Comments 94
Всего две возможные перестановки (1, 2) и (2, 1), и только одна из них соответствует требованию "ни один не остается на своем месте".
Не понятно и где тут что осталось на своем месте?
какой-то искусственный этот субфакторион, он зависит от системы счисления
обычно математические объекты (например, простые числа, факториал, субфакториал) - одни и те же в разных системах счисления
когда начинают анализ "цифр из которых составлено число" - imho, как правило, это не имеющая прикладного смысла экзотика, близкая к нумерологии
"настоящая" математика про числа как таковые, а то, в какой системе счисления мы их выражаем - должно быть не принципиально в большинстве случаев
"настоящая" математика про числа как таковые, а то, в какой системе счисления мы их выражаем - должно быть не принципиально в большинстве случаев
Теперь смотрим на разные системы кодирования (для связи) и контрольные суммы. Там очень всех интересует и влияет как длинное число на кусочки (не цифры, конечно, сложнее обычно) нарезать, чтобы какое-то полезное свойство получить.
Вы теплое с мягким путаете
Это как сравнивать эталонный килограм с килограмом кирпичей.
Для науки важно знать 1кг будь то в жидкой или газообразной форме, но в прикладных задачах уже важна фактическая реализация так сказать.
В разрезе кирпичей это все равно что сделать кирпич с массой в килограм расказывать о чуде что сумма его граней будет равна 1000.
когда начинают анализ "цифр из которых составлено число" - imho, как правило, это не имеющая прикладного смысла экзотика, близкая к нумерологии
Банальный пример - признаки делимости
Так что не всегда
Признаки делимости такая штука, чтобы понять делится ли число - надо сначла поделить (ведь цифры в системе счисления получаются делением)
Вот такой напримнер признак: Число делится на N если в N-й системе счисления последняя цифра 0
Верно? - да. Полезно? Не особо.
А такой - Число делится на N-1 если в N-й системе счисления сумма цифр делится на N-1?
Смысл признаков делимости в сведении сложного деления к более простому, вы просто привели тривиальный пример.
Полезно? Не особо
bool is_odd = ( x & 0b1);
bool is_even = ! is_odd;Полезное свойство. А для ассемблерного битоложества - незаменимое.
А вот это на ваш взгляд настоящая математика - Статистика первых цифр степеней двойки и передел мира (В. И. Арнольд) ?
Я, хоть и не адресат вопроса, считаю, что это не математика. Это - применение математического аппарата к физическим явлениям. И действительно есть некоторое тяготение к единице в начале. На эту тему есть много рассуждений, большинство из которых - полная чушь. Например рост взрослого человека в сантиметрах в подавляющем большинстве случаев начинается с единицы. Например, физики не считают первую единицу значащей "цифрой" в формулировке "до первой значащей цифры". Отношения к математике это все не имеет.
Я увидел точный подсчёт доли чисел в геометрической последовательности начинающихся с 1 (в пределе), основанный на том, что десятичный логарифм от 2х - иррациональное число. На мой взгляд симпатичный математический результат, хотя и простой.
Это - применение математического аппарата к физическим явлениям
Думаю, странно не считать математикой то, у чего есть практическое применение. По такой логике и теория чисел не математика, так как она вдруг нашла применение в криптографии. Про диффуры и говорить нечего
Такие рассуждения о первой цифре будут верны в любой позиционной системе счисления и потому это "настоящая математика".
Это же легко обобщается на любую систему счисления, привязки к 10 нет.
Ну, Арнольд вообще считал, что математика - экспериментальная наука, сродни физике. (Его мнение было даже ещё более радикальным: математика - часть физики.) По его мнению "разница между математикой и физикой состоит только в том, что в физике эксперименты стоят миллионы или даже миллиарды долларов, а в математике — единицы рублей или копеек". Но можно добавить, что всё же не каждый математический эксперимент дёшев - для проведения некоторых математических экспериментов требуются дорогие вычислительные ресурсы. В общем, статистические методы тут должны наводить на мысль, что это уже настоящая физика :)
Как минимум тысячи людей, 400 лет работавших над теоремой Ферма, дожны были всë это время что-то есть.
В статье в Кванте раздел про геометрические прогрессии - строгое математическое утверждение, объяснённое "на пальцах". А про площади и население уже действительно рассуждения в стиле психоистории Азимова - попытка построить модель эволюции, описывающую наблюдаемое распределение.
