Японский математик доказал АВС-гипотезу

    Японский математик Синити Мотидзуки (Shinichi Mochizuki) заявил о доказательстве ABC-гипотезы, которая считается одной из ключевых в теории чисел. Свое доказательство он изложил в серии из четырех работ (1, 2, 3, 4), занимающих суммарно около 500 листов.

    Работы были выложены в интернет еще в августе, однако, только сейчас появились первые комментарии других учёных, касающиеся доказательства Мотидзуки. По их словам, как минимум, очевидных пробелов в рассуждениях коллеги нет.

    Вероятно, понадобится немало времени, чтобы доказательство АВС-гипотезы было признано, но если это случится, в руки математиков попадает мощнейший инструмент, каким теория чисел никогда не располагала.

    Например, Великую теорему Ферма, над которой почти четыре века безуспешно бились лучшие умы планеты, можно будет доказать буквально в три строчки.

    Формулировка ABC-гипотезы
    Многим ABC-гипотеза знакома ещё со школы, она утверждает, что для любого действительного числа r > 1 существует не более конечного числа троек натуральных чисел a, b, c таких, что для них выполнены одновременно три условия:

    • a + b = c
    • a, b и c взаимно просты в совокупности (то есть у них нет общих делителей)
    • c > rad (abc)r

    Радикалом rad натурального числа N называется число, которое представляет собой произведение всех различных простых (простым называется отличное от единицы число, которое делится только на себя и на единицу) делителей числа N. Например, rad(15) = 15 потому, что у этого числа простые делители 3 и 5, а rad(18) = 6, так как простых делителей у числа 18 ровно два — это 3 и 2.

    Для общего представления об идеях математика можно почитать интересную дискуссию на MathOverflow, а краткое изложение работы Синити Мотидзуки опубликовано в журнале Nature News.
    Ads
    AdBlock has stolen the banner, but banners are not teeth — they will be back

    More

    Comments 100

      +102
      я хочу читать такие новости на хабре
        +20
        А писать?
          +20
          А доказывать?
            +3
            А разоблачать?
              0
              Может, не надо?..
            +1
            Возможно, я что-то не понял… Дано определение радикала rad на натуральных числах, однако в теореме он применяется к числу, которое в общем случае вещественное: abc в степени r, где r- действительное, т.е. не обязательно целое.
              +1
              в гипотезе, а не теореме, конечно же
                +7
                аа, понял, имелось ввиду (rad(abc))^r, или по аналогии с тригонометрией rad^r (abc) :-)
              +2
              Например, Великую теорему Ферма, над которой почти четыре века безуспешно бились лучшие умы планеты, можно будет доказать буквально в три строчки.
              При этом используется доказательство в 500 листов. Т.е. по сути доказательство проще не станет.
                +93
                Смотрите на это как на использование сторонней библиотеки.
                  +4
                  Это понятно. Я просто подсознательно всё думаю, а существует ли простое доказательство ВТФ. Которое мог придумать Ферма в то время. Без привлечения эллиптических кривых. Или вот такого 500 страничного доказательства.
                    +3
                    Предполагается, что он нашёл доказательство лишь для частного случая, при n=4.
                      0
                      Да, чаще всего так предполагают. А для старших степеней или подумал, что аналогично. Или что вообще троллил. Но доподлинно неизвестно. А посему, будет витать «авось есть простое доказательство, сродни формулировке». Ведь в самом деле, формулировка столь проста, что можно школьнику 5 класса объяснить. А вот доказательство… И это будет не лучше в объяснении с «нуля».
                        0
                        «Немецкому математику Эдмунду Ландау очень докучали «ферматисты». Чтобы не отвлекаться от основной работы, он заказал несколько сот бланков со следующим текстом:

                        Уважаемый …! Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. … в строке …

                        Находить ошибку и заполнять пробелы в бланке он поручал своим аспирантам.»

                        Из Википедии. Всегда вспоминаю эту историю, когда слышу о том, как люди думают просто доказать теорему Ферма.
                          0
                          Я знаю эту историю. И Roler уже упоминал, что над этой теоремой бились многие. Но тем не менее, это не отменяет возможности существования более простого доказательства.
                            0
                            Ну, кто ж спорит-то. Шансы есть. Только, на мой взгляд, они стремятся к нулю.
                      +26
                      Великолепная аббревиатура…
                        0
                        Особенно транслитом.
                        +3
                        Учитывая, сколько над ней бились, вряд ли он нашёл полное и адекватное решение.
                        • UFO just landed and posted this here
                            0
                            Математически красивая Теорема Ферма должна иметь математически красивое доказательство.
                            Без использования сторонних библиотек, костылей и подбора подходящих данных.
                              0
                              Расскажите это бозону Хиггса, обломавшему такую красивую теорию всего…
                                0
                                Как он её обломал? Оо
                                  0
                                  По ходу меня глючит. Где то читал, что в Стандартную Модель бозон не вписывается. А по википедии только его и ждали.

