Pull to refresh

Дискретные структуры: матан для айтишников

Algorithms *Mathematics *
Sandbox


Посмотришь на любую программу обучения по IT-специальности, и тут же увидишь дисциплину «Дискретная математика» (возможно, под другим названием), обычно для перво- или второкурсников. И её наличие вполне разумно, поскольку дискретная математика и непрерывная математика (представленная на первом курсе институтов с незапамятных времён математическим анализом) — две грани единой Математики, — красивой, могучей науки.

Хотя раньше такого понятия, как «дискретная математика» вовсе не было, это не значит, что не возникало дискретных задач: Абель, Дирихле, Фибоначчи, Эйлер, чьи имена возникают по ходу изучения дискретной математики, — отнюдь не наши современники! Но просто в те времена для выделения самостоятельной ветви математики ещё не сложилось критической массы задач и приёмов, не было видно взаимосвязей между ними. А большое количество плодотворных взаимосвязей между, на первый взгляд, различными понятиями, — то, что математики в своей науке очень ценят.

Ну хорошо, математикам всё математическое интересно. А зачем дискретная математика программисту?

Зачем это айтишнику


Во-первых, многие идеи, которые особенно ярко иллюстрируются на дискретных задачах, неотъемлемы и для информатики. Взять, хотя бы, фундаментальные понятия рекурсии и индукции.

Рекурсия — это, дословно, возврат, обращение к самому себе. Хорошо известные вездесущие числа Фибоначчи проще всего определяются рекурсивно: первые два числа Фибоначчи равны единице, а каждое следующее число равно сумме двух своих предшественников: 1,1,2,3,5,8,… Таким образом, для вычисления очередного числа мы обращаемся к уже рассчитанным числам такого же вида. Трудно представить, как можно изучить функциональное программирование, да и многое из других областей информатики, не освоившись хорошо с рекурсией. Очень близкий процесс к рекурсии — это индукция, способ доказательства математических утверждений, при котором в доказательстве сложных случаев мы опираемся на более простые. Параллели с рекурсией очевидны, и действительно, обычное дело, когда индуктивное доказательство существования какого-то объекта можно переформулировать в описание рекурсивного способа построения этого объекта.

Раз речь зашла о таких фундаментальных вещах, как индукция и рекурсия, не могу не сказать, что многие приёмы, которые очень хорошо видны на примерах из дискретной математики, эффективны в математике в целом. Это не только индукция, но и принцип Дирихле, принцип выбора по среднему значению и другие.

Следующий элемент, без которого информатику нельзя представить — это графы. Простейшие алгоритмы на графах обязательно входят в любой, даже самый вводный, курс по алгоритмам. Скажем, с понятием гамильтонова цикла связана одна из классических задач информатики, задача коммивояжёра.

Ещё одно архиважное умение — считать точно и оценивать приблизительно количества. Например, как вычислить количество раз, которые выполняется операция сравнения в цикле:
for i ≔ 1 to n do
	for j ≔ i to n do
		for k ≔ i to j do
			if a[i] > a[k] then
				…


Или вот ещё пример. Нужно из списка из 100 товаров выбрать 20, так, чтобы их суммарная стоимость была ровно 2000 рублей («без сдачи»). Это вариант классической задачи о рюкзаке. Допустим, ваш коллега, подумав ночь, предложил решать задачу перебором: перебрать всевозможные наборы из двадцати товаров, и, как только в ходе перебора возникнет нужный набор, выдать его в качестве ответа. Между прочим, характеристика «переборный» далеко не всегда ставит клеймо на алгоритме. Всё зависит от размера входных данных. Так вот, как прикинуть, удастся ли за разумное время решить перебором эту задачу выбора 20 объектов из 100?

Наконец, для современного «дизайнера алгоритмов» обязателен к пониманию и вероятностный метод. Это общий метод, позволяющей решать многие задачи в современной комбинаторике. Очень часто наилучшие решения задач, известные на сегодняшний день, получены именно этим методом. Для практика же овладение этим методом полезно постольку, поскольку вероятностные алгоритмы прочно заняли место в современной информатике. И при анализе работы таких алгоритмов очень помогает интуиция, развитая в ходе изучения вероятностного метода.

Онлайн-курс «Дискретные структуры»


С верой в то, что перечисленные понятия из дискретной математики действительно не помешают любому программисту, а, скорее, помешает их незнание, я читаю соответствующий курс на факультете ФИВТ МФТИ. А недавно у меня появилась возможность сделать онлайн-курс, чем я с радостью воспользовался. Записаться на него можно по ссылке. Главное, чего я пожелаю всем записавшимся: не побоявшись трудностей, пройти курс до самого конца, и получить заслуженное звание Дипломированного Дискретчика. В общем, чтобы MOOC прошёл без мук и обогатил знаниями! Да и собственная корысть у меня тут тоже есть: чем больше онлайн-учеников у меня будет, тем большему я смогу научиться, читая обсуждения и наблюдая статистику решения задач. Ведь учиться учить тоже никогда не поздно!

Какие знания потребуются


Для прохождения первых двух модулей потребуются только школьные знания. Третий модуль потребует знание основ математического анализа на уровне «что такое предел» и «какая из функций x20 или 2x растёт быстрее (чему равны производные функций)». Для последних трёх модулей понадобится представление о том, что такое вероятность, условная вероятность, математическое ожидание, дисперсия. Также хорошо бы знать, что такое базис и размерность линейного пространства. Если с вероятностью и линейной алгеброй вы не знакомы, можно записаться заодно на эти вводные курсы. Тогда как раз, к моменту, когда нам потребуются эти знания, они у вас будут.

Post scriptum


Меня можно было бы упрекнуть в конфликте интересов, всё-таки я математик, и, естественно, хочу приобщить к своей секте как можно больше завсегдатаев Хабра. В своё оправдание могу сослаться на этот ответ на Quora. Под большей частью тем, перечисленных в этом ответе, я готов лично подписаться, в онлайн-курс многие из них вошли. Ещё сошлюсь на подборку мнений яндексоидов.

Tags:
Hubs:
Total votes 63: ↑59 and ↓4 +55
Views 214K
Comments Comments 43