От действий над матрицами к пониманию их сути…

Очень уважаю людей, которые имеют смелость заявить, что они что-то не понимают. Сам такой. То, что не понимаю, — обязательно должен изучить, осмыслить, понять. Статья "Математика на пальцах", и особенно матричная запись формул, заставили меня поделиться своим небольшим, но, кажется, немаловажным опытом работы с матрицами.

Лет эдак 20 назад довелось мне изучать высшую математику в вузе, и начинали мы с матриц (пожалуй, как и все студенты того времени). Почему-то считается, что матрицы — самая лёгкая тема в курсе высшей математики. Возможно — потому, что все действия с матрицами сводятся к знанию способов расчёта определителя и нескольких формул, построенных — опять же, на определителе. Казалось бы, всё просто. Но… Попробуйте ответить на элементарный вопрос — что такое определитель, что означает число, которое вы получаете при его расчёте? (подсказка: вариант типа «определитель — это число, которое находится по определённым правилам» не является правильным ответом, поскольку говорит о методе получения, а не о самой сути определителя). Сдаётесь? — тогда читаем дальше...

Сразу хочу сказать, что я не математик ни по образованию, ни по должности. Разве что мне интересна суть вещей, и я порой пытаюсь до них «докопаться». Так же было и с определителем: нужно было разобраться со множественной регрессией, а в этом разделе эконометрики практически всё делается через… матрицы, будь они неладны. Вот и пришлось мне самому провести небольшое исследование, поскольку ни один из знакомых математиков не дал внятного ответа на поставленный вопрос, изначально звучавший как «что такое определитель». Все утверждали, что определитель — это такое число, которое особым образом посчитано, и если оно равно нулю, то… В общем, как в любом учебнике по линейной алгебре. Спасибо, проходили.

Если какую-то идею придумал один человек, то другой человек должен быть в состоянии её понять (правда, для этого порой приходится вооружаться дополнительными знаниями). Обращение к «великому и могучему» поисковику показало, что "площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами — сторонами параллелограмма". Говоря простым языком, если матрица — это способ записи системы уравнений, то каждое уравнение в отдельности описывает вектор. Построив из точки начала координат векторы, заданные в матрице, мы таким образом зададим в пространстве некоторую фигуру. Если наше пространство одномерное, то фигура — это отрезок; если двумерное — то фигура — параллелограмм, и так далее.

Получается, что для одномерного пространства определитель — это длина отрезка, для плоскости — площадь фигуры, для трёхмерной фигуры — её объём… дальше идут n-мерные пространства, вообразить которые нам не дано. Если объём фигуры (то есть определитель для матрицы 3*3) равен нулю, то это означает, что сама фигура не является трёхмерной (она может быть при этом двухмерной, одномерной или вообще представлять собой точку). Ранг матрицы — это истинная (максимальная) размерность пространства, для которого определитель не равен нулю.

Так, с определителем почти всё понятно: он определяет «объёмность» фигуры, образованной описанными системой уравнений векторами (хотя непонятно, почему его значение не зависит от того, имеем мы дело с исходной матрицей, или с транспонированной — возможно, транспонирование — это вид аффинного преобразования?). Теперь нужно разобраться с действиями над матрицами…

Если матрица — это система уравнений (а иначе зачем нам таблица каких-то цифр, не имеющих к реальности никакого отношения?), то мы можем с ней делать разные вещи. Например, можем сложить две строки одной и той же матрицы, или умножить строку на число (то есть каждый коэффициент строки умножаем на одно и то же число). Если у нас есть две матрицы с одинаковыми размерностями, то мы их можем сложить (главное, чтобы при этом мы не сложили бульдога с носорогом — но разве математики, разрабатывая теорию матриц, думали о таком варианте развития событий?). Интуитивно понятно, тем более что в линейной алгебре иллюстрациями подобных операций являются системы уравнений.

Однако в чём смысл умножения матриц? Как я могу умножить одну систему уравнений на другую? Какой смысл будет иметь то, что я получу в этом случае? Почему для умножения матриц неприменимо переместительное правило (то есть произведение матриц В*А не то что не равно произведению А*В, но и не всегда осуществимо)? Почему, если мы перемножим матрицу на вектор-столбец, то получим вектор-столбец, а если перемножим вектор-строку на матрицу, то получим вектор-строку?

