Pull to refresh

Задача о свободно висящей цепочке

MathematicsPhysics
Когда-то очень давно, когда я был еще студентом, сидя на одной скучной лекции я задумался над тем, с какой частотой может колебаться в одной плоскости свободно висящая веревка или цепочка заданной длины и какова будет при этом ее форма, если колебания будут небольшими. Я помню, что решил эту задачу, но сейчас, по прошествии многих лет, уже забыл подробности того, как я это сделал. Однако, мне стало интересно восстановить это решение максимально подробно и поделиться им со всеми, кому это было бы интересно. Что из этого получилось, читайте под катом.

Пусть у нас есть цепочка длины l и массой M, подвешенная за один конец, как показано на рисунке. Здесь мы будем предполагать, что цепочка однородна и силами трения можно пренебречь. Построим систему координат таким образом, чтобы начало координат совпадало с точкой подвеса, ось X направлена вниз, а ось Y, перпендикулярная оси X, будет отвечать за отклонение цепочки от вертикали. Фактически, необходимо определить функцию Y(x,t).

image

Чтобы найти Y(x,t) распишем силы, действующие на небольшой участок цепочки как показано на следующем рисунке.

image

Из рисунка видно, что сила натяжения T является касательной к цепочке. Следовательно, тангенс угла наклона T к оси X будет равен производной dY(X)/dX. Известно, что если колебания небольшие, то тангенс примерно равен самому углу в радианах. Силу натяжения T можно рассчитать по формуле

image

где l — длина цепочки, g — ускорение свободного падения, и

image

масса на единицу длины цепочки.

Запишем уравнение исходя из второго закона Ньютона

image

В правой части уравнения подставим значение натяжения T пока без соответствующего коэффициента

image

Заменим значение производной в точке x+dx через вторую производную

image

Раскроем скобки

image

и сократим соответствующие слагаемые, убирая также слагаемое второго порядка малости.

image

Подставим полученную формулу в уравнение движения

image

Сокращаем на dx и удельную массу.

image

Заметим, что это уравнение не зависит от удельной массы, стало быть, все веревки и цепочки равной длины будут колебаться одинаково, независимо от массы. Для того, чтобы решить это уравнение, будем искать решение в виде

image

Подставив его в уравнение движения, получим

image

Разделив его на g и саму функцию, получим, что одна часть зависит только от времени, а другая только от X. Стало быть, их можно приравнять некоторой константе.

image

Рассмотрим сначала ту часть, которая зависит только от X

image

Чтобы решить это уравнение сделаем замену переменной

image

Тогда первая производная примет следующий вид

image

а вторая производная такой

image

а уравнение перепишется в виде

image

Нетрудно заметить, что это уравнение можно переписать в виде

image

Поскольку пока непонятно, что это за уравнение, попробуем привести его к какому-нибудь известному дифференциальному уравнению.
Для этого сделаем замену

image

При этом первая производная примет следующий вид

image

а само уравнение такой

image

Выносим n в квадрате из под производной

image

и сокращаем

image

Производим дифференцирование и получаем следующее уравнение

image

Подберем n таким образом, чтобы при старшей производной не было свободной переменной

image

Получим следующее уравнение

image

Домножаем на 4 и z в квадрате и получаем

image

Это уже похоже на известное уравнение Бесселя, необходимо только избавиться от множителя у самой функции. Для этого делаем еще одно преобразование переменной

image

При этом первая производная станет равной

image

а вторая производная

image

Подставляя в уравнение, получаем

image

Если мы возьмем

image

то получим уравнение Бесселя нулевого порядка

image

Решение такого уравнения имеет вид

image

где A и B — константы, а J и Y — функции Бесселя нулевого порядка. Подставляя обратно переменную z, получим

image

После подстановки переменной u, имеем следующе решение

image

и, наконец, возвращаясь к переменной x, имеем

image

Используем тот факт, что наша функция должна быть конечной в точке x=l. Поскольку функция Y(x) бесконечна в нуле, B должно равняться нулю и наше решение будет иметь следующий вид

image

Теперь воспользуемся тем условием, что в точке подвеса значение нашей функции должно равняться нулю, то есть y(0)=0.
Из этого следует, что

image

где j — нули функции Бесселя нулевого порядка. Отсюда можно определить значение лямбда

image

Подставляя лябда, получим

image

Что после сокращения дает собственные функции

image

Дадим графики для первых пяти

image
image
image
image
image

Вернемся теперь к той части начального уравнения, которая отвечает за зависимость от времени. Зная значения лямбда, можно вычислить собственные частоты

image

Извлекая корень, получим

image

Соответствующие периоды будут равны

image

Сравните это выражение с периодом колебаний математического маятника.

На этом наше исследование колебаний свободно висящей цепочки окончено. Спасибо за внимание.
Tags:механические колебаниярешение дифференциальных уравнений
Hubs: Mathematics Physics
Total votes 39: ↑38 and ↓1+37
Views14K

Top of the last 24 hours