Суждения, умозаключения, силлогизмы… или достижения античной логики в одном посте

    Когда я учился в школе, мы изучали логику, но сейчас даже в моём любимом лицее её почему-то не преподают. Более того, я узнал, что большинство моих знакомых (даже успешно закончивших вузы) не знают, ни о логическом квадрате, ни о различных модусах. В этом небольшом топике, я постараюсь вкратце рассказать обо всём. Сразу скажу, что гуру дискретной математики вряд ли узнают что-то новое, но остальным должно быть как минимум интересно, а как максимум полезно.

    Суждения


    Начнём с самых основ. Т.е. с суждений. Если не вводить строгих определений, то в суждениях просто что-либо утверждается или отрицается. В подавляющем большинстве языков суждения строятся по следующей форме S есть P, при этом S называют субъектом суждения, а P предикатом.
    Суждения можно делить по множеству критериев. Например, на простые (суждения без логических связок) и сложные. Простые суждения при этом можно делить на атрибутивные (утверждают или отрицают наличие атрибута), экзистенциональные (утверждают или отрицают существование чего-либо) и суждения с отношениями. Другой вариант классификации суждений — это классификация по качеству: утверждения делятся на утвердительные и отрицательные. Наиболее интересной для нас классификацией является классификация по количеству. Её мы рассмотрим чуть подробнее.
    • Общеутвердительные суждения вида «все S есть P» называют суждениями типа A.
    • Частноутвердительные суждения вида «некоторые S есть P» называют суждениями типа I.
    • Общеотрицательные суждения вида «ни одно S не есть P» называют суждениями типа E.
    • Частноотрицательные суждения вида «некоторые S не есть P» называют суждениями типа O.
    Традиция обозначать суждения буквами AIEO возникла ещё в средние века. Эти гласные взяты из латинских слов affirmo (утверждаю) и nego (отрицаю).

    Логический квадрат


    Классификация суждений по количеству важна, потому что на её основе был построен знаменитый логический квадрат.

    В углах квадрата показаны виды суждений, а на сторонах и диагоналях квадрата указаны отношения между соответствующими суждениями. Эти отношения требуют некоторых пояснений.
    Если между суждениями действует отношение подчинения, то об их истинности можно сказать следующее. Если общее суждение истинно, то подчинённые суждения тоже истинны. Если общее суждение ложно, то о частном суждении ничего определенного утверждать нельзя. Если частное суждение истинно, то об общем ничего определённого утверждать нельзя. Если частное суждение ложно, то и общее суждение тоже ложно.
    Контрарные суждения могут быть одновременно ложными, но не могут быть одновременно истинными.
    Субконтрарные суждения могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными.
    Контрадикторные суждения не могут быть одновременно ни истинными, ни ложными. Т.е. если одно из контрадикторных суждений истинно, то второе обязательно ложно и наоборот.

    Умозаключения


    Разобравшись с суждениями, можно перейти к правилам получения новых суждений, т.е. умозаключениям. Начнём с самых простых непосредственных умозаключений.
    Простые умозаключения

    Превращение

    Новое суждение получается путём изменения качества посылки. Для этого необходимо в исходное суждение вставить два отрицания: перед связкой и перед предикатом. На самом деле это очень простое умозаключение по сути оно сводится к следующим превращениям A-E, E-A, I-O,O-I.
    Т.е. суждение «некоторые люди талантливы» после превращения станет суждением «некоторые люди не талантливы»(O-I).
    Обращение

    В обращении новое умозаключение получается после перестановки субъекта и предиката местами. Т.е. суждение «S есть P» превращается в суждение «P есть S». К сожалению, применять эту операция для любых утверждений нельзя, иначе из утверждения «котики — это млекопетающие» мы получили бы «млекопитающие — это котики».
    Чтобы обращение было верным, необходимо соблюдать следующие правила:
    • Общеутвердительные суждения обращаются в частноутвердительные
    • Общеотрицательные суждения обращаются в общеотрицательные суждения
    • Частноутвердительные суждения обращаются в частноутвердительные суждения
    • Частноотрицательные суждения не обращаются совсем
    Противопоставление предикату

    Это самая сложная операция, которая по сути является соединением превращения и обращения. На практике это выглядит так: «S есть P» превращается в «не P не есть S». Я специально не буду приводить здесь ограничений, накладываемых на противопоставление предикату, чтобы вы сами могли немного подумать.

