Математическая модель восприятия (Часть 1)

    Часть 2
    Часть 3

    Введение (Языковая природа абстрактных понятий)


    Цель этой работы показать, как языки наподобие английского, в качестве естественного и эффективного метода могут возникнуть на различных уровнях процесса восприятия. Попутно затронуты вопросы механизмов, позволяющих нам и животным видеть, классифицировать по форме цветовые пятна, составлять представление о местах, предметах и их геометрических свойствах. Несколько слов посвящено чисто языковым проблемам: тому, какие понятия и методы должны присутствовать в любом достаточно выразительном описательном языке среди первоначальных, а какие, в качестве производных, из первоначальных могут быть получены.
    Каким же образом мог бы участвовать язык, например, в процессе зрительного восприятия? Каждый из нас привык говорить о своей способности видеть дерево, слышать пение птиц и чувствовать тепло, держа руку над свечой. Тем не менее нашему сознанию ни звук, ни тепло, ни ощущение света не доступны для восприятия непосредственно. Представление обо всем этом формируется исключительно на основании свойств и закономерностей раздражения наших рецептов. Чтобы понять сложность задач, возникающих в таких случаях перед мозгом, представьте себе, что, вместо привычного способа созерцания самой обычной кошки, у вас «букет» из полусотни лампочек на проводах, отвечающих раздраженности светочувствительных рецепторов сетчатки глаза. Попробуйте теперь исключительно в терминах того, какие из ламп горят а какие нет, сформулировать, что такое кошка. Не правда ли, при решении этой задачи возникает желание записать, в какой последовательности упомянутые лампы загораются или гаснут. Сам процесс создания такой записи уже является зачатком (прим. для переводчика: имелось в виду seed) языковых методов.
    Предположим, некоторое время понаблюдав за лампами и поразмыслив, вы дали какое-нибудь исчерпывающее определение понятию «кошка».Тогда естественным был бы вопрос его универсальности: если кто-то другой, имея тот же букет ламп, исчерпывающе определит, что такое «кошка», совпадут ли ваши определения? Чтобы прояснить ситуацию, возьмем пример попроще. Представьте себе букет из семи ламп, отражающих состояние семи светочувствительных рецепторов, расположенных как на рис.1a
    image
    Если лампы совершенно одинаковы и нет никакого способа решить по любой из них, каково место связанного с ней рецептора, то во избежание путаницы было бы разумно каждую из этих ламп пометить номером. В соответствии с нумерацией рисунка 1а фигура, именуемая здесь «черная косточка» (рис 1б) может быть исчерпывающе описана простым перечислением того, под какими номерами лампы горят, а под какими нет.
    image
    К сожалению, подобные определения косточек ни на какую универсальность не претендуют, поскольку нет каких-либо предпосылок, чтобы разные люди нумеровали лампы одинаково. Это немного напоминает тот факт, что даже у похожих внешне народностей одни и те же понятия, к примеру солнце, имеют разные названия.
    Известно, что глаз насекомого состоит из множества самостоятельных маленьких глазков, расположенных подобно ячейкам в пчелиных сотах. Очевидным способом конструирования природой зрения насекомого (это лишь разумная догадка) было бы связать с каждым таким глазком свой маленьких промежуточный отдел мозга, в задачи которого входило бы составлять описание текущего изображения на сетчатке глазка и передавать это описание к вышестоящим отделам. Чтобы насекомому понимать, что разные глазки наблюдают на самом деле один и тот же предмет и отслеживать положение этого предмета, крайне предпочтительно было бы иметь метод, позволяющий промежуточным отделам для одинаковых изображений строить одинаковые описания, независимо от того, на сетчатке какого глазка такие изображения появляются (рис.2).
    image
    Подобным методом могло бы стать описание изображений исключительно в геометрических терминах, лишенное соотнесения с какой-либо нумерацией. Однако не стоит забывать, что определение всех этих «геометрических терминов» должно быть предварительно дано все через те же аморфные букеты ламп.
    Вопрос, родственный только что описанной проблеме, — каким образом у человека процесс узнавания формы цветовых пятен устроен так, что он не зависит от положения этих пятен в поле зрения, и как дать такую же возможность машинам. Пусть некоторая машина или живой организм уже способны классифицировать форму цветовых пятен и их взаимное расположение. Достаточно ли этого для возможности образовывать понятия о местах и предметах? Ключевой особенностью мест и предметов является то, что их невозможно, в отличие от цветовых пятен, наблюдать целиком: как бы вы ни вращали собранный кубик Рубика, увидеть одновременно больше трех его граней у вас не получится. Каждый имеет представление о своем городе или селе, но в них наверняка много таких мест, которые нельзя увидеть разом.