какой-то искусственный этот субфакторион, он зависит от системы счисления
Такого полно. Человекам "чото" десятиричная система больше всех приглянулась
Цифры перемножаем, Из цифр числа собираем, Цифры у простых чисел отрезаем итд
Но она может породить алгоритмы, опровергнуть другие гипотезы или доказать их. А потом ...мало ли что выстрелит. По мне - это игра в долгую
Можно смотреть на это как на частный случай более обширной задачи: нахождение субфакторионов в разных системах счисления
какой-то искусственный этот субфакторион, он зависит от системы счисления
Так фактически десятичные субфакторионы это лишь часть более общего класса n-субфакторионов, что вас не устраивает? Живут же люди с p-адиками при конкретных p и прекрасно себя чувствуют. Ну а так-то вся математика довольно искуственная.
Анализ цифр из которых составлено число не то чтобы прямо совсем бесполезен. Если число состоит из бесконечного количества цифр, то системы счисления совсем не эквивалентны друг другу, у них совершенно разная алгебраическая структура.
p-адические числа, которые "... находят широкое применение в теоретической физике", - бесконечные цепочки цифр.
Может субфакторион и выглядит, как игрушка, но в целом это какой-то странный и в общем случае неверный тейк. Например, есть p-адические числа, и у них есть вполне себе понятная интерпретация именно как последовательности чисел, записанных в p-ичной системе счисления (грубо говоря — они как рациональные, только записываются слева от запятой, не справа). И они вот совсем никакая не экзотика.
p-адические числа зависят от системы счисления
И имеют разные свойства в зависимости от системы счисления
Например в поле 10-адических чисел существует n не равное единице и нулю, для которого n^2=n
И при этом p-адические числа имеют реальное(математическое) применение, например в решении Диофантовых уравнений, и доказательстве теоремы Ферма
Можно конечно где-то провести условную границу между "настоящей" и "искусственной" математикой, но всегда найдется кто-то, кто подвинет эту границу, как например было с нулём, отрицательными числами, мнимыми числами...
В природе нет системы счисления. Если при смене системы счисления особые свойства числа пропадают, значит они и были придуманы с потолка. Например, 999 - это единственное число, которое при умножении составляющих его цифр на число единиц, равное корню суммы составляющих его цифр, даёт себя. Называется козлионом в честь первоизобретателя.
В природе и математики нет.
Системы счисления вполне себе "физичная" вещь и многие свойства интересные вылезают именно применимо к системам счисления.
Как она есть в физике?
То есть как это нет? Два камня плюс два камня всегда будет 4 камня. При этом четыре камня = four stones = 4🪨. Но если из этого делаются математические же выводы, то следует быть очень внимательным чтобы не получить очень сложное и изощрённое доказательство что 4 = 4, и ничего больше.
Не всегда
Например, если 2 камня положить в кольцо вычетов по модулю 3, то 2 камня + 2 камня = 1 камень
А 1 капля + 1 капля будет что? две капли или капля побольше?
Физика не занимается математическими расчетами, которые каким-либо образом подвержены проблемам конкретной системы исчислений или их нотаций.
Ага, а теперь попробуйте перемножить два камня на два камня) Потом представить результат)
А потом найти два одинаковых камня в природе.
Ну если так ставить вопрос, то два камня перемножаются не на другие два камня, а на два ящика (в каждом из котором лежат по два камня). Или на два килограмма. В физике нельзя игнорировать единицы измерения при вычислениях, не все сочетания этих единиц имеют смысл.
Получится 4 квадратных камня, а с учетом того, что камни изначально трехмерны - 4 четырехмерных камня!
Это для вас это 4 камня. А так это просто некий упорядоченный массив атомов, которые находятся в каком-то порядке, который, может быть, отличается от остальных вокруг.
Нет никакой природы. Нет никаких камней вокруг вас. Все, что вы видите это то, свет различной интенсивности, попадающий на сетчатку. Все эти камни, растения, животные и прочее существует только в вашей голове, а в реальности это просто сгустки атомов различной структуры.
сгустки атомов
Сгустки возмущений квантовых полей.
Да и полей квантовых нет, есть только вероятности, ведь не локальность, неравенства Белла...
А вероятности тоже есть только в голове. А в реальности осталась только реальность, если она есть.
Помню с одним человеком обсуждали дальтоников. И тут он заметил, что полной уверенности в том что он видит красный такой-же как я нет никакой, мол мы просто называем то что видим одним термином, но возможно, мы видим кардинально разные картинки, ведь наши нервные системы, совершенно точно, абсолютно разные в деталях.
Ваш друг изобрел квалиа
В этом контексте особенно интересно то, что с физиологической точки зрения, дальтоники видят, не как все думают, два цвета вместо трёх, а три цвета, но два из них - это не много отличающиеся зеленые цвета (мутация гена отвечающего за красный пигмент в рецепторах). В результате, например дальтоники очень хорошо видят грибы.
