Pull to refresh

Ёжик во фрактальном тумане

Programming *Mathematics *
Эта статья — последняя из серии моих хабрастатей о фракталах. В хабрастатье «Рисуем картинки с помощью кривой Гильберта» рассказывалось о котёнке по имени Гав, в хабрастатье «Кош на комплексной плоскости» — о перетекании фракталами в горизонт, в хабрастатье «Ночь фракталов» — об алгоритме времени убегания. В этой статье пойдёт речь о ёжике в тумане и, конечно же, о коте.





Каждый, кто хоть чуток сталкивался с фракталами, видел красивые картинки множеств Жюлиа, которые определяются квадратным многочленом; но интересно решать обратную задачу: пусть есть некоторая картинка, а мы ходим по ней придумать такой многочлен, который даст некоторое приближение исходной картинки. Картинка с ёжиком выше демонстрирует эту идею.

Итак, рассмотрим кота K.



Нам нужно придумать такой многочлен f, чтобы внутри кота последовательность f(z), f(f(z)), f(f(f(z))),… была ограниченной, а вне кота — стремилась к бесконечности. Долго над этим вопросом я не думал, а сразу же поискал в интернете и нашёл замечательную статью Kathryn A. Lindsey, «Shapes of polynomial Julia sets», 2013, arXiv:1209.0143. В этой статье доказывается что для «хорошего» кота и для заданной точности δ такой многочлен придумать можно, причём доказательство конструктивно.

Рассмотрим эту конструкцию. Пусть φ' — конформное отображение, которое внешность единичной окружности переводит во внешность кота. Пусть φ(z) = φ'((1 + ε)z) — подправленное на некоторое малое ε исходное отображение.



Далее, пусть ω(z) = cn(zr0)(zr1) ⋅… ⋅ (zrn−1), где c — коэффициент при z в разложении отображения φ в ряд Лорана, а rk = φ(eik/n) — образы корней из единицы n-ой степени. Доказывается, что многочлен f(z) = z(ω(z) + 1) будет искомым при достаточно большом n.

Следовательно, для решения нашей задачи необходимо научиться генерировать соответствующее конформное отображение. В результате небольшого поиска в интернете, был найден пакет zipper. Этот пакет позволяет находить конформное отображение внутренности единичного круга на область, ограниченную ломаной. Хотя этот пакет написал лет двадцать назад на древнем наречии, собрать его и воспользоваться им не составило труда.

Кусочек на древнем наречии
      call invers
      write(4,*)z1,z2,z3,zrot1,zto0,zto1,angler,zrot2
      do 981 j=4,n-2,2
  981 write(4,999)a(j),b(j),c(j)
      zm=dcmplx(0.d0,0.d0)
      ierr=0
      do 982 j=1,n
      if(cdabs(zm-z(j)).lt.1.d-16)then
         ierr=1
         jm=j-1
         write(*,*)' WARNING: prevertices',j,' and',jm,' are equal'
      endif
      zm=z(j)
      x=dreal(z(j))
      y=dimag(z(j))
  982 write(3,999)x,y
      if(ierr.eq.1)then

Обмазываем zipper клеем на питоне
def calc_phi(points):
    with open("init.dat", "w") as output_file:
        for point in points:
            output_file.write(str(point.real) + " " + str(point.imag) + "\n")
        output_file.write("\n0.0 0.0\n")
    os.system("echo \"init.dat\n200\npoly.dat\" | ./polygon")
    os.system("./zipper")
    os.system("rm init.dat")

def transform_points(points):
    with open("fftpts.dat", "w") as output_file:
        for point in points:
            output_file.write(str(point.real) + " " + str(point.imag) + "\n")
    os.system("echo \"0\nfftpts.dat\nfftpts.img\n0\" | ./forward")
    transformed_points = []
    with open("fftpts.img", "r") as input_file:
        for line in input_file.readlines():
            x, y = float(line[0:25]), float(line[25:])
            transformed_points.append(complex(x, y))
    os.system("rm fftpts.dat")
    os.system("rm fftpts.img")
    return transformed_points

Чтобы использовать этот пакет, нужно по изображению построить ломаную. Я не стал делать какого-то автоматического решения, а загрузил изображение в редактор Inkscape и обвёл его, а распарсить SVG-формат проще простого. Это удобно тем, что позволяет экспериментировать с ломаной.