    В первой части ближайшего повествования на крайне простом примере будет показано, как в терминах рецепторов цвета и движения определить основные геометрические понятия. Вторая часть посвящена симметриям и тому, как инвариантным образом по отношению к положению в поле зрения может быть определена форма, а в третьей — исследуются средства, необходимые для формирования понятий «предмет» и «место».

    Геометрические понятия гексагональной решетки


    Чтобы проиллюстрировать, как в процессе восприятия возникает представление о свойствах геометрического характера, возьмем достаточно простой пример из воспринимаемого объекта такие свойства в себе заключающего и воспринимающего – способного их заметить. Этими объектами будут нам служить гексагональная решетка, раскрашенная самым произвольным образом в черный и белый цвет подобно политической карте, и зонд из семи цветочувствительных рецепторов, соединенных рамкой, способной над этой решеткой перемещаться.
    image
    Для удобства описания перемещения зонда жестко свяжем его с циферблатом так, чтобы рецепторы оказались напротив отметок «2», «4», … «12» (рис 4).
    image
    Если это сделано, то каждая инструкция вида: «сместить зонд параллельно себе в направление «2» на 6 клеток, затем повернуть его она треть оборота против хода часовой стрелки, после чего вновь сместить в направлении «12» на 4 клетки» определяют некоторый тип движений (считается, что циферблат поворачивается вместе с зондом). Среди этих типов особо выделим плоскопараллельные смещения на одну клетку в направлении «2», «4» … «12», для краткости обозначая их соответственно как ,➚,…↑, а также повороты вокруг центрального рецептора на 60° по ходу часовой стрелки — ↷ и против — ↶. Первые будем называть элементарными смещениями, а вторые – элементарными поворотами. Предполагается, что зонд способен мгновенно скачком выполнять движения некоторых типов, среди которых обязательно присутствуют элементарные смещения, но не обязательно элементарные повороты.
    Движения таких типов назовем простыми для зонда.
    Следуя общей идеи повествования, будем считать, что к цветочувствительным рецепторам подключен произвольным образом, возможно никак не отражающим их взаимного расположения, букет из семи одинаковых на вид ламп, каждая из которых горит в точности тогда, когда связанный над ней рецептор находится над белой клеткой (рис 5а).
    image
    Простые движения будем отслеживать с помощью другого букета ламп: каждая его лампа гаснет в те моменты, в которые происходят движения типа, представляемого этой лампой.
    image
    Здесь также предполагается отсутствие какой-либо возможности лишь по виду ламп определить типы, представляемых ими движений. Но нельзя ли это сделать другим способом?
    Сократ в одном из «Диалогов Платона» заметил, что если в селении живет только один художник, то свойство быть художником однозначно называет этого человека или, то же самое, является для него категоричным. Связь зонда с индикаторами порождает следующую двойственность: всякому явлению, наблюдаемому по отношению к цветочувствительным рецепторам и движениям зонда, дуально явление, наблюдаемое по отношению к его индикаторам; всякой же закономерности, которая может быть сформулирована лишь в терминах движений и воспринимаемых рецепторами цветов, дуально соответствует закономерность, выразимая исключительно в терминах его индикаторов. Естественной, поэтому, является попытка настолько категорично охарактеризовать, какие именно явления или какие именно закономерности соответствуют друг другу, чтобы, наблюдая только за индикаторами, смочь сказать, что же происходит в этот момент с зондом.
