Pull to refresh

Магическая константа

Mathematics *
Recovery mode
Есть такие квадраты, которые называют магическими. Ну наверное все знают, что сумма чисел в таких квадратах по горизонталям, вертикалям и главным диагоналям одинаковая, то есть равна одному и тому же числу, это число-сумма и называется магической константой (далее Mn, где n — размер квадрата; n>2). Еще в школе мне запомнилась формула для вычисления этой константы: Mn = n*(n2 + 1)/2, непонятно только было для меня откуда она появилась… здесь попробуем её вывести, возможно кто-то уже это выводил, возможно так же, возможно по-другому, не важно просто пишу.

Вписывая в очередной раз числа по квадратам, однажды заметил такую вещь. Если вписывать числа от 1 до n2 по колонкам слева направо, то всегда получается магическая константа при сложении чисел по любой главной диагонали, здесь это видно:

M3:
1 4 7
2 5 8
3 6 9

M4:
1 5  9  13
2 6 10 14
3 7 11 15
4 8 12 16

По формуле:

M3 = n*(n2 + 1)/2 = 3*(3*3 + 1)/2 = 30/2 = 15
M4 = n*(n2 + 1)/2 = 4*(4*4 + 1)/2 = 68/2 = 34

По диагоналям (выделены жирным выше):

M3 = 1 + 5 + 9 = 15
M4 = 1 + 6 + 11 + 16 = 34

В отличии от формулы, диагонали способны дать ответ что же происходит. Рассмотрим числа на диагоналях:

M3 = 1 + 5 + 9
M4 = 1 + 6 + 11 + 16

Перепишем по-другому:

M3 = 1 + ( 3 + 2 ) + ( 3*2 + 3 )
M4 = 1 + ( 4 + 2 ) + ( 4*2 + 3 ) + ( 4*3 + 4)

Заметили? Теперь в общем виде от n:

Mn = 1 + ( n + 2 ) + ( n*2 + 3 ) + ( n*3 + 4) + ( n*4 + 5 ) +… + ( n*(n-1) + n )

Перегруппируем это (выделено жирным)
Mn = 1 + ( n + 2 ) + ( n*2 + 3 ) + ( n*3 + 4) + ( n*4 + 5 ) +… + ( n*(n-1) + n )

и это (выделено жирным)
Mn = 1 + ( n + 2 ) + ( n*2 + 3 ) + ( n*3 + 4) + ( n*4 + 5 ) +… + ( n*(n-1) + n )

и получим:

Mn = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + n ) + ( n + n*2 + n*3 + n*4 +… + n*(n-1) )

вынесем n за скобку:

Mn = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + n ) + n*( 1 + 2 + 3 + 4 +… + (n-1) )      [1]

Теперь введём новое обозначение,

Sn = 1 + 2 + 3 +… + n                                                                                 [2]
, тогда
Sn-1 = 1 + 2 + 3 +… + (n-1) = Sn — n                                                           [3]

Теперь перепишем формулу [1] с учётом обозначений [2] и [3], и получим:

Mn = Sn + n*( Sn — n )                                                                                 [4]

или так:

Mn = Sn*( n + 1 ) — n2

                                                   [5]

Sn с учётом этого —



очевидно вычисляется по формуле Sn = n2 / 2 + n / 2 = n * ( n + 1 ) / 2,
подставляем в [5]:

Mn = Sn*( n + 1 ) — n2 = n * ( n + 1 ) * ( n + 1 ) / 2 — n2 = n * ( n2 + 2*n + 1 — 2*n ) / 2 = n * ( n2 + 1 ) / 2

Mn = n * ( n2 + 1 ) / 2

ЧТД
Tags:
Hubs:
Total votes 20: ↑6 and ↓14 -8
Views 4.3K
Comments Comments 7