Pull to refresh

Comments 46

Дурацкий вопрос дилетанта: А нельзя, просто сложить все углы при вершине? Если меньше 360 градусов то многогранник физически возможен, если нет, то невозможен?
Я прокрутил ваш расчёт и, как ни странно, получилось то же самое.

2/p1 + 2/p2 >< 1

>< — это знак «больше-меньше»
Точнее, прокрутил ваш исправленный расчёт. Сумма углов при вершине всегда равна 360°, значит угол — это 360°/p2. Сумма углов — это p1·360°/p2, и т. д.
Я имел в виду, что определить количество правильных многогранников можно следующим образом:
для наглядности считаю в градусах, а не в радианах:
Начнем с треугольных граней (угол между ребрами 60 градусов):
В вершине сходятся три равносторонних треугольника (3*60=180 < 360) — многогранник возможен (тетраэдр)
Возьмем 4 треугольника (4*60=240 < 360) — многогранник возможен (это октаэдр).
Возьмем 5 треугольников (5*60=300 <360) — многогранник возможен (это икосаэдр).
Возьмем 6 треугольников (5*60=300 = 360) — многогранник выраждается в плоскость (не возможен).
Квадратные грани (угол между ребрами 90 градусов)
Возьмем 3 квадрата — это куб (3*90 = 270 < 360).
4 квадрата (4*90 = 360) — многогранник вырождается в плоскость.
Пятиугольник — угол между ребрами 108 градусов
Возможен также только один случай (108 * 3 = 324 < 360) (додекаэдр).
Нетрудно видеть (как любят говорить математики в особо трудных местах доказательств:), что других вариантов нет.
Конечно, данные выкладки математически экивалентны приведенным в статье.
За статью спасибо — она предлагает более общий взгляд на вроде бы простые вещи.