Ну, тут уж не то что Википедия, — тут даже современные учебники по линейной алгебре бессильны дать какое-либо внятное объяснение. Поскольку изучение чего-либо по принципу «вы сначала поверьте — а поймёте потом» — не для меня, копаю в глубь веков (точнее — читаю учебники первой половины XX века) и нахожу интересную фразу…
Если совокупность обычных векторов, т.е. направленных геометрических отрезков, является трёхмерным пространством, то часть этого пространства, состоящая из векторов, параллельных некоторой плоскости, является двумерным пространством, а все векторы, параллельные некоторой прямой, образуют одномерное векторное пространство.

В книгах об этом напрямую не говорится, но получается, что векторам, параллельным некоторой плоскости, необязательно лежать на этой плоскости. То есть они могут находиться в трёхмерном пространстве где угодно, но если они параллельны именно этой плоскости, то они образуют двумерное пространство… Из приходящих мне на ум аналогий — фотография: трёхмерный мир представлен на плоскости, при этом вектору, параллельному матрице (или плёнке) фотоаппарата, будет соответствовать такой же вектор на картинке (при условии соблюдении масштаба 1:1). Отображение трёхмерного мира на плоскости «убирает» одно измерение («глубину» картинки). Если я правильно понял сложные математические концепции, перемножение двух матриц как раз и представляет собой подобное отражение одного пространства в другом. Поэтому, если отражение пространства А в пространстве В возможно, то допустимость отражения пространства В в пространстве А — не гарантируется.

Любая статья заканчивается в тот момент, когда автору надоедает её писать. Поскольку я не ставил перед собой цели объять необъятное, а исключительно хотел понять суть описанных операций над матрицами и то, как именно матрицы связаны с решаемыми мной системами уравнений, я не полез в дальнейшие дебри линейной алгебры, а вернулся к эконометрике и множественной регрессии, но сделал это уже более осознанно. Понимая, что и зачем я делаю и почему только так, а не иначе. То, что у меня получилось в этом материале, можно озаглавить как «глава о сути основных операций линейной алгебры, которую почему-то забыли напечатать в учебниках». Но ведь мы же не читаем учебников, правда? Если честно, когда я учился в университете, мне очень не хватало именно понимания затронутых здесь вопросов, поэтому я надеюсь, что, изложив этот непростой материал по возможности простыми словами, я делаю доброе дело и помогаю кому-то вникнуть в саму суть матричной алгебры, переведя операции над матрицами из раздела «камлание с бубном» в раздел «практические инструменты, применяемые осознанно».
AdBlock has stolen the banner, but banners are not teeth — they will be back

More
Ads

Comments 70

    +1
    Вышку учил лет 10 назад, но все изложено ясно и понятно, поэтому одного "вникнувшего" читателя вы уже имеете)
      +10
      В книгах об этом напрямую не говорится, но получается, что векторам, параллельным некоторой плоскости, необязательно лежать на этой плоскости.

      И правильно не говорится. Потому что вектор — это, строго говоря, не объект в пространстве. У него нет конкретного местоположения, как такового. Он не может, как вы сказали "где-то находиться". Иначе это будет уже не вектор, а векторное поле (а это — совсем иная история). Именно поэтому прямая, например, не задается однозначно направляющим вектором — необходимо определить еще хотя бы одну точку, принадлежащую этой прямой, чтобы задать ее однозначно (а не целое семейство параллельных прямых).

      И в рамках этого простого факта, цитата, приведенная вами, становится очевидной до бессмысленности.
        0
        Не обязательно вводить векторное поле чтобы "поместить" вектор в пространстве :) Есть же такое понятие как направленный отрезок.
          0
          Очень часто говорят о радиус-векторах, используя термин вектор (для удобства, чтобы не говорить "лишнего").
          Поэтому в головах иногда возникает путаница, ведь радиус-векторы в отличие от "обычных" векторов не скользят в пространстве, а жёстко прибиты к началу координат.
          Мне кажется, в подавляющем большинстве случаев проблема растёт из этого.
            +1
            Вектора не могут в принципе ни "скользить" в пространстве, ни быть прибиты к началу координат или любой другой точке.

            Вектор — это:

            1. объект, имеющий величину и направление;
            2. элемент линейного пространства;
            3. класс эквивалентности направленных отрезков;
            4. объект, заданный одномерным массивов своих координат.

            Ни одно из определений вектора не дает ему быть "прибитым" к конкретной точке пространства.
              0
              Простите, мне кажется, Вы перебарщиваете.

              Ра́диус-ве́ктор (обычно обозначается r со стрелкой или просто r — вектор, задающий положения точки в пространстве (например, гильбертовом или векторном) относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.
              Для произвольной точки в пространстве, радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку.