    Переход от определения некоторого понятия к определению двойственного ему понятия назовем переводом. Договоримся всюду, где это возможно, давать одинаковые имена двойственным понятиям, при этом говоря о собственном смысле этих имен, когда они называют понятия, относящиеся непосредственно к зонду, и несобственном смысле, когда речь идет о явлениях, связанных с его индикаторами. В качестве иллюстрации попытаемся в двойственных терминах охарактеризовать класс элементарных смещений и свойства рецепторов «быть центральным».
    Может наблюдаться такое явление, что всякий раз сразу после завершения движения типа p цветочувствительный рецептор x всегда оказывается над той же самой клеткой, над которой непосредственно перед выполнением этого движения находился рецептор y.
    Пусть рецепторы помечены буквами A,B,…G как на рис.6,
    image
    тогда G после смещения ↑, всегда оказывается на том месте, где этого находилась A;
    image
    E после двойного смещения на ➚ всегда оказывается на том месте, где до этого находилась B;
    image
    всякий раз после поворота вокруг C на 60° по ходу часовой стрелки C остается на своем месте, а E оказывается там, где до этого находилось A.
    image
    Внимательное рассмотрение приведенных иллюстраций наталкиевает на мысль, что то же самое явление можно определить без упоминания о клетках решетки — исключительно в терминах рецепторов, типов движений и цветов:
    “будем говорить, что рецептор y лежит по направлению движения P от рецептора x, если всякий раз после завершения движения типа P цветочувствительный рецептор x воспринимает тот же самый цвет, который непосредственно перед выполнением этого движения воспринимал y”.
    С другой стороны, как это уже отмечалось, для всякого понятия, определимого лишь в терминах рецепторов и типов движений, существует двойственное к нему понятие, определимое в терминах индикаторов. Что касается понятия «лежать по направлению», то двойственное к нему имеет следующую очевидную формулировку:
    «будем говорить, что индикатор цвета y лежит по направлению движения, определяемого индикатором P, от индикатора x, если всякий раз сразу после того момента, когда гаснет индикатор P, индикатор x оказывается в том же состоянии, в котором находился y непосредственно перед указанным моментом»
    В соотвествии с этими двумя определениями фраза “x лежит по направлению P от y”, когда вместо x и y подставляются какие-нибудь имена рецепторов зонда, а вместо P – имя типа его простых движений, приобретает собственный смысл, описывая отношениями между парами рецепторов и типами движений. Когда же вместо x и y подставляются какие-нибудь имена индикаторов цвета, а вместо P – имя индикатора движений, эта фраза имеет несобственный смысл и описывает отношения между парами индикаторов цвета и индикаторами движений. Для сокращения в обоих случаях вместо «x лежит по направлению P от y» договоримся писать x (P) y.
    Мы часто говорим о вещах, не называя их конкретно: “неизвестный, ограбивший вчера банк”, “лошадь, которая придет на завтрашних скачках первой”. Именно в этом, чисто назывательном смысле, будет пока употреблять фразы “индикатор, связанный с рецептором x” (сокращенно n[x]) и «индикатор, представляющий простые движения типа P» (сокращенно n[P]), не предполагая существования никакого конкретного способа узнать, какая именно лампа связна с x или представляет P. В введенных таким образом обозначениях можно утверждать, что
    G(↑)A и n[G](n[↑])n[A] (рис.7)
    E(➚*➚)B и n[E](n[➚∙➚])n[B] (рис.8)
    C(↷_C )C и n[C](n[↷_C])n[C] (рис.9)
    E(↷_C )A и n[E](n[↷_C])n[A] (рис.9)