Да, приблизительно это и делается, только в общем виде. Вы берёте треугольники и уже знаете, какой у него угол при вершине «угол между рёбрами 60 градусов». В статье берётся p1 угольник, угол при вершине у него = Пи — 2*Пи/p1 и дальше делаются выкладки. Я рад, что эта идея понятна хабраюзерам, а она вам понятна (или была известна), судя по правильным выкладкам.
Кроме того, в статье можно увидеть, что правильные многогранники, разбиения плоскости Евклида и разбиения плоскости Лобачевского — нечто родственное, что между ними много общего. А это очень важно, это помогает, как мне кажется, почувствовать смысл пространств постоянной кривизны и вообще понять, что же это за кривизна такая.
В-третьих, указанный подход можно ещё немного упростить, чтобы не использовать всякие там лямда и сумму углов треугольников и в этом упрощённом виде окажется возможным применить такой же подход в 4-хмерном пространстве и вывести все 6-ть правильных многогранников. В статье используются лямда и сумма углов треугольника из расчёта на читателей не знакомых со сферической геометрией и геометрией Лобачевского, чтобы и им было всё понятно. Но в следующей статье уже придётся работать без лямд. :)
Переход от «многогранник возможен» к «это тетраэдр/октаэдр/куб» некорректен. Из умозрительных соображений никак не следует, что такой многогранник единственный (и выпуклый).
Когда в статье делается вывод, что «многогранник возможен», то он делается для конкретного символа Шлефли {p1, p2}, а этот символ однозначно определяет строение многогранника и разбиения двумерной сферы. Если возможен {3, 3}, то как его не назови, он возможен. Просто можно брать по определению, что {3, 3} — будем называть тетраэдром и т.д.
Если взять разбиение сферы {3, 3}, то у этих сферических треугольников, сошедшихся по 3 в вершине, все три угла равны по 2*Пи/3, т.е. по 120 градусов. Как уже говорилось, углы многоугольника на сфере однозначно определяют его размер (длинны сторон), значит правильный треугольник такого размера единственный, а значит и разбиение единственное, а значит и многогранник, порождаемый этим разбиением сферы единственный.
Всё равно неочевидно. Ведь многогранника, например, {5/2, 4} не существует — при попытке его построить получается бесконечное число граней. Многие развёртки из правильных многоугольников не склеиваются без изгибания граней, несмотря на то, что все углы хорошие. В четырёхмерном пространстве склеиваются далеко не все развёртки из правильных тетраэдров. Почему же именно для для выпуклых правильных многогранников в 3D всё замкнётся?
Да, {5/2, 4} не существует, честно говоря даже не понимаю, что вы под этим понимаете, т.е. это многоугольники с 2.5 вершинами и 2.5 рёбрами, сходящиеся по 4? Как его построить? Вероятно вы в символ Шлефли вкладываете какой-то дополнительный, неизвестный мне, смысл.
Про склеивание развёрток тоже пока не готов ответить. Про разбиение трёхмерной сферы на правильные тетраэдры (и другие многогранники) планирую рассказать в следующей публикации.
Кажется понял вопрос по поводу замыкания. Положим мы получили сферический треугольник с углами по 120 градусов, и начнём прикладывать к нему по рёбрам такие же треугольники, получим четыре треугольника. По свободным рёбрам этих треугольников приложим ещё такие же треугольники, потом ещё раз, потом ещё раз и т.д. Вас интересует, почему при таком алгоритме построения разбиения сферы, уже пятый треугольник наложится, один в один, на уже нарисованный ранее треугольник?
На этот вопрос, можно было бы в первом приближении ответить, что площадь этого треугольника ровно в 4 раза меньше площади всей сферы, а значит на сфере ложится ровно 4 таких треугольника.
Но тут надо подумать. Не в качестве ответа, а в качестве мыслей вслух: в 3D всё замкнётся, потому, что формула Эйлера В-Р+Г = 2, а в 4-х мерии формула Эйлера (точнее её обобщение данное Пуанкаре) даёт В-Р+Г-ГГ=0 и этот ноль порождаёт серьёзные проблемы при подсчёте числа вершин, рёбер, граней и гиперграней у многогранников 4D. Может быть если найти ответ на ваш вопрос: почему в 3D всё сходится, то можно будет понять трудности возникающие в 4D? По меньшей мере ответив на него, можно сделать шаг в этом направлении.
5/2 — это пятиконечная звезда. Многогранники {5/2, 5}, {5, 5/2} и {5/2, 3} — это звёзчатые додекаэдры, а {3, 5/2} — одна из форм звёзчатого икосаэдра.

Вот они вместе с символами Шлефли: en.wikipedia.org/wiki/Kepler%E2%80%93Poinsot_polyhedron
Но эти фигуры уже невыпуклые, тогда как в статье шла речь о выпуклых фигурах.
Да, я уже определения поправил, добавил выпуклость, чтобы уж совсем не было нареканий. Изначально определение правильного многогранника было дано не правильно :), смотрите комментарии ниже.
У Александрова А.Д. есть работа «О заполнении пространства многогранниками», там есть Теорема 1 и Теорема 2, которые обосновывают используемый в моей публикации подход и доказывают, что всё сходится. Кому интересно можно скачать избранные труды Александрова А.Д. тут, на странице 309 сформулированы эти две теоремы.
Сам я, признаться, доказывать эти теоремы не умею, а только пользуюсь ими. :)
Красивые разбиения! Особенно «пропёрло» меня 5-4: похоже на обычную шахматную доску, но… она пятиугольная! (Понимаю, что тут у нас поверхность отрицательной кривизны и так оно и есть.)
Ой, мне тоже больше всего нравятся разбиения {5, 4} и {4, 5}. Между прочим, из разбиений плоскости Лобачевского, именно эти два разбиения меньше всего искривлены, т.е. почти Евклидовы, поэтому мозг их воспринимает легче всего.
Кстати, раз уж вам понравились именно разбиения плоскости Лобачевского, то должен отметить особенность интерпретации Пуанкаре II, которая заключается в том, что углы в этой интерпретации не искажаются. Т.е. если 5-тиугольники сходятся по 4-ре штуки в вершине, то это значит, что все углы при этой вершине = 2*Пи/4 = Пи/2 т.е. 90 градусов, прямые (полный круг 2*Пи разделить на число многоугольников, p2= 4 в данном случае). Естественно углы нужно измерять между касательными к «дугам» в этих вершинах. Посмотрите на {5, 4} — там действительно прямые углы в вершинах.
Прошу прощения, должен поправиться, посмотрел на таблицу и увидел, что {3, 7} и {7, 3} меньше искривлены, чем {5, 4} и {4, 5}, так как в {3, 7} лямда равно 20/21, что ближе к единице (Евклиду), чем 9/10, как в {5, 4}
Но {5, 4} действительно чем-то «завораживает» :) не знаю чем.
{5,4} привлекает несоответствием между прямыми линиями раздела и пятиугольниками, на которые делится плоскость.
Мне ещё нравятся {4,6}, {6,4} и {3,8}: их проще рассчитывать, чем {5,4} и {3,7}, а в первых двух есть и прямые, которые проходят через центры, (а значит, можно идти в лабиринте по прямой, да ещё и толкать кубики), и прямые, проходящие через вершины (возможны фигуры с прямыми границами — не знаю, зачем это нужно, но может пригодиться).
> В школьной программе вопросы правильных многогранников не рассматриваются… что правильных многогранников в трёхмерном Евклидовом пространстве всего пять:

