Правильные многогранники. Часть 2. Четырёхмерие

  • Tutorial
Предыдущая публикация: Правильные многогранники. Часть 1. Трёхмерие

Вступление

image
Вижу, что на Хабре люди серьёзные собрались. Статью про трёхмерие на счёт «раз» разобрали. Однако пространствами постоянной кривизны никого не удивишь в наше время. Тем не менее всегда находятся желающие заглянуть выше, в четырёхмерие. Ну что ж, именно с такими любознательными коллегами мы продолжаем разговор и переходим на следующий уровень по размерности.

Моя задача не просто рассказать про разбиения пространств постоянной кривизны любой размерности на правильные многогранники, а сделать это так, чтобы материал поняли даже вчерашние школьники, окончившие 11 классов. Я люблю статьи на Хабре именно за их доходчивость, понятность, простоту, не смотря на сложность материала, и в таком же качестве стараюсь подавать сведения в публикациях. В ВУЗах и в отечественных публикациях предлагаемый материал возможно рассматривается, но, как мне кажется, не в таком виде. Думаю, что информация будет полезна и для студентов. В иностранной литературе данный материал есть, соответственно не на русском языке, в сильно сжатом виде и с использованием высшей математики. Тут я всё «разжёвываю» для школьников, без высшей математики, фактически на одной геометрической интуиции. Мы увидим в следующей статье, как будет сделан переход от 4D к 5D с помощью геометрии, наглядно, без высшей алгебры. Это будет самый сложный шаг, но кто его поймёт, тот поймёт и все остальные размерности от 6 и выше. Не уверен, что мне удалось всё основательно «разжевать», поэтому, если будут дополнительные вопросы — задавайте, это поможет мне улучшить статью.

В данной публикации идея выкладок полностью та же, что и в предыдущей статье, только на одну размерность выше , так что, если кто-то ещё не успел с ней ознакомиться, желательно это сделать, чтобы понимать, что происходит.

Сначала ещё раз дадим все определения, только уже для 4-мерных многогранников и соответствующего символа Шлефли. Не хочется сразу давать общие формулировки, чтобы не запутать не подготовленных читателей, которые с данным предметом, возможно, имеют дело впервые. Затем дадим постановку задачи. В данной публикации, похоже, что она приняла более строгий и стройный вид. Если ошибусь в каких-то деталях, то ничего страшного, это ведь не бумажная публикация, подредактирую и поправлю, чтобы всё было красиво. Основные выкладки и результат правильные, за это не переживайте, потом даже ссылки на авторитетных авторов дам, если что. Заглянув к этим авторам вы поймёте, что мой труд, в виде этих нескольких публикаций, не напрасный.

Определения. Аксиомы. Постановка задачи


В многогранниках много разных углов, двугранным углом мы называем двугранный смежный угол, между смежными гранями, т.е. гранями имеющими общее ребро.

Определение правильного многогранника даю рекурентное и своими словами, ведь Хабр — не место для копипастеров.
Правильным 4-мерным многогранником называется выпуклый многогранник, у которого все 3-мерные грани являются правильными многограниками, равными между собой и все углы между 3-мерными гранями равны между собой.

Есть утверждение, что разбиению (n-1)-мерной сферы взаимно однозначно соответствует правильный n-мерный многогранник, при n>1. То есть размерность многогранника на одну выше, чем размерность сферы, которую разбиваем. Например, если вершины разбиения 3-мерной сферы соединить рёбрами, соответствующими дугам разбиения, то получится 4-мерный многогранник. Не знаю как это утверждение доказывается и доказывается ли вообще. Поэтому оно принимается за аксиому и считаем его верным во всех размерностях пространств. Для двумерной сферы на примере икосаэдра это было показано в видео ролике в предыдущей публикации. Можно сказать, что в трёхмерии (т.е. для разбиения двумерной сферы) этот факт установлен экспериментально, а в четырёхмерии и выше, считаем, что всё аналогично. Вроде бы тут всё чисто, интуитивно понятно, что так оно и есть.