Как раз мы обсуждали другого моего друга - дальтоника, с которым было стыдно в лес ходить, т.к. он набирал полные корзины грибов, в то время как нормальный человек найдет штук 5-10, причем все они будет подосиновиками, т.к. их дальтоник не замечает. Подосиновики он не видит даже прямо под собственными ногами, запросто может раздавить хорошо видимый гриб.
Я у него спрашивал про красный и про зеленые цвета, но, что интересно, он никогда не заявлял, что не видит красный совсем, объясняя, что не видит границы между красным и не красным, но если спросить его про цвет красного предмета, он назовет именно красный. Зеленые же цвета он не разделяет на два цвета, просто очень хорошо видит грибы в траве.
Я пробовал представить, как должны выглядеть грибы чтобы я их замечал в таких же местах и на таком-же расстоянии, получилось, примерно как светящиеся лампочки Ватт на 15 )
И вот прочитав про квалиа, я задумался: А не может ли так быть, что квалиа - это феномен языка на котором мы говорим (и думаем)? Что если мы не можем рассуждать над тем, чего нет в языке и даже, возможно, хуже это видим? Что если бы мы видели 4-й цвет, он помогал бы нам, условно искать грибы или ягоды, но мы не могли его выделить в окраске окружающих нас предметов только по тому, что нет подходящих слов я зыке которому мы научились? Во всяком случае, как мне кажется, неожиданный успех лингвистических моделей, намекает на это.
он видит красный такой-же как я нет никакой, мол мы просто называем то что видим одним термином,
Проблема с цветом в том что мы не воспринимаем достаточно информации о цвете/длине волны. Мы можем только заметить что разная длина волны выглядит по разному, но как цвета соотносятся друг с другом, мы не видим, кто например просто глядя на жёлтый, красный и зелёный сразу может сказать что жёлтый располагается между красным и зелёным? Можно это сравнить с ощущением размеров/положения в пространстве где ситуация лучше, никто не задаётся вопросами типа: "нет полной уверенности что ты видишь два метра так же как я вижу два метра", ведь для нас два метра это "то что между одним метром и тремя метрами". Если бы тоже самое было бы с цветами то мозгу не нужно было бы создавать "картинку цвета", мы бы просто видели что "от этого предмета отражается свет с длиной волны которая больше длины волны отражаемой от того предмета но меньше длины волны отражаемой от вот того предмета".
Корень суммы составляющих его цифр, т.е. корень из 27, иррационален. Также, "... умножении составляющих его цифр на ..." описывает умножение массива на число, т.е. а итоге одно число не выходит.
Мне кажется, утверждение про природу абсурдно. Есть ли в природе алгоритмы, матрицы, многочлены, отрицательные, вещественные и комплексные числа, топология, кольца, поля, группы, категории, дифференциальные уравнения и т.п.?
Способ представления чисел очень нетривиален. Позиционные системы исчисления открыли недавно. До этого перемножать даже небольшие числа могли только очень образованные люди (например XIX * CCLXXXIII). Даже "быстрые" алгоритмы перемножения больших чисел в позиционных системах счисления ещё до 1960-го года был неизвестны (https://ru.wikipedia.org/wiki/Алгоритм_Карацубы). А лучший алгоритм неизвестен даже сейчас (https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_unsolved_problems_in_computer_science)
В 1960 году Андрей Колмогоров проводил семинар, посвящённый математическим задачам кибернетики. Одной из рассматриваемых на семинаре задач стало умножение двух n n-разрядных целых чисел. Основным известным методом умножения в то время было умножение «в столбик», которое при алгоритмической реализации требовало O(n^{2}) элементарных операций (сложений или умножений одноразрядных чисел). Колмогоров выдвинул гипотезу, что умножение «в столбик» является оптимальным алгоритмом умножения двух чисел в том смысле, что время работы любого метода умножения не меньше n^{2} по порядку величины
И ещё есть способы представлять числа в позиционных системах счисления с другими базисами (https://ru.wikipedia.org/wiki/Фибоначчиева_система_счисления, ...). Уверен, что есть ещё неоткрытые способы представления с удивительными и полезными свойствами, например для использования в квантовых компьютерах
Математика это же абстракция. В ней свои пост-свойства возникают, которые тоже могут быть (скорее всего и являются) абстракцией какого-то процесса, свойства в мире. То, что вы перечисляете - абстракции. Или чего вам не хватает? Не может же там быть звёздочки и мелкого шрифта "это многочлен"?)
