У меня 3.00 детей в десятичном исчислении. Это истина. Это конечная запись, больше детей у меня не будет. Какие ложные предпосылки вы в этом усматриваете и какие выводы вы можете сделать? Вариант — дети не от меня, исключается:)
А если серьезно, то точные числа существуют, а натуральные числа вообще связаны исключительно со счетными задачами. Это потом появились рациональные числа, в результате операций сравнения. Что больше (меньше) и во сколько раз. И даже для них, если числа соизмеримы, т.е. в них укладывается ровное количество меры, они будут точными. Не в смысле точности измерения, а в смысле количества мер, которые в них укладывается. Пример: эталон — человек обыкновенный. Сколько человек в кинотеатре? Скажем — 201. Это точное число или приблизительное?
Вообще, понятий точности много. Большой энциклопедический политехнический словарь понятие точности определяет как «степень приближения истинного значения рассматриваемого процесса, вещества, предмета к его теоретическому номинальному значению» [ dic.academic.ru/dic.nsf/polytechnic/9524/ТОЧНОСТЬ ]. Для численных задач, мне кажется, это верное определение. Поэтому результат, полученный в вычислительном устройстве, тем точнее, чем он ближе к вычисленному столбиком вручную.
Извините, если сделаете свой комент, скорее всего отвечу послезавтра. Уезжаю.
Пока вы отнимаете яблоки, они истираются, или, наоборот, что-нибудь с рук на них налипает.
Если какое-нибудь яблоко не прилипнет к рукам раздающего, они будут разложены ровно на две кучки по 5 и 3 в каждой.
То, что вы и ваш калькулятор при вычитании 105.32 в столбик получаете ответ 0.0056, говорит только о том, что вы с калькулятором не учитываете погрешность вычислений, то есть считаете метрологически неверно
Ну и слава Богу. Не его это калькуляторное дело интерпретировать результаты вычислений.
Вы почему-то хотите узурпировать всю вычислительную технику под метрологические задачи. Но ведь есть еще всевозможные задачи: математического моделирования, криптография. И, в конце концов, не лишайте человечество узнать значение числа пи в N-том знаке после запятой:).
Я так понимаю, к контексту у вас вопросов нет? Есть вопросы к социальному статусу автора? В зависимости от ответа на последний вопрос, вы согласитесь с контекстом или нет?
Кстати, а что по поводу What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic? Я что-то не правильно посчитал?
Может быть, в идеальном платоновском мире и существуют точные числа, но в реальности каждое значение имеет погрешность, связанную с различными причинами
Берем 5 яблок и отнимаем от них 2. Получаем 3? Или все же 3+- немножко? Какой ответ верен? Яблоки могут быть совершенно разные по размерам. Если мы считаем в столбик разность двух чисел 105.3256 и 105.32 мы получаем в ответе 0.0006. Или +- что то еще? Калькулятор не знает предыстории чисел с которыми имеет дело. Это вы должны интерпретировать полученные результаты.
Я конечно далек от бухгалтерии, но может такое наивное решение пригодится. Создать графу «нераспределенные остатки» в которой учитывать копейки или доли копеек. Эти деньги временно хранить в банке. Когда следующий раз будете распределять миллион прибавьте к распределяемой сумме нераспределенные ранее остатки глядишь сумма и разделится. Если нет — опять остатки в банк.
У нас два точных числа a=105.3256 и b=105.32. Какова их абсолютная и относительная погрешность? Она равна нулю.Преобразуем их в двоичные числа и получаем приблизительный эквивалент точных значений. Чем меньше длинна двоичной мантиссы, тем менее точным становится десятичный эквивалент двоичного числа. При арифметических действиях над приблизительными числами всегда получаются приблизительные результаты. Абсолютная разность между полученным точным результатом и полученным приблизительным результатом дает абсолютную ошибку. Отношение абсолютной ошибки к точному числу дает относительную ошибку.
