После столетий поисков получено точное решение задачи о козе на привязи

Original author: Steve Nadis
  • Translation

Математики с давних времён пытались решить задачу о пасущейся козе, привязанной к изгороди. Но до настоящего времени они могли предложить только приблизительные решения.




Вот вам простая на первый взгляд задачка. Представьте себе изгородь в форме окружности, с точно известной площадью пастбища, заключённого внутри. Внутрь вы помещаете козу, и привязываете её верёвкой к изгороди. Какой длины верёвка вам понадобится, чтобы у козы был доступ ровно к половине этой площади?

Похоже на задание по геометрии для старших классов – однако профессиональные математики и любители думали над ней в разных формулировках более 270 лет. Некоторые варианты этой задачи были успешно решены, однако загадка про козу внутри круга до сих пор не давала нам ничего кроме размытых и неполных ответов.

По сей день «никто не знал точного ответа на базовый вопрос», — сказал Марк Мейерсон, математик из академии военно-морского флота США. «Решение всегда было приблизительным».

Однако в 2020-м году немецкий математик Инго Уллиш, наконец, достиг прогресса. Он нашёл, как считается, первое точное решение этой задачи – хотя и выглядит оно достаточно громоздко и непонятно.

«Это первое точное выражение для длины верёвки из всех, что я знаю», — сказал Майкл Харрисон, математик из университета Карнеги-Меллона. «Это определённо прорыв».

Уллиш признаёт, что его решение не будет перечёркивать учебники или устраивать математические революции. Эта задача является изолированной. «Она не связана с другими задачами, и не входит в какую-нибудь математическую теорию». Но всегда есть вероятность, что подобная загадка породит какие-нибудь новые математические идеи, или поможет исследователям найти иные подходы к другим задачам.

На скотном дворе и вокруг него


Первую задачу подобного типа опубликовали 1748 году в лондонском периодическом женском журнале The Ladies Diary: Or, The Woman’s Almanack [Дневник леди, или Женский альманах]. Журнал обещал «новые улучшения в искусствах и науках и множество занимательных мелочей».

В оригинальном сценарии участвует лошадь, пасущаяся на привязи в парке. В задаче лошадь была привязана снаружи ограды. Если длина верёвки совпадает с длиной окружности ограды, на какой области сможет пастись лошадь? Позднее эту задачу назвали «наружной», поскольку в ней пастбище находилось не внутри окружности, а снаружи.



Ответ на задачку появился в выпуске от 1749 года. Ответ составил некто «мистер Хит», на основании, среди прочего, справочника «исследования и таблицы логарифмов». Он дал ответ: 76 257,86 квадратных ярдов при верёвке длиной в 160 ярдов. И это был приблизительный ответ, а не точный расчёт. Поясним на примере: к уравнению x2 − 2 = 0 можно написать примерный численный ответ, x = 1,4142, но это будет не такой точный или удовлетворительный результат, как x = √2.

Вновь задача появилась в 1894 году в первом номере ежемесячника American Mathematical Monthly, переделанная для случая, когда животное пасётся внутри ограды. Такой тип задач называют «внутренними», и в среднем они сложнее внешних, пояснил Уллиш. Во внешней задаче можно отталкиваться от радиуса круга и длины верёвки, после чего подсчитать площадь. Она решается через интегралы.

«Решить её в обратном направлении, начав с заданной площади, и поставив вопрос о том, какие входные данные к ней приводят, гораздо труднее», — сказал Уллиш.

В последовавшие десятилетия в ежемесячнике публиковали разные варианты внутренней задачи, в основном с участием лошадей (и, по меньшей мере, в одном случае – с мулом) вместо коз. Ограды там фигурировали круглые, квадратные и эллиптические. Но в 1960-х годах по загадочным причинам козы начали постепенно вытеснять лошадей в литературе. Несмотря на то, что по утверждению математика Маршалла Фрейзера, козы «слишком независимы для того, чтобы жить на привязи».

Козы в высших измерениях


В 1984 году Фрейзер проявил творческий подход, выведя задачу из плоской пасторальной темы на более сложный ландшафт. Он подсчитал, какой длины понадобится верёвка, чтобы коза смогла пастись ровно в половине объёма n-мерной сферы при приближении n к бесконечности. Мейерсон нашёл в его рассуждениях логическую ошибку и позже в том же году исправил её, но пришёл к тому же выводу. При приближении n к бесконечности отношение длины верёвки к радиусу сферы стремится к √2.

Мейерсон отметил, что такой, вроде бы более сложный способ описания задачи, в многомерном пространстве вместо поля с травой, на самом деле облегчил поиск решения. «В бесконечном количестве измерений у нас есть точный ответ, а в двух измерениях такого ясного решения не существует».