    Силлогизмы


    А мы пока начнём рассматривать силлогизмы. Силлогизмы — это самый популярный тип суждений, в него входят три суждения (две посылки и вывод) и три термина.
    Меньшим термином (S) является субъект того суждения, которое получилось в качестве вывода. Больший термин (P) предикат вывода. Средний термин (M) входит в обе посылки, но отсутствует в выводе.
    Чтобы силлогизм был корректным, он должен подчиняться трём группам правил: правилам терминов, правилам посылок, правилам фигур.
    Правила терминов

    • В силлогизме должно быть ровно 3 термина.
    • Средний термин должен быть взят в полном объёме хотя бы в одной из посылок.
    • Если термин не взят в полном объёме в посылке, то он не может быть взят в полном объёме и в выводе.
    Чтобы понять важность этих правил приведу всего один пример: «Некоторые живые существа ядовиты. Котики — это живые существа. Котики ядовиты». Какое из правил нарушено, попробуйте определить сами.
    Правила посылок

    • Из двух отрицательных посылок не следует никакого вывода.
    • Если одна посылка отрицательная, то и вывод должен быть отрицательным.
    • Из двух частных посылок не следует никакого вывода.
    Правила фигур

    Вы помните, что в силлогизме три суждения и три термина? По взаимному расположению терминов в суждениях, силлогизмы можно разделить на 4 класса (фигуры):

    Правила фигур:
    • У первой фигуры первая посылка должна быть общим суждением, а меньшая утвердительным
    • У второй фигуры большая посылка должна быть общим суждением, а меньшая посылка и заключение отрицательными.
    • У третьей фигуры меньшая посылка должна быть утвердительным суждением, а заключение частным.
    • Четвёртая посылка встречается реже всего, у неё целых два правила: 1. если общая посылка является утвердительным суждением, то меньшая посылка должна быть общим суждением; 2. если одна из посылок отрицательная, то большая посылка должна быть общей.
    Опять же нарушения правил фигур приводит к весьма забавным логическим ошибкам: «Все котики пьют воду. Я пью воду. Я котик».
    На самом деле силлогизмы можно делить не только по взаимному расположению S,P,M, но и по видам суждений (A,I,O,E), входящих в силлогизм. Нетрудно заметить, что всего возможно 64 различных силлогизма, эти силлогизмы называют модусами. Если применить к модусам все те ограничения и правила, о которых мы говорили, то получится, что логически верных модусов всего 19 и по фигурам они распределены следующим образом:

    Если знать эти правила, и пользоваться ими, то можно во-первых, самому не допускать глупых ошибок, а во-вторых, замечать эти ошибки у ваших оппонентов в спорах.
    На самом деле, то, что описано в посте, — лишь малая часть достижений античных мыслителей. Мы совсем не говорили ни об энтимемах, ни об эпихейремах, ни о разделительно-категорических силлогизмах, ни о… Да мы почти ни о чём не говорили, но я всё равно надеюсь, что вам было интересно.
    AdBlock has stolen the banner, but banners are not teeth — they will be back

    More
    Ads

    Comments 20

      +5
      Не хватает примеров
        +2
        Изначально почти весь пост состоял из примеров, я их решил сократить до необходимого минимума, но видимо, переоценил его величину.
          +6
          Пост получился довольно небольшим, так что, думаю, примеры не помешают.
            –1
            Просто сделайте ещё один пост с примерами.
          0
          Новое суждение получается путём изменения качества посылки. Для этого необходимо в исходное суждение вставить два отрицания: перед связкой и перед предикатом.
          Если превращаем A <-> E и I <-> O, кажется, надо отрицание ставить только перед предикатом, не? Или что такое связка в этом контексте?
            0
            Перед субъектом и предикатом, конечно. Очередная очепятка.
              +2
              Мне показалось, или все это слишком мутно и запутано (впрочем, оно и понятно, от античности к настоящему времени все в математике в сторону упрощения идет), и интересно только как исторический факт, так как логика первого порядка явно проще, формальнее, и к тому же выразительнее? И ее так же можно применять для аргументации в спорах.
                +2
                В аристотелевой логике с античности особенно ничего не поменялось. И как был проблемой переход от количества к качеству, так он и остался.