              Вот определение из Википедии (не знаю, хватит ли авторитета).
              Определение радиус-вектора даётся через вектор.

              А ещё можно и просто здесь посмотреть Виды векторов
                +1
                Вот это:

                относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

                строго означает, что для того, чтобы радиус-вектор указывал на целевую точку, его надо отложить от заданной (начала координат). Иными словами, сам по себе радиус вектор информации о начале координат не содержит.
                  –1
                  Строго радиус-вектор откладывается всегда от начала координат.
                  По определению.
                  Радиус-вектор — это способ задания точки в пространстве.
                  Задаем параметры радиус-вектора — однозначно получаем точку в пространстве.
                  Вы о чём хотели сказать?
          +7
          >> определитель — это число, которое находится по определённым правилам
          Именно из-за таких определений с линейной алгеброй в ВУЗе как-то не задалось. Всегда хотелось познать явление/сущность, а не выучить слова и действия.
          Спасибо!
            0
            В математике нет таких размытых опредлений, содержащей в формулировке определенные(какие-то) правила. Там все конкретно, для определителя, например, есть вполне конкретная формула. И если кому-то что-то рассказывали с такой подачей, то да, это очень печально.
              +2
              Там все конкретно, для определителя, например, есть вполне конкретная формула

              Статья как раз об этом: вот есть конкретная формула для определителя. И что? Каков смысл определителя?
                +2
                Ну вот в учебнике "Матричный анализ и линейная алгебра" Е. Е. Тыртышникова, например, определитель вводится как индикатор линейной зависимости векторов, а потом уже выводится для него формула. Учебники разные бывают.
                UPD. Ниже вот Morozov_5F уже упомянул эту книгу.
                  –2
                  индикатор линейной зависимости векторов

                  Звучит как пустой набор слов. Геометрическая интерпретация в 100^100 лучше.
                    +1
                    Странное замечание. В каком смысле лучше? Лучше для чего? Если нам нужно посчитать площадь параллелограмма, то действительно лучше. А нсли нам нужно узнать, выражается ли один вектор через другой? Это и есть линейная зависимость, если грубо. Ну а так-то можно всю математику назвать пустым набором слов.
                      0
                      Для понимания того, что такое определитель, если мы говорим о линейных уравнениях и изучении азов. Иначе вам надо объяснять абстрактные "линейная зависимость" и "индикатор" в применении к ней. Геометрическая интерпретация — мгновенно ясна, наглядна.
                        0
                        Да-да, ясна и наглядна. Особенно на n-мерных векторах при n > 3
                          +1
                          Нет конечно, для матриц 2 на 2 и их перемножения. Я же написал вроде бы по-русски:

                          и изучении азов

                          По геометрической интерпретации сразу видно, кстати, почему операция умножения в общем случае не "переместительна", и свойства транспонированной матрицы.