Относительная погрешность может получиться какая угодно, в зависимости от соотношения порядков результата и операндов
О каких соотношениях порядков результата и операндов идет речь? Желательно с примерами.
К сожалению формат дискуссии не позволяет сделать подробный анализ выкладок в указанной вами статье. Но, если вы с ней знакомы, то, во-первых, в ней рассматривается частный случай:
«A relative error of b — 1 in the expression x — y occurs when x = 1.00...0 and y = .rrr..., where r = b — 1» Обозначения изменены, чтобы не вставлять картинки. Далее, доказывается справедливость этого высказывания и, чтобы избежать этой ситуации автор предлагает ввести защитную цифру, которая позволяет получить результат близкий к factor times e. Который характеризует ошибку вычислений и определяется как e=(b/2)b^(-p). Далее доказывается, что добавление защитной цифры делает относительную погрешность не хуже 2e.
Возвращаясь к моей статье. Для формата float: b=2, p=24, a=105.3256, b=105.32 e=0,00000006
a-b=0,000000024. Относительная ошибка 0,000000024/0,0056=0.0000043, что существенно больше 2e=0,00000012
А вычислениям с плавающей точкой посвящены целые главы литературы по программированию. Включая и кучу примеров где проблемы и методы их решения рассматриваются.
Вы считаете, что этой куче чего то не хватает? и поэтому
привести примеры типичных классических ошибок программиста при работе данными в формате с «плавающей точкой» и как их избежать
Если же все, что написано в статье, давно всем известно, то дайте ссылку, где эта проблема освещена.
Извините, но просто поговорить, действительно не интересно.
А вычислениям с плавающей точкой посвящены целые главы литературы по программированию. Включая и кучу примеров где проблемы и методы их решения рассматриваются.
Ну да, как у Макаренко в «Республике ШКИД» — «Теоретически она лошадь, а практически она падает» Вы действительно считаете, что все проблемы с обработкой ЧПТ решены? А зачем INTEL в железе реализует обработку ЧПТ в двоично-десятичном формате?
Тут проскакивало что то про расчет на калькуляторе и на компе и что цифры не совпадают… А ничего что калькуляторы используют в основном двоично десятичный код для вычисления? Интересно, много людей, что здесь дискутирую вообще знают что это и почему используется?
Чуть ваше я как раз объяснял вкратце с каким форматом работает калькулятор. Так что, кто не знал, видимо, уже знает.
Ошибки вычисления double/float имеют свойство накапливаться и результат может быть очень непредсказуемым
.
Это, если использовать медицинские аналогии, которые здесь приводил один пользователь, все равно, что сказать: " Я вам даю таблетку от головной боли, но последствия непредсказуемы".
16-ричные дробные числа, не переполняющие разрядную сетку мантиссы конечно могут быть точно представлены в двоичном коде. Это две соизмеримые системы счисления. Но, когда приходится делить два таких числа друг на друга мы опять можем получить бесконечную дробь:
0.9 ⁄ 0.7 = 1.49(249) в 16-ричной системе счисления.
В примере из Википедии для старших цифр десятичных чисел отведено 6 разрядов и столько же для погрешности. В общей сложности получается, что число представляется 6+6+12 разрядами. Каждый новый разряд увеличивает точность представления числа в 10 раз для десятичных чисел. Вот и получается, что за счет дополнительного программного регистра точность повысилась в 10^6 раз.
Конечно же не в 2 раза, а в 10^N для десятичных чисел или в 2^N для двоичных чисел. Где N — количество разрядов, выделенное для учета дробных значений, которые вышли за пределы разрядной сетки операционной мантиссы. Учет этих значений уменьшает абсолютную погрешность и как следствие относительную.
Вся беда в том, что как только нам приходится делить два целых числа в десятичном или в двоичном коде, возникновение действительных, рациональных, дробных чисел неизбежно. Вопрос только в том, какую точность мы желаем получить при ограниченных аппаратных ресурсах.