Вообще это нетривиальный вопрос "есть ли в природе матрицы". На краях спектра есть "платоники" и "конструктивисты". Первые утверждают, что да, матрицы и поля не менее реальны чем камни и лягушки, а вторые скажут, что это всё наши искусственные конструкты. Можно занять и более нюансированную позицию. Судя по всему, современные математики, которые об этом задумываются, ближе к платоникам.
Но природа имеет математические проявления. И наоборот наблюдая за природой что-то новое привносилось в математику. Было бы не плохо если вся эта теоретическая математика которая от рядового обывателя ускакала на тысячи лет вперед когда-нибудь внезапно нашла свое проявление в каких-то доселе нам неизведанных аспектах реальности и бац! антигравы, телепорты, гипердрайвы -- вот это все!
Я думаю еще интереснее было бы понять как работает представление чисел у животных, у которых предполагается наличие этой фичи, но, очевидно, без всех этих человеческих абстракций. может нам не GPU/FPU/ASICи клепать надо и квантовые компьютеры развивать, а всего-то нейроинтерфейсы к каким нибудь специфичным устрицам например или что там найдется помощнее.
/me представил многие кубометры океана застроенные датацентрами из ферм био-компьютеров, обслуживающие дроны, подводная база, аплинк на поверхность. красивое!
Под ваше правило ещё ноль подходит :)
И, кажется, единица.
Не то чтобы с потолка – просто это свойства системы счисления.
Ну вообще-то есть такое понятие как натуральные числа. Они потому и натуральные что используется для пересчёта предметов природы.
А ноль - натуральное число? ;)
Ноль в натуральные числа не входит.
В общепринятом в российской школе определении не входит. На западе учат — что входит. Включать 0 в натруральные числа гораздо логчнее, имхо.
Конечно, уже имея ноль можно рассуждать о том что эта штука для обозначения что нет ничего. Но на самом деле ноль значительно более важное изобретение. Однако человеку которому нужно что-то посчитать вроде числа козочек в загоне число 0 не пригодится.
Есть такой фантастический роман про попаданцев из тех времён когда это ещё не было трендом "да не опуститься тьма". Там попаданец как раз и начал влиять на реальность внедряя вместо римских арабские цифры. Заодно ещё двойную бухгалтерскую запись.
В общепринятом в российской школе определении не входит. На западе учат — что входит.
Интересно, что думает на этот счёт Международный математический союз. Он, вроде как, является высшей инстанцией (governing body) математики.
Строго говоря, натуральные числа - это понятие, которое должно иметь определение. Меня в школе учили, что это целые положительные числа. Если переопределить их как целые неотрицательные числа, то ноль войдёт, но я такого определения никогда не слышал. Хотелось бы увидеть цитату из официального документа (национальной академии наук, ММС или иного научного руководящего органа).
Логичнее считать ноль натуральным числом, потому что
Натуральные числа соответствуют количеству элементов конечных множеств, а ноль соответственно - пустому множеству
Формальное построение целых чисел как классов пар натуральных требует, чтобы ноль был натуральным (https://en.wikipedia.org/wiki/Integer#Construction)
Если ноль натуральное число, то множество натуральных чисел будет моноидом относительно сложения. Это удобно. Можно сказать, что множество целых чисел это пример группы Гротендика (https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_group)
Это проблема исключительно определений. Во многих школах, ноль — натруальное число. В других — нет, но есть категория whole numbers, которая влючает и 0. Путаница тут возникла из-за того, что ноль люди придумали совсем не сразу. Потому что 10 коров — вот они, их видно. А 0 коров — не видно, пощупать нельзя.
Но физическое свойство количества объектов от разных определений не пропадает.
Вряд ли в семидесятые перебирали с использованием рекурсии.
Теперь нам нужен простейший код на Python и онлайн-компилятор
Рассказать вам о разнице между компилятором и интерпретатором, или предпочитаете остаться при своих заблуждениях?
Ещё хотелось бы код не в виде картинки.
И на Google colab ссылочку...
Что это меняет в рамках статьи?
Математики не очень хороши в программировании. Но мы их все равно любим.
Чтобы не ошибаться, можно всё называть термином из семидесятых: транслятор (это общее слово, обозначающее компиляторы и интерпретаторы). Сейчас и не разберешься, где компилятор: вот nodejs - это что? Вроде бы внутри компилируется в V8, но бинарника нет.
Рассказать о разнице между питоном и его байткодом? Или предпочитаете остаться при своих заблуждениях?
Только на A178463 а не A000166. Ну или обе ссылки :)
Почему субфакториал считается именно так?
return (n - 1) * (subfactorial(n - 1) + subfactorial(n - 2))Первая часть (n - 1) понятна, в текущей позиции может быть любой элемент кроме одного. А дальше не могу понять.