                          "Индикатор" же не говорит ни о чем. Это объяснение допустимо при более глубоком изучении, на абстрактном уровне. Я же — о введении в тему, самом начале. Хорошо, когда понятие можно "пощупать", найти ясную аналогию, а потом развить определение до уровня, когда понятная аналогия остается лишь частным случаем. Это намного лучше для изучения, чем абстрактное определение "в лоб".
                            0
                            Просто у определителя куда больше приложений, чем площадь параллелограмма посчитать. Увы, как правило, многие на этой площади и зацикливаются
                              0
                              Я впервые увидел такое использование определителя — ни разу за 2 года в ВУЗе этого не было сказано о площади и не видел этого в учебниках. Почему-то не попадались мне учебники с геометрической интерпретацией.
                              Конечно, зацикливаться не надо, но иллюстрация красивая, для изучения — полезная.
                                0
                                Об этом говорится в курсе аналитической геометрии, когда учился я — это было во всех вузах. Типичная задача курса "Даны координаты вершин пирамиды ABCD, найти длину/площадь/объем ..." как раз и требует использования знаний из матричной алгебры. Ну, или мне повезло с преподавателем)
                                  0
                                  Ни когда я готовился к поступлению в университет (занимался с очень толковым репетитором, мы с ним матрицы успели в целом неплохо для того времени и уровня моих знаний разобрать), ни когда учился в университете (одних аудиторных занятий по высшей математике со всевозможными матметодами и матпрограммированием часов на 500 выходило, наверное), никто нам ни разу не предложил такую интерпретацию матриц… вот и пришлось мне своим умом доходить, но не тогда, а сейчас, когда "припёрло" (столкнулся с матричными вычислениями в эконометрике, и возникла необходимость понять, что же я делаю и почему оно даёт такие вот результаты). Видимо, кому-то всё же повезло с преподавателем больше, чем мне. Я рад за вас, VitaliyS!
                                    0
                                    У нас конкретно этого применения, такой интерпертации не было (2006/2007 год, один из ВУЗов СПБ).
              +18
              Извините, но вам бы перечитать учебник еще раз с самого начала. И на этот раз смотреть не на матрицы, а на сами понятия линейного пространства, линейного оператора.
              При помощи матриц определяют иногда совершенно различные объекты, матрица в этом смысле — лишь удобный способ записи. Иногда матрица определяет систему линейных уравнений, иногда — оператор, т.е. преобразование пространства, иногда — метрику, и только иногда матрица нужна как самоценный объект. Пытаться эти применения смешать воедино — глупость несусветная.
              Скажем, если над матрицами, определяющими системы линейных уравнений допустимы (в том смысле, что приводят к эквивалентной задаче) операции по умножению строки на число и сложению строк, то для матриц операторов это недопустимая операция. Ну или еще пример: правила смены базиса для систем уравнений, операторов и метрик — три совершенно различных правила. А все потому что матрица сама по себе не имеет смысла никакого смысла, кроме "прямоугольная табличка с числами", а смысл ей придает задача, к которой такое матричное описание приложено.
                0
                мне всегда казалось, что идентичность описания матрицами разных объектов очень наглядно говорит о том, что вещи разной природы являются на самом деле одним и тем же, просто выраженным в разных проявлениях.
                  +7
                  Все таки нет. И температура на улице, и масса кирпича выражаются одним и тем же типом объектов: положительными числами. Это не делает температуру и массу одной величиной. Матрица — это просто способ записи некоторого объекта.
                    0
                    Разве? И масса и температура — скалярные величины. Мы даже меряем из похожими устройствами, и не посвященный человек не особенно то их и отличит. То что из смешивание бессмысленно — это уже другой вопрос.
                      +2
                      Хорошо, скалярные. А давайте теперь попробуем сделать одно общее правило сложения этих величин: сложение масс (экстенсивная величина) и сложение температур(интенсивная величина)? Температура — число? Число. Сложить можно? Можно. Физический смысл у этого действия хоть какой-то есть? Нет.
                        –2
                        Тело имело температуру 150 градусов, мы его нагрели еще на 50, теперь его температура 200 градусов ;) Хотя для объяснения операции сложения масса подходит лучше — это факт. А еще лучше яблоки.
                          +5
                          Второе слагаемое — 50 — не является температурой какого либо физического объекта. Это — разность температур, совершенно другая физическая величина той же размерности.
                            –3
                            Похоже, что с чувством юмора у математиков так же плохо, как у филологов с математикой. Так еще и обидчивые до ужаса, и сразу по карме...
                              –4
                              А потом еще на спортсменов обижаются, что те чуть-что — сразу по морде.
                                –4
                                Мда. Пойду я лучше потусуюсь с гопниками, по ходу они добрее.
                                  0
                                  Не забудьте нанести гопникам 3 оскорбления подряд. И пожалуйста, не воспринимайте карму (индикатор согласия/несогласия) как физическое замечание (которое Вам здесь не вынесут, а вот гопники – ну разве в том случае, если Вы хороший бегун).
                            –1
                            Ок, поправлю. Абсолютная температура тела.
                              0
                              Да я понял. Все здесь обсуждаемое — философские вопросы, которые, к сожалению, перешли в непонятный спор и выяснение отношений. Чего мне совершенно не хотелось.
                                0
                                Я собственно лишь прояснил свою точку зрения на тот самый философский вопрос, про который мы говорим. "Выяснение отношений" — это вы меня с кем-то спутали, извините.
                                0
                                (сообщение удалено)