                                  Простите за коммент. Буду менее легковерным.
                                    0
                                    Да ничего, главное — познание)
                            • UFO just landed and posted this here
                                0
                                баян )
                            +9
                            Зато его можно будет применить не только для доказательства теоремы Ферма. Всяко полезнее иметь доказательство более общей теоремы, чем частного следствия из неё.
                              +8
                              если Мотидзуки действительно доказал АВС-гипотезу, то при доказательстве ВТФ (теорема Ферма, а не вот зэ фак) достаточно будет ссылаться на работу Мотидзуки, как на истину. Переписывать 500 листов не потребуется :)
                                +13
                                Эх не дожил до этого момента наш зав. кафедры по высш. математики, такой отличный человек был) он все время стебался над 1-2 курсом предлагая им доказать теорему Ферма в обмен на 5 по 3м семестрам :)
                                  +5
                                  Ага, и ты ему доказательство в три строчки. Баттхёрт, баттхёрт)
                                    +1
                                    Я так-то уже закончил этим летом и получил диплом.
                                      0
                                      Это не важно, я о собирательном образе говорю) А где учились, если не секрет?)
                                        +2
                                        Ну вот видите мы с вами продолжили обсуждать, а нас уже заминусовали тут. Школьники видимо обижаются наверное, а то если я еще и скажу что у меня средний бал 4.32 то карма итак улетит вниз) итак невысока она) у вас сударь кстати диплом имеется?))
                                          +27
                                          Нам всем очень интересны подробности из жизни какого-то чувака из интернета. Пожалуйста, продолжайте.
                                            –1
                                            Нет, у меня он только будет, если на сессиях не завалюсь)
                                              +3
                                              Желаю вам успешно закончить обучения, т. к. есть нехилые шансы, что в ближайшем будущем оно будет полностью платным. Государству в нынешней его форме не нужны умные люди, нужны только рабы, которые делают так как надо.
                                                –1
                                                Сам знаю, да. Но, думаю, я успею закончить.
                                                  0
                                                  Хах, нашёл это обсуждение четыре года спустя. Всё повернулось совсем иначе — к концу года мне так всё надоело, что я ушёл на год в армию, вернулся, устроился на работу и с тех пор работаю)

                                                  Ни о чём не жалею.
                                        +1
                                        у нас что-то подобное в школе было.
                                    • UFO just landed and posted this here
                                        0
                                        ВТФ доказали давно — 17 лет назад. А данное доказательство ABC пока ещё не проверили. Может найдут ошибку и в рассждениях.
                                      +24
                                      Эммм… Кто-нибудь расскажет, в чем ценнось данной гипотезы на практике?
                                        +7
                                        думаю, как и у теоремы Ферма — пока пытались доказать, открыли много полезных вещей.
                                          +1
                                          Одно из возможный последствий — это новые направления и способы атаки шифров, в основном из семейства RSA, криптоустойчивость которых зиждется на практически невыполнимой в настоящее время задаче факторизации большого полупростого числа.
                                          +46
                                          Убавьте желтизну заголовка с «Японский математик доказал АВС-гипотезу» до «Японский математик предложил доказательство АВС-гипотезы»
                                            +2
                                            «существует не более конечного числа троек „
                                            существует конечное число троек?
                                              +11
                                              Вы доказали гипотезу троек :-)
                                                +2
                                                Видимо, это включая случай «не существует ни одной».
                                                  +2
                                                  0 — конечное число.
                                                  –1
                                                  существует не более конечного числа троек натуральных чисел
                                                    +5
                                                    Если доказать, что существует конечное число троек, это не будет означать, что не существует бесконечного множества троек, содержащего это конечное.
                                                    +9
                                                    А почему статья в том числе в хабе «Human Resources»? Предлагаете нанять Синити или просить доказать ABC-гипотезу на собеседованиях? ;-)
                                                      +1
                                                      Хотя бы сформулировать. Индикатор чтения Хабра.
                                                      +1
                                                      Отличная новость. Наука ради науки.
                                                        +38
                                                        Наука она вся ради науки. А потом — бац! — и вы сидите за компом, ездите на автомобиле, ходите в аптеку.
                                                        +3
                                                        Новость хорошая. Плохо только что это перепост чистой воды.
                                                          +17
                                                          Да какая разница? Я вот кроме Харба почти ничего и не читаю. И не узнал бы. А вот узнал и приятно. Ведь хорошая новость же, сами говорите :)
                                                          0
                                                          Что означает фраза

                                                          не более конечного числа троек натуральных чисел


                                                          Конечное число троек? Зачем «не более»?
                                                            0
                                                            Существует конечное число =! Не существует конечного числа
                                                            Существует не более конечного числа =! Существует бесконечное число
                                                              0
                                                              Я понимаю. Но формулировка дурацкая. У меня было подозрение, что автор опечатался.
                                                                +4
                                                                в математике много такого. у меня друг на матфаке учился, так я такого наслышался всякого. например — «почти наверное»
                                                                  0
                                                                  это в доказательстве теоремы какой-то. типа «это почти наверное доказано)»
                                                                    +5
                                                                    Почти наверное = с вероятностью 1. Термин такой.
                                                                      +2
                                                                      так я про то же. смеялся долго). вместо «сто пудов» — «почти наверное»)
                                                                        0
                                                                        Ага. И решения чего-нибудь (типа уравнения в форме Ито на многообразии) могут быть почти наверное почти непрерывны.
                                                                        +2
                                                                        вообще-то лет 200 назад «наверное» значило совсем не то, что сейчас
                                                                          +9
                                                                          Наверное
                                                                            –1
                                                                            Скорее 200 лет назад сказали бы «почти наверняка», верняк = вероятность один. Для меня «почти верняк » и «почти наверное» разные вещи =)
                                                                            Первый раз в жизни вижу как изменение языка влияет на изменение понимания сути чего то научного
                                                                          0
                                                                          Это язык математики.
                                                                            +1
                                                                            Спасибо, что пояснили. А то за 10 лет учебы и работы в математике сразу-то и не понял.

                                                                            На языке математики гипотеза звучит так:

                                                                            Для любых взаимно простых натуральных чисел: a,b,c=a+b выполняется следующее неравенство:
                                                                            image существует, такой image, что image.