Задач о пасущейся козе бывает два вида. Оба они связаны с козой, привязанной к круглой ограде. Внутренняя версия задаёт вопрос о длине верёвки, которая даст доступ ровно к половине окружённой площади. Внешняя спрашивает, к какой площади есть доступ у козы при заданной длине верёвки и радиусе ограды (на рисунке длина верёвки равна длине окружности ограды).

В 1998 году Майкл Хоффман, ещё один математик из военно-морской академии США, расширил задачу в другом направлении, наткнувшись на пример внешней задачи в одной из новостных групп. В том её варианте нужно было оценить площадь, доступную быку, привязанному снаружи круглой силосной башни. Задача заинтересовала Хоффмана, и он решил обобщить её не только на круг, но на любую гладкую выпуклую кривую, включая эллипсы и даже незамкнутые кривые.

«Встретив постановку задачи для простого случая, математик попытается понять, как её можно обобщить», — сказал Хоффман.

Хоффман рассмотрел случай, в котором привязь длины L меньше или равна половине длины кривой. Сначала он нарисовал касательную в том месте, где привязана верёвка. Бык может пастись в полукруге площадью πL2/2, ограниченном касательной. Затем Хоффман подсчитал точную площадь между касательной и кривой через интеграл.

Позднее Грэхем Джеймсон, математик из университета Ланкастера, и его сын Николас вывели подробное решение внутренней задачи для трёх измерений. Они выбрали этот случай потому, что он был не таким популярным. Поскольку козы не могут так легко перемещаться в трёх измерениях, Джеймсоны назвали эту задачу «задачей птицы» в работе 2017 года. Звучит она так: если привязать птицу к сферической клетке, какой длины должна быть верёвка, чтобы ограничить её перемещение ровно половиной объёма?

«Задачу в трёх измерениях на самом деле проще решать, чем в двух», — сказал Джеймсон-старший. В итоге парочка вывела точное решение. Однако, поскольку математический вид ответа получился, по словам Джеймсона, «точным, но ужасным», и мог отпугнуть неопытных исследователей, они также придумали метод приблизительных расчётов, дающий численную оценку длины верёвки, что «больше понравится любителям птиц».

Достать козу


Тем не менее, точное решение двумерной задачи в формулировке 1894 года ускользало от математиков – до появления в 2020-м работы Уллиша. Впервые об этой задаче Уллиш услышал от родственника в 2001 году, будучи ещё ребёнком. Работать над ней он начал в 2017 году, получив докторскую степень в Вестфальском университете имени Вильгельма в Мюнстере. Он решил попробовать новый подход.

К тому времени было хорошо известно, что задачу о козе можно свести к единому трансцендентному уравнению, в которое по определению входят тригонометрические члены, вроде синуса и косинуса. Это могло создать проблему, поскольку многие трансцендентные уравнения не поддаются решению. К примеру, у уравнения x = cos(x) нет точных решений.


Инго Уллиш

Однако Уллиш сформулировал задачу так, чтобы обеспечить себе более податливое трансцендентное уравнение: sin(β) – β cos(β) − π/2 = 0. И хотя оно тоже может показаться недоступным, он понял, что к нему можно подступиться при помощи комплексного анализа – ветви математики, применяющей аналитические инструменты к уравнениям с комплексными числами. Комплексный анализ применяется уже несколько столетий, однако Уллиш, насколько ему известно, первым применил такой подход к голодным козам.

С такой стратегией он смог превратить своё трансцендентное уравнение в эквивалентное выражение для длины верёвки, которая позволила бы козе пастись в половине ограниченной площади. То есть, он, наконец, ответил на вопрос при помощи точных математических формул.


Решение задачи даётся в виде косинуса отношения двух криволинейных интегралов (формула из Википедии)

К сожалению, тут есть подвох. Решение Уллиша – это не какое-то простое выражение вроде квадратного корня из 2. Это такая сложная штука, как отношение двух криволинейных интегралов с примесью различных тригонометрических функций. С практической точки зрения оно не скажет вам точно, какой длины должна быть привязь козы. Для получения ответа, применимого в сельском хозяйстве, всё равно требуется сделать несколько приближённых вычислений.

Но Уллиш всё равно считает точное решение ценным, пусть оно и не такое красивое и простое. «Если мы будем использовать только числовые значения или приближения, мы так и не поймём сути природы решения», — сказал он. «Формула даёт нам понимание того, как выводится решение».