    Фиксация любого простого типа движений p дает двуместное отношение …(p)… на множестве цветочувствительных рецепторов зонда, при этом фиксацией индикатора движения q получается двуместное отношение …(q)… на множестве индикаторов цвета. Двуместные отношения на множествах удобно изображать ориентированными графами: для этого нужно соединить стрелками те элементы множества, которые находятся в данном отношении. Иллюстрируя сказанное, возьмем множество чисел {1,2,3,4,5} и отношение «следующий по счету за», тогда оно изобразится графом:
    image
    Если на том же множестве взят отношение “быть меньше, чем”, то его графом будет:
    image
    где, например, стрелка от 2-ум к 4-ем означает, что 2 меньше 4-ех.
    Графом отношениям «…(↑)…» (означает :“…” в направлении ↑ от “…”) будет
    image
    граф же ему двойственного отношения «…(n[↑])…» получается простой заменой имен рецепторов на имена индикаторов, с ними связанных.
    image
    Ниже приведены графы еще нескольких отношений:
    «…(↓)…»
    image
    «…(➚)…»
    image
    “…”лежит в направлении двойного смещения ➚ от “…”
    image
    «…(↷)…» (“…”лежит в направлении поворота вокруг G на 60° — по ходу часовой стрелки от “…”)
    image
    «…(↶*↶)…» (“…”лежит в направлении поворота вокруг G на 120° — против хода часовой стрелки от “…”)
    image
    «…(↷_C)…»
    image
    Если теперь в нарисованных графах стереть буквы, получится то, что естественно называть их структурами. Обычным перебором можно показать, что только элементарным смещениям соответствует структура S:
    image
    только элементарным поворотам структура R:
    image
    только поворотом на 60° вокруг нецентрального рецептора:
    image
    только поворотом на 120° вокруг центрального рецептора:
    image
    только тому движению, которое оставляет зонд на месте:
    image

    и только движениям, которые переворачивают зонд как монетку, при этом его не смещая
    image
    Читателю должно быть очевидно, что если один граф получается из другого простым переименованием вершин, то оба этих графа имеют одинаковую структуру. Именно такой операцией связаны между собой графы двойственных друг к другу отношений, а значит: их структуры должны совпадать. Последние два замечания позволяют даже не имея возможности видеть сам зонд, а исключительно по наблюдению за его индикаторами, для каждого индикатора движений p решить, является ли представляемое им движение элементарным смещением или нет. С этой целью нужно установить, для каких пар x и y цветовых индикаторов выполняется отношение x (p) y и вычертить его граф:p представляет некоторое элементарное смещение в точности тогда, когда получившийся граф имеет структуру S:
    image
    Таким образом, фраза «p обладает тем свойством, что граф отношения …(p)… имеет структуру S», если под p понимать движение зонда и остальные термины употреблять в собственном смысле, определяет свойство «быть элементарным смещением», а если термины употреблены в несобственном смысле, двойственное к нему свойство индикатора движения — «представлять элементарное смещение».

    Не все рецепторы зонда расположены одинаково друг относительно друга: среди них есть шесть «периферийных» и один «центральный». Существует ли способ, не имея возможности видеть сам зонд, а лишь достаточно долго наблюдая за его индикаторами, определить, какой из индикаторов цвета связан с центральным рецептором, а какие — с периферийными. Чтобы показать существование этого способа, достаточно найти такое категоричное свойство центрального рецептора (как «быть художником»), которое допускало бы перевод в двойственные термины. Этот перевод обязан быть категоричным свойством того индикатора, который связан с центральным рецептором.
    Свойство «движению быть элементарным смещением» допускает перевод, свойство «одному рецептору лежать по направлению данного движения от другого рецептора» тоже допускает перевод. По отношению к «центральному» рецептору категоричным будет свойство x: «если движение p – элементарное смещение, то рецептор x как лежит в направлении p от некоторого рецептора, так и некоторый рецептор лежит в направлении p от x”. Последнее выражение, как композиция переводимых, тоже оказывается переводимым.