В современной программе действительно не рассматриваются??? Лично я их еще лет в 12 из картона клеил. И звездчатые в том числе.
Еще теорема Эйлера мне тогда уж очень понравилась: В+Г-Р=2. Но она для всех многогранников, топологически эквивалентных сфере.

Глянул пару учебников:
Л.С. Атанасян и др., Геометрия 10-11 кл, 1992, стр.71, $3 — Правильные многогранники. Само доказательство на стр.73 (другое).
А.В. Погорелов, Геометрия 10-11кл, 2009, стр.80, $51 — Правильные многогранники. (без доказательства)
:) Ну возможно. Может быть я ушами прохлопал на том уроке, где многогранники изучали. :) Во всяком случае я их только недавно начал клеить из бумаги :) Может быть в спец. школах их изучают внимательнее.

Геометрию Лобачевского и сферическую геометрию тоже уже в школе проходят? Многогранники в статье — одна из целей статьи, на их примере, как мне кажется, лучше начинаешь понимать структуру и смысл искривлённых пространств. К тому же, я говорил, хочется показать аналогичный подход на пространствах высших размерностей и не просто показать, а так, чтобы все поняли. Поэтому данная статья подготовительная. :)

Если даже в статье дано другое доказательство, не как в учебнике, то это уже тоже полезно, так как позволяет взглянуть на предмет с другой стороны.
Учёл популярность вашего замечания и подредактировал вступление статьи, правда, к сожалению, путём усложнения формулировок.
Конечно школьных учителей нужно уважать и ценить их труд, возможно исходное вступление было в этом отношении не совсем корректно.
Зачем эта статья программистам? Искать учебники мы умеем.

Напишите в самом начале, до кнопки.
У программистов возникают порою вопросы по разбиению сферы, в подразделе «Итоги» публикации дана ссылка на такой вопрос на одном из форумов.
Во-вторых, хочется помочь желающим пощупать геометрию Лобачевского, которая, как ни странно, используется в некоторых статьях на хабре, ссылка дана тоже в итогах.
В-третьих, на хабре есть хаб: математика и тут, я посмотрел, довольно серьёзные математические вопросы рассматриваются, которые, как ни странно, действительно на первый взгляд не имеют отношения к программированию. Ну например про фракталы. Какое они имеют отношение к программированию?
В-четвёртых, ЭВМ (электронные вычислительные машины), языки программирования и пр. — придумали математики (Лейбниц придумал двоичную систему счисления, и сделал вычислитель) и поэтому в основе программирования (и не только) лежит математика.
Можно продолжить, но не буду, и так многословен.
Ой, ссылку на статью на хабре забыл дать в итогах, а только словами упомянул. Поправляюсь: habrahabr.ru/post/168421/
Думаю, что найти учебник на русском языке с похожим материалом будет проблематично, а публикация на русском. Если найдёте, то дайте мне знать. На иностранном языке, думаю, что найти кое-что получится, у Коксетера и у Соммервиля, но у них этот материал очень сильно сжат, а в публикации стараюсь всё разжевать, как говорится.
>> В трёхмерном пространстве правильным многогранником называется многогранник, у которого все рёбра равны между собой и все грани равны между собой.

