Продифференцировать её Вы можете только двумя способами (получите два совершенно разных результата) — в обобщенном смысле (опять интеграл, но зато математики примут), либо сконструировать дельта-образующую последовательность (предел которой Вы назовёте дельта-функцией), продифференцировать каждый член её, найти предел последовательности уже производных (опять же, если он есть) и назвать этот предел производной Вами определённой дельта-функции (математики Вас за этот финт высекут, но физики так делают без всякого сумления). Второй вариант не является математически строгим, но работает. И в нематематической литературе встречается довольно часто. В теории сигналов используется только он.
Ссылка на книгу, о которой писал — yadi.sk/i/rEAbcdNoH8OnIw. Там достаточно первые 12 страниц прочитать, особенно 10-ю.
В двух словах: использование дельта-функций — только метод (способ) представления сигнала, к которому может быть применён матаппарат классического анализа (литература [10] 1959 год). Там же и то, что вместо дельта-функции можно применять и просто sinc, но возни с интегралами будет больше.
Метод так прижился, что теперь без него дискретизацию и не мыслят вовсе. Но это всё же только метод, и не единственный.
Про дельта-функцию Дирака и её значения в точках можно спросить любого математика — даже студент МехМата МГУ Вам повторит то, что я написал. Сам символ дельта-функции — δ(x) — только символ, обозначающий линейный непрерывный (уже не обязательно) функционал (Владимиров, «Обобщенные функции в математической физике»). То есть, вне интеграла не живет.
Дельта-функция Дирака не является функцией. Её значения в точках не определены. На википедию лучше не ссылаться. Я там для пробы писал всякую откровенную фигню — висело всё это месяцами, пока сам не исправил.
Всё правильно — преобразование Фурье от произведения, как скалярное произведение дельта-функции с чем-то, определено в обобщенном смысле. Тут нет противоречия со строгой математикой.
Я тут совсем недавно, поэтому прицепить сюда пока не знаю как. Можно по электронной почте, напишите мне на 729@inbox.ru, в ответе перешлю книгу в djvu. Или подскажите, пожалуйста, как тут файл прицепить.
Конечно, хотелось бы что-то из Владимирова. Но это не важно.
И у Владимирова и в указанных Вами материалах я не встретил определения операции умножения дельта-функции на другую функцию. Скалярное произведение есть. Но определения простого умножения, которое встречается у Вас в тексте («При дискретизации непрерывный сигнал умножается на гребёнку Дирака»), там нет. И не ищите. Эта операция не определена. Это к вопросу о математической строгости. В литературе встречается результат свертки гребёнки дирака с взвешенной дискретизируемой функцией — взвешенная (пропорционально отсчетам) сумма дельта-функций. Но никак не результат «умножения».
И, простите, пожалуйста, но «Гребёнка Дирака — это функция» (Ваши слова) — это совсем неправда.
Но у нас речь о дискретизации с частотой 2(f2-f1). Вы принимаете мои слова «с частотой дискретизации Fs=2(f2-f1) можно без потерь дискретизировать квадратуры» (и только квадратуры, если f1 > 0), но никак не исходный сигнал? Или настаиваете на версии Navigator_Pirks?
И если Вам интересно, подскажу кто и когда (и литературу Вам в электронном виде смогу переслать) ввел в дискретизацию гребёнку Дирака и зачем.
Про гребёнку Дирака и строгую математику Вы несколько неправы. Строгая математика тут — функциональный анализ и изоморфизм L2 и l2(эль малое), а не предложенное (кем и когда, подсказать?) и притянутое за уши (чтобы воткнуть между L2 и l2 что-то такое, что аппаратом обобщенных функций не переваривается ни под каким соусом) нечто, да еще с паровозом в виде периодизации спектра и бесконечных энергий.
И очень интересно, где это Вы при дискретизации инверсный спектр обнулили? А если перед дискретизацией Вы привели сигнал к аналитическому виду, то откуда в процессе дискретизации аналитического (или его же в ноль смещенного) отсчеты исходной функции взяли?