    Часть 2

    Сергей Коваленко
    Дубна 2015г
    Share post
    AdBlock has stolen the banner, but banners are not teeth — they will be back

    More
    Ads

    Comments 39

      +1
      Спасибо! Кстати, есть отличная книга про принцип работы мозга «Об интеллекте» Джеффа Хокинса. Всем интересующимся данной темой очень рекомендую
        0
        Ближе к теме статьи, мне кажется, книжка «Гёдель, Эшер, Бах» Дугласа Хофштадтера. В ней тоже о топологии понятий как топологии сигналов повествуется, о симметрии и автореференции сигналов как единственном способе «видеть» мир мозгу.
          0
          Спасибо, посмотрел оглавление и вскользь полистал: выглядит очень интригующе, написана в необычном жанре.
          0
          промахнулся мимо кнопрки
            0
            Простите, что не ответил сразу — счел статью интересно и хотел для начала прочитать. В ней тоже не все утверждения обоснованы: например о длительности вычисления параллельными машинами. Я много занимался этой проблемой и смог привести вычислительную модель, которая логарифмировала время (количество шагов) вычисления стандартных алгоритмов: сортировки, поиска по свойству и обращению к памяти. Эта статья тоже присутствовала на хабре — ее любезно согласилчя разместить из под своего юзернейма, но с моей подписью мой приятель. Редакторы хабра даже помогли по-человечески отверстать текст, но при этом потерялось мое имя. В любом случае, гугл еще ищет «Компьютер из маленьких фей». В другой работе «Задача телефонисток» Вы сможете найти обоснование возможности физической реализации вычислительной машины с такой архитектурой.
            В любом случае, большое спасибо, подчерпнул для себя много интересного.
              0
              Я, извините, прочитал это по диагонали. Но ничерта в лампочках не понял. Можно выжимкой идею описать? Дано, Хочу доказать, Вывод. А то очень холиварненько получается с первых обзацев.

              PS: На мой взгляд, язык это связка между образом в голове и словом. А далее как повезет. Китайцу одно, русскому другое. А вы как считаете?
                +1
                Являясь большим сторонником индуктивного изложения, когда вместо догматически введенных определений читатель получает ряд подходящих примеров и эти самые определения и выводы делает путем обобщения сам, я отложил до последней части некоторую формализацию изложенных здесь идей. Однако Ваш взгляд на язык, пожалуй, требует некоторого комментария уже сейчас. «Язык»- многозначное слово, как слово «три»: последнее называет как число так и арабскую цифру. С каждым явлением, связан некоторый класс понятий и отношений между этими понятиями. Например с конечными множествами связанны понятия «число», «больше», «следующий». Именно их я и подразумеваю под языком арифметики конечных множеств, независимо от способа выражения: будь-то графическим, звуковым или нервным. Так, наверное, формулы арифметических свойств в одних странах пишут справа налево, в других — сверху вниз, или вообще изображают иероглифами. Тем не менее, при достаточной технической развитости цивилизаций все эти «языки» (аналогия — «цифра») выражают один и тот же круг понятий (аналогия — число). В этом случае мое понимание языка можно приблизительно выразить как некоторой общей чертой всех этих национальных арифметических диалектов. Ваша точка зрения более традиционна для математики и выражает скорее то, что называют логисцистическими системами.
                  0
                  Моя точка зрения, как мне кажется, идет от устройства мозга, а не от математики (как я понимаю на текущий момент). Для удобства возьмем нейросеть, как абстракцию процессов в мозге. Там происходит связь между образом (набором параметров и состояний) и интерпретацией (слово, изображение, звук). Эта модель проста и хорошо кладется на текущие открытия в этой области. Например, даже геометрия пространства в нашем мозге это состояния нейронов. С ходу не смог нагуглить, но на хабре пролетала статья, что удалось зафиксировать как в мозге храниться наша память о геометрии пространства. Что это физически образ возбужденных нейронов.