А что, если соединить 2 тетраэдра по одной грани? Правильный многогранник не получится?
А так же, если вытянуть куб по диагонали (чтобы грани стали ромбами), или взять ромбический додекаэдр… оба условия тоже будут выполнены — и все рёбра, и все грани равны. У ромбического додекаэдра ещё и все двухгранные углы одинаковы.
Судя по википедии автор исказил определение правильного многогранника. Эти 2 предложения вместе составляют определение:

>> В трёхмерном пространстве правильным многогранником называется многогранник, у которого все рёбра равны между собой и все грани равны между собой. Т.е. грани представляют из себя правильные многоугольники.

>> У таких многогранников во всех вершинах сходится одинаковое количество рёбер и одинаковое количество граней. Т.е. все вершины тоже имеют одинаковое строение.

А по смыслу выходит, как будто второе — это следствие. Плюс добавить выпуклость, ибо есть всякие звездчатые многогранники ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B2%D1%91%D0%B7%D0%B4%D1%87%D0%B0%D1%82%D1%8B%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA
Вытянутый куб удовлетворяет и второму определению. У него строение всех вершин одинаково. Вот если сказать «все грани являются одинаковыми правильными многоугольниками (безо всяких „т.е.“), и в каждой вершине сходится одинаковое число граней» — этого будет достаточно.
Замечания принимаются. Прошу прощения за неточности и спасибо.
Да, конечно же вместо «т.е.… правильные многоугольники» нужно указать, что грани обязательно являются правильными многоугольниками.
Превосходно! Позволю спросить, планируете ли вы в дальнейших частях рассмотреть многогранники мерности большей 3?
Да. Как раз собирался это сделать, но думал это сделать как-нибудь потом. Однако, ввиду живого интереса хабраюзеров и наличия среди них действительно грамотных коллег, постараюсь сделать это в ближайшее время.
Мне хочется сначала с самым простым, с правильными многогранниками, до конца разобраться, даже с ними ещё не всё ясно, например формула числа вершин, рёбер, граней и гиперграней в четырёхмерии людям на планете Земля не известна. И надо бы, если не вывести, то хотя бы понять, почему она не выводится? И почему в пространствах высших размерностей всего 3 правильных многогранника? Хотя, казалось бы, пространства высших размерностей должны быть богаче и разнообразнее.
Если вы знаете что-нибудь про разбиения тора, то будем вам благодарны за статью на хабре.
Просто думаю, что топология тора тоже в играх может применяться. Статью не напишу, но нашел это. Если я правильно понял, то можно разбить тор одним двухугольником с тремя сторонами. Также, там есть несколько иной подход к решению вашей задачи.

>для конкретного символа Шлефли {p1, p2}, а этот символ однозначно определяет строение многогранника и разбиения двумерной сферы
Для тора, оказывается, это не так.
В 4D, насколько я понимаю, выполняется формула V-E+R-F=0 (R — ridges, двумерные грани).
Для симплекса: 5-10+10-5=0
Для тессеракта: 16-32+24-8=0
Для 16-гранника: 8-24+32-16=0
Для 24-гранника: 24-96+96-24=0
Для 120-гранника: 600-1200+720-120=0
Для 600-гранника: 120-720+1200-600=0