                                                                            А здесь сформулировано как бы для простых людей. Так зачем тогда путать и писать «не более чем конечное число», вместо простого «конечное число», что по смыслу эквивалентно.
                                                                              +1
                                                                              Формулировка «существует не более, чем конечное число» включает случай «не существует вовсе», в отличие от формулировки «сущесвует конечное число», в которой на певрый план выходит слово «существует».
                                                                                0
                                                                                Пустое множество — конечно
                                                                                  0
                                                                                  Кстати, «существует не более, чем конечное число» тоже может не включать пустого множества. Поскольку «существует» всегда означает, что множество непусто :) Написали бы сразу «множество конечно» — вопросов бы не было.
                                                                                  0
                                                                                  При такой формулировке можно взять C_e > c/((rad(abc))^(1+e)). Может быть, кванторы идут в каком-то другом порядке?
                                                                                    0
                                                                                    Смысл в том, что С_e не зависит от a, b, c, а зависит только от эпсилон.
                                                                                      0
                                                                                      Тогда должно быть «для любого e > 0 существует C_e такой, что для любых a,b,c=a+b выполняется условие...» В «языке математики» порядок слов в преложении иногда важен.
                                                                                        0
                                                                                        Да, виноват. Копипастил с другого ресурса и не доследил.
                                                                            +1
                                                                            Тут вся формулиировка гипотезы корявая. Перевод английской Вики проясняет ситуацию.

                                                                            Гипотеза утверждает, что «почти всегда» c < rad(abc). Почти, за исключением некоторого конечного множества троек. Тут акцент на именно на мощность этого множества, ее ограничение сверху. То есть N счетно, N3 тем более счетно, а вот такое подмножество лишь конечно. Так что это нормально, язык такой.

                                                                            r в показателе степени вообще ошибка.
                                                                              0
                                                                              r в показателе степени вообще ошибка.

                                                                              image

                                                                              http://ru.wikipedia.org/wiki/Abc-гипотеза

                                                                              Вы хотите сказать, что в русской Википедии неправильно написано?
                                                                                +1
                                                                                Сравнил еще раз, r на месте, прошу прощения. Это в другой формулировке без r.
                                                                                +2
                                                                                Да, и еще, для некоторых r это множество может быть пусто — еще меньшая мощность. Поэтому «не более».
                                                                                  +1
                                                                                  Конечно не исключает возможности «пусто».
                                                                                0
                                                                                Наводит на мысль, что существуют числа менее конечных. Отрицательные числа менее конечных? Мыслимо ли отрицательное число троек натуральных чисел?
                                                                                +1
                                                                                Например, Великую теорему Ферма, над которой почти четыре века безуспешно бились лучшие умы планеты, можно будет доказать буквально в три строчки.

                                                                                АФАИК из стандартной формулировки abc-гипотезы непосредственно следует лишь, что ВТФ (x^n + y^n ≠ z^n при n>2) выполнена для степеней n, превосходящих некоторое достаточно большое N. Причем численное значение этого N не выводится, его существование доказывается косвенно.

                                                                                Верно более слабое утверждение: из abc-гипотезы следует, что у уравнения из теоремы Ферма не может быть бесконечно много решений.
                                                                                  +12
                                                                                  Благодаря этому топику узнал про MathOverflow.
                                                                                  Лучей добра автору.
                                                                                    0
                                                                                    Гениальность — она и в Японии гениальность! Молодец Shinichi Mochizuki!
                                                                                    Честно говоря, всегда по хорошему завидовал таким вот людям в том, что они делают какое-то глобальное дело, невзирая на всевозможные кризисы и прочие фукусимы погодные катаклизмы.
                                                                                      0
                                                                                      Дайте пример a b c b и r удовлетворяющий этим условиям
                                                                                      Что-то я туплю :-(
                                                                                        0
                                                                                        Например, a=2, b=25, c=27, r=1. Тогда rad(abc)=2*5*3=30, 30^1>27. Вообще, почти любая тройка a,b,c подойдет.
                                                                                        Примеры, для которых нужно r>1, если в английской Вики:

                                                                                        a = 2
                                                                                        b = 3^10* 109 = 6436341
                                                                                        c = 23^5 = 6436343
                                                                                        rad(abc) = 15042.

                                                                                        Для выполнения неравенства потребуется r=1.63.

                                                                                        Кстати, из гипотезы следует, что существует пример, для которого r максимально. Интересно, какой?
                                                                                        +2
                                                                                        Математик, физик, инженер и программист доказывают, что все нечётные числа, большие двух — простые.

                                                                                        Математик: 3 — простое, 5 — простое, 7 — простое, далее по индукции.
                                                                                        Физик: 3 — простое, 5 — простое, 7 — простое, 9 — ошибка эксперимента, 11 — простое…
                                                                                        Инженер: 3 — простое, 5 — простое, 7 — простое, 9 — простое, 11 — простое…
                                                                                        Программист: 3 — простое, 3 — простое, 3 — простое, 3 — простое!
                                                                                          0
                                                                                          rad (abc)r

                                                                                          Встречал и в других источниках сообщение про abc-гипотезу, но долго выяснял, что же значит процитированное выражение: rad ((abc)r) или (rad (abc))r. Конечно, можно догадаться, что показатель степени — вещественное число, а радикал этот определен только для натуральных, но всё равно так писать неприлично. Тем более, что rad пишут в виде оператора (в ТеХ'овском смысле этого слова), как, например, sin, а для такой записи характера слабая ассоциативность между оператором и аргументом (sin 2x, sin x2,...). И английская вики туда же. А вот в русской — красиво.