                                  0
                                  Но разность температур не перестает являться температурой по размерности, как мне по сути правильно указали.
                                    0
                                    Тем не менее, у разности температур другие свойства. К примеру, другие формулы перевода единиц измерения.
                      +2
                      Очень хорошо это написано в книжке Тыртышникова "Матричный анализ и линейная алгебра". Учебник для студентов ВМиК МГУ, написан очень добротно и все содержание статьи, именно "по сути", можно найти в этой книге.
                        +1
                        Нашел, просмотрел. Знаете, что мне не понравилось не хватает в этой книге? Она написана исходя из предположения, что читатель понимает, что именно он делает, умножая одну матрицу на другую. В этой книге действительно хорошо прописаны методы, то есть дан ответ на вопрос — "как это делается?", но нет ответа на другой вопрос: "что обозначает каждое из получаемых в ходе расчётов чисел?". Меня ещё в университете приучили к тому, что каждая цифра что-то да означает, что не бывает чисел ради чисел, что даже в промежуточных вычислениях любое число имеет какой-то собственный смысл. Потому-то я и задался вопросами, чем является определитель (выяснил — длина, площадь, объём и т.п., в зависимости от размерности матрицы), в чём суть умножения матриц (выяснил — отражение одного пространства в другом, возможно, меньшей размерности — прямо как картинка в телевизоре). Возможно, кому-то это покажется "костылями", но без этих костылей, да простят меня математики, вся теория опирается на воздух и упоминание системы уравнений… Осваивая незнакомый инструмент, мне было важно для начала хотя бы приблизительно понимать, как он работает, на чём основан, и только после этого вникать в дебри теории и разбираться в тонкостях. Является ли то, что описано в статье истиной в последней инстанции? — Ни в коем разе! Полезно ли это знание для того, чтобы начать применять матричную алгебру более осознанно? — Мне кажется, да.
                          –1
                          после некоторых размышлений пришёл к выводу, что мы «перемножаем матрицы» ежедневно — когда смотрим телевизор и когда смотримся в зеркало — по сути, видимая нами плоская картинка представляет собой произведение матрицы «пространство» на матрицу «плоскость» (экран телевизора или плоскость зеркала — различия есть, и они заключаются в «развороте» картинки… над аналогией этого «разворота» пока не думал — немного некогда)
                        +5
                        Почти во всех вузах страны "высшая математика" — это такой курс "обо всём понемногу" — собрали людей, открыли перед ними ящик пандоры коробку с карандашами сундук с инструментами, бегом-бегом на весу в воздухе показали в какую руку их надо брать, что крутить. куда смотреть и на что нажимать… В разделе "сегодня мы проходим пистолеты" вперемешку оказались — клеевой пистолет, термофен, шуруповёрт, почему-то топор, пирометр и "ТульскийТокарев"… поскольку всё это показывали просто в кабинете, без примеров использования, просто для ознакомления с внешним видом, часто даже не доставая из сундука — то вот.
                        Впрочем, справделивости ради, 99% раздела "высшая математика" тем, у кого эта "вышка" была одним предметом. а не кучей 5-семестровых всевозможно-разных курсов — действительно по жизни никогда не понадобятся — уж очень это сложные и специфичные знания. (Лапласиан от Лагранжиана я когда-то отличал… самому страшно)
                          +2
                          А по моему автор прав, что пытается понять суть операций с матрицами используя интуитивно-понятные сущности. Без этого учебник по линейно алгебре напоминает сборник магических заклинаний. Это как учебник алгебры, в котором есть таблица умножения, но нет объяснения того, что же такое умножение. Абстракции хороши только после понимания частных случаев.
                            +2
                            Проблема с интуитивно-понятными сущностями (и аналогиями, которые тоже очень любят) в том, что люди потом часто оказываются не способны к работе с чуть более абстрактными операциями, не способны сами провести соответствующее обобщение. И, скажем, ан.геом. и его методы у них не увязываются с линейными пространствами из линала. И вектора остаются стрелочками в пространстве, а не простыми и понятными абстрактными элементами линейного пространства.
                              0
                              Со объяснением множества сложных вещей так: сначала дается интуитивно понятное объяснение, а потом уже углубляются на более абстрактный уровень. Тогда ты понимаешь, что вот это интуитивно-понятное — просто частный случай был и т.д. А иначе велик шанс, что чисто абстрактное будет неведомой ересью.
                                0
                                Опять, можно так привязаться к одному примеру, и потом категорически отрицать иные приложение, которые следуют из абстракции. Очень сложный вопрос в этом плане — что должно быть сначала — 'конкретика или абстракция'
                            0
                            Да, конечно, мне стоило бы не только перечитать учебник (а возможно, и не один десяток учебников) с самого начала, но и изучить курс полностью (я нисколечко не математик — ни по образованию, ни по должности). Каюсь: у меня на это нет времени, других задач полно. Здесь я рассматривал исключительно случай, когда матрица является способом записи системы линейных уравнений, и соответственно — пытался понять, что с матрицей можно делать как с системой уравнений (и как эти операции могут быть переведены из "камлания с бубном" в некую осмысленную деятельность). Если вдруг мне придётся использовать матрицу в качестве оператора или метрики, то тогда я конечно же изучу теорию и по этим разделам. Здесь же, в этой статье, представлена всего лишь моя попытка осмыслить суть операций над матрицами в их связи с решением систем уравнений. Попытки смешать разные понятия здесь не было. Возможно, я недостаточно чётко определил границы поднятого вопроса. Спасибо за замечание.
                            0
                            Должен признать, что я уже даже не помню, когда я перестал задумываться — что же такое определитель — и задумывался ли вообще?
                            Поэтому большое вам спасибо за статью.