Еще раз — с частотой дискретизации Fs=2(f2-f1) можно без потерь дискретизировать квадратуры (функции F1(t) и минус F2(t)), мгновенные значения которых (отсчеты) в моменты времени k/Fs не равны исходной функции в те же моменты времени, о которых написал Navigator_Pirks в своём замечании.
А без «гребёнки Дирака» у Вас не получается? А ведь «гребёнки Дирака» только один из методов (способов) упрощения жизни, и не более того.
Давайте с ней. Сверните F(t) из моего примера с гребёнкой Дирака, и получите те же самые наложения прямого и инверсного спектров. В примере прямой спектр весь лежит между двумя дельта-функциями (первая пара), а инверсный тоже лежит между двумя дельта-функциями (вторая пара), но только не между первыми двумя, а между соседней парой (а не между первыми двумя, как надо бы, чтобы потерь не было). При свёртке спектры между соседними парами тупо складываются, в моем примере полностью перекрываются — возникают наложения и потери.
У Вас при дискретизации с частотой 2(f2-f1) и будут наложения, вплоть до полного обнуления. И вот пример.
Возьмем функцию S(t)=sin(2pif1t)/(2pif1t), f1=1 кГц. Функция четная, её спектр действителен и имеет форму прямоугольника на интервале частот от минус f1 до f1, высота прямоугольника равна 1/(2f1). Центральная частота прямоугольника = 0. Нули функции расположены в моменты времени kdt1=k/(2f1), k целое, не равное 0.
Теперь пусть функция F(t)=S(t)*sin(2pi(f2-f1)t)=sin(2pif1t)/(2pif1t)*sin(2pi(f2-f1)t), f2=3 кГц. F(t) — нечетная, её спектр чисто мнимый и состоит из двух прямоугольников (по форме как у функции S(t)) — один прямоугольник (прямой спектр)
c центральной частотой (f2-f1), второй прямоугольник (инверсный спектр) с центральной частотой минус (f2-f1) и с противоположным знаком по отношению к первому. Нули F(t) расположены в моменты времени kdt1=k/(2f1) и ndt2=n/(2(f2-f1)), k,n — целые. Заметим, что моменты времени kdt1=k/(2f1) вложены в моменты ndt2=n/(2(f2-f1)), то есть (совсем не важно для примера, но для порядку) нули функции F(t)=sin(2pif1t)/(2pif1t)*sin(2pi(f2-f1)t) для наших значений f1 и f2 расположены в моменты времени ndt2=n/(2(f2-f1)), n — целое.
Что имеем при дискретизации F(t) с частотой Fs=2(f2-f1) в моменты времени ndt2=n/(2(f2-f1)):
— в частотной области — полное наложение прямого и инверсного спектров на интервале частот от f1 до f2 (а прямой и инверсный спектры одинаковы по форме — прямоугольники — и с противоположными знаками) с результатом наложения в виде тождественного нуля на всем диапазоне частот от 0 до Fs;
— во временной области — те же самые нули (в нули функции F(t) мы попали).
Весьма предсказуемый результат в данном примере от дискретизации с частотой 2(f2-f1).
Посмотрим внимательно на F(t)=sin(2pif1t)/(2pif1t)*sin(2pi(f2-f1)t). Разложение на квадратуры очевидно: F1(t)=0, F2(t)=sin(2pif1t)/(2pif1t). Функцию F2(t) без потерь можно дискретизировать с частотой Fs=2(f2-f1) в моменты времени
ndt2=n/(2(f2-f1), результатом будут все нули, кроме одной единицы при t=0. Можно ли восстановить после такой дискретизации F2(t) без потерь? Можно.
Можно ли восстановить после такой дискретизации F(t) без потерь? Тоже можно.
Об этом и говорит Котоельников в теореме V. Для доказательства он четыре (!) раза производит дискретизацию:
— первый раз исходную F(t) с частотой f1+f2 в моменты времени k/(f1+f2) для получения отсчетов F1(t);
— второй раз исходную F(t) с частотой f1+f2, но в моменты времени (k+0.5)/(f1+f2) для получения отсчетов F2(t);
— третий раз функцию F1(t) с частотой f2-f1 в моменты времени k/(f2-f1) для получения отсчетов F1(t), эта дискретизация отличается по частоте от первой (!);
— четвертый раз функцию F2(t) с частотой f2-f1 в моменты времени k/(f2-f1) для получения отсчетов F2(t), эта дискретизация отличается по частоте от второй (!).