Определение символа Шлефли тоже даю своими словами.
Символом Шлефли называется последовательность чисел {p1, p2, p3} задающая алгоритм построения правильного многогранника следующим образом:
— взять правильные {p1} угольники, объединить их по рёбрам, так, чтобы в каждой вершине сошлось по p2 штук таких {p1}, получим {{p1}, p2} или коротко {p1, p2}
— взять, полученные на предыдущем шаге, {p1, p2} и объединить их по плоским граням так, чтобы в каждом ребре сошлось p3 штук таких {p1, p2} трёхмерных многогранника.
Уже напрашивается индукция в определении, не правда ли? Общее определение, для n-мерного правильного многогранника дам в следующей публикации. Пока лучше рассмотреть частный случай, чтобы проще было понять и не отвлекаться на общие формулировки.

И ещё одна мысль (постановка задачи), которая, выраженная в грубой форме, влоб, оказывается не верна, но она не используется при выкладках, поэтому никак не влияет на результат, но за то она является движущей силой исследований :) Мысль заключается в том, что для любого символа Шлефли в любой размерности Существует правильный многогранник, который разбивает одно из пространств постоянной кривизны соответствующей размерности. Мы видели, что при разбиении двумерных пространств эта мысль верна, там любой символ Шлефли что-нибудь да разбивал. Слово «Существует» выделено большой буквой, так как на самом деле это не верно для размерностей 4 и выше. Допускать существование всегда — это конечно вольности, но можно сформулировать постановку задачи таким образом, что эта мысль окажется законной, а именно:
количество различных значений символа Шлефли счётное множество, разбить это множество на не пересекающиеся подмножества (классы) конечные или бесконечные по типам:
— класс символов задающих разбиение Сферического пространства на правильные многогранники соответствующей размерности;
— ---//--- разбиение Евклидова пространства ---//---
— ---//--- разбиение пространства Лобачевского на правильные многогранники Конечного объёма ---//---
— ---//--- разбиение пространства Лобачевского на правильные предельные многогранники конечного объёма ---//--- (такие, у которых вершины попадают прямо на абсолют — границу диска Пуанкаре)
— ---//--- разбиение пространства Лобачевского на правильные многогранники бесконечного объёма ---//--- (если получающиеся фигуры условно считать правильными многогранниками)
— класс «плохих» символов, которым невозможно поставить в соответствие какой-то многогранник или какое-то разбиение пространства постоянной кривизны.
При перечислении этих классов мы забежали немного вперёд, и в разбиениях пространств Лобачевского, выше, выделили три подмножества (класса), вместо одного, как для Сферы и Евклида.
Иными словами, наша задача заключается в исследовании всех возможных значений символа Шлефли во всех размерностях, во всех трёх пространствах постоянной кривизны. Это мотивация, цель и задача. В данной публикации размерность разбиваемых пространств постоянной кривизны = 3, размерность получаемых при этом многогранников = 4.

Замысел решения задачи


Сама идея решения проста, как и в предыдущей статье о трёхмерии, нужно с одной стороны по параметрам символа Шлефли {p1, p2} вычислить двугранный угол () многогранника и сравнить этот угол с т.е. чтобы полный оборот () вмещал целое число многогранников, сошедшихся в ребре. Здесь p3 — третий параметр символа Шлефли {p1, p2, p3}, задающего разбиение 4-мерного пространства на многогранники {p1, p2}, означающий количество многогранников {p1, p2}, сошедшихся в ребре.
1. Если окажется, что = то значит искривлять пространство не надо, всё и так сошлось красиво, т.е. это Евклидово пространство. Как видите, двойка напрашивается сократиться, поэтому в расчётах фигурирует не сам двугранный угол многогранника а его половина =
2. Если окажется, что < т.е. двугранный угол маленький, то многогранник, вместе с его углами, нужно «раздуть», чтобы углы увеличились до нужных значений, значит нужно поместить его на трёхмерную сферу, т.е. это сферический случай.
3. Если окажется, что > т.е. двугранный угол большой, то многогранник, вместе с его углами, нужно «сдуть», чтобы углы уменьшились до нужных значений, значит нужно поместить его в трёхмерное пространство Лобачевского, т.е. это гиперболический случай.
Про то, что значит «раздуть» и «сдуть» многогранник (многоугольник) было рассказано в предыдущей статье, где мы видели, что сумма углов треугольника (многоугольника) увеличивается, когда помещаем его на сферу, треугольник как бы раздувается и, что сумма углов треугольника уменьшается, когда помещаем его в гиперболическое пространство, треугольник как бы сдувается. Там мы это видели в двумерии, всё аналогично происходит с углами в 3-мерных пространствах и в пространствах высших размерностей.