Про разбиения тора — зависит от того, какой тор имеется в виду. Обычно рассматривают плоский тор, и его можно разбить на квадраты, треугольники или 6-угольники — как плоскость (разбиения {4,4}, {3,6}, {6,3}). Конкретное разбиение определяется взаимным расположением изображений одной и той же грани на плоскости. Например, квадрат (0,0) на торе может оказаться тем же, что и квадрат (x,y). В случае квадратного тора это будет означать, что он разбит на x^2+y^2 квадратов. При разбиении на 6-угольники можно получить x^2+x*y+y^2 граней (x,y — целые), а при разбиении на треугольники — вдвое больше (треугольники соответствуют вершинам 6-угольников). Разбиение на 1 или 2 квадрата будет некорректным, поскольку грань будет иметь общие вершины сама с собой. Считать ли корректными разбиения на 4, 5 или 8 квадратов и на 3 6-угольника, где две грани могут соприкасаться не только по вершине или по ребру, но и, например, по двум или четырём вершинам — не знаю.
Куда не копни всюду ещё полно работы в математике :) Меня больше интересует 4-мерие и выше. Бегло прочитал вашу, dtestyk, ссылку на Семинар УИР. МЦНМО потерял мысль после «Вопрос: Для каких k существуют реализации в виде многогранников?» Для тора с одной ручкой. Речь шла о разбиениях тора и вдруг о какой-то реализации многогранников? Каким образом разбиению тора ставится в соответствие некий многогранник? Ведь разбиений получается счётное количество, это подтверждает и ваша ссылка и комментарии Mrrl. Если делать так, как делается со сферой, т.е. просто соединять вершины рёбрами, то вроде бы таких многогранников (торических), тоже счётное количество должно получиться. Немного размышлял про тор, но самую малость.

Mrrl, да, в 4D выполняется формула V-E+R-F = 0, но я не про эту формулу, а про формулу как по {p1, p2, p3} получить число вершин? Эта формула никому не известна. А теперь обратите внимание на статью, ссылку на которую дал dtestyk, там для тора получается: альфа1*(1/m+1/n-1/2)=0, аналогично ноль получается при попытке вывести интересующую меня формулу: V*(сложная зависимость от p1, p2, p3) = 0 Не значит ли это, что решений в 4D тоже счётное количество, как в статье про тор? Учёные так не считают, они считают, что перечисленные вами 6 решений единственны. А если значит, то значит учёные прохлопали ушами целую счётную серию правильных многогранников. Но этому есть другое противоречие: двугранный угол, вроде бы, вычисляется однозначно, как именно — пишу статью. Т.е. как-то получается, предположительно, что должно быть 6 счётных серий многогранников, причём двугранные углы в каждой серии постоянны. Как-то это не вяжется. Короче, тут есть над чем ещё работать.

Для трёхмерия формула числа вершин, рёбер и граней как функция от {p1, p2} выводится легко, планирую тоже статью на этот счёт небольшую написать потом. Для 4D получается ноль=0, что, всё-таки, не спроста.
По поводу 4D:
мне кажется, что задачу разбиения трехмерной сферы(т.е. подход использованный в статье для получения многогранников) лучше рассматривать после задачи покрытия трехмерного пространства правильными многогранниками(которые должны, если не ошибаюсь, служить в качестве трехмерных граней), а там совсем рядом задача упаковки шаров.
Задач много и много интересных и смежных задач, много задач не решённых. Задача моей публикации на Хабре (и будущих публикаций) по простому, на школьном уровне, объяснить разбиения пространств постоянной кривизны всех конечных размерностей. Касаться задач упаковок и покрытий мна пока не требуется.
Я ценю статьи на Хабре за их доходчивость, в терминах высшей математики можно и так найти публикации, почитать Коксетера, Саммервиля и остальных.
Вот меня в личку поблагодарили за доходчивость материала, значит своей цели хоть чуть-чуть достиг.
То, что в 4D решений только 6, выводится через величину двухгранных углов многогранников из 3D. В самом деле, если многогранник имеет структуру {p1,p2,p3}, то его грани — многогранники {p1,p2}, и в каждом ребре сходится p3 многогранников. Если угол многогранника равен A гр, то должно выполняться условие p3>=3, A*p3<360.
Берём таблицу двухгранных углов:
{3,3}: A=70.52, p3=3,4,5
{4,3}: A=90, p3=3
{5,3}: A=116.56, p3=3
{3,4}: A=109.47, p3=3
{3,5}: A=138.18, решений нет.
После чего явно строятся все 6 многогранников.
Да, всё так, только я это сделаю в общем виде и для всех трёх пространств постоянной кривизны, в следующей публикации. А потом сделаю это же в 5D, 6D и т.д. nD :)
Уточню не решённую на Земле проблему :)
Есть {p1, p2} — трёхмерный, правильный многогранник, сколько у него вершин A0, рёбер A1, граней A2? Решение, понятное школьникам, планирую дать в публикации, тут пишу только Ответ:
A0=4*p1/(2*p1-p1*p2+2*p2)
A1=2*p1*p2/(2*p1-p1*p2+2*p2)
A2=4*p2/(2*p1-p1*p2+2*p2)