                            Однако, быстрый гуглинг по запросу показывает, что вы (вероятно) близки к истине, но не совсем.
                            Потому что определитель ведь бывает отрицательным. А что такое отрицательная площадь или отрицательный объем?

                            Вот тут чуть подробнее (со ссылкой на англовики):

                            Геометрический смысл определителя следующий (для квадратной матрицы с вещественными элементами):
                            Линейное преобразование может быть представлено в виде матрицы, в таком случае модуль определителя задает масштабный коэффициент, на который умножается площадь/объем фигуры, а знак определителя показывает, сохраняет ли преобразование ориентацию фигуры.
                              +1
                              Собственно, русская вики примерно это же самое и содержит, в статье про определитель. Хм.
                                +5
                                Есть такое понятие, как направленная площадь. Эта величина одновременно показывает занимаемое объектом место и то, какой "стороной" этот объект к нам лежит. Некоторые формулы резко упрощаются при добавлении знака площади.

                                К примеру, можно подсчитать площадь выпуклого многоугольника если выбрать внутри него точку, провести отрезки до вершин многоугольника из этой точки — и просуммировать площади получившихся треугольников.

                                А если взять направленные площади — то формула останется верной даже если центральную точку взять за пределами многоугольника. И даже невыпуклый многоугольник не станет проблемой.

                                Считать площадь многоугольника по такой формуле очень удобно, если взять за центр начало координат:

                                S = (x1 y2 — x2 y1) + (x2 y3 — x3 y2) +… + (xn y1 — x1 yn)
                                  +2
                                  Основная точка может быть выбрана всегда произвольно (я лично предпочитаю (0, 0, 1) ;-))
                                  Если точка будет внутри фигуры, то знак площади просто вернёт вам направление обхода вершин «против или по часовой стрелке» от основной точки.
                                  Если точка будет вне фигуры, то… Тут я затрудняюсь дать интерпретацию. Но я не затрудняюсь так же и не имея такой интерпретации.

                                  Как меня однажды верно поправили на Хабре — математика действительно не наука, а конструктор формальных инструментов (подходов). Математика изучает какие инструменты могут существовать, как они взаимодействуют между собой как «вещи в себе», и как развивалось формальное человеческое мышление вообще.

                                  И так выходит, что любая наука, базирующаяся на формальной логике, может бесплатно обращаться к громадному массиву формальных инструментов, уже разработанных математиками, которым в своё время было плевать на «физическую реальность, данной нам в ощущениях».

                                  И да, определитель матрицы действительно в некотором частном случае может означать некую «осязаемую» метрику параллелепипеда.

                                  Я бы мог добавить автору, что если мы посмотрим на матрицу как оператор преобразования точки в пространстве, то некоммутативность произведения матриц «в данном приложении» можно объяснить «на пальцах так»:
                                  1) умножение матриц означает последовательность операций «движения».
                                  2) поэтому задание «шаг вперёд»*«повернуть влево» даст результат, отличающийся от «повернуть влево»*«шаг вперёд».

                                  И да, в первом приближении можно людям пояснить, что взятие дифференциала означает «превращение расстояния в скорость, а скорости в разгон», а взятие интеграла, наоборот, «превращение разгона в скорость, и, далее, скорости в расстояние». И найти много других доступных объяснений разным математическим феноменам в очевидных аналогиях с реальностью.

                                  В этом разе автор статьи молодец, так как изыскивать способы вдолбить формальную логику в головы учащихся, заставить полюбить точные решения, искать красивую и уместную комбинацию инструментов для этого необходимо любыми действенными педагогическими способами.