                                                                                          В общем, прошу исправить, чтоб больше никого не смущать.
                                                                                            0
                                                                                            www.numbersimulation.com/ — интересная визуализация процесса нахождения простых чисел
                                                                                              0
                                                                                              Что это хорошая новость, я узнал только из комментов
                                                                                                0
                                                                                                «Например, Великую теорему Ферма, над которой почти четыре века безуспешно бились лучшие умы планеты, можно будет доказать буквально в три строчки.»

                                                                                                Так её доказали относительно давно уже.
                                                                                                +1
                                                                                                Нигде не смог по-быстрому найти график функции rad(N), пришлось написать простую программу.

                                                                                                График:


                                                                                                Первые 512 чисел
                                                                                                rad(1) = 1 (1)
                                                                                                rad(2) = 2 (2)
                                                                                                rad(3) = 3 (3)
                                                                                                rad(4) = 2 (2)
                                                                                                rad(5) = 5 (5)
                                                                                                rad(6) = 6 (2,3)
                                                                                                rad(7) = 7 (7)
                                                                                                rad(8) = 2 (2)
                                                                                                rad(9) = 3 (3)
                                                                                                rad(10) = 10 (2,5)
                                                                                                rad(11) = 11 (11)
                                                                                                rad(12) = 6 (2,3)
                                                                                                rad(13) = 13 (13)
                                                                                                rad(14) = 14 (2,7)
                                                                                                rad(15) = 15 (3,5)
                                                                                                rad(16) = 2 (2)
                                                                                                rad(17) = 17 (17)
                                                                                                rad(18) = 6 (2,3)
                                                                                                rad(19) = 19 (19)
                                                                                                rad(20) = 10 (2,5)
                                                                                                rad(21) = 21 (3,7)
                                                                                                rad(22) = 22 (2,11)
                                                                                                rad(23) = 23 (23)
                                                                                                rad(24) = 6 (2,3)
                                                                                                rad(25) = 5 (5)
                                                                                                rad(26) = 26 (2,13)
                                                                                                rad(27) = 3 (3)
                                                                                                rad(28) = 14 (2,7)
                                                                                                rad(29) = 29 (29)
                                                                                                rad(30) = 30 (2,3,5)
                                                                                                rad(31) = 31 (31)
                                                                                                rad(32) = 2 (2)
                                                                                                rad(33) = 33 (3,11)
                                                                                                rad(34) = 34 (2,17)
                                                                                                rad(35) = 35 (5,7)
                                                                                                rad(36) = 6 (2,3)
                                                                                                rad(37) = 37 (37)
                                                                                                rad(38) = 38 (2,19)
                                                                                                rad(39) = 39 (3,13)
                                                                                                rad(40) = 10 (2,5)
                                                                                                rad(41) = 41 (41)
                                                                                                rad(42) = 42 (2,3,7)
                                                                                                rad(43) = 43 (43)
                                                                                                rad(44) = 22 (2,11)
                                                                                                rad(45) = 15 (3,5)
                                                                                                rad(46) = 46 (2,23)
                                                                                                rad(47) = 47 (47)
                                                                                                rad(48) = 6 (2,3)
                                                                                                rad(49) = 7 (7)
                                                                                                rad(50) = 10 (2,5)
                                                                                                rad(51) = 51 (3,17)
                                                                                                rad(52) = 26 (2,13)
                                                                                                rad(53) = 53 (53)
                                                                                                rad(54) = 6 (2,3)
                                                                                                rad(55) = 55 (5,11)
                                                                                                rad(56) = 14 (2,7)
                                                                                                rad(57) = 57 (3,19)
                                                                                                rad(58) = 58 (2,29)
                                                                                                rad(59) = 59 (59)
                                                                                                rad(60) = 30 (2,3,5)
                                                                                                rad(61) = 61 (61)
                                                                                                rad(62) = 62 (2,31)
                                                                                                rad(63) = 21 (3,7)
                                                                                                rad(64) = 2 (2)
                                                                                                rad(65) = 65 (5,13)
                                                                                                rad(66) = 66 (2,3,11)
                                                                                                rad(67) = 67 (67)
                                                                                                rad(68) = 34 (2,17)
                                                                                                rad(69) = 69 (3,23)
                                                                                                rad(70) = 70 (2,5,7)
                                                                                                rad(71) = 71 (71)
                                                                                                rad(72) = 6 (2,3)
                                                                                                rad(73) = 73 (73)
                                                                                                rad(74) = 74 (2,37)
                                                                                                rad(75) = 15 (3,5)
                                                                                                rad(76) = 38 (2,19)
                                                                                                rad(77) = 77 (7,11)
                                                                                                rad(78) = 78 (2,3,13)
                                                                                                rad(79) = 79 (79)
                                                                                                rad(80) = 10 (2,5)
                                                                                                rad(81) = 3 (3)
                                                                                                rad(82) = 82 (2,41)
                                                                                                rad(83) = 83 (83)
                                                                                                rad(84) = 42 (2,3,7)
                                                                                                rad(85) = 85 (5,17)
                                                                                                rad(86) = 86 (2,43)
                                                                                                rad(87) = 87 (3,29)
                                                                                                rad(88) = 22 (2,11)
                                                                                                rad(89) = 89 (89)
                                                                                                rad(90) = 30 (2,3,5)
                                                                                                rad(91) = 91 (7,13)
                                                                                                rad(92) = 46 (2,23)
                                                                                                rad(93) = 93 (3,31)
                                                                                                rad(94) = 94 (2,47)