                И если европейцы пытались развить диалектику, то англосаксы просто отказались об этом рассуждать.
                0
                эм, а почему никто не вспомнил Чарльза Лютвиджа Доджсона (Льюиса Кэррола) с его «Логической Игрой»?
                • UFO just landed and posted this here
                  • UFO just landed and posted this here
                  0
                  Логику человек понимает с дошкольного возраста. Либо понимает, либо нет, учеба тут мало поможет.
                  Между тем не факт что логика верна в нашем понимании.
                    0
                    Непонятно самое начало. Ведь утверждение, что «Если общее суждение истинно, то подчинённые суждения тоже истинны» работает только для непустого множества S? А то получается, что из пары истинных утверждение «все кентавры говорящие» и «все кентавры — животные» мы получаем (по третьей фигуре, модус AAI) что «некоторые животные говорящие» (и что «некоторые говорящие существа являются животными»). Что здесь нарушается?
                      0
                      Или общеутвердительные утверждения для пустого S считаются ложными? Как тогда обстоят дела с общеотрицательными?
                        +1
                        Бертран Рассел (мне недавно попался соответствующий фрагмент в его «Истории западной философии») указывает на определённые слабости Аристотелевой логики, вот ссылка на цитату (по-английски, можно при желании найти русский перевод): www.physicsforums.com/showthread.php?t=537913.

                        Применительно к фразе «все кентавры говорящие» его рассуждения звучат примерно так. Рассматривая похожие и неразличаемые в Аристотелевой логике фразы «Фол — говорящий» (Фол — субъект, конкретный кентавр) и «все кентавры говорящие» Рассел указывает на то, что подразумеваемое прочтение второй фразы приводит к выводу, чту у неё субъекта (в понятном смысле, как в первой фразе) нет. Подразумеваемое прочтение второй фразы у него такое: она эквивалентна конъюнкции фраз «существуют кентавры» и «если что-то есть кентавр, это что-то — говорящее» — ни в одной из них о «всех кентаврах» речи не идёт.

                        (думаю заглянуть-таки в русский перевод за цитатами и запостить здесь более дельное резюме его критики, показавшейся мне довольно обоснованной)
                      +5
                      Пусть меня поправят специалисты, но вроде как логический квадрат, модусы и тому подобные вещи представляют для современного читателя не больше интереса, чем алгоритмы выполнения арифметических действий над числами, записанными римскими цифрами.

                      Да, можно ради общего развития почитать о том, как древние развивали представления о логике, но по сути те же самые правила, только в гораздо более удобном для анализа виде представлены в логике первого порядка. С практических позиций изучайте лучше её.
                        +1
                        Лично мне всегда интересно не только изучить что-то, но и узнать, как к этому пришли. Это пост интересен в первую очередь таким же, как я.
                          +1
                          советую добавить кванторов, будет легче читать
                            +1
                            Интересно, да. Спасибо. О «логическом квадрате» и в самом деле раньше не слышал, что нисколько не делает мне чести, но зато заставляет очередной раз испытать удивление, смешанное с некоторым испугом, при виде того, как быстро из нескольких простых и понятных аксиом вырастает необъятное древо теории, в которой следствия все так же следуют из посылок, но чтобы сказать, что они следуют «с очевидностью», надо иметь очень серьезный скилл.
                              0
                              Тут имеется некоторый исторический аспект. Из эвклидовой геометрии тоже выросло дерево, не настолько пышное, но более вписавшееся в современный контекст (да, есть неэвклидова геометрия, но она не отменяет логические построения эвклидовой геометрии — просто имеет другую аксиоматику).

                              Аристотелева логика же, трудами раннехристианских философов и, позднее, средневековых схоластов была возведена в ранг догмы, что выхолостило её рациональное зерно (при полном отказе от критики) и затормозило развитие формальной логики как научной дисциплины на столетия, если не на тысячелетие.

                            Only users with full accounts can post comments. Log in, please.