                                  Однако, нельзя забывать, и нельзя забывать в нужный момент преподавать, что математике завсегда плевать на приложение. Прикладники должны сами искать и выбирать правильные инструменты из склада инструментов.
                                    0
                                    P.S. Ученики так же должны в конце концов осознать, что и способ может быть не единственным, способы могут компоноваться разными комбинациями разных инструментов. А некоторые из учеников ещё и смогут разглядеть, что одни способы почему-то красивее других — вот это настоящие романтики.
                                      0
                                      Если точка будет внутри фигуры, то знак площади просто вернёт вам направление обхода вершин «против или по часовой стрелке» от основной точки.
                                      Если точка будет вне фигуры, то… Тут я затрудняюсь дать интерпретацию. Но я не затрудняюсь так же и не имея такой интерпретации.
                                      Потому что зря вы эту самую точку в интерпретацию включили. Площадь не зависит от того как мы ее считаем — так почему интерпретация ее знака должна зависеть от какой-то выбранной точки?

                                      Знак направленной площади зависит от направления обхода вершин. Все. Окончание «от основной точки» — лишнее.
                                        0
                                        Понял
                                      0
                                      UPD: забыл в формуле множитель 1/2 — и никто не заметил :)
                                        0
                                        потому, что формулы в такой записи плохо воспринимаются...
                                    +6
                                    Умножение матриц — это композиция линейных отображений.
                                      0
                                      Сэр, это был мой бифштекс! Ваша формулировка хороша, но настоятельно требует перевода с русского математического на русский-доступный-не-математику...
                                        +1
                                        Это ещё на простом и чистом русском. Темная сторона — это определения из книжек Бурбаки.
                                      +1
                                      Матрицу можно рассматривать как геометрическое преобразование векторов. Такое преобразование обычно делается путем умножения матрицы на вектор, например \textstyle Ax = b, или можно взять можно векторов, засунуть их всех в матрицу и получить \textstyle AX=B. Тогда любую матрицу можно рассматривать как комбинацию масштабирования, вращения, смещения или отражения. Тогда детерминант — это мера площади, объема, гипер-объема и так далее паралеллограмма, паралеллипипеда или гиперпараллелипипеда, который определяют колонки матрицы.

                                      Например, если рассматривать двумерную матрицу

                                      \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix}

                                      То детерминанта \textstyle ad-bc — это площадь параллелограмма ниже:



                                      Взято отсюда.
                                        +2
                                        Отличная, так сказать, визуализация, спасибо!
                                        Когда читаю такие материалы, становится грустно за бесцельно прожитые годы в универе, где все было строго по букве доказательства, но очень далеко от реального мира.
                                          +2
                                          Во-во, мы изучали: линейную магию, высшую магию и основы магического анализа.
                                            +4
                                            Я когда-то читала интервью с одним из своих преподавателей в университетской газете (он вел случайные процессы), и он там сказал, что его даже немного обижает, когда математическим концепциям пытаются найти практическое применение. Ведь математика красивая и изящная, а всякие приземленные вещи ее опошляют. У меня мнение прямо противоположное, но это интервью многое прояснило в системе преподавания ))) Правда, жаль что я его прочитала уже после выпуска…
                                          +1
                                          Автор, поддерживаю!
                                          Я тоже всегда стараюсь придумать интерпретацию, чтобы мозг мог "пощупать" идею.
                                          Поэтому было легче с производными и интегралами — у них были хорошие геометрические и физические смыслы.
                                          Тут есть только одна опасность, когда модель не может покрыть всю область определения идеи, и в некоторых моментах и подстановки, и интуиция будет давать сбой.
                                          Об этом есть отличная книга В. Босс Интуиция и математика.
                                          Очень рекомендую.
                                          Кстати, его же серия "Лекции по математике" ставит своей целью помочь освежить и разобраться в математике тем, кто её когда-то проходил :)

                                          Вот предисловие

                                          Спасибо тебе Господи, что ты создал все нужное нетрудным, а все трудное — ненужным.
                                          Сковорода


                                          Для нормального изучения любого математического предмета необходимы, по крайней мере, 4 ингредиента:

                                          1. живой учитель;
                                          2. обыкновенный подробный учебник;
                                          3. рядовой задачник;
                                          4. учебник, освобожденный от рутины, но дающий общую картину, мотивы, связи, «что зачем».

                                          До четвертого пункта у системы образования руки не доходили. Конечно, подобная задача иногда ставилась и решалась, но в большинстве случаев — при параллельном исполнении функций обыкновенного учебника. Акценты из-за перегрузки менялись, и намерения со второй-третьей главы начинали дрейфовать, не достигая результата. В виртуальном пространстве так бывает. Аналог объединения гантели с теннисной ракеткой перестает решать обе задачи, хотя это не сразу бросается в глаза.

                                          «Лекции» ставят 4-й пункт своей главной целью. Сопутствующая идея — экономия слов и средств. Правда, на фоне деклараций о краткости и ясности изложения предполагаемое издание около 20 томов может показаться тяжеловесным, но это связано с обширностью математики, а не с перегрузкой деталями.