                                                                                                rad(95) = 95 (5,19)
                                                                                                rad(96) = 6 (2,3)
                                                                                                rad(97) = 97 (97)
                                                                                                rad(98) = 14 (2,7)
                                                                                                rad(99) = 33 (3,11)
                                                                                                rad(100) = 10 (2,5)
                                                                                                rad(101) = 101 (101)
                                                                                                rad(102) = 102 (2,3,17)
                                                                                                rad(103) = 103 (103)
                                                                                                rad(104) = 26 (2,13)
                                                                                                rad(105) = 105 (3,5,7)
                                                                                                rad(106) = 106 (2,53)
                                                                                                rad(107) = 107 (107)
                                                                                                rad(108) = 6 (2,3)
                                                                                                rad(109) = 109 (109)
                                                                                                rad(110) = 110 (2,5,11)
                                                                                                rad(111) = 111 (3,37)
                                                                                                rad(112) = 14 (2,7)
                                                                                                rad(113) = 113 (113)
                                                                                                rad(114) = 114 (2,3,19)
                                                                                                rad(115) = 115 (5,23)
                                                                                                rad(116) = 58 (2,29)
                                                                                                rad(117) = 39 (3,13)
                                                                                                rad(118) = 118 (2,59)
                                                                                                rad(119) = 119 (7,17)
                                                                                                rad(120) = 30 (2,3,5)
                                                                                                rad(121) = 11 (11)
                                                                                                rad(122) = 122 (2,61)
                                                                                                rad(123) = 123 (3,41)
                                                                                                rad(124) = 62 (2,31)
                                                                                                rad(125) = 5 (5)
                                                                                                rad(126) = 42 (2,3,7)
                                                                                                rad(127) = 127 (127)
                                                                                                rad(128) = 2 (2)
                                                                                                rad(129) = 129 (3,43)
                                                                                                rad(130) = 130 (2,5,13)
                                                                                                rad(131) = 131 (131)
                                                                                                rad(132) = 66 (2,3,11)
                                                                                                rad(133) = 133 (7,19)
                                                                                                rad(134) = 134 (2,67)
                                                                                                rad(135) = 15 (3,5)
                                                                                                rad(136) = 34 (2,17)
                                                                                                rad(137) = 137 (137)
                                                                                                rad(138) = 138 (2,3,23)
                                                                                                rad(139) = 139 (139)
                                                                                                rad(140) = 70 (2,5,7)
                                                                                                rad(141) = 141 (3,47)
                                                                                                rad(142) = 142 (2,71)
                                                                                                rad(143) = 143 (11,13)
                                                                                                rad(144) = 6 (2,3)
                                                                                                rad(145) = 145 (5,29)
                                                                                                rad(146) = 146 (2,73)
                                                                                                rad(147) = 21 (3,7)
                                                                                                rad(148) = 74 (2,37)
                                                                                                rad(149) = 149 (149)
                                                                                                rad(150) = 30 (2,3,5)
                                                                                                rad(151) = 151 (151)
                                                                                                rad(152) = 38 (2,19)
                                                                                                rad(153) = 51 (3,17)
                                                                                                rad(154) = 154 (2,7,11)
                                                                                                rad(155) = 155 (5,31)
                                                                                                rad(156) = 78 (2,3,13)
                                                                                                rad(157) = 157 (157)
                                                                                                rad(158) = 158 (2,79)
                                                                                                rad(159) = 159 (3,53)
                                                                                                rad(160) = 10 (2,5)
                                                                                                rad(161) = 161 (7,23)
                                                                                                rad(162) = 6 (2,3)
                                                                                                rad(163) = 163 (163)
                                                                                                rad(164) = 82 (2,41)
                                                                                                rad(165) = 165 (3,5,11)
                                                                                                rad(166) = 166 (2,83)
                                                                                                rad(167) = 167 (167)
                                                                                                rad(168) = 42 (2,3,7)
                                                                                                rad(169) = 13 (13)
                                                                                                rad(170) = 170 (2,5,17)
                                                                                                rad(171) = 57 (3,19)
                                                                                                rad(172) = 86 (2,43)
                                                                                                rad(173) = 173 (173)
                                                                                                rad(174) = 174 (2,3,29)
                                                                                                rad(175) = 35 (5,7)
                                                                                                rad(176) = 22 (2,11)
                                                                                                rad(177) = 177 (3,59)
                                                                                                rad(178) = 178 (2,89)
                                                                                                rad(179) = 179 (179)
                                                                                                rad(180) = 30 (2,3,5)
                                                                                                rad(181) = 181 (181)
                                                                                                rad(182) = 182 (2,7,13)
                                                                                                rad(183) = 183 (3,61)
                                                                                                rad(184) = 46 (2,23)
                                                                                                rad(185) = 185 (5,37)
                                                                                                rad(186) = 186 (2,3,31)
                                                                                                rad(187) = 187 (11,17)
                                                                                                rad(188) = 94 (2,47)
                                                                                                rad(189) = 21 (3,7)
                                                                                                rad(190) = 190 (2,5,19)
                                                                                                rad(191) = 191 (191)
                                                                                                rad(192) = 6 (2,3)
                                                                                                rad(193) = 193 (193)
                                                                                                rad(194) = 194 (2,97)
                                                                                                rad(195) = 195 (3,5,13)
                                                                                                rad(196) = 14 (2,7)
                                                                                                rad(197) = 197 (197)
                                                                                                rad(198) = 66 (2,3,11)
                                                                                                rad(199) = 199 (199)
                                                                                                rad(200) = 10 (2,5)