                  Вы, как мне кажется, считаете что слово — это штука существующая в физическом мире. Хотя это термин придуманный человеком. Т.е. такие вещи как «понятие», «конечное множество», «арифметика» это термины за которыми лежат образы. Я хочу разобраться на какой основе у вас лежит доказательная база. В вашем комментарии вы считаете, что у нас разные точки зрения. А я этого не вижу. Я вижу только терминологические различия.
                  Вот смотрите, вы говорите, что «мое понимание языка можно приблизительно выразить как некоторой общей чертой всех этих национальных арифметических диалектов» — если упростить, то получается связка «язык как общая черта = арифметический диалект» с точки зрения вашей терминологической базы. Я не вижу разницы в этих терминах, это одно и тоже. Просто разными словами. Можете пояснить подробнее?
                    0
                    Есть явления — это часть реальности. Есть образы — это кодирование явлений в голове субъекта. Есть слова — это кодирование явлений при общений.
                    Реально существуют явления.
                      0
                      Что вы этим хотели сказать? ) И как это относится к моему вопросу к автору статьи? (поясню, мне не понятно о чем статья, я пытаюсь разобраться)
                        0
                        Статья — о самоидентификации своего «тела».
                        Допустим взяли субъекта — и перенесли из одного «тела» в другое. Может ли субъект после этого самостоятельно понять — какой рецептор за что отвечает в новом «теле»? И каким способом?
                          0
                          Если перенос был физически полный, т.е. не как мы понимаем физику, а как она устроена на самом деле, то да, рецептор может понять, вернее ему даже понимать не надо, это же будет копия со всеми свойствами. Вопрос этот не имеет смысла. Вы же по сути копируете состояние куска пространства. Откуда вообще может возникнуть вопрос, что это состояние не тоже самое состояние? А если не копируете, тогда вообще о чем речь?
                  0
                  Имхо, странно противопоставление образов и слов. С точки зрения теории информации: и то, и другое — символы. И то, и другое обладает языком: набором правил по связыванию и преобразованию символов.
                    0
                    Нет, не одно и тоже. Образы — это представление состояния нейронов в нашей голове. Символы — специфические образы. Видимо у нас недопонимание в терминах.
                      0
                      Состояние нейронов — это символы. Возбуждение нейрона Ni является символом Ni. Из низкоуровневных символов Ni складываются комплексные символы, обозначающие понятия.
                        0
                        Погодите. Я говорил об образах и словах. Что состояние нейронов формирует образ. А слово — это какойто конкретный образ.
                        Вы мне ответили что для вас слова и образы это символы. И описали ту же самую мысль. Где у нас недопонимание?
                          0
                          Расхождение в утверждении «Вы, как мне кажется, считаете что слово — это штука существующая в физическом мире. Хотя это термин придуманный человеком.».
                          Утверждение верно или неверно одновременно. С одной стороны — слова создаются субъектами и слова не существуют в «неживом» мире.
                          С другой стороны — слова реально существуют в «живом» мире. В мире субъектов. Два независимых субъекта, наблюдая за миром, во многих случаях выделят одни и тоже явления и создадут одни и те же слова. При этом система кодирования слов у них будет отличаться.
                            0
                            Вы просто не поняли, что я говорил. Как я сказал ранее, недопонимание в терминах. Я про «слово», как термин, то что оно означает для нас. Вы, видимо, про его физическую суть, как оно хранится в голове.
                            Я говорил про то, что «слово» как термин это наша выдумка. У нас в голове есть образ, который мы назвали словом. И вести доказательную базу от этого нельзя.
                            Вы мне говорите тоже самое, что говорю я. Только своими «словами» )
                  0
                  Кстати, если все поле раскрашено в одинаковый цвет, то бедный семиглазый зонд ничего о себе не сможет узнать. Интересно, есть ли другие нетривиальные поля, заставляющие зонд страдать невозможностью самопознания?
                    0
                    В случае, когда зонд в качестве сложного или простого движения имеет поворот на 60 градусов, не однотонных раскрасок нет. Если же есть только плоскопараллельные движения, то, например, окрасив плоскость черно-белой зеброй, вы потеряете возможность различить некоторые рецепторы.
                    0
                    А по какой причине рассматриваете именно гексагональную решетку?
                      0