Не отказываться от козы


Пока что Уллиш отложил в сторону пасущуюся козу, поскольку не уверен, куда двигаться дальше. Но другие математики уже развивают собственные идеи. Харрисон, например, готовит работу для публикации в Mathematics Magazine, где исследует свойства сферы, чтобы подступиться к трёхмерному обобщению задачи про козу.

«В математике часто бывает полезным придумывать новые способы получения ответа – даже для задач, уже решённых ранее, — отметил Мейерсон, — поскольку, возможно, всё это можно будут обобщить для использования в других задачах».

Именно поэтому математики потратили столько чернил на воображаемых животных. «Мои инстинкты говорят, что работа над задачей о пасущейся козе не даст нам никаких прорывов, — сказал Харрисон, — но наверняка знать нельзя. Новая математика может появиться откуда угодно».

Хоффман более оптимистичен. «Трансцендентное уравнение, выведенное Уллишем, связано с трансцендентными уравнениями, которые Хоффман изучал в работе 2017 года. Он же, в свою очередь, заинтересовался ими благодаря работе 1953 года, где общепринятые методы были выставлены в новом свете. Этот подход напоминает ему то, как Уллиш применил известные методы в комплексном анализе к трансцендентным уравнениям в новых условиях – в данном случае, в задаче про козу.

»Люди, совершающие фундаментальные прорывы в математике, отвечают не за весь прогресс, — сказал Хоффман. – Иногда он идёт благодаря тому, что кто-то изучает классические подходы и находит в них новые методы сборки головоломки, которые в итоге могут привести к новым результатам".
Ads
AdBlock has stolen the banner, but banners are not teeth — they will be back

More

Comments 31

    –12

    А есть математическое решение что было раньше курица или яйцо?

      +13
      есть логическое решение, поскольку мутация происходит не у взрослого организма, а у зародыша, то еще динозавр снес яйцо с первой курицей, где-бы там ни была граница между предком курицы и курицей и сколько-ни была она крошечной.
        +2
        Согласно Википедии:
        300 миллионов лет назад появились первые пресмыкающиеся (рептилии) и синапсиды (предки млекопитающих),
        230 миллионов лет назад появились первые динозавры, из отряда ящеротазовых динозавров, в дальнейшем выделился класс птицы,
        200 миллионов лет назад появились первые млекопитающие,
        150 миллионов лет назад появились первые птицы..

        Думаю у рептилий тех времен были яйца, а значит яйцо раньше курицы.
        неточная, но математическая формула: 300млн.лет минус 150млн.лет )
          +1

          Смотря что считать курицей)
          Они ведь от рептилий эволюционируют, тоесть в какой-то момент надо решить курица это то что откладывает яйца из которых вылупится новый вид курица, существо способное породить курицу, или нет — курица это только новый вид из яйца который достаточно соответствует виду курица, а его родитель — недостаточно. Мне второе ближе
          Пятнично получилось)

            +2
            Вроде как про яйцо не говорится, что оно обязательно куриное.
              0
              Вообще говоря, нельзя достоверно сказать где УЖЕ курица, а где ещё нет. Да и, к тому же, следуя из одного основного свойства вида — нескрещиваемости, можно совершенно точно сказать: первой курицы, в общем-то и не существовало никогда. В противном случае, она не могла бы дать потомства, ведь была бы нескрещиваемой со своими предками. С иной стороны, если бы она была скрещиваема с предками и давала полноценное потомство, то её нельзя было б отнести к отдельному виду. Так что задача решения не имеет.
              +3
              "Когда хотел поржать над этой математикой, которая, как очевидно любому, какая-то абстрактная фигня, но что-то пошло не так..."
              0
              сори… не туда
                0
                Возможно, я ужасно невнимателен, но вот в этой последней формуле
                r — это отношение длины верёвки к радиусу ограды?
                  +5
                  Прекрасный результат с трансцендентным уравнением. Спасибо за перевод!

                  Кстати, попробовал решить эту же задачу в предположении, что коза живёт в пространстве с манхэттенской метрикой. Для такой метрики окружность становится квадратом, а число pi=2. Через минуту раздумываний с листочком, каждый может убедиться, что ответ в такой постановке равен sqrt(2).

                    –3
                    я IT специалист, и у меня нет ни козы, ни пастбища. Мое пастбище — компьютер+интернет, увы мы с козой в этом похожи. Как я могу применить материал статьи на практике?
                      +5
                      Как я могу применить материал статьи на практике?
                      Можно создать капчу в которой надо решить вариант задачи о козе на привязи =)
                        0

                        Можно сделать приложение для расчета длины привязи козы по площади и продавать фермерам!