                                                                                                rad(201) = 201 (3,67)
                                                                                                rad(202) = 202 (2,101)
                                                                                                rad(203) = 203 (7,29)
                                                                                                rad(204) = 102 (2,3,17)
                                                                                                rad(205) = 205 (5,41)
                                                                                                rad(206) = 206 (2,103)
                                                                                                rad(207) = 69 (3,23)
                                                                                                rad(208) = 26 (2,13)
                                                                                                rad(209) = 209 (11,19)
                                                                                                rad(210) = 210 (2,3,5,7)
                                                                                                rad(211) = 211 (211)
                                                                                                rad(212) = 106 (2,53)
                                                                                                rad(213) = 213 (3,71)
                                                                                                rad(214) = 214 (2,107)
                                                                                                rad(215) = 215 (5,43)
                                                                                                rad(216) = 6 (2,3)
                                                                                                rad(217) = 217 (7,31)
                                                                                                rad(218) = 218 (2,109)
                                                                                                rad(219) = 219 (3,73)
                                                                                                rad(220) = 110 (2,5,11)
                                                                                                rad(221) = 221 (13,17)
                                                                                                rad(222) = 222 (2,3,37)
                                                                                                rad(223) = 223 (223)
                                                                                                rad(224) = 14 (2,7)
                                                                                                rad(225) = 15 (3,5)
                                                                                                rad(226) = 226 (2,113)
                                                                                                rad(227) = 227 (227)
                                                                                                rad(228) = 114 (2,3,19)
                                                                                                rad(229) = 229 (229)
                                                                                                rad(230) = 230 (2,5,23)
                                                                                                rad(231) = 231 (3,7,11)
                                                                                                rad(232) = 58 (2,29)
                                                                                                rad(233) = 233 (233)
                                                                                                rad(234) = 78 (2,3,13)
                                                                                                rad(235) = 235 (5,47)
                                                                                                rad(236) = 118 (2,59)
                                                                                                rad(237) = 237 (3,79)
                                                                                                rad(238) = 238 (2,7,17)
                                                                                                rad(239) = 239 (239)
                                                                                                rad(240) = 30 (2,3,5)
                                                                                                rad(241) = 241 (241)
                                                                                                rad(242) = 22 (2,11)
                                                                                                rad(243) = 3 (3)
                                                                                                rad(244) = 122 (2,61)
                                                                                                rad(245) = 35 (5,7)
                                                                                                rad(246) = 246 (2,3,41)
                                                                                                rad(247) = 247 (13,19)
                                                                                                rad(248) = 62 (2,31)
                                                                                                rad(249) = 249 (3,83)
                                                                                                rad(250) = 10 (2,5)
                                                                                                rad(251) = 251 (251)
                                                                                                rad(252) = 42 (2,3,7)
                                                                                                rad(253) = 253 (11,23)
                                                                                                rad(254) = 254 (2,127)
                                                                                                rad(255) = 255 (3,5,17)
                                                                                                rad(256) = 2 (2)
                                                                                                rad(257) = 257 (257)
                                                                                                rad(258) = 258 (2,3,43)
                                                                                                rad(259) = 259 (7,37)
                                                                                                rad(260) = 130 (2,5,13)
                                                                                                rad(261) = 87 (3,29)
                                                                                                rad(262) = 262 (2,131)
                                                                                                rad(263) = 263 (263)
                                                                                                rad(264) = 66 (2,3,11)
                                                                                                rad(265) = 265 (5,53)
                                                                                                rad(266) = 266 (2,7,19)
                                                                                                rad(267) = 267 (3,89)
                                                                                                rad(268) = 134 (2,67)
                                                                                                rad(269) = 269 (269)
                                                                                                rad(270) = 30 (2,3,5)
                                                                                                rad(271) = 271 (271)
                                                                                                rad(272) = 34 (2,17)
                                                                                                rad(273) = 273 (3,7,13)
                                                                                                rad(274) = 274 (2,137)
                                                                                                rad(275) = 55 (5,11)
                                                                                                rad(276) = 138 (2,3,23)
                                                                                                rad(277) = 277 (277)
                                                                                                rad(278) = 278 (2,139)
                                                                                                rad(279) = 93 (3,31)
                                                                                                rad(280) = 70 (2,5,7)
                                                                                                rad(281) = 281 (281)
                                                                                                rad(282) = 282 (2,3,47)
                                                                                                rad(283) = 283 (283)
                                                                                                rad(284) = 142 (2,71)
                                                                                                rad(285) = 285 (3,5,19)
                                                                                                rad(286) = 286 (2,11,13)
                                                                                                rad(287) = 287 (7,41)
                                                                                                rad(288) = 6 (2,3)
                                                                                                rad(289) = 17 (17)
                                                                                                rad(290) = 290 (2,5,29)
                                                                                                rad(291) = 291 (3,97)
                                                                                                rad(292) = 146 (2,73)
                                                                                                rad(293) = 293 (293)
                                                                                                rad(294) = 42 (2,3,7)
                                                                                                rad(295) = 295 (5,59)
                                                                                                rad(296) = 74 (2,37)
                                                                                                rad(297) = 33 (3,11)
                                                                                                rad(298) = 298 (2,149)
                                                                                                rad(299) = 299 (13,23)
                                                                                                rad(300) = 30 (2,3,5)
                                                                                                rad(301) = 301 (7,43)
                                                                                                rad(302) = 302 (2,151)
                                                                                                rad(303) = 303 (3,101)
                                                                                                rad(304) = 38 (2,19)
                                                                                                rad(305) = 305 (5,61)