                                          Необходимо сказать, на кого рассчитана книга. Ответ «на всех» выглядит наивно, но он в какой-то мере отражает суть дела. Обозримый вид, обнаженные конструкции доказательств, — такого сорта книги удобно иметь под рукой. Не секрет, что специалисты самой высокой категории тратят массу сил и времени на освоение математических секторов, лежащих за рамками собственной специализации. Здесь же ко многим проблемам предлагается короткая дорога, позволяющая быстро освоить новые области и освежить старые. Для начинающих «короткие дороги» тем более полезны, поскольку облегчают движение любыми другими путями.

                                          В вопросе «на кого рассчитано» есть и другой аспект. На сильных или слабых? На средний вуз или физтех? Опять-таки выходит «на всех». Звучит странно, но речь не идет о регламентации кругозора. Простым языком, коротко и прозрачно описывается предмет. Из этого каждый извлечет свое и двинется дальше.

                                          Наконец, последнее. В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Не потому, что изучаемые дисциплины чересчур разрослись, а потому, что новых секторов жизни стало слишком много. И в этих условиях мало кто готов уделять много времени чему-то одному. Поэтому учить всему — надо как-то иначе. «Лекции» дают пример. Плохой ли, хороший — покажет время. Но в любом случае, это продукт нового поколения. Те же «колеса», тот же «руль», та же математическая суть — но по-другому.

                                          Кто-то эти лекции ругает, а кто-то хвалит.
                                          Не считаю себя математиком (хотя в курсе было много, и сам по себе математику люблю), так что просто от себя имхо — мне понравились, хотя всё прочесть не успеваю.
                                            0
                                            И все таки, в чем прикладной аспект действий с матрицами?
                                            Прочитав тему и комменты, я этого так и не понял. Я не математик, и, увы, не понимаю прелести науки ради науки, но с матрицами учился работать в институте, как и многие в этой теме. Поэтому интерес к матрицам у меня тоже привит, хоть и очень приземленный. Так может кто то прямым текстом написать, что, к примеру, умножение матриц используется в: обработке звука, распознавании образов, расчете траектории, в криптомайнинге, или чем то еще? Назовите востребованную задачу и/или алгоритмы, где это используется на практике.

                                            Для затравки, есть такой тензорный процессор от гугл ссылка на вики, который якобы творит чудеса распознавания образов. Здесь вот пишут, что операции над матрицами — это будущее микропроцессоров, следующая ступень эволюции. Есть здесь специалисты, кто понимает в чем бенефит от использования матриц при распознавании образов? Или, скажем, при замене скалярного набора операций типового FPU на аналогичный набор операций, но с матрицами?
                                              +1
                                              умножение матриц используется в...

                                              Мне кажется, изначально всё-таки лучше понимать основную идею: скалярное произведение векторов даёт их корреляцию — то, насколько в целом (линейно говоря) похожи две последовательности чисел. А умножение матриц — это такой компактный способ скалярно перемножать вектора оптом (который хорошо распараллеливается). Ну а дальше и коню понятно, как оно работает, например, в задачах, где требуется сопоставление с образцом — хоть в распознавании сигналов, хоть в преобразовании Фурье.
                                                0
                                                Спасибо! Если я правильно понял, аппаратное перемножение матриц — просто надстройка на DSP, с целью распараллеливания. Вполне доходчиво объяснили, вопрос снят :-)
                                                И про гугло-процессор тоже теперь понятно, зачем его сделали.
                                                  0
                                                  скалярное произведение векторов даёт их корреляцию
                                                  Спасибо за эту мысль. Благодаря гуглю обнаружил вот такую интересную книгу Факторный анализ (Окунь. Я.), в которой всё объясняется через векторы… в выходные засяду за её изучение…
                                                0
                                                «Поскольку изучение чего-либо по принципу «вы сначала поверьте — а поймёте потом» — не для меня»
                                                как же верно это сказано.
                                                Спасибо за статью, я вот только с утра задался вопросом — а зачем матрицы? В большинстве случаев аналогичные вопросы на форумах вызывают реплики типа: иди учись, неуч. Или: да ты, видать, гуманитарий (что правда)… А по факту, как в ManInBlack «Он, конечно, повторил, но сам не понимает то, что он сказал»…
                                                Но зачем?
                                                И вот ваша статья, спасибо. День начинает проясняться :)

                                                Only users with full accounts can post comments. Log in, please.