Анализ сферического движения твердого тела в случае Лагранжа

В данной статье будет рассказано и показано, как применять среду Wolfram Mathematica к решению сложных систем дифференциальных уравнений, графической интерпретации результатов решения, применения элементов процедурного программирования к физическим задачам, на примере движения твёрдого тела. Суть статьи в том, что бы показать, как с помощью средств компьютерной алгебры легко и просто проводить анализ сложных физических систем, которые будоражили умы физиков XIX века.

Немного о сферическом движении


Сферическое движение — движение ТТ, имеющего одну неподвижную точку. Каждая из точек ТТ при таком движении перемещается по поверхности сферы с центром в точке закрепления. В таком случае говорят о вращательном движении, которое слагается из серии элементарных поворотов вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через точку закрепления. Мгновенная ось вращения непрерывно изменяет своё положение, как по отношению к системе отсчёта, в которой рассматривается движение, так и в самом теле, образуя при этом две канонические поверхности, называемые соответственно неподвижным и подвижным аксоидами.

ТТ с неподвижной точкой имеет 3 степени свободы, и его положение по отношению к данной системе отсчёта определяется тремя параметрами, а точнее углами Эйлера. Эти углы определяют три поворота системы, которые позволяют привести любое положение системы к текущему.
Углы Эйлера

Если взять элементарные повороты СК вокруг осей Z и X в порядке Z, X', Z'' на соответствующие углы Ψ, θ и φ, то такое преобразование приводит к выражению матрицы поворота через углы Эйлера. С помощью такой матрицы, происходит поворот ТТ в пространстве.
image
Применяемые углы имеют следующий физический смысл:
  • Угол Ψ — угол прецессии
  • Угол θ — угол нутации
  • Угол φ — угол собственного вращения

Сферическое движение ТТ, впервые описанное Леонардом Эйлером (нем. Leonhard Euler) имеет решение только в трёх случаях:
  1. Случай Эйлера — центр масс ТТ, находится в закреплённой точке. Момент внешних сил равен нулю.
  2. Случай Лагранжа — ТТ является динамически симметричным . Центр масс ТТ находится на оси симметрии.
  3. Случай Ковалевской — тело является динамически симметричным, моменты инерции связаны соотношением . Центр масс ТТ находится в экваториальной плоскости.

Далее будем говорить о движение тяжелого симметричного волчка в случае Лагранжа.

Уравнения движения в случае Лагранжа


Построим рисунок тяжелого симметричного волчка в поле сил тяжести. Роль волчка отведём конусу.
Рисунок

Уравнения движения получим из теоремы о кинетическом моменте, предварительно записав его в общей форме в подвижной СК.

Теперь воспользуемся построенным нами рисунком и записанной теоремой: опуская нудные формулы, учтём моменты инерции симметричного волчка и приводя подобные получаем систему уравнений движения ТТ в поле сил тяжести.

Данная система не решается строго аналитически, а решение представляется только в квадратурах. Мы же решим эту систему численно и проанализируем полученные результаты.

Моделирование случая Лагранжа в системе Wolfram Mathematica


Для начала нам необходимо задать начальные условия нашей системе ДУ:
Далее, с помощью возможностей системы компьютерной алгебры, зададим параметры волчка, нарисуем примитивы и решим численно систему ДУ.
Отрывки кода

Затем получим матрицу поворота, о которой мы говорили ранее, встроенными средствами языка, подставим туда численное решение и применим к этому «торту» оператор геометрической трансформации:

Вот в принципе и все сложности решения в пару строк. Осталось только определить графическую область, построить траекторию движения и сделать анимацию, но это уже, как говорится на любителя (можно ограничится и численным выводом матриц преобразования). Оставшаяся часть кода:
Оставшаяся часть


Вывод и анализ результатов в системе Wolfram Mathematica


Вывод результатов программы осуществляется в виде окна с динамическими параметрами начальных условий движения, времени анимации и прозрачностью волчка.

