Pull to refresh

Фракталы

Lumber room
Awaiting invitation

Фракталы


или красота математики своими глазами


Если взять простую числовую последовательность комплексных чисел

Z(i+1) = Z(i)^2 + C

то видно, что она должна расти. Бенуа Мандельброт задался вопросом — с какой скоростью растет эта последовательность в зависимости от начальной величины С?

Все это звучит очень скучно, не правда ли? До тех пор, пока мы не зададим цвет: чем быстрее растет эта последовательность, тем пусть ярче будет цвет точки, определяемой координатами точки С на плоскости. Получается вот такой график:


Это уже интереснее, чем просто формула! Если вместо простой яркости точки цвет определить каким-нибудь цветным градиентом, то получится еще красивее:

Ну что, мы посмотрели на забавный цветной график простенькой формулы. В принципе, тут можно было бы и закончить, но давайте полюбопытствуем: что там за красные завитушки на границе черного и желтого цвета? Приблизим картинку:

Еще ближе:

Мы видим, что на граничных значениях график формулы имеет очень интересный вид. Немного усложним формулу, чтобы разнообразить ее поведение на стабильных участках:

Посмотрим, как ведет себя формула на других участках плоскости, перемещаясь по плоскости и масштабируя график:

Попробуем для разнообразия другие цвета и другие участки:




Как мы видим, простая формула расцветает всеми цветами и удивительными узорами — достаточно просто перемещаться по плоскости и погружаться все глубже и глубже внутрь узора. Такие рекурсивные узоры называются фракталами.

Формула такая не единственная — например, фрактал множества Жюлиа зависит уже от двух коэффициентов и может выглядеть, например, так:

Я постарался вкратце рассказать вам о том, что мне интересно — о фракталах. Как говорится, лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Свою первую программу с фракталами я написал в середине 1980-х годов, работала она долго и пользоваться ей было сложно — нужно было вводить координаты и масштаб вручную. Времена меняются, и с появлением планшетов исследовать красоты фракталов стало проще простого — одно движение пальцев, и перед тобой открывается новый мир!

P.S. Представленные изображения фракталов получены в моей собственной программе Magic Fractals, написанной для iOS.
Tags:
Hubs:
You can’t comment this post because its author is not yet a full member of the community. You will be able to contact the author only after he or she has been invited by someone in the community. Until then, author’s username will be hidden by an alias.