватернионы и т.д. В какой-то момент становится интересно как устроено пространство 3D, какие принципы и основы заложены в фундамент отображения моделей. Так же, просто на отображении 3D не возможно остановиться — хочется добавить свет, тень, как минимум. Для расчета света нам надо отправить в шейдер матрицу модели рисуемого объекта — текущего, нормали плоскостей (например на триангулированный объект на каждый треугольник по нормали выходит).
Так же по расчету света необходимо добавить эту же текущую модель, в виде обратной матрицы и транспонированную.
В этой статье покажу как я решил такую задачу - комплексное решение приводящее к обратной матрице (размер 3х3).
Рабочее пространство
Все расчеты буду вести в среде Линукс, 14.2 gcc.
Давайте посмотрим, как можно это решить
Так же подготовим ориентиры которыми будем пользоваться
Так же будем пользоваться транспонированием результирующей матрицы.
Когда мы посчитаем матрицу Minor и применим знаки матрицы Cofactor и применим матрицу Транспонирования - это можно назвать матрицей Сопряжения(Ajoint или она же где-то может называться Ajugate).
Примерно перед применением Транспонирования мы можем проверить определитель (Determinant, Det), определитель нужно проверить на не ноль далее ниже мы рассмотрим случаи 0 и не 0.
Определитель является важной составляющей при расчете обратной матрицы, так как при нахождении обратной матрицы на определитель надо поделить.
Перейдём к реализации
Скрытый текст
#pragma GCC optimize ("Ofast,unroll-loops,-ffast-math")
#pragma GCC target ("sse,sse4.2")
#include <xmmintrin.h>
#include <smmintrin.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <assert.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
//обозначим необходимый минимум по структурам
typedef float f32;
struct vec3_t
{
f32 x;
f32 y;
f32 z;
};
typedef struct vec3_t vec3;
struct mat3_t
{
f32 v[9];
};
typedef struct mat3_t mat3;
//функция печати матрицы
void printMatrix(const mat3 m)
{
printf("%f %f %f\n%f %f %f\n%f %f %f\n\n",
m.v[0],m.v[1],m.v[2],
m.v[3],m.v[4],m.v[5],
m.v[6],m.v[7],m.v[8]
);
}
//установка матрицы через 3 вектора
const mat3 setMatrix(const vec3 v,const vec3 v1,const vec3 v2)
{
return (mat3)
{
v.x,v.y,v.z,
v1.x,v1.y,v1.z,
v2.x,v2.y,v2.z,
};
}
//матрица транспонирования
const mat3 Transposedm3(const mat3 m)
{
return (mat3)
{
m.v[0], m.v[3],m.v[6],
m.v[1], m.v[4],m.v[7],
m.v[2], m.v[5],m.v[8]
};
}
//матрица минора
mat3 Minorm3(mat3 m)
{
return (mat3)
{
(m.v[4]*m.v[8]-m.v[5]*m.v[7]),
(m.v[3]*m.v[8]-m.v[5]*m.v[6]),
(m.v[3]*m.v[7]-m.v[4]*m.v[6]),
(m.v[1]*m.v[8]-m.v[2]*m.v[7]),
(m.v[0]*m.v[8]-m.v[2]*m.v[6]),
(m.v[0]*m.v[7]-m.v[1]*m.v[6]),
(m.v[1]*m.v[5]-m.v[2]*m.v[4]),
(m.v[0]*m.v[5]-m.v[2]*m.v[3]),
(m.v[0]*m.v[4]-m.v[1]*m.v[3]),
};
}
//применение знаковой матрицы
mat3 Cofactorm3(mat3 m)
{
return (mat3)
{
m.v[0],-m.v[1],m.v[2],
-m.v[3], m.v[4],-m.v[5],
m.v[6],-m.v[7],m.v[8]
};
}
//результирующая функция Инверсной матрицы
const mat3 Inversem3(mat3 m)
{
mat3 as;
as=Minorm3(m);
as=Cofactorm3(as);
float DetA=(m.v[0]*as.v[0])+(m.v[1]*as.v[1])+(m.v[2]*as.v[2]);
printf("Det %f\n\n",DetA);
//проверка !0
DetA=1/DetA;
as=Transposedm3(as);
return (mat3)
{
as.v[0]*DetA,as.v[1]*DetA,as.v[2]*DetA,
as.v[3]*DetA,as.v[4]*DetA,as.v[5]*DetA,
as.v[6]*DetA,as.v[7]*DetA,as.v[8]*DetA
};
}
int main()
{
//printf("Chapter: Find Inverse Matrix!\nExample Matrix for start calculate:\n\n");
mat3 matA;
matA=setMatrix(
(vec3){1,2,3},
(vec3){4,5,6},
(vec3){7,8,9}
);
printMatrix(matA);
mat3 as;
as=Inversem3(matA);
printf("Inverse Result: \n");
printMatrix(as);
printf("\n\n");
return 0;
}
скомпилируем
gcc -Ofast -ffast-math -o test main.c -lmрезультат
теперь мы умеем находить Обратную матрицу.
Ресурсы
https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-calculator.html
https://www.geeksforgeeks.org/inverse-of-3x3-matrix/