Проанализируем поведение волчка в случае регулярной (вынужденной) прецессии в поле сил тяжести:
Согласно теореме о кинетическом моменте (мы говорили о ней выше), за каждый малый промежуток времени dt вектор момента импульса получает под действием силы тяжести приращение, направленное вдоль, т.е. лежащее в горизонтальной плоскости перпендикулярно оси волчка. Отсюда следует, что вектор момента импульса и вместе с ним ось волчка равномерно поворачиваются (совершают прецессию) вокруг вертикали, проходящей через точку опоры. Наклоненный к вертикали волчок прецессирует, т.е. помимо вращения вокруг собственной оси поворачивается еще и вокруг вертикальной оси. При быстром собственном вращении эта прецессия (поворот вокруг вертикальной оси) происходит настолько медленно, что с хорошей точностью можно пренебречь той составляющей момента импульса, которая обусловлена прецессией вокруг вертикали. Такое поведение оси волчка называют регулярной прецессией. Это вынужденная прецессия, так как она происходит под действием момента силы тяжести. Все точки волчка, лежащие на его оси, равномерно движутся по круговым траекториям, центры которых лежат на вертикали, проходящей через точку опоры волчка. На рисунке приведена иллюстрация регулярной прецессии волчка.
Регулярная прецессия

Данное событие происходит только при строго определенных начальных условиях.

Теперь можно перейти к исследованию вопроса о том, как будет вести себя вращающийся волчок под действием силы тяжести при начальных условиях, не обеспечивающих немедленного возникновения регулярной прецессии. В общем случае движение волчка должно представлять собой суперпозицию вынужденной регулярной прецессии и нутации, что отображено на рисунке.
Общий случай движения

В первый момент, как только мы отпускаем ось волчка, под действием силы тяжести она действительно начинает падать вниз, что вполне согласуется с нашими интуитивными представлениями. Но по мере того, как ось набирает скорость, траектория ее верхнего конца все сильнее отклоняется от вертикали. Вскоре движение оси становится горизонтальным, как и при регулярной прецессии, но скорость этого движения больше той, что нужна для регулярной прецессии. Траектория конца оси начинает отклоняться вверх. Поднявшись до исходной высоты, ось «замирает» – ее скорость обращается в нуль. Затем все повторяется сначала. Но теперь мы понимаем, что такое своеобразное поведение, когда конец оси движется по циклоидальной траектории, объясняется сложением двух движений – нутации волчка вокруг вектора момента импульса с одновременной вынужденной прецессией этого вектора вокруг вертикали.

Когда нутации малы, вынужденную прецессию называют псевдорегулярной, на рисунке можем наблюдать данное явление. Для быстро вращающихся гироскопов(т.е. очень быстро вращающихся волчков), применяемых в технике, псевдорегулярная прецессия практически не отличается от регулярной. В таких случаях нутация проявляет себя как едва заметное мелкое и частое дрожание оси гироскопа. Кроме того, мелкомасштабные нутации быстро затухают под действием сил трения, и псевдорегулярная прецессия переходит в регулярную.
Псевдорегулярная прецессия


Заключение


Таким образом, используя такой мощный инструмент, как Wolfram Mathematica, мы можем без особых усилий и знаний о программирование, а главное интуитивно так, как это предлагают классические учебники, наблюдать интересные и загадочные процессы и явления. Главное, что мы можем самостоятельно крутить и вертеть любые параметры системы, что очень важно для понимания. Данный проект являлся моей курсовой работой, я над ним неплохо посидел пару месяцев, но результатом остался доволен. Долгое время крутил анимацию движения своего волчка и игрался с параметрами наблюдая различные траектории движения, чего не было у Лагранжа или Ковалевской.

Литература


  1. Виттенбург, Й. Динамика систем твёрдых тел/ Й. Виттенбург.- Москва: МИР, 1980.-294 с.:
  2. Вращательное движение.
  3. Углы Эйлера.
  4. Вынужденная прецессия гироскопа.


upd. По просьбам трудящихся залил проект на DropBox

Использовалась Wolfram Mathematica 9.0
  1. CDF проекта.
  2. nb проекта.