                                                                                                rad(306) = 102 (2,3,17)
                                                                                                rad(307) = 307 (307)
                                                                                                rad(308) = 154 (2,7,11)
                                                                                                rad(309) = 309 (3,103)
                                                                                                rad(310) = 310 (2,5,31)
                                                                                                rad(311) = 311 (311)
                                                                                                rad(312) = 78 (2,3,13)
                                                                                                rad(313) = 313 (313)
                                                                                                rad(314) = 314 (2,157)
                                                                                                rad(315) = 105 (3,5,7)
                                                                                                rad(316) = 158 (2,79)
                                                                                                rad(317) = 317 (317)
                                                                                                rad(318) = 318 (2,3,53)
                                                                                                rad(319) = 319 (11,29)
                                                                                                rad(320) = 10 (2,5)
                                                                                                rad(321) = 321 (3,107)
                                                                                                rad(322) = 322 (2,7,23)
                                                                                                rad(323) = 323 (17,19)
                                                                                                rad(324) = 6 (2,3)
                                                                                                rad(325) = 65 (5,13)
                                                                                                rad(326) = 326 (2,163)
                                                                                                rad(327) = 327 (3,109)
                                                                                                rad(328) = 82 (2,41)
                                                                                                rad(329) = 329 (7,47)
                                                                                                rad(330) = 330 (2,3,5,11)
                                                                                                rad(331) = 331 (331)
                                                                                                rad(332) = 166 (2,83)
                                                                                                rad(333) = 111 (3,37)
                                                                                                rad(334) = 334 (2,167)
                                                                                                rad(335) = 335 (5,67)
                                                                                                rad(336) = 42 (2,3,7)
                                                                                                rad(337) = 337 (337)
                                                                                                rad(338) = 26 (2,13)
                                                                                                rad(339) = 339 (3,113)
                                                                                                rad(340) = 170 (2,5,17)
                                                                                                rad(341) = 341 (11,31)
                                                                                                rad(342) = 114 (2,3,19)
                                                                                                rad(343) = 7 (7)
                                                                                                rad(344) = 86 (2,43)
                                                                                                rad(345) = 345 (3,5,23)
                                                                                                rad(346) = 346 (2,173)
                                                                                                rad(347) = 347 (347)
                                                                                                rad(348) = 174 (2,3,29)
                                                                                                rad(349) = 349 (349)
                                                                                                rad(350) = 70 (2,5,7)
                                                                                                rad(351) = 39 (3,13)
                                                                                                rad(352) = 22 (2,11)
                                                                                                rad(353) = 353 (353)
                                                                                                rad(354) = 354 (2,3,59)
                                                                                                rad(355) = 355 (5,71)
                                                                                                rad(356) = 178 (2,89)
                                                                                                rad(357) = 357 (3,7,17)
                                                                                                rad(358) = 358 (2,179)
                                                                                                rad(359) = 359 (359)
                                                                                                rad(360) = 30 (2,3,5)
                                                                                                rad(361) = 19 (19)
                                                                                                rad(362) = 362 (2,181)
                                                                                                rad(363) = 33 (3,11)
                                                                                                rad(364) = 182 (2,7,13)
                                                                                                rad(365) = 365 (5,73)
                                                                                                rad(366) = 366 (2,3,61)
                                                                                                rad(367) = 367 (367)
                                                                                                rad(368) = 46 (2,23)
                                                                                                rad(369) = 123 (3,41)
                                                                                                rad(370) = 370 (2,5,37)
                                                                                                rad(371) = 371 (7,53)
                                                                                                rad(372) = 186 (2,3,31)
                                                                                                rad(373) = 373 (373)
                                                                                                rad(374) = 374 (2,11,17)
                                                                                                rad(375) = 15 (3,5)
                                                                                                rad(376) = 94 (2,47)
                                                                                                rad(377) = 377 (13,29)
                                                                                                rad(378) = 42 (2,3,7)
                                                                                                rad(379) = 379 (379)
                                                                                                rad(380) = 190 (2,5,19)
                                                                                                rad(381) = 381 (3,127)
                                                                                                rad(382) = 382 (2,191)
                                                                                                rad(383) = 383 (383)
                                                                                                rad(384) = 6 (2,3)
                                                                                                rad(385) = 385 (5,7,11)
                                                                                                rad(386) = 386 (2,193)
                                                                                                rad(387) = 129 (3,43)
                                                                                                rad(388) = 194 (2,97)
                                                                                                rad(389) = 389 (389)
                                                                                                rad(390) = 390 (2,3,5,13)
                                                                                                rad(391) = 391 (17,23)
                                                                                                rad(392) = 14 (2,7)
                                                                                                rad(393) = 393 (3,131)
                                                                                                rad(394) = 394 (2,197)
                                                                                                rad(395) = 395 (5,79)
                                                                                                rad(396) = 66 (2,3,11)
                                                                                                rad(397) = 397 (397)
                                                                                                rad(398) = 398 (2,199)
                                                                                                rad(399) = 399 (3,7,19)
                                                                                                rad(400) = 10 (2,5)
                                                                                                rad(401) = 401 (401)
                                                                                                rad(402) = 402 (2,3,67)
                                                                                                rad(403) = 403 (13,31)
                                                                                                rad(404) = 202 (2,101)
                                                                                                rad(405) = 15 (3,5)
                                                                                                rad(406) = 406 (2,7,29)
                                                                                                rad(407) = 407 (11,37)
                                                                                                rad(408) = 102 (2,3,17)
                                                                                                rad(409) = 409 (409)
                                                                                                rad(410) = 410 (2,5,41)