                          0
                          Могу одолжить свой домик в деревне ради эксперимента
                            0
                            Благодарю. Тогда как Вы смотрите на привод козы в этот домик? Я надеюсь, он сферический круглый, как и полагается. Плюс разведение травы (в хорошем смысле :-) ). Если нет, то нужно одолжить круглоугольное пастбище. Опять же, козы у меня нет. А дом без сферической козы, да еще в вакууме.... сами понимаете…
                          +5
                          Хм. А чем неберущийся интеграл лучше чем трансцендентное уравнение?
                            –2

                            Интегралы, так же как и синусы и косинусы приближаются простейшими рядами, а решения уравнений ничем не приближаются, а решаются

                              0
                              Ряды приходят на выручку. Решил посчитать, численное решение этого уравнения: 1.905695729, а если уравнение разложить в ряд, ограничиться тремя членами и решить квадратное уравнение получим (1/2)*sqrt(Pi^2+4*Pi-8) ~1.899735180. Тоже неплохо.
                              Учет дальнейших членов — уравнение 3-й степени дает: 1.904866173, 4-й: 1.905731736.
                                0
                                Любой ряд (Фурье, Тейлора) и есть явное решение. А вот нахождение 0-й полинома не является явной функцией, а ищется методом Ньютона, Лемера и т.д.
                                +1

                                Ну если вам нужнен чисто ответ, то численными методами его за секунду можно получить с любой требующейся точностью

                                  0
                                  Это понятно. Ну просто интересно было насколько аналитическими решениями можно приблизиться к «точному» ))) численному. 2-3-4 степень же решается.
                                    0
                                    Неберущиеся интегралы считаются явными решения для функциональных и интегральных уравнений. Прямым ответом считаются полиномиальные функции, посчитать которые можно умножение и сложением. Естественно для числа pi / e уже нужны бесконечные ряды, но если эти ряды сходятся, то интегралы и производные от этих функций считаются быстро и с конкретным числом шагов для заданной точности.

                                    Рекурентные формулы, под которые попадают все решения уравнения с станционарной точкой x = f(x), должны удовлетворять строгим условиям, чтобы решения сходились и тем более сходились с определенной скоростью. Поэтому такие решения являются неявными и уж тем более часто, они не приближаются никакими многочленами.

                                    Единственное, что выделяются в этом классе тригонометрические функции. Так, что ряды Фурье тоже можно считать явным решениями, как и ряды Тейлора.
                                –18

                                Лучше бы нашли бы ответ на вопрос почему в России все через задницу и все ленивые, мб даже такому ученому нобелевку дадут.

                                  +9
                                  Господи, да почему комментарии именно к этому посту настолько поражены раком?
                                    0

                                    Просто больша́я часть людей ни черта не поняла, ни зачем оно нужно, ни как это решается. Включая меня.
                                    А написать что-нибудь хочется.

                                    +1
                                    На этот вопрос разные люди в разное время давали разные ответы. Причем этот вопрос задается в каждой стране, а не только в России.
                                    +1

                                    Я понимаю, что перевод, и претензии именно к оригиналу, но хочу пояснить свой голос (а так-то даже картинки перевели — круто!):


                                    К сожалению, ничего не понял в первой половине поста. Как именно привязана коза, почему вообще привязывают к окружности ("изгородь"), а не к колышку ("точка на плоскости")? Картинки успел зацепить периферийным зрением, когда закрывал: они что-то пояснили.


                                    Но, например, всё ещё было долго непонятно, почему же нет формулы для площади пересечения двух кругов. Это же стандартный вычгеом: считаем угол между точками пересечения, считаем сектор, считаем треугольник, вычитаем. Тригонометрия возникнет, ничего страшного.


                                    А проблема, по-видимому, в том, что мы хотим наоборот: из площади пересечения получить расстояние между центрами кругов.

                                      0
                                      К сожалению, ничего не понял в первой половине поста. Как именно привязана коза, почему вообще привязывают к окружности («изгородь»), а не к колышку («точка на плоскости»)?
                                      Читайте вторую половину, там чертёжи обеих задач — и к изгороди, и к колышку.
                                        0
                                        Расстояние между центрами кругов равно радиусу ограды.
                                        –5
                                        Живу для тех, кому нужн… дружу лишь с теми, в ком уверен. общаюсь с теми, кто приятен… И благодарн тем, кто ценит!!!
                                          +6
                                          Это пользователь Read/Comment с двумя комментариями. Это значит что эта цитата из пацанского паблика была премодерирована и одобрена либо администрацией хабра либо автором публикации. Вопрос — зачем?

                                        Only users with full accounts can post comments. Log in, please.