Полученные в третьей и четвертой дискретизациях отсчеты он передает как «числа» (термин из теоремы V), но поскольку одному моменту дискретизации соответствуют два «числа» (от третьей и четвертой дискретизаций), то частоту следования этих
чисел он определяет как 2(f2-f1), то есть в 2 раза больше, чем при третьей и четвертой дискретизациях.
Восстановление по этим «числам» очевидно — сначала через ряд (1) восстанавливаются F1(t) и F2(t), затем вычисляется F(t) по формуле (13).
Убедил?:)
По поводу умножения на гребёнку Дирака — это отдельная и на мой взгляд весьма любопытная тема. Если хотите, можно её обсудить, но не в рамках этой ветки. Можно и по электронной почте. Для затравки — спектры при дискретизации не «размножаются» и периодически не повторяются.
Прошу прощения за «много букв».
В теореме V у Котельникова. Я же выше написал, как там (в этой теореме) доказательство делается.
Давайте по другому. В самом начале я привел пример действительного сигнала, у которого спектр отличен от нуля в полосе частот от 1 до 3 кГц. Дискретизируем его с частотой 2*(f2-f1)=4 кГц. Теперь напишите формулу (формулы), по которой можно восстановить сигнал без потерь по полученным так отсчетам.
Нет, не по своим.
Пусть f1=1, f2=4. По теореме V у Котельникова частота дискретизации равна f1+f2=5 (или 10 без временного сдвига). Передаваемые по каналу отсчеты квадратур получаются с частотой 2(f2-f1)=6. При частоте 2(f2-f1)=6 отсчеты квадратур не равны отсчетам исходного сигнала.
Не совсем так. Посмотрите, что у Котельникова в теореме V:
1. Дискретизация с частотой f1+f2 (в действительности с частотой 2(f2+f1), если без временного сдвига делать) — получение отсчетов F1 и F2, то есть, отсчетов квадратур.
2. Восстановление квадратур F1 и F2 рядами Котельникова по синкам — получение непрерывных F1(t) и F2(t).
3. И только теперь их дискретизация с частотой 2(f2-f1).
4. Передача отсчетов квадратур по каналу связи (это те самые «числа», которые фигурируют в формулировке теоремы V).
5. Восстановление квадратур F1 и F2 рядами Котельникова по синкам получение непрерывных F1(t) и F2(t).
6. Восстановление F(t) по формуле (13) из теоремы IV.
То есть, Вы сформулировали всё правильно, за исключением того, что исходный сигнал F(t) восстанавливается не по своим отсчетам, а по отсчетам F1(t) и F2(t).
Но автор в формулировке теоремы Котельникова написал про восстановление именно по своим дискретным отсчетам, как у Котельникова и Шеннона и звучит. Вот поэтому, по-моему, Вы не корректно поправили автора.
А по какой формуле Вы сможете восстановить сигнал без потерь с такой частотой дискретизации?
Я к тому спрашиваю, что Ваше утверждение «Любой непрерывный сигнал с ограниченным спектром может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчетам, взятым с частотой строго больше удвоенной ширины полосы частот, занимаемой спектром непрерывного сигнала» не верно, место я указал курсивом.
Позвольте вопрос, чтобы понять Вашу терминологию. Прямой спектр действительного сигнала отличен от нуля в полосе частот от 1 до 3 кГц. Какая ширина (в кГц) полосы этого сигнала?
В двух словах: использование дельта-функций — только метод (способ) представления сигнала, к которому может быть применён матаппарат классического анализа (литература [10] 1959 год). Там же и то, что вместо дельта-функции можно применять и просто sinc, но возни с интегралами будет больше.
Метод так прижился, что теперь без него дискретизацию и не мыслят вовсе. Но это всё же только метод, и не единственный.