                                                                                                rad(411) = 411 (3,137)
                                                                                                rad(412) = 206 (2,103)
                                                                                                rad(413) = 413 (7,59)
                                                                                                rad(414) = 138 (2,3,23)
                                                                                                rad(415) = 415 (5,83)
                                                                                                rad(416) = 26 (2,13)
                                                                                                rad(417) = 417 (3,139)
                                                                                                rad(418) = 418 (2,11,19)
                                                                                                rad(419) = 419 (419)
                                                                                                rad(420) = 210 (2,3,5,7)
                                                                                                rad(421) = 421 (421)
                                                                                                rad(422) = 422 (2,211)
                                                                                                rad(423) = 141 (3,47)
                                                                                                rad(424) = 106 (2,53)
                                                                                                rad(425) = 85 (5,17)
                                                                                                rad(426) = 426 (2,3,71)
                                                                                                rad(427) = 427 (7,61)
                                                                                                rad(428) = 214 (2,107)
                                                                                                rad(429) = 429 (3,11,13)
                                                                                                rad(430) = 430 (2,5,43)
                                                                                                rad(431) = 431 (431)
                                                                                                rad(432) = 6 (2,3)
                                                                                                rad(433) = 433 (433)
                                                                                                rad(434) = 434 (2,7,31)
                                                                                                rad(435) = 435 (3,5,29)
                                                                                                rad(436) = 218 (2,109)
                                                                                                rad(437) = 437 (19,23)
                                                                                                rad(438) = 438 (2,3,73)
                                                                                                rad(439) = 439 (439)
                                                                                                rad(440) = 110 (2,5,11)
                                                                                                rad(441) = 21 (3,7)
                                                                                                rad(442) = 442 (2,13,17)
                                                                                                rad(443) = 443 (443)
                                                                                                rad(444) = 222 (2,3,37)
                                                                                                rad(445) = 445 (5,89)
                                                                                                rad(446) = 446 (2,223)
                                                                                                rad(447) = 447 (3,149)
                                                                                                rad(448) = 14 (2,7)
                                                                                                rad(449) = 449 (449)
                                                                                                rad(450) = 30 (2,3,5)
                                                                                                rad(451) = 451 (11,41)
                                                                                                rad(452) = 226 (2,113)
                                                                                                rad(453) = 453 (3,151)
                                                                                                rad(454) = 454 (2,227)
                                                                                                rad(455) = 455 (5,7,13)
                                                                                                rad(456) = 114 (2,3,19)
                                                                                                rad(457) = 457 (457)
                                                                                                rad(458) = 458 (2,229)
                                                                                                rad(459) = 51 (3,17)
                                                                                                rad(460) = 230 (2,5,23)
                                                                                                rad(461) = 461 (461)
                                                                                                rad(462) = 462 (2,3,7,11)
                                                                                                rad(463) = 463 (463)
                                                                                                rad(464) = 58 (2,29)
                                                                                                rad(465) = 465 (3,5,31)
                                                                                                rad(466) = 466 (2,233)
                                                                                                rad(467) = 467 (467)
                                                                                                rad(468) = 78 (2,3,13)
                                                                                                rad(469) = 469 (7,67)
                                                                                                rad(470) = 470 (2,5,47)
                                                                                                rad(471) = 471 (3,157)
                                                                                                rad(472) = 118 (2,59)
                                                                                                rad(473) = 473 (11,43)
                                                                                                rad(474) = 474 (2,3,79)
                                                                                                rad(475) = 95 (5,19)
                                                                                                rad(476) = 238 (2,7,17)
                                                                                                rad(477) = 159 (3,53)
                                                                                                rad(478) = 478 (2,239)
                                                                                                rad(479) = 479 (479)
                                                                                                rad(480) = 30 (2,3,5)
                                                                                                rad(481) = 481 (13,37)
                                                                                                rad(482) = 482 (2,241)
                                                                                                rad(483) = 483 (3,7,23)
                                                                                                rad(484) = 22 (2,11)
                                                                                                rad(485) = 485 (5,97)
                                                                                                rad(486) = 6 (2,3)
                                                                                                rad(487) = 487 (487)
                                                                                                rad(488) = 122 (2,61)
                                                                                                rad(489) = 489 (3,163)
                                                                                                rad(490) = 70 (2,5,7)
                                                                                                rad(491) = 491 (491)
                                                                                                rad(492) = 246 (2,3,41)
                                                                                                rad(493) = 493 (17,29)
                                                                                                rad(494) = 494 (2,13,19)
                                                                                                rad(495) = 165 (3,5,11)
                                                                                                rad(496) = 62 (2,31)
                                                                                                rad(497) = 497 (7,71)
                                                                                                rad(498) = 498 (2,3,83)
                                                                                                rad(499) = 499 (499)
                                                                                                rad(500) = 10 (2,5)
                                                                                                rad(501) = 501 (3,167)
                                                                                                rad(502) = 502 (2,251)
                                                                                                rad(503) = 503 (503)
                                                                                                rad(504) = 42 (2,3,7)
                                                                                                rad(505) = 505 (5,101)
                                                                                                rad(506) = 506 (2,11,23)
                                                                                                rad(507) = 39 (3,13)
                                                                                                rad(508) = 254 (2,127)
                                                                                                rad(509) = 509 (509)
                                                                                                rad(510) = 510 (2,3,5,17)
                                                                                                rad(511) = 511 (7,73)
                                                                                                rad(512) = 2 (2)

                                                                                                Поправьте если ошибся.

                                                                                              Only users with full accounts can post comments. Log in, please.