Однако если углы правильных многоугольников мы знаем наизусть, то двугранные углы трёхмерных правильных многогранников уже запомнить наизусть сложнее, хотя, конечно, все эти углы известны. Мы увидим в следующей публикации, когда будем забираться в пятимерное пространство, что вывод формулы двугранного угла многогранника становится не тривиальной задачей и сама формула выходит на первый план. Можно было бы даже статью назвать: формула двугранного угла правильного, выпуклого многогранника в n-мерном Евклидовом пространстве. Но на самом деле эта формула является не только целью предлагаемых публикаций, но и средством, помогающим выявлять многогранники в пространствах высших размерностей. Т.е. все вопросы тут тесно связаны и интересны каждый из них по отдельности и все вместе взятые, поэтому выбрать лаконичное название для этих статей действительно проблематично.

Теперь остаётся только сделать выкладки для вычисления двугранного угла по параметрам символа Шлефли {p1, p2}, а сравнить полученные значения с и выписать ответ, в виде таблицы, и школьник сможет. Впрочем, вычислить двугранный угол по параметрам p1, p2 тоже оказывается не сложно. Вот в следующей размерности, там посложнее, там уже появляется изюминка :) но об этом в следующей публикации.

Вычисление двугранного угла у правильного многогранника {p1, p2}


Прошу прощения, в предыдущей статье забыл про вспомогательные углы сказать, которые нам понадобятся для расчётов. Это углы и . Кто внимательно читал предыдущую статью, тот заметил, что там на чертеже угол был обозначен, вычислен и получился . Там мы измеряли угол правильного многоугольника в вершине C. Теперь взяв эту вершину и две соседние с ней вершины получим равнобедренный треугольник, вот — это угол при основании этого треугольника, он теперь нам понадобится. Также для 3-хмерного многогранника нам понадобится угол — это угол при основании равнобедренного треугольника, у правильного многоугольника {p2}, лежащего в основании равнобедренной пирамиды. Пирамида получается отсечением у {p1, p2} одной, изучаемой вершины, по плоскости близлежащих вершин. Обратите внимание на простой, но важный факт, что поскольку в вершине пирамиды сходится p2 штук правильных p1-угольников, то в основании этой пирамиды получается правильный p2-угольник. Этим мы и пользуемся, для вычисления угла

На рисунке рассмотрен пример с икосаэдром, тут , в общем случае для произвольного {p1, p2}, получим , . Пока что мы находимся в Евклидовом пространстве, поэтому сумма углов треугольника по прежнему равна .
Теперь рассмотрим эту равнобедренную пирамидку поближе. Для вычисления двугранного угла достаточно рассмотреть не всю эту пирамиду, а только одно ребро и две грани, содержащие это ребро.

В общем случае для {p1, p2} рассмотрим ребро и найдём это и есть половина искомого нами угла, т.е. половина двугранного угла многогранника {p1, p2}. Дам пояснения о дополнительных построениях: и — высоты в соответствующих равнобедренных треугольниках. Плоскость равнобедренного треугольника — ортогональна ребру по построению, поэтому плоский угол этого треугольника равен по величине искомому двугранному углу правильного многогранника {p1, p2}. Не сложные расчёты записаны левее чертежа, внимательно прочитайте их пожалуйста. Если вы знаете определение синуса и косинуса, то трудностей не должно возникнуть. Итак:

Можно, конечно, вычислить этот угол через фундаментальный тетраэдр (с вершинами в центре 3D-грани, центре 2D-грани, середине ребра и вершине многогранника), так классики и делают, но тогда переход по размерностям становится затруднительным, во всяком случае школьникам такое вряд ли удастся разъяснить. Поэтому предлагаемый в этой публикации подход, к вычислению двугранного угла, выбран сознательно. По меньшей мере, это ещё один способ, для вычисления этого угла. Кому-то понятнее один способ, кому-то другой.