И у Владимирова и в указанных Вами материалах я не встретил определения операции умножения дельта-функции на другую функцию. Скалярное произведение есть. Но определения простого умножения, которое встречается у Вас в тексте («При дискретизации непрерывный сигнал умножается на гребёнку Дирака»), там нет. И не ищите. Эта операция не определена. Это к вопросу о математической строгости. В литературе встречается результат свертки гребёнки дирака с взвешенной дискретизируемой функцией — взвешенная (пропорционально отсчетам) сумма дельта-функций. Но никак не результат «умножения».
И, простите, пожалуйста, но «Гребёнка Дирака — это функция» (Ваши слова) — это совсем неправда.
Но у нас речь о дискретизации с частотой 2(f2-f1). Вы принимаете мои слова «с частотой дискретизации Fs=2(f2-f1) можно без потерь дискретизировать квадратуры» (и только квадратуры, если f1 > 0), но никак не исходный сигнал? Или настаиваете на версии Navigator_Pirks?
И если Вам интересно, подскажу кто и когда (и литературу Вам в электронном виде смогу переслать) ввел в дискретизацию гребёнку Дирака и зачем.
И очень интересно, где это Вы при дискретизации инверсный спектр обнулили? А если перед дискретизацией Вы привели сигнал к аналитическому виду, то откуда в процессе дискретизации аналитического (или его же в ноль смещенного) отсчеты исходной функции взяли?
Еще раз — с частотой дискретизации Fs=2(f2-f1) можно без потерь дискретизировать квадратуры (функции F1(t) и минус F2(t)), мгновенные значения которых (отсчеты) в моменты времени k/Fs не равны исходной функции в те же моменты времени, о которых написал Navigator_Pirks в своём замечании.
Давайте с ней. Сверните F(t) из моего примера с гребёнкой Дирака, и получите те же самые наложения прямого и инверсного спектров. В примере прямой спектр весь лежит между двумя дельта-функциями (первая пара), а инверсный тоже лежит между двумя дельта-функциями (вторая пара), но только не между первыми двумя, а между соседней парой (а не между первыми двумя, как надо бы, чтобы потерь не было). При свёртке спектры между соседними парами тупо складываются, в моем примере полностью перекрываются — возникают наложения и потери.
Возьмем функцию S(t)=sin(2pif1t)/(2pif1t), f1=1 кГц. Функция четная, её спектр действителен и имеет форму прямоугольника на интервале частот от минус f1 до f1, высота прямоугольника равна 1/(2f1). Центральная частота прямоугольника = 0. Нули функции расположены в моменты времени kdt1=k/(2f1), k целое, не равное 0.
Теперь пусть функция F(t)=S(t)*sin(2pi(f2-f1)t)=sin(2pif1t)/(2pif1t)*sin(2pi(f2-f1)t), f2=3 кГц. F(t) — нечетная, её спектр чисто мнимый и состоит из двух прямоугольников (по форме как у функции S(t)) — один прямоугольник (прямой спектр)
c центральной частотой (f2-f1), второй прямоугольник (инверсный спектр) с центральной частотой минус (f2-f1) и с противоположным знаком по отношению к первому. Нули F(t) расположены в моменты времени kdt1=k/(2f1) и ndt2=n/(2(f2-f1)), k,n — целые. Заметим, что моменты времени kdt1=k/(2f1) вложены в моменты ndt2=n/(2(f2-f1)), то есть (совсем не важно для примера, но для порядку) нули функции F(t)=sin(2pif1t)/(2pif1t)*sin(2pi(f2-f1)t) для наших значений f1 и f2 расположены в моменты времени ndt2=n/(2(f2-f1)), n — целое.
Что имеем при дискретизации F(t) с частотой Fs=2(f2-f1) в моменты времени ndt2=n/(2(f2-f1)):
— в частотной области — полное наложение прямого и инверсного спектров на интервале частот от f1 до f2 (а прямой и инверсный спектры одинаковы по форме — прямоугольники — и с противоположными знаками) с результатом наложения в виде тождественного нуля на всем диапазоне частот от 0 до Fs;
— во временной области — те же самые нули (в нули функции F(t) мы попали).
Весьма предсказуемый результат в данном примере от дискретизации с частотой 2(f2-f1).