Рассмортим генерацию такой перестановки для n элементов:
выбираем случайное число от 2 до n (n-1 вариант)
меняем местами 1 и выбранное число
А) если в дальнейшем 1 будет перемещена, значит каждое из оставшихся чисел изменит положение, что соответствует значению
subfactorial(n - 1)Б) если 1 останется в том положении, куда её переместили, то остается посчитать количество вариантов для оставшихся n-2 чисел
Не (2, 3, 1), а (2, 1, 3) !!!
Прям упоротой математикой повеяло. Проблема числа 10958
Хорошо бы добавить в статью описание, как эта формула в начале выводится. Например, это можно сделать по формуле включения исключения: возьмем n!, вычтем все перестановки, где хотя бы одно число на своем месте. добавим те, где хотя бы 2 числа на своем месте, потому что они по 2 раза вычлись раньше, и т.д. Количество перестановок хотя бы с i элементами на своем месте n!/i!/(n-i)! * (n-i)! — количество сочетаний из n по i, и оставшиеся n-i чисел могут быть перетасованы как угодно).
А вот еще интересно бы посмотреть объяснение, почему !n = Floor(n! / e)
А вот еще интересно бы посмотреть объяснение, почему !n = Floor(n! / e)
Это, кстати, не всегда верно. Например, для четных n получается !n > Floor(n! / e), там похоже округление вверх.
А в целом доказать не сложно.
Между !n и n!/e разница D = n! * ( 1/(n+1)! - 1/(n+2)! + 1/(n+3)! - 1/(n+4)! + ...). Если в этом ряду в каждом отрицательном слагаемом слегка увеличить знаменатель, то сумма вырастет и будет X = n! * ( 1/(n+1)! - 1/(n+3)! + 1/(n+3)! - 1/(n+5)! + ...) = 1/(n+1). Ну и заметим, что D < X < 1. Т.е. между !n и n!/e целых нет.
А вот еще интересно бы посмотреть объяснение, почему !n = Floor(n! / e)
Мне вообще кажется, что рядом скрыта очень красивая математика. Например гиперболический синус единицы можно предствить как сумму 1 + 1 / 3! + 1 / 5! ..., а гиперболический косинус единицы - сумму 1 + 1/2! + 1/4! и если я нигде не ошибаюсь, то для n, стремящихся к бесконечности получается
почему именно округление вниз - не знаю.
!9=133496, значит max=133496*6=800976
Я что-то не понял этой логической связи.
А почему не
!9=133496, значит max=133496*7=934472 например?
По какой причине все что выше 6 не подходит то?
6 цифр. Максимальная цифра 9. Поэтому !9 * 6. Для 7 цифр значение !9 * 7 имеет меньше 7 цифр, поэтому никакое число из 7 не цифр не может быть субфакторионом.
Потому что минимальное 7-значное число (1 000 000) больше 934472 (максимальной суммы для 7 цифр 9 999 999). А дальше "минимальное число, выражаемое X цифр", растет экспоненциально относительно X, а "максимальная сумма субфакториалов числа с X цифр" - линейно.
Самое большое число, которое можно получить от одной цифры — !9. Взяв n цифр мы получим максимум n*!9. А число из n цифр будет как минимум 10^(n-1). 10^(n-1) растет быстрее n*!9, поэтому при каком-то количестве цифр число всегда будет больше даже верхней оценки суммы субфакториалов цифр.
Примерно оценить это количество можно как раз найдя такое n, что n*!9 состоит из менее чем n цифр. 7*!9 — 6-ти значное число, значит никакое 7 и более значное число обладать искомым свойсвом не будет.
Из этого определения "Теперь перейдем к субфакторионам - числам, которые равны сумме субфакториалов своих цифр" видно, что максимальный размер субфакториона ничем не ограничен.
9999999999999999.... Чем больше девяток, тем больше размер субфакториона.
Можете уточнить определение?
Что-то много спора о том, что есть математика (и есть ли она?). Для определённости предлагаю ответить себе на вопрос: как так получилось, что три достаточно различных предмета: арифметику (счёт), алгебру (манипуляции с буквами) и геометрию (нарисованные фигуры) свалили в одну корзину и наклеили этикетку "Математика". Что между ними общее? По большому счету. Вот, по-моему, лишь ответив на этот вопрос, можно продолжать спорить о мелких тонкостях типа широты рамок математики, или о системах счисления, или где кончается математика и начинается здравый смысл (или не начинается?}.
А что это вообще даст? Какую пользу вынесем из этого?
Единственное в мире число-субфакторион — это 148349. Что это такое?