Это каким же образом формат fixed point обеспечит точность операций для чисел, скажем до 15 знаков после запятой? Зачем тогда ЧПТ?
А если серьезно, то точные числа существуют, а натуральные числа вообще связаны исключительно со счетными задачами. Это потом появились рациональные числа, в результате операций сравнения. Что больше (меньше) и во сколько раз. И даже для них, если числа соизмеримы, т.е. в них укладывается ровное количество меры, они будут точными. Не в смысле точности измерения, а в смысле количества мер, которые в них укладывается. Пример: эталон — человек обыкновенный. Сколько человек в кинотеатре? Скажем — 201. Это точное число или приблизительное?
Вообще, понятий точности много. Большой энциклопедический политехнический словарь понятие точности определяет как «степень приближения истинного значения рассматриваемого процесса, вещества, предмета к его теоретическому номинальному значению» [ dic.academic.ru/dic.nsf/polytechnic/9524/ТОЧНОСТЬ ]. Для численных задач, мне кажется, это верное определение. Поэтому результат, полученный в вычислительном устройстве, тем точнее, чем он ближе к вычисленному столбиком вручную.
Извините, если сделаете свой комент, скорее всего отвечу послезавтра. Уезжаю.
Если какое-нибудь яблоко не прилипнет к рукам раздающего, они будут разложены ровно на две кучки по 5 и 3 в каждой.
Ну и слава Богу. Не его это калькуляторное дело интерпретировать результаты вычислений.
Вы почему-то хотите узурпировать всю вычислительную технику под метрологические задачи. Но ведь есть еще всевозможные задачи: математического моделирования, криптография. И, в конце концов, не лишайте человечество узнать значение числа пи в N-том знаке после запятой:).
Кстати, а что по поводу What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic? Я что-то не правильно посчитал?
Берем 5 яблок и отнимаем от них 2. Получаем 3? Или все же 3+- немножко? Какой ответ верен? Яблоки могут быть совершенно разные по размерам. Если мы считаем в столбик разность двух чисел 105.3256 и 105.32 мы получаем в ответе 0.0006. Или +- что то еще? Калькулятор не знает предыстории чисел с которыми имеет дело. Это вы должны интерпретировать полученные результаты.
О каких соотношениях порядков результата и операндов идет речь? Желательно с примерами.
«A relative error of b — 1 in the expression x — y occurs when x = 1.00...0 and y = .rrr..., where r = b — 1» Обозначения изменены, чтобы не вставлять картинки. Далее, доказывается справедливость этого высказывания и, чтобы избежать этой ситуации автор предлагает ввести защитную цифру, которая позволяет получить результат близкий к factor times e. Который характеризует ошибку вычислений и определяется как e=(b/2)b^(-p). Далее доказывается, что добавление защитной цифры делает относительную погрешность не хуже 2e.
Возвращаясь к моей статье. Для формата float: b=2, p=24, a=105.3256, b=105.32 e=0,00000006
a-b=0,000000024. Относительная ошибка 0,000000024/0,0056=0.0000043, что существенно больше 2e=0,00000012
Вы считаете, что этой куче чего то не хватает? и поэтому
Если же все, что написано в статье, давно всем известно, то дайте ссылку, где эта проблема освещена.
Извините, но просто поговорить, действительно не интересно.
Ну да, как у Макаренко в «Республике ШКИД» — «Теоретически она лошадь, а практически она падает» Вы действительно считаете, что все проблемы с обработкой ЧПТ решены? А зачем INTEL в железе реализует обработку ЧПТ в двоично-десятичном формате?
Чуть ваше я как раз объяснял вкратце с каким форматом работает калькулятор. Так что, кто не знал, видимо, уже знает.
Это, если использовать медицинские аналогии, которые здесь приводил один пользователь, все равно, что сказать: " Я вам даю таблетку от головной боли, но последствия непредсказуемы".
0.9 ⁄ 0.7 = 1.49(249) в 16-ричной системе счисления.