Посмотрим внимательно на F(t)=sin(2pif1t)/(2pif1t)*sin(2pi(f2-f1)t). Разложение на квадратуры очевидно: F1(t)=0, F2(t)=sin(2pif1t)/(2pif1t). Функцию F2(t) без потерь можно дискретизировать с частотой Fs=2(f2-f1) в моменты времени
ndt2=n/(2(f2-f1), результатом будут все нули, кроме одной единицы при t=0. Можно ли восстановить после такой дискретизации F2(t) без потерь? Можно.
Можно ли восстановить после такой дискретизации F(t) без потерь? Тоже можно.
Об этом и говорит Котоельников в теореме V. Для доказательства он четыре (!) раза производит дискретизацию:
— первый раз исходную F(t) с частотой f1+f2 в моменты времени k/(f1+f2) для получения отсчетов F1(t);
— второй раз исходную F(t) с частотой f1+f2, но в моменты времени (k+0.5)/(f1+f2) для получения отсчетов F2(t);
— третий раз функцию F1(t) с частотой f2-f1 в моменты времени k/(f2-f1) для получения отсчетов F1(t), эта дискретизация отличается по частоте от первой (!);
— четвертый раз функцию F2(t) с частотой f2-f1 в моменты времени k/(f2-f1) для получения отсчетов F2(t), эта дискретизация отличается по частоте от второй (!).
Полученные в третьей и четвертой дискретизациях отсчеты он передает как «числа» (термин из теоремы V), но поскольку одному моменту дискретизации соответствуют два «числа» (от третьей и четвертой дискретизаций), то частоту следования этих
чисел он определяет как 2(f2-f1), то есть в 2 раза больше, чем при третьей и четвертой дискретизациях.
Восстановление по этим «числам» очевидно — сначала через ряд (1) восстанавливаются F1(t) и F2(t), затем вычисляется F(t) по формуле (13).
Убедил?:)
По поводу умножения на гребёнку Дирака — это отдельная и на мой взгляд весьма любопытная тема. Если хотите, можно её обсудить, но не в рамках этой ветки. Можно и по электронной почте. Для затравки — спектры при дискретизации не «размножаются» и периодически не повторяются.
Прошу прощения за «много букв».
Давайте по другому. В самом начале я привел пример действительного сигнала, у которого спектр отличен от нуля в полосе частот от 1 до 3 кГц. Дискретизируем его с частотой 2*(f2-f1)=4 кГц. Теперь напишите формулу (формулы), по которой можно восстановить сигнал без потерь по полученным так отсчетам.
Пусть f1=1, f2=4. По теореме V у Котельникова частота дискретизации равна f1+f2=5 (или 10 без временного сдвига). Передаваемые по каналу отсчеты квадратур получаются с частотой 2(f2-f1)=6. При частоте 2(f2-f1)=6 отсчеты квадратур не равны отсчетам исходного сигнала.
1. Дискретизация с частотой f1+f2 (в действительности с частотой 2(f2+f1), если без временного сдвига делать) — получение отсчетов F1 и F2, то есть, отсчетов квадратур.
2. Восстановление квадратур F1 и F2 рядами Котельникова по синкам — получение непрерывных F1(t) и F2(t).
3. И только теперь их дискретизация с частотой 2(f2-f1).
4. Передача отсчетов квадратур по каналу связи (это те самые «числа», которые фигурируют в формулировке теоремы V).
5. Восстановление квадратур F1 и F2 рядами Котельникова по синкам получение непрерывных F1(t) и F2(t).
6. Восстановление F(t) по формуле (13) из теоремы IV.
То есть, Вы сформулировали всё правильно, за исключением того, что исходный сигнал F(t) восстанавливается не по своим отсчетам, а по отсчетам F1(t) и F2(t).
Но автор в формулировке теоремы Котельникова написал про восстановление именно по своим дискретным отсчетам, как у Котельникова и Шеннона и звучит. Вот поэтому, по-моему, Вы не корректно поправили автора.
Я к тому спрашиваю, что Ваше утверждение «Любой непрерывный сигнал с ограниченным спектром может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчетам, взятым с частотой строго больше удвоенной ширины полосы частот, занимаемой спектром непрерывного сигнала» не верно, место я указал курсивом.