Pull to refresh

Comments 9

Переводя на русский язык имеем: Иван загадал точек на плоскости, а Мария, имея эту информацию, должна придумать функцию, которая (по меньшей мере) будет проходить через все эти точки. В рамках текущей статьи наша задача сводится к помощи Алисе окольными путями.

«Почему окольными путями?» — спросите вы.

Почему Алисе?
Спасибо, поправил. Причина ошибки кроется в том, что изначально я хотел использовать традиционные для подобных схем имена (Боб и Алиса), но в последствии решение перевесило в сторону более «русских» имен.
Да это понятно. По существу, какие преимущества может дать нам выбор альтернативных базисных функций? Могу ли я допустим, быстрее рассчитать набор a,b,c,d… (если мне надо подобрать интерполяционный многочлен в реальном времени.)
Алексей, тут необходимо определиться с понятием «альтернативная базисная функция». По той простой причине что функции в действительности являются разными, но имеют конечный набор одинаковых пар точек на плоскости. Надеюсь, это и подразумевалось.
В силу того, что расчет набора a,b,c,d… в зависимости от выбора функций находится за разное время (сравните логарифмическую и радикальную формы), то, разумеется, один быстрей, другой медленнее. Поэтому ваше предположение верно.
В конце статьи также приведен графический способ применения (можно также попробовать перенести алгоритм в трехмерное пространство).
Может быть много причин — например, какие-то априорные знания о функции, которую мы хотим аппроксимировать. Другой пример — методы конечных элементов, для них важна т.н. матрица масс (по сути, матрица скаларных произведений базисных функций). Эту матрицу надо уметь обращать, в зависимости от базовых функций эта матрица может быть или очень хорошей, или очень плохой.
Как я понял из статьи, речь идёт об одномерной интерполяции (т.к. рассматриваются только графики функций из R в R). В таком случае в самом начале задача интерполяции многочленом дана несколько небрежно. Необходимо рассматривать не произвольные точки на плоскости, а такие, что все абсциссы точек будут различными, если, конечно, мы не говорим о кратных узлах (но там совсем другая история).
Добрый вечер, Иван! Вы правы, спасибо за уточнение.

Биекция — слишком сильное ограничение. Тем более, вы потом используете квадрат, а он не биективный. Я думаю, раз статья нестрогая, хватило бы слов о том, что система, о которой вы пишете, не всегда имеет решения. И кратко показать пару разных случаев.

… некоторое кол-во интерполяционных многочленов уже, разумеется, существует. Оные полиномы как раз предназначены для решения искомой задачи. Среди них особенно известны такие как полином Лагранжа и Ньютона.

Интерполяционный многочлен единственный для данного набора точек. Это прямо следует из условия что для n точек используется многочлен (n-1)-ой степени — в таком случае все коэффициенты однозначно определяются решением системы линейных уравнений для всех точек (x, y). Многочлены Лагранжа и Ньютона — это просто две разных формулировки такого решения в общем виде. Подчеркну, многочлены Лагранжа и Ньютона — это на самом деле один и тот же многочлен. Это я всё к тому, что фраза про "некоторое кол-во интерполяционных многочленов" — бессмысленна, интерполяционный многочлен — очень конкретное понятие.


Кроме того, замечу, что заголовок статьи тоже довольно бессмысленный. Не может быть "многочлена на произвольных функциях". Многочлен с одной переменной — это всегда линейная комбинация степенных функций с целыми неотрицательными показателями по определению. Выражение
f(x) = a lg(x+x₁) + b lg(x+x₂) +… + d
многочленом не является. Вы решаете задачу интерполяции линейной комбинацией произвольных функций, многочлены тут несколько ни при чём.

Sign up to leave a comment.

Articles