Подставьте в любимую формулу (великого Эйлера)
A0-A1+A2=2
получите верное равенство.

Внимание, не решённый вопрос: для {p1, p2, p3} — 4D правильного многогранника, выписать общую формулу для A0, A1, A2, A3 через p1, p2, p3. Так же, как выше сделано для 3D. Для 3D дал ответ выше, для 4D формула неизвестна, во всяком случае в таком простом виде, без интегралов и бесконечных рядов.
Кажется, понял вопрос. Вы хотите понять, почему при заданных {p1,p2,p3} существует единственное разбиение гиперсферы. Надо подумать. Понятно, что если просто склеивать многогранник (рисовать разбиение сферы), то он в конце концов замкнётся — но это значит, что при построении что-то уменьшается от слоя к слою. Попробую придумать, что именно.
Да, почему разбиение 3D сферы единственное? Ну пусть оно единственное, верю, тогда почему не получается формула для A0 в 4D, про которую сказал в предыдущем комментарии выше? При попытке вывести такую формулу у меня начинают возникать сомнения в единственности разбиения 3D сферы для заданного символа Шлефли. Но поскольку, это практически очевидно, что разбиение единственно, то понимаешь, что тут конкретная засада. :)
Действительно, засада. Почему это площадь сферического треугольника равна A+B+C-pi, а объём сферического тетраэдра считается через страшные интегралы, да ещё и только в частных случаях?
Но, в принципе, этот путь приводит к цели. Рассчитываем геометрию трёхмерной грани, считаем её двухгранный угол, потом, используя значение p3, находим радиус описанной гиперсферы. Вычисляем объём V фундаментального сферического тетраэдра (с вершинами в центре 3D-грани, центре 2D-грани, середине ребра и вершине многогранника). И говорим, что число граней
F=pi^2*(2/p1+2/p2-1)/V. Так что сомневаться не приходится, формула есть. Но очень уж сложная :)
Ну я уточнял в постановке задачи, чтобы формула была без интегралов и бесконечных рядов. Конечно через объём сферического тетраэдра можно посчитать, это понятно, но там интеграл. Ну пусть хоть так, можете выписать эту формулу, пусть хоть с интегралом хотя бы без доказательства? Поскольку я пока не разобрался даже через объём. Подозреваю, что даже это будет сделать не просто. Где почитать про вычисление объёма сферического тетраэдра?
Удивительно, но явная формула для объёма в общем случае уже есть — опубликована в 2010 году:
arxiv.org/abs/1011.2584
Она почти без интегралов: используется только «дилогарифмическая функция» Li(x)=-int(ln(1-t)/t, t=0..x), которая ненамного хуже классических элементарных функций.
Из более простых работ можно попробовать почитать вот это:
cyberleninka.ru/article/n/ob-obemah-mnogogrannikov-v-prostranstvah-postoyannoy-krivizny
Это первое, что мне выдал Яндекс — для погружения в тему было полезно. Там, в основном, про гиперболический случай, но зато по-русски.
Выписать формулу — попробую. Скорее всего, это будет цепочка из дюжины формул, но какая разница…
Only those users with full accounts are able to leave comments. Log in, please.