Вычисления и сравнения углов


Как и говорили, сравниваем угол с и записываем результаты сравнения в виде таблицы. Сравнения удобнее выполнять не для самих углов, а для синусов в квадрате этих углов, чтобы не загромождать записи арксинусами, ввиду того, что такая получилась формула для бетта.
Суть сравнения в виде формулы:

где X^3 — общее обозначение пространств постоянной кривизны, S^3 — трёхмерная сфера, E^3 — Евклидово трёхмерное пространство, Λ^3 — трёхмерное пространство Лобачевского.
Результат сравнения в виде таблицы:

Где:

Ещё раз небольшие пояснения — сравниваются второй столбец, для и третья строка, для . Например:
1. столбец {4,3} сравнивается со строкой p3=4, получаем 0.5 = 0.5 — значит {4,3,4} — разбивает Евклидово 3-мерное пространство, это привычные кубы, сходящиеся по 4 в ребре. :) Элементарно.
2. Для столбца {3,3} и строки p3=3 имеем 0.5<0.75 — значит {3,3,3} — разбивает 3-мерную сферу (и ему соответствует 4-мерный многогранник).
3. Для столбца {5,3} и строки p3=6 имеем 0.723>0.25 — значит {5,3,6} — разбивает 3-мерное пространство Лобачевского на правильный, предельный многогранник. Предельный можно понять по тому, что у него вершинная фигура {p2,p3} = {3,6} — разбивает двумерное пространство Евклида, т.е. плоскость Евклида.
В общем случае если {p1, p2, p3} — разбивает пространство Лобачевского, то дальше роль играет вершинная фигура:
— если {p2, p3} — разбивает Евклида, то {p1, p2, p3} — предельный многогранник,
— если {p2, p3} — разбивает сферу, то {p1, p2, p3} — имеет конечный объём и размеры,
— если {p2, p3} — разбивает плоскость Лобачевского, то {p1,p2,p3} — имеет бесконечный объём.
Это утверждение без доказательства, думаю, что оно верное и знаю почему, но строго и по простому доказать и показать не могу. Там включается орисфера, на поверхности которой Евклидова геометрия. А вершинная фигура, как раз отсекает орисферу для предельного многогранника.

Подведение итогов


Итак, мы научились вычислять двугранный угол правильного многогранника по его символу Шлефли {p1, p2}, на всякий случай выпишу ещё раз:

И нашли 6-ть разбиений трёхмерной сферы на правильные трёхмерные многогранники:
{3,3,3} — тетраэдры, сошедшиеся по 3 в ребре,
{4,3,3} — кубы, сошедшиеся по 3 в ребре,
{3,3,4} — тетраэдры, сошедшиеся по 4 в ребре,
{3,4,3} — октаэдры, сошедшиеся по 3 в ребре,
{5,3,3} — додекаэдры, сошедшиеся по 3 в ребре,
{3,3,5} — тетраэдры, сошедшиеся по 5 в ребре.
А значит и 6-ть соответствующих правильных 4-мерных многогранника с теми же символами Шлефли. Правда посчитать в общем виде количество вершин, рёбер, граней и гиперграней этих многогранников не так просто, как кажется на первый взгляд. В частных случаях для 4-тетраэдра, 4-куба, 4-октаэдра (ортаэдра) это можно сделать по индукции, но для остальных многогранников этот трюк не срабатывает.
К сожалению у меня нет своих картинок этих многогранников, поэтому отсылаю к википедии, там для четырёхмерия даны красивые картинки.
Так же, как когда мы смотрим на тетрадь в клеточку (разбиение {4, 4}) то видим структуру, как бы сама плоскость Евклида имеет структуру {4, 4}, мы уже знаем, что есть ещё всего две структуры этой же плоскости {3, 6} и {6, 3}. Теперь мы узнали, что разбиение 3-мерного Евклидова пространства единственно {4, 3, 4} — на кубы, сходящиеся по 4 штуки в ребре. Мы представляем мысленно это разбиение и ощущаем структуру этого пространства. Теперь представим мысленно {5 ,3} — додекаэдры, приложим их между собой по плоским граням (пятиугольникам), в ребре сойдётся 3 таких додекаэдра и ещё останется зазор. Теперь мысленно равномерно раздуем эти додекаэдры до тех пор, пока зазор не исчезнет. Когда он исчезнет, то в ребре сойдутся ровно 3 додекаэдра. Теперь мысленно сложим по три додекаэдра в каждом ребре. Во всех рёбрах одновременно это представить уже сложнее, но нужно. Если взять 120 таких раздутых додекаэдров и приложить их все без зазоров между собой по граням, то получим замкнутое разбиение 3-мерной сферы. Так же можно воображать с другими 5-тью разбиениями 3-мерной сферы. Такие рассудительные эксперименты с многогранниками помогают мысленно понять структуру 3-мерной сферы и прикоснуться к 4-мерному пространству Евклида. Аналогично можно поразмышлять с гиперболическим 3-мерным пространством. Приведённые в публикации выкладки помогают понять в каком пространстве мы находимся, для заданного символа Шлефли, т.е. для заданного мысленного построения.

