Pull to refresh

Интерполяционный многочлен на произвольных функциях

Algorithms *Mathematics *

Введение


Приветствую, уважаемые читатели! Сегодня предлагаю поразмышлять о следующей задачке:

Дано $n$ пар точек на плоскости $(x_1;y_1),...,(x_n;y_n)$. Все $x_i$ различны. Необходимо найти многочлен $M(x)$ такой, что $M(x_i)=y_i$, где $i\in\{1,...,n\}$

Переводя на русский язык имеем: Иван загадал $n$ точек на плоскости, а Мария, имея эту информацию, должна придумать функцию, которая (по меньшей мере) будет проходить через все эти точки. В рамках текущей статьи наша задача сводится к помощи Марии окольными путями.

«Почему окольными путями?» — спросите вы. Ответ традиционный: это статья является продолжением серии статей дилетантского характера про математику, целью которых является популяризация математического мира.

Процесс


Для начала стоит отметить, что некоторое кол-во интерполяционных многочленов уже, разумеется, существует. Оные полиномы как раз предназначены для решения искомой задачи. Среди них особенно известны такие как полином Лагранжа и Ньютона.

А также необходимо внести ясность, что такое «произвольные функции» (термин приходит из названия текущей статьи). Под ними понимается любая унарная функция, результат которой есть биективное отображение аргумента.

В рамках статьи предлагаю за такую функцию взять десятичный логарифм $\lg$ и следующие точки:

$(0;0)\\ (1;1)\\ (2;3)\\ (3;0)$


Представляя их на плоскости, должно получится нечто следующее:

image
Нетрудно заметить, что сейчас кол-во пар точек равно $n=4$.

При решении данной задачи приходит на ум некая системы уравнений, где кол-во линейно-независимых строк равно $n$. Что же это за система уравнений такая?

Давайте попробуем функцию записать в виде суммы десятичных логарифмов с коэффициентами про оных (да так, чтобы кол-во коэффициентов было равно $n$):

$f(x)=a\lg(x+3)+b\lg(x+2)+c\lg(x+1)+d$


Аргументы при $\lg$ различные чтобы избежать линейной зависимости строк в будущем (можно придумать другие). А также, учитывая, что область определения функции как минимум $\in[0;3]$ (на основе заданных условием точек), мы таким образом обеспечиваем существование области значений для функции $\lg$ в этой области определения.

Так как нам известны $n$ пар точек, то обратимся к ним для того, чтобы построить следующую тривиальную систему:

$\begin{cases}\displaystyle{ f(0)=0 \Rightarrow a\lg(3)+b\lg(2)+c\lg(1)+d =0\\ f(1)=1 \Rightarrow a\lg(4)+b\lg(3)+c\lg(2)+d =1\\ f(2)=3 \Rightarrow a\lg(5)+b\lg(4)+c\lg(3)+d =3\\ f(3)=0 \Rightarrow a\lg(6)+b\lg(5)+c\lg(4)+d =0 } \end{cases} $


Тривиальность системы заключается в том, что мы просто найдем такие $a,b,c,d$, которые будет удовлетворять всему набору условия.

Собственно решая данную систему относительно $a,b,c,d$ получим следующее решение:

$\begin{cases}\displaystyle{ a = \frac{(5 \lg^2(2) - 5 \lg(2) \lg(3) + \lg(8/3) \lg(5)) \lg(10)}{3 \lg^3(2) - \lg(9/5) \lg^2(2) + \lg^2(3) \lg(20) - \lg(2) \lg(5) \lg(243/5)}\\ b = \frac{\lg(675/512) \lg(2) \lg(10)}{-3 \lg^3(2) + \lg(9/5) \lg^2(2) - \lg^2(3) \lg(20) + \lg(2) \lg(5) \lg(243/5)}\\ c = \frac{\lg(10) (2 \lg^2(2) + \lg(2) (\lg(3) - 7 \lg(5)) + \lg(5) \lg(45))}{3 \lg^3(2) - \lg(9/5) \lg^2(2) + \lg^2(3) \lg(20) - \lg(2) \lg(5) \lg(243/5)}\\ d = \frac{-9 \lg^3(2) + \lg^2(2) \lg(25/9) + \lg^2(3) \lg(5) + \lg(243/125) \lg(2) \lg(3)} {3 \lg^3(2) - \lg(9/5) \lg^2(2) + \lg^2(3) \lg(20) - \lg(2) \lg(5) \lg(243/5)} } \end{cases}$


На этом задача естественным образом подходит к концу, остается только записать это в единую функцию:

$f(x)=\frac{(5 \lg^2(2) - 5 \lg(2) \lg(3) + \lg(8/3) \lg(5)) \lg(10)}{3 \lg^3(2) - \lg(9/5) \lg^2(2) + \lg^2(3) \lg(20) - \lg(2) \lg(5) \lg(243/5)}\lg(x+3)\\ +\frac{\lg(675/512) \lg(2) \lg(10)}{-3 \lg^3(2) + \lg(9/5) \lg^2(2) - \lg^2(3) \lg(20) + \lg(2) \lg(5) \lg(243/5)}\lg(x+2)\\ +\frac{\lg(10) (2 \lg^2(2) + \lg(2) (\lg(3) - 7 \lg(5)) + \lg(5) \lg(45))}{3 \lg^3(2) - \lg(9/5) \lg^2(2) + \lg^2(3) \lg(20) - \lg(2) \lg(5) \lg(243/5)}\lg(x+1)\\ +\frac{-9 \lg^3(2) + \lg^2(2) \lg(25/9) + \lg^2(3) \lg(5) + \lg(243/125) \lg(2) \lg(3)} {3 \lg^3(2) - \lg(9/5) \lg^2(2) + \lg^2(3) \lg(20) - \lg(2) \lg(5) \lg(243/5)}$


Она, разумеется, будет проходить через заданный набор точек. А график функции будет выглядеть следующим образом:

image
Также, ради наглядности, можно привести аппроксимированную систему решений:

$\begin{cases}\displaystyle{a\approx-3428.6\\ b\approx3789.2\\ c\approx-790.20\\ d\approx495.22} \end{cases}$


Тогда аппроксимированный вид функции будет следующий:

$f(x)=-3428.6\lg(x+3)+3789.2\lg(x+2)-790.20\lg(x+1)+495.22$


Разумеется, никто не говорит о том, что полученная функция будет минимальной (тот же полином Лагранжа даст более короткую форму). Однако, данный метод позволяет выразить функцию через набор произвольных функций (правда, имея в виду ограничения, заданные выше по статье).

Различные примеры


На десерт аналогично построим функцию в радикалах:

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$


Составим систему уравнения для нахождения коэффициентов:

$\begin{cases}\displaystyle{ f(0)=0 \Rightarrow d =0\\ f(1)=1 \Rightarrow a+b+c+d =1\\ f(2)=3 \Rightarrow 8a+4b+2c+d =3\\ f(3)=0 \Rightarrow 27a+9b+3c+d =0 } \end{cases} $


Её решение единственно и выглядит следующим образом:

$\begin{cases}\displaystyle{a=-1\\ b=\frac{7}{2}\\ c=-\frac{3}{2}\\ d=0} \end{cases}$


Тогда готовая функция выглядит следующим образом:

$f(x)=-x^3+\frac{7}{2}x^2-\frac{3}{2}x$


Что по совместительтву является полином Лагранжа для данного набора точек (т.к. оный в неявном виде реализует радикальную форму алгоритма из статьи). График на области заданных точек выглядит так:

image

Самым интересным в данной истории является то, что произвольные функции для построения конечной функции можно и нужно комбинировать. Иными словами, функция может быть построена сразу на радикалах и логарифмах, а может и на чем-то другом (показательные функции, факториалы, и т.п. ). Лишь бы полученный набор функций обеспечивал линейную независимость строк при подборе коэффициентов. В общем виде для заданных $n$ пар точек это выглядит так:

$f(x)=a_1*g_1(x)+...+a_n*g_n(x)$


Где $a_1,..,a_n$ — коэффициенты которые предстоит найти через систему уравнений (СЛАУ), а $g_1,...,g_n$ — некоторые функции, которые обеспечат линейную независимость при нахождении коэффициентов.

А дальше — по алгоритму выше, всё совершенно аналогично. Не забывая о том, что $g_1,...,g_n$ должны быть определены на заданных условием точках.

К примеру можно показать функцию, состоящую из полностью различных базовых функций:

$f(x)=ax^2+b2^x+cx+d$


Дабы удовлетворить заданному набору точек, коэффициенты будут в таком случае следующие (найдены строго по алгоритму из статьи):

$\begin{cases}\displaystyle{a=\frac{7}{2}\\ b=-6\\ c=\frac{7}{2}\\ d=6} \end{cases}$


А сама функция будет такой:

$f(x)=\frac{7}{2}x^2-6*2^x+\frac{7}{2}x+6$


График же будет выглядит практически также как предыдущий (на области заданных точек).
Если хочется более «гладкий» график, то можно посмотреть в сторону факториальной формы, например такой:

$f(x)=a(x+2)!+b(x+1)!+cx!+d$


Найдем коэффициенты:

$\begin{cases}\displaystyle{2a+b+c+d=0\\ 6a+2b+c+d=1\\ 24a+6b+2c+d=3\\ 120a+24b+6c+d=0} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\displaystyle{a = -13/16\\ b = 17/4\\ c = -3/8\\ d=-9/4} \end{cases}$


Подставим оные в готовую функцию:

$f(x)=-\frac{13}{16}(x+2)!+\frac{17}{4}(x+1)!-\frac{3}{8}x!-\frac{9}{4}$


А также полюбуемся очень хорошим графиком:
image

Зачем это нужно?


Да хотя бы для того, чтобы представить себе пучок веревок, стянутых пластиковыми хомутами :)
image
(* Тут мы просто наложили все графики друг на друга)

На этом в рамках текущей статьи все, рекомендую поиграться самостоятельно.

Всего наилучшего,
с вами был Петр.
Tags:
Hubs:
Total votes 15: ↑13 and ↓2 +11
Views 15K
Comments Comments 9