                      Думаю, на гексогональной решётке просто нагляднее реализуются повороты, зонду не нужно различать диагональные сенсоры от вертикальных и горизонтальных (но сам принцип будет работать и на квадратной решётке, и на одномерной оси, и даже на дереве, моделирующем фазовое пространство с переменным количеством степеней свободы). Если я правильно понял, о чём автор пишет.
                      0
                      Как наиболее приемлемую, для технологического внедрения. Гексагональная решетка среди других решеток служит лучшим приближением свойств изотропной плоскости.
                      0
                      В статье делается допущение, что зонд знает о круговом расположении своих сенсоров. Как быть когда нет такого допущения?
                        0
                        Насколько я понимаю, круговое расположение сенсоров как раз и выясняется зондом на основе инвариантного «поведения» сигналов с них при возбуждении соответствующих «эффекторов».
                          +1
                          Отличный вопрос, можно я его переформулирую: в статье предполагается некоторый лаборант, который видит два пучка ламп, знает что один из них связан с рецепторами вполне конкретного зонда, другой отвечает за индикацию движений. Как именно связаны и за какие движения отвечают лампы лаборанту не известно, он должен это установить из наблюдений за состоянием ламп.
                          А что, если у лаборанта есть только два букета ламп и нет никакого знания об их значении, может ли он понять, что поведение этих ламп точно такое, как если бы они представляли рецепторы и движения подобного зонда?
                          Да, существует способ дать определение зонду в терминах ламп, правда с использованием понятий арифметики натуральных чисел.
                          0
                          Что мне надо сделать или какое количество книг следует прочитать, чтобы понять то, что здесь написано?)
                            0
                            Начинающему в области метаматематики советую книгу Френкель, Бар-Хиллель «Основания теории множеств». Не пугайтесь, если вдруг узнаете, что действительных чисел «счетно». Неплохо было бы посмотреть введение в книге Черча по логике. Достаточно полной монографией является книга Клини «Введение в метаматематику».
                              0
                              А можно по-подробнее про счетность действительных чисел?
                                0
                                В любых рассуждениях Вы можете использовать вещь только назвав ее как-то. Множество имен — подмножество счетного множества конечных символьных цепочек, «значит» оно счетно. В существование вещей, которые нельзя назвать, Вы можете верить или не верить, но в любом случае их нельзя использовать внутри рассуждений. Теорема анализа о несчетности множества действительных чисел утверждает лишь то, что их нельзя занумеровать функцией выразимой в самом анализе, однако никто не запрещает использовать расширенный более выразительный язык.
                                  0
                                  https://ru.wikipedia.org/wiki/Первая_аксиома_счётности
                                    0
                                    Это не то
                                      0
                                      Да, прошу прощения, среагировал на слова «по-подробнее про счетность», проигнорировав остальное. (Сам я не настоящий сварщик, но подумал, что отвечаю на вопрос от ещё менее компетентного сварщика.) :)
                                0
                                Попробуйте книгу «Гёдель, Эшер, Бах», там почти то же самое, но на примере не геометрической модели, а алгебраической, с философскими отступлениями о том, как это всё можно интерпретировать. Впрочем, подозреваю, что автор статьи в следующих частях тоже перейдёт к алгебраическим формализмам, абстрагировавшись от частного случая «интеллектуальный агент в виде зонда на шестиугольной решётке».
                                0
                                Если лампочки от рецепторов сетчатки смешать с лампочками от рецепторов движений, то станет понятно, что последние совершенно не нужны. Понятие конкретного «движения» полностью определяется через смену пары паттернов активностей рецепторов сетчатки.
                                  0
                                  Если среди простых движений нет дальних скачков, то Ваше замечание абсолютно справедливо, когда слово паттерн (устойчивая закономерность) понимается в смысле «цветовая конфигурация части индикаторов цвета».
                                    0
                                    Правда, могут возникнуть расхождения, если зонд двигается внутри большого одноцветного пятна и в ряде схожих ситуаций. Я вспомнил, что тоже сначала пытался без лампочек движения

                                  Only users with full accounts can post comments. Log in, please.