В следующей публикации мы проделаем всё тоже самое только на одну размерность выше. Думаю, что дам там видео ролик поясняющий основную идею перехода (подъёма) по размерностям. Если кто-то ещё не понял, что происходит, то возможно этот ролик прольёт свет на все проделанные выкладки тут и в предыдущей статье.
Если всё понятно, то переходите на следующий уровень по размерности.

Ссылки:
Правильные многогранники. Часть 1. Трёхмерие
Правильные многогранники. Часть 2. Четырёхмерие
Правильные многогранники. Часть 2.5 (вспомогательная)
Символ Шлефли. Часть 2.6
AdBlock has stolen the banner, but banners are not teeth — they will be back

More
Ads

Comments 29

    0
    Это просто праздник какой-то!
      +3
        +2
        Вот сколько ни пытался в голове «визуализировать» четырехмерное пространство, ну никак :( Что только ни пробовал: и видео глядел, и теорию читал, и трехмерные развертки тессеракта смотрел… Ну никак не укладывается, хотя вроде с абстрактным мышлением и геометрией проблем нет. Может кто расскажет, как выкручивался?
          0
          Никак, это невозможно для мозга человека. Только через проекции можно как-то представить.
            –2
            Ну представить себе минус-одно яблоко ведь тоже трудновато.
            Отрицательные числа появились в математике значительно позже положительных.
            Иррациональные, трансцендентные а тем паче комплексные числа как-то ведь укладываются в мозгу?
            «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих» (с) Леопольд Кронекер
            Конечно, мозг оперирует со «знакомыми» ему объектами. Значит, надо знакомить его.
            Желательно с малых лет. Кому-то это удается хорошо, кому-то похуже.
            Если не получается — ну присмотритесь к себе! Может ну её нафиг, эту математику? Заняться чем-нибудь другим. Музыкой, рисованием, выращиванием помидоров? Кто сказал, что выращивать помидоры менее достойное занятие, чем вычисление количества правильных многогранников в четырехмерном пространстве?
              0
              А я не только четырехмерное, я двухмерное тоже не представляю. Нет, плоский лист я могу представить, но только внутри трехмерного пространства. А так чтобы быть внутри двухмерного, не привлекая трехмерное совсем, чтобы полностью удалить одно из измерений, не получается.
                0
                Проблема в том, что эволюция «заточила» мозг на обработку визуальной информации, поступающей в виде 2 плоских картинок — по ним уже достраивается «карта глубины». Т.е. это даже не полноценное 3-х мерное восприятие.
                Соотв, в сознании мы тоже не можем полноценно представить себе что-то иное, только динамическими проекциями.
                  0
                  Не, ну для трехмерного восприятия у человека еще руки есть :)
                  В дополнение к двум плоским и перевернутым картинкам.
                  Так что «картина мира» даже у одноглазых и слепых какая-то, да имеется.
                    0
                    Это все опять сводится к построению и запоминанию «карты глубины», до истинного 3-х мерного не дотягивает.
                      0
                      Ребят вы просто не читали оба труды по нейрофизиологии за последний год. Карта для ориентирования на местности в гиппокампусе однозначно двумерна, однако зоны тактильного восприятия — это полноценное 3D. Если брать проекцию многомерного пространства — например руки (с множеством степеней свободы), то ваш мозг отлично справится с 3D проекцией этого N-мерного пространства, чтобы вы могли, к примеру, неглядя пошариться и достать рукой до вкуского банана в рюкзаке за спиной. (Ну, у кого что). Вообще вы в динамике обрабатываете N-мерную информацию с ваших «датчиков», в 4Д информацию — карту 3-Д пространства с прогнозированием нахождения 3D-объекта во времени, и обратно для преобразования в N-мерный поток сигналов для управления телом кажлый день в пробке, в метро, на автомобиле и т/д.

                      Так что не надо лепить гобатого — вы всё прекрасно умеете.

