О решении неполного кубического уравнения

  • Tutorial
image

Intro


Я публикую этот топик как обучающий. Собственно говоря, существенной новизны в материале нет, тема заезжена. Думаю, что интересным будет подход к решению задачи.

Помню, на первом курсе на занятиях по математическому анализу пришел в голову один интеграл. Преподаватель вызвал к доске, но прозвенел звонок. По дороге домой в автобусе сложился «скелет» решения кубического уравнения. Общая схема, конечно, не самая рациональная. Есть более эффективная — тригонометрическая формула Виета. Там сразу выписывается корень по виду уравнения, а, вообще, по объему вычислений все-таки лучше использовать численный метод Ньютона, поскольку степенные ряды для обратных тригонометрических функций сходятся медленно (по ним строятся вычисления таких функций в некоторых библиотеках). Вот что получилось.

1. Исходный интеграл и кубическое уравнение


Нужно найти неопределенный интеграл

image

Применяя метод неопределенных коэффициентов, представим знаменатель подынтегральной функции как

image

откуда получаем нелинейную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов, для решения которой требуется найти положительный корень неполного кубического уравнения

image

Исследуя функцию image в левой части уравнения на монотонность, можно выяснить, что она имеет максимум

image

и минимум

image

При этом

image

Тогда из непрерывности функции image следует, что исходное уравнение имеет три действительных корня, причем два отрицательных и один положительный, принадлежащий отрезку image, image.
Найдем его.

2. Поиск положительного решения


Заметим, что наше уравнение не имеет рациональных корней.
Начнем со следующего тождества, справедливость которого, наверное, многие доказывали в школе:

image

Преобразуем его к виду

image

Тогда решение кубического уравнения сводится к решению системы

image

причем image (по условию положительности корня).
От данной системы перейдем к системе

image

По сути в (1) записана теорема Виета для квадратного уравнения

image

или

image

Дискриминант здесь отрицательный, казалось бы, можно закончить решение, но нам требуется не действительность image и image, а действительность их суммы. В этом помогут комплексные числа.

Тригонометрическая форма записи корней квадратного уравнения имеет вид

image,
где image — мнимая единица.

Тогда

image

Может возникнуть вопрос: в системе (1) первое уравнение было получено возведением обеих частей в куб, не вызовет ли это появление дополнительных комплексных корней? Нет, поскольку если выразить image через image в исходной системе, то получится уже рассмотренное квадратное уравнение. При выражении image через image имеем тоже самое. Это и доказывает справедливость последней совокупности.
Извлечем кубический корень из image и image по правилу извлечения корней из комплексных чисел. Получим

image

где
image

Выберем такую пару image и image, чтобы их сумма в мнимой части комплексного числа давала 0, а действительная часть была бы отрицательной. При этом будем использовать формулы приведения (если требуется найти остальные корни уравнения, то лучше использовать формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение), а также учтем, что угол image принадлежит первой четверти. Тогда

image

Откуда искомый корень
image

Если использовать тригонометрическую формулу Виета, то полученный корень запишется в более простой форме
image

Возникает вопрос: почему я не использовал формулу Кардано? Ведь в школах нам говорили, что для решения кубических уравнений используют ее. По своей форме она похожа на то, что сейчас проделал — в итоге придется извлекать кубический корень из комплексного числа. Кстати, именно при решении уравнений третьей степени комплексные числа впервые получили свое применение.

Замечу, что для выяснения состава корней кубического уравнения используют понятие дискриминанта (как и в случае квадратного уравнения). Вообще, понятие дискриминанта в алгебре введено для многочленов произвольной степени.

