Магическая константа

Есть такие квадраты, которые называют магическими. Ну наверное все знают, что сумма чисел в таких квадратах по горизонталям, вертикалям и главным диагоналям одинаковая, то есть равна одному и тому же числу, это число-сумма и называется магической константой (далее M_n, где n — размер квадрата; n>2). Еще в школе мне запомнилась формула для вычисления этой константы: M_n = n*(n² + 1)/2, непонятно только было для меня откуда она появилась… здесь попробуем её вывести, возможно кто-то уже это выводил, возможно так же, возможно по-другому, не важно просто пишу.

Вписывая в очередной раз числа по квадратам, однажды заметил такую вещь. Если вписывать числа от 1 до n² по колонкам слева направо, то всегда получается магическая константа при сложении чисел по любой главной диагонали, здесь это видно:

M₃:
1 4 7
2 5 8
3 6 9

M₄:
1 5  9  13
2 6 10 14
3 7 11 15
4 8 12 16

По формуле:

M₃ = n*(n² + 1)/2 = 3*(3*3 + 1)/2 = 30/2 = 15
M₄ = n*(n² + 1)/2 = 4*(4*4 + 1)/2 = 68/2 = 34

По диагоналям (выделены жирным выше):

M₃ = 1 + 5 + 9 = 15
M₄ = 1 + 6 + 11 + 16 = 34

В отличии от формулы, диагонали способны дать ответ что же происходит. Рассмотрим числа на диагоналях:

M₃ = 1 + 5 + 9
M₄ = 1 + 6 + 11 + 16

Перепишем по-другому:

M₃ = 1 + ( 3 + 2 ) + ( 3*2 + 3 )
M₄ = 1 + ( 4 + 2 ) + ( 4*2 + 3 ) + ( 4*3 + 4)

Заметили? Теперь в общем виде от n:

M_n = 1 + ( n + 2 ) + ( n*2 + 3 ) + ( n*3 + 4) + ( n*4 + 5 ) +… + ( n*(n-1) + n )

Перегруппируем это (выделено жирным)
M_n = 1 + ( n + 2 ) + ( n*2 + 3 ) + ( n*3 + 4) + ( n*4 + 5 ) +… + ( n*(n-1) + n )

и это (выделено жирным)
M_n = 1 + ( n + 2 ) + ( n*2 + 3 ) + ( n*3 + 4) + ( n*4 + 5 ) +… + ( n*(n-1) + n )

и получим:

M_n = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + n ) + ( n + n*2 + n*3 + n*4 +… + n*(n-1) )

вынесем n за скобку:

M_n = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + n ) + n*( 1 + 2 + 3 + 4 +… + (n-1) )      [1]

Теперь введём новое обозначение,

S_n = 1 + 2 + 3 +… + n                                                                                 [2]
, тогда
S_n-1 = 1 + 2 + 3 +… + (n-1) = S_n — n                                                           [3]

Теперь перепишем формулу [1] с учётом обозначений [2] и [3], и получим:

M_n = S_n + n*( S_n — n )                                                                                 [4]

или так:

M_n = S_n*( n + 1 ) — n²

                                                   [5]

S_n с учётом этого —



очевидно вычисляется по формуле S_n = n² / 2 + n / 2 = n * ( n + 1 ) / 2,
подставляем в [5]:

M_n = S_n*( n + 1 ) — n² = n * ( n + 1 ) * ( n + 1 ) / 2 — n² = n * ( n² + 2*n + 1 — 2*n ) / 2 = n * ( n² + 1 ) / 2

M_n = n * ( n² + 1 ) / 2

ЧТД