Similar posts

AdBlock has stolen the banner, but banners are not teeth — they will be back

More
Ads

Comments 29

    0
    Эхм, вспоминаю, как нам на 1 курсе показывали прецессию на практике. Техника шагнула вперёд)

    Upd. Где учился работать с математикой?
      0
      ГГУ. Беларусь. Кафедра теор. физики ^_^
        0
        В БГУ на этой же кафедре учат расчёты для нелинейной оптики делать, немного гравитации, а так вроде всё. А у вас для чего применяется?
          +1
          чего мы там только не считаем ;D Физику высоких энергий (метод монте-карло — могу написать статью, если есть читатели), термодинамика, стат. обработка, многие пишут курсовые (решают физ. задачи, как я в прошлом семестре), теор. мех — вроде с большего все.
            +1
            Ндеее, пиши, я уж точно всё это буду читать ;)
              +1
              хорошо! выделится время для написания, обязательно сделаю ^_^
      0
      Можно ли где-нибудь потыкать демо?
        0
        можно, берёте 9.0 математику и пишите весь этот текст, что приведён в статье последовательно в модуле, если надо бомбану на гит хаб дропбокс — юзайте ячеечку и вуаля!
          0
          1. Raspberry Pi
          2. apt-get wolfram-engine
          3.…
          4. PROFIT
          0
          Mathematica становится популярной на Хабрахабре. Поро поддержку синтаксиса в теге source добалять!
            0
            перепутал )) ннда, я там искал, но не нашёл, потому — картинки…

              0
              У математики тяжелый font-end, лучше сразу пользовать CDF, но он не работает на всех осях.
                0
                Синтаксис не очень сложный.
            • UFO just landed and posted this here
              • UFO just landed and posted this here
                  0
                  Это был не вопрос, а утверждение. Никто не спорит, что проводить выкладки на бумаге и представлять процесс в голове — очень важно для понимания, но ещё более важно то, когда процесс не может быть описан аналитически, а его представляют «на веру» в «скоростном режиме», ведь с 19 века количество информации возросло многократно. Увы, но мозг остался прежним.

                  Жаль, что этого не понимают у нас в министерстве образования…
                  • UFO just landed and posted this here
                      0
                      Не смею спорить, но что бы составить этот «численный алгоритм» надо непременно понимать суть происходящего, иначе можно насчитать чего угодно…
                      А та же нельзя отнекиваться от современных методов расчёта ибо любой прогресс, пусть и регресс, это однозначно шаг в будущее.

                      upd. а если вас так задело слово «поиграться», то увы это сленг физиков-экспериментаторов…
                      • UFO just landed and posted this here
                          0
                          когда я напишу, про моделирование методом монте-карло в wolf. math. можете смело проверять результаты ^_^ и с нормировкой у вас явно возникнут вопросы, так, готовьтесь ^_^
                  0
                  Весь код предлагается вручную перенабирать или воспользоваться разпознаванием текста? Удобнее было бы скопировать…
                    0
                    т.к. скопировать их Wolf. Math. без квадратов не получится никуда, а на хабре нет source-поддержки языка Wolf. Math., на гит хабе тоже в ручнуую пришлось бы набирать, то как альтернатива — могу залить исходники на дроп бокс, или шуршите вручную…
                      0
                      О каких квадратах вы говорите? У меня обычно из Математики нормально копируется.
                        0
                        там где греческие буквы например, где операторы сложные или параметры — всё путается… ужас :D
                        сделал update — вуаля, граждане, всё для вас CDF и nb проекта сразу после литературы!
                        0
                        получится без проблем, просто смотреться будет страшно. выложи код на fpaste или nb на дропбокс
                      0
                      Озвучте на всякий случай ценник на лицензию для простых смертных, у которых нет RPi.
                      И лично для меня, если не затруднит, какие именно численные методы применяет ваш «волшебный» NDSolve?
                        0
                        ценник на студенческую 50 убитых енотов. есть подозрение, что кряки делались специально для жителей постсоветского пространства, преподы рассказывали истории.

                        вот все методы
                          0
                          ценник ценником, никто не запрещает «в тихую» использовать нелецензию (естественно в некомерческих и любых других целей) :D А для студентов дороговато выходит однако, но если есть проект, который требует вложений, то www.wolfram.com/mathematica/how-to-buy/education/students.html 139 у.е это не дорого (особенно на 2-х, 3-х).

                          Да и в любой науч. организации есть сервер с общей лицензий(как правило под линуксом) имеено вольф. математики (из личного опыта)
                            0
                            50$ за студенческую, места знать надо)

                            сервер есть, но у нас до сих пор пятая стоит на лабах

                      Only users with full accounts can post comments. Log in, please.