2. Пример физической задачи с кубическим уравнением


В журнале «Квант» мне как-то раз попалась интересная задачка по физике с выходом на решение кубического уравнения. Суть в следующем. Нужно определить, какую максимальную скорость image может развить автомобиль массой image (вместе с человеком) при известной наибольшей мощности image двигателя?
При наибольшей скорости автомобиля его ускорение равно нулю, поскольку производная функции обращается в ноль в точке экстремума. Хотя оно равно нулю и при движении с постоянной скоростью. Тогда можно сказать так: какую максимальную постоянную скорость автомобиль может развить?
На больших скоростях пренебрегать сопротивлением воздуха уже нельзя, при этом сила лобового сопротивления выражается не по закону Стокса, а по квадратичному закону, поскольку скорость движения достаточно велика. Тогда сила тяги двигателя уравновешивается силой сопротивления воздуха и силами трения качения и скольжения, возникающими между шиной колеса автомобиля и дорожным полотном:

image

где image — суммарный коэффициент трения, image — ускорение свободного падения, imageкоэффициент аэродинамического сопротивления, image — площадь лобового сечения автомобиля, откуда и получаем неполное кубическое уравнение.

3. Вопросы и ответы


При прочтении топика у читателя могли возникнуть вопросы. Например, такие:

1. Почему автор не рассматривал полного кубического уравнения? Ответ: полное кубическое уравнение сводится к неполному заменой

image

где image — новая переменная, image — коэффициент при image, image — коэффициент при image.

2. В начале топика был рассмотрен многочлен четвертой степени. Есть ли методы, позволяющие аналитически разрешать такие уравнения? Ответ: да, существует метод Феррари.

3. По теореме Абеля-Руффини уравнение, выше четвертой степени, не разрешимо в радикалах. А тут получается корень кубического уравнения, содержащий тригонометрические функции, который, скорее всего, нельзя выразить через радикалы, как так? Ответ: в формулировке теоремы имеется в виду общая запись корня, т.е. корни могут извлекаться и из комплексных чисел при подстановке в формулы коэффициентов уравнения.

4. После Эвариста Галуа были ли попытки получения формул корней уравнения произвольной степени? Ответ: не так давно мне попался на глаза русский перевод книги американского математика Дэвида Мамфорда «Лекции о тэта-функциях» (Мир, 1988). Там в качестве добавления приведена работа Хироси Умемура «Решение алгебраических уравнений с помощью тэта-констант», где заменяется функция извлечения корня другой функцией — модулярной функцией Зигеля, выражаемой через тэта-константы. В этой работе также освещена история исследования данного вопроса после Галуа.

5. Как я понимаю, такие формулы не применимы для использования в практических задачах решения уравнений произвольной степени. Есть ли какие-нибудь современные работы с описанием алгоритмов получения приближенных корней? Ответ: советую книгу Г.П. Кутищева «Решение алгебраических уравнений произвольной степени: Теория, методы, алгоритмы» (URSS, 2010).

6. Существуют ли современные модификации численного метода Ньютона, являющегося на сегодняшний день основным для получения приближенных решений уравнений и систем уравнений? Ответ: можно посмотреть статью Janak Raj Sharma, Rangan Kumar Guha и Rajni Sharma «An efficient fourth order weighted-Newton method for systems of nonlinear equations».

7. Имеются ли какие-нибудь частные случаи уравнений высокой степени, для которых удалось получить аналитические формулы корней? Ответ: корень Бринга для поиска действительного решения уравнения пятой степени и формула Лоуренса Глассера для неполных уравнений произвольной степени.

В заключении для начинающих рекомендую книгу С.Л. Табачникова и Д.Б. Фукса «Математический дивертисмент» (МЦНМО, 2010).
  • +25
  • 31.1k
  • 4
Share post

Similar posts

Comments 4

    0
    А разве тригонометрические функции калькуляторы считают не помощью CORDIC? Тейлор ведь медленный.
      –1
      Согласен, но где-то читал, что некоторые модели калькуляторов производят вычисления обратных тригонометрических функций через ряды.
        0
        Спасибо за замечание, поправил топик. Сейчас поискал в сети — да, часто упоминается CORDIC, но я тут подумал — могут ли быть патентные претензии к производителю при использовании этого метода? «Тейлор» в этом плане чист. А книгу, где пишут о рядах, я посмотрю. Кстати, это не Вы меня заминусовали? :)
          +1
          Не, я не минусовал. Комментарий по теме, вполне может быть, что где-то кто-то считает тригонометрические функции разложением в ряд. Просто я не встречал.

          Патентные претензии всегда могут быть, но скорее не к самому алгоритму CORDIC (ему уже много лет), а к особенностям имплементации.

      Only users with full accounts can post comments. Log in, please.