Парсим пути в SVG-файле
def read_points_from_svg(file_name, path_n):
    with open(file_name, "r") as input_file:
        content = input_file.read()
    soup = BeautifulSoup.BeautifulSoup(content)
    path = soup.findAll("path")[path_n]
    data = path.get("d").split(" ")
    x, y = 0, 0
    is_move_to = False
    is_relative = False
    points = []
    for d in data:
        if d == "m":
            is_move_to = True
            is_relative = True
        elif d == "M":
            is_move_to = True
            is_relative = False
        elif d == "z":
            pass
        elif d == "Z":
            pass
        elif d == "l":
            is_move_to = False
            is_relative = True
        elif d == "L":
            is_move_to = False
            is_relative = False
        else:
            dx, dy = d.split(",")
            dx = float(dx)
            dy = float(dy)
            if is_move_to:
                x = dx
                y = dy
                is_move_to = False
            else:
                if is_relative:
                    x += dx
                    y += dy
                else:
                    x = dx
                    y = dy
            points.append(complex(x, y))
    return points



Далее, нам нужно отображение из внешности во внешность, а пакет находит отображение из внутренности во внутренность. Здесь нужно просто сопрячь генерируемое отображение инверсией. То есть φ'(z) = 1 / ψ(1/z), где ψ — отображение, которое генерирует пакет. А на вход пакета надо подавать уже инвертированную ломанную.

Сопрягаем
def invert_points_1(points, epsilon):
    inverted_points = []
    for point in points:
        inverted_points.append(1 / ((1 + epsilon)*point))
    return inverted_points

def invert_points_2(points, shift):
    inverted_points = []
    for point in points:
        inverted_points.append(1 / point + shift)
    return inverted_points


if __name__ == "__main__":
    ...
    inverted_points = invert_points_1(points, epsilon)
    transformed_points = transform_points(inverted_points)
    inverted_transformed_points = invert_points_2(transformed_points, shift)



В определении многочлена f ещё участвует коэффициент c. Для приближённого вычисления его значения воспользуемся следующим приёмом. Пусть

f(z) = cz + a + a1/z + a2/z2 + a3/z3 +…

Рассмотрим некоторую конечную, но достаточно большую, часть этого ряда. Подставим в ряд значения корней из единицы n-ой степени, где n больше числа членов этого куска.

f(eik/n) = ceik/n + a + a1e−2πik/n + a2e−4πik/n + a3e−6πik/n + ..., k = 0, ..., n − 1.

Теперь умножим каждую строку на e−2πik/n и сложим все строки. Так как сумма всех корней из единицы равна 0, то справа останется только nc. Поэтому можно положить

c = (f(1) ⋅ 1 + f(ei/n)e−2πi/n +… + f(ei(n − 1)/n)e−2πi(n − 1)/n)) / n.

Соберём всё вместе и проверим, что получилось. На рисунке ниже приведён «тепловой» график логарифма модуля f(z) (чем краснее, тем больше значение). Как видно, внутри кота значения многочлена маленькие, а вне кота многочлен возрастает, так и должно быть. Заметьте также, как распределяются значения f(eik/n) (зелёные точки), из-за этого эффекта пришлось рисовать кота, у которого ноги достаточно далеко находятся друг от друга.



Теперь просто-напросто применяем какой-нибудь алгоритм для рисования множества Жюлиа и получаем кота, граница которого фрактальна.

Например, алгоритм времени убегания
def get_value(points, z, radius):
    result = 1
    for point in points:
        result *= (z - point) / radius
    return z * (1 + result)


def get_radius(points):
    n = len(points)
    result = 0
    for k in range(n):
        result += points[k] * cmath.exp(-2j*math.pi*k/n)
    return result / n


def draw_fractal(image, points, scale, shift, bound, max_num_iter, radius):
    width, height = image.size 
    draw = ImageDraw.Draw(image)
    for y in range(0, height):
        for x in range(0, width):
            z = (complex(x, y) - shift) * scale
            n = 0
            while abs(z) < bound and n < max_num_iter:
                z = get_value(points, z, radius)
                n += 1
            if n < max_num_iter:
                color = ((100 * n) % 255, 128 + (50 * n) % 255, 128 + (75 * n) % 255)
                draw.point((x, y), color)



Если же у нас изображение состоит из нескольких областей A1, A2, ..., Aq, то в вышеупомянутой статье предлагается использовать вместо многочлена рациональное отображение f(z), определённое следующим образом. Для каждой области Ar, запишем произведение ωr(z) как сделано выше. Тогда искомая рациональная функция f(z) определяется формулой f(z) = z / (1/ ω1(z) +… + 1 / ωq(z)).

Например, пусть у нас есть ёжик в тумане Ё.



Обведём ёжика и холм (нижняя граница холма находится за пределами картинки).



Ёжик в вакууме.



Холм без ёжика.



Всё вместе.



Увеличенное брюхо ёжика с блохами-ежами.



Как всегда, исходный код можно найти на гитхабе.

Ещё раз повторю ссылку на статью, с помощью которой всё получилось: Kathryn A. Lindsey, «Shapes of polynomial Julia sets», 2013, arXiv:1209.0143. Отмечу, статья легко читается, так что можете поразбирать доказательства за чашкой чая.

Надеюсь было весело.

Неудавшиеся дубли





Tags: фракталыкотёжик в туманемножество Жюлиа
Hubs: Programming Mathematics
Total votes 115: ↑112 and ↓3 +109
Comments 17
Comments Comments 17

Top of the last 24 hours