                      Если вы этого не осознаёте — так это вам же во благо — иначе ваш маленький мозг (по сравнению с мозгом слона, к примеру) из сотояния покоя (задействованы 2-6% неронов) превратился бы в кипящий ад (задействованы 60-80% нейронов), правда, ненадолго — минут на 5-7 — и просто вы бы умерли или впали в состояние комы.
                        0
                        А можно ссылки на эти новые труды по нейрофизиологии? Любопытно взглянуть.
                        И, к слову, как соотносится тактильное восприятие с построением визуальной модели в сознании?
                          0
                          И, к слову, как соотносится тактильное восприятие с построением визуальной модели в сознании

                          Появляются понятия выше, ниже, спереди, сзади, правое, левое. Может это все та же карта глубины, но уже не плоскости, а сферы, ориентированной сферы, стороны которой поименованы.
                          0
                          Прогнозирование положения объекта во времени — это уже немного не то, это уже не геометрическое 4D, а параметрическое, где 4-ое не измерение, а параметр, время например.
                            +1
                            Карта для ориентирования на местности в гиппокампусе однозначно двумерна,

                            Не очень понятно. Человек, как и его родственники, живущие на деревьях в тропическом лесу, отлично ориентируется в трёхмерной «местности». Мы можем сказать, что находится за этой стеной (там шкаф), что лежит в этом шкафу на такой-то полке, и показать направление на этот объект. Можем представить себе структуру многоэтажного коттеджа, и рассказать о взаимном расположении помещений (можно ли сверлить эту стенку) и как пройти из одного места в другое. Можем показать примерное направление на Рио-де-Жанейро из Москвы (под землёй, где-то на юго-западе), и, если мы знакомы с картой города, представить, как она будет выглядеть с изнанки. И более-менее правильно её сориентировать. Находясь в комнате, понять как эта же комната будет выглядеть, если смотреть от двери. Неужели всё это делается с помощью двумерных «карт» в мозгу?
                              +2
                              Если вы этого не осознаёте — так это вам же во благо — иначе ваш маленький мозг (по сравнению с мозгом слона, к примеру) из сотояния покоя (задействованы 2-6% неронов) превратился бы в кипящий ад (задействованы 60-80% нейронов), правда, ненадолго — минут на 5-7 — и просто вы бы умерли или впали в состояние комы.

                              Насколько я знаю, все эти байки про 3% использования мозга — всего лишь байки, не имеющие научного обоснования, которые используются во всяких Люси.
                      0
                      Скорее всего кто как ни выкручивался, а результат приблизительно такой же, как и у вас :) близкий к нулю, но не тождественный ноль, конечно. Вот математика нам в помощь. Хотя мозгу и этого мало.
                      По слухам, если у ребёнка не видел один глаз во время развития мозга, то даже после восстановления работы глаза научить его видеть 3-мерие невозможно.
                      Ещё один слух: заяц не видит 3-е измерение, для него мир плоский. Поэтому можно полагать, что мы по аналогии с зайцами не видим 4-е измерение, если оно есть.

                      Если нас интересует восприятие 4-го измерения мозгом, а не абстракто-математическим инструментарием, то можно подойти с другой стороны и немного пофантазировать о свойствах 4-го измерения. Условимся, что заяц действительно видит только 2 измерения и проведём серию мысленных экспериментов.
                      1. Положим перед зайцем морковку, он её видит. Поднимем морковку за верёвочку вверх, заяц не видит измерения «вверх-вниз», поэтому для него эта морковка исчезла, т.к. она пропала из плоскости его поля зрения.
                      2. Положим морковку в поле зрения зайца, но в другое место. Заяц увидит её и подумает, что морковка незаметно переместилась из одной точки в другую. Сначала исчезла в точке А и появилась в точке Б.
                      3. Повторим эксперименты 1, 2 с перемещением морковки через 3-е, невидимое для зайца, измерение, но перед этим добавим ещё один предмет: препятствие, стенку. Точку А поместим с одной стороны препятствия, точку Б с другой стороны препятствия. Заяц подумает, что морковка просочилась сквозь препятствие.
                      4. Повторим эксперименты 1,2,3 с человеком в 4-мерном пространстве, но человек видит только 3 измерения. Представьте, что ваш коллега по работе вдруг исчезает и через пару секунд появляется в 3 метрах от места исчезновения. А потом опять исчезает и появляется в коридоре, по другую сторону стены.
                      Судя по всему, есть некая корреляция с потусторонним миром, однако не полная :) Если бы смерть живого существа означала перемещение в 4-мерном пространстве (без времени, геометрическом), то эти живые существа вместо смерти исчезали бы, но этого не происходит.
                      Можно ещё пофантазировать что-нибудь в этом роде и найти связь с гравитацией (безынерционного перемещения в пространстве) или ещё с чем-нибудь, но в любом случае для мозга это испытание, он будет сопротивляться, не желая это воспринимать.
                      Может быть лет через 1000 (или раньше) люди эволюционируют и научатся воспринимать мозгом 4-е измерение, а пока будем пробираться на ощупь, с помощью математики :)
                      Были мысли включить эти размышления в публикацию, но мало-ли кто как это поймёт, поэтому в публикацию этого не включил, а для комментариев эти фантазии могут оказаться кстати.
                        0
                        В эксперименте 4 представьте себе, что вы видите цветную проекцию человека на 3D: красную, если он пошёл в сторону «ана», и фиолетовую, если в сторону «ката» (или как они там называются). Чем дальше отходит, тем проекция бледнее. Посмотрев на раскраску стены, поймёте, что для него стена — как для вас колонна, которую можно обойти.
                          0
                          Цвет — это тоже параметрическое представление о 4-м измерении. В моей интерпретации 4-е измерение ничем не отличается от остальных 3, оно такое же геометрическое.
                          Но конечно, как вариант, с цветами тоже можно поиграть, как и с другими параметрами (временем и пр.)
                        +1
                        Может кто расскажет, как выкручивался?

                        Что же, хвастаться так хвастаться.
                        Попробую восстановить хронологию.
                        1982-1984: прочитал главу в книжке Гарднера, нарисовал каркас тессеракта в параллельной и перспективной проекциях, посмотрел на развёртку и понял, как она склеивается. Потом каким-то чудом решил задачу про сечения тессеракта гиперплоскостями, перпендикулярными главной диагонали.
                        1987: написал реализацию 4-мерного кубика Рубика на алфавитно-цифровом терминале, да ещё и смог его один раз собрать. Было трудно.
                        1991: написал 4-мерный тетрис — без падения фигур, вид сверху, показывают карту глубины на 3-мерном дне. Чтобы правильно укладывать фигуры, приходилось представлять, как они ложатся на неровное дно.
                        2010: обнаружил энтузиастов игры в 4-мерный кубик. Долго придумывал алгоритм, реализующий «спуск через подгруппы». Ничего не придумал, но со структурой кубика и группами вращений разобрался хорошо. Позже полез сразу в седьмое измерение. Кубик собрал, но понял, что для наглядного представления многомерного пространства он почти ничего не даёт.
                        2011-2013: нашёл «четырёхмерный форум», где действительно обсуждаются разные аспекты 4-мерной жизни. Обнаружил там попытки задавать разные бытовые вопросы и отвечать на них (как устроены дороги? Как выглядит ошейник у собаки? Как сделать крюк для подъёмного крана и за что его цеплять? Возможны ли битвы на мечах? и так далее). Разные вопросы требовали разных способов представления 4D и быстрого переключения между ними — сечения, проекции, развёртки, динамическое сечение с развёрткой во времени… Пытался писать 4-мерные вьюеры. Для одного из них даже нарисовал модель автомобиля — шестиколёсный трёхместный кабриолет, с передним стеклом, дверями и сиденьями. Там пришлось работать с 4D в полном объёме.
                        2014: Долго собирался написать вьюер «от первого лица» (центральная проекция на трёхмерную сетчатку), который бы показывал рёберную стереомодель. Не собрался — обнаружил, что он уже написан. Теперь ищу время, чтобы в нём как следует разобраться.

                        Что ещё? Периодически пытаюсь представить, как выглядит 4D мир (в виде той же центральной проекции) — тропинки, дома, деревья, движения (как ходить на трёх ногах? Почему при этом есть возможность упасть вперёд? Как надеть и застегнуть ботинки?). Но без плотных тренировок навык быстро пропадает, хотя и восстанавливается тоже всё быстрее.
                      +1
                      Для красивого отображения формул на хабре, я бы вам посоветовал сервис генераций картинок с формулами.
                      www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
                      Например image
                        0
                        Спасибо, попробую. Намучился с этими формулами, потом в картинки их переводить :)
                        +1
                        — класс символов задающих разбиение Сферического пространства на правильные многогранники соответствующей размерности;
                        — ---//--- разбиение Евклидова пространства ---//---
                        — ---//--- разбиение пространства Лобачевского на правильные многогранники Конечного объёма ---//---
                        — ---//--- разбиение пространства Лобачевского на правильные предельные многогранники конечного объёма ---//--- (такие, у которых вершины попадают прямо на абсолют — границу диска Пуанкаре)
                        — ---//--- разбиение пространства Лобачевского на правильные многогранники бесконечного объёма ---//--- (если получающиеся фигуры условно считать правильными многогранниками)
                        — класс «плохих» символов, которым невозможно поставить в соответствие какой-то многогранник или какое-то разбиение пространства постоянной кривизны.


                        Интересно, конечно, что это за «плохие» символы, но видно, что пропущено ещё несколько ситуаций (все они относятся к пространствам Лобачевского):
                        — разбиение пространства на области с бесконечным числом граней, граница которых является разбиением евклидовой плоскости или плоскости Лобачевского ({6,3,3} или {7,3,3})
                        — разбиение, в котором в рёбрах может сходится бесконечное число многогранников, или в вершине грани — бесконечное число сторон ({4,3,infinity}, {3,infinity,3}...)
                        — разбиение, в котором двумерная грань имеет бесконечное число вершин.
                        Если два последних типа разбиения могут и не понадобиться, то {7,3,3} наверняка нужно — как двойственное к {3,3,7}.
                          0
                          Должен признаться, что с {6,3,3} и прочими перечисленными объектами я пока не знаком, если можно, дайте пожалуйста ссылку, где почитать про это.
                          Мне интересны и эти объекты, тем более, что с точки зрения сформулированной постановки задачи они тоже представляют интерес, правда алгоритм построения многогранника по символу Шлефли (алгоритмическое определение символа Шлефли) пожалуй не сработает в перечисленных случаях.
                            +1
                            Для начала — ссылка на игрушку, основанную на разбиении {6,3,3}: cardiizastrograda.com/astr/M3dHT633/
                            Если игрушку скачать и она запустится, можно посмотреть, как выглядит пространство изнутри.
                            Много красивых картинок разных разбиений можно найти на этой странице:
                            plus.google.com/u/0/+RoiceNelson/posts
                            А более научные описания — не знаю. Можно поискать «honeycomb» в английской Вики, но они ограничиваются не более, чем сферическими или евклидовыми вершинами и гранями. Случаи {7,3,3} и {3,3,7} почти никто не рассматривает.
                          +2
                          Если бы пространство было четырёхмерным — то кто знает, может быть у нас были бы глаза с трехмерной сетчаткой.

                          В том смысле, что фотон из трехмерного пространства может зажечь любую колбочку на плоскости сетчатки, а фотон из четырехмерного пространства может зажечь любую колбочку в трёхмерной сетчатке.

                          Таким образом мы могли бы видеть трехмерные объекты сразу со всех сторон так-же, как сейчас воспринимаем плоские рисунки целиком, одновременно.
                            0
                            Сфера вкладывается как в эллиптическое пространство, так и в Евклидово и Лобачевского. Евклидова плоскость вкладывается только в Евклидово и Лобачевского пространства. Плоскость Лобачевского можно вложить только в пространство Лобачевского.

                            Однако этот ряд можно продолжить тем способом, который я не видел. Плоскость Лобачевского можно вложить в псевдоевклидово пространство Минковского. В принципе, это известный факт, пространство скоростей в теории относительности является гиперболическим. 4-вектор скорости всегда по модулю равен 1 (скорость света) — и вот получается гиперболоид возможных скоростей. Только я не видел, чтобы эта особенность рассматривалась с позиции возможных замощений.

                            Если этот гиперболоид дополняется ещё одним гиперболоидом, но с пространственноподобным радиусом, вот, глядишь, и «выход за абсолют» нашёлся. Правда, как я понимаю, там не дополнение, а вообще все точки будут на таком гиперболоиде, а это уже, наверное, пространства де Ситтера и анти-де Ситтера должно называться.

                            Ведь взять, допустим, пространство Минковского (2е пространственных координаты, одно время). На обычной плоскости Лобачевского вершины с бесконечным количеством рёбер мог быть только в идеалах. А в пространство Минковского вложил гиперболоид, замостил его пространственноподобной гиберболической мозаикой, и ещё от центра гиперболоида провёл бесконечность времениподобных вершин. И всё это — не в идеале, а в любой точке пространства. И для более простых «плохих» символов Шлефли должно место найтись.

                            Заодно узнаем, какая у нас потенциально может быть решётка пространства-времени.

                            Only users with full